Eredmények, megoldások 1. Eldobjuk egyszer a dobókockát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy: (a) 4-est dobunk; (b) páratlan számot dobunk; (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat; (d) legfeljebb 5-öst dobunk; (e) legalább 5-öst dobunk? A valószín½uségek: (a) 4-est dobunk: 1 6 (b) páratlan számot dobunk: 3 6 (c) 4-nél nem dobunk nagyobbat: 4 6 (d) legfeljebb 5-öst dobunk: 5 6 (e) legalább 5-öst dobunk: 2 6 2. Jelölje A azt az eseményt, hogy holnap délután szép id½o lesz. Legyen ennek valószín½usége, P (A) = 1 3. Ugyanakkor jelölje B azt az eseményt, hogy Peti biciklijét holnap délutánra a szerel½o megjavítja. Legyen ennek valószín½usége, P (B) = 1 4. (a) Mennyi a valószín½usége annak, hogy holnap délután Peti szép id½oben lesz biciklizhet? (b) Mennyi a valószín½usége annak, hogy az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik? (a) Az 1. ábrán megjelenítettünk két véletlen gráfot. Látható az A esemény és ennek A ellentett eseménye, azaz az az esemény, hogy holnap délután nem lesz szép id½o. Ennek valószín½usége, P (A) = 2 3. Az 1. ábrán látható a B esemény és ennek B ellentett eseménye is, melynek valószín½usége, P (B) = 3 4. 1. ábra Ezeket a gráfokat alakítottuk át a 2. ábrán úgy, hogy egyforma valószín½uség½u kimeneteleink legyenek. Itt megjegyeznénk, hogy ha a véletlen gráf valamely csúcsából induló élekre nincs szám írva, akkor azt feltételezzük, hogy a kimenetelek egyforma valószín½uség½uek.
2. ábra A 3. ábráról leolvashatjuk, hogy a 12 darab egyformán valószín½u kimenetel közül számunkra 1 kedvez½o. 1 Tehát 12 annak valószín½usége, hogy holnap délután szép id½o lesz és Peti mehet biciklizni. Ha jelöljük A \ B-vel azt az eseményt, amely pontosan akkor következik be, ha az A és B események közül mindkett½o bekövetkezik, akkor P (A \ B) = 1 12 : 3. ábra Ha viszont ugyanennek a véletlen gráfnak az összevont alakját tekintjük a 4. ábrán, akkor észrevehet½o, hogy az 1 12 tulajdonképpen 1 3 -nak és 1 4-nek a szorzataként áll el½o. 4. ábra (b) Most vizsgáljuk meg, hogy mennyi a valószín½usége annak, hogy az A és B események közül legalább az egyik bekövetkezik (jelölése P (A [ B)). Az 5. ábrán látható, hogy az egyenl½o valószín½uség½u kimenetelek száma 12, a kedvez½o esetek száma pedig 6, tehát P (A [ B) = 6 12 = 1 2 :
5. ábra Ha ugyanennek a véletlen gráfnak az összevont alakját tekintjük a 6. ábrán, akkor ismét észrevehet½o, hogy 1 2 = 1 3 1 4 + 1 3 3 4 + 2 3 1 4. 6. ábra 3. A mellékelt ábrát tekintve, az els½o zsákban van 4 piros és 1 fekete, egyforma golyó, a második zsákban pedig 2 piros és 3 fekete egyforma golyó. Dobókockával egyszer dobunk. Ha hárommal osztható szám jelenik meg, akkor az els½o dobozból húzunk ki egy golyót, ellenkez½o esetben (azaz 1, 2, 4 vagy 5 dobása esetén) pedig a második dobozból. Mennyi a fekete golyó húzásának valószín½usége? 7. ábra A 8. ábrán látható a feladat vizualizálása. Az összes lehetséges kimenetel száma 30, a nekünk kedvez½o kimenetelek száma pedig 14. Tehát a fekete golyó húzásának valószín½usége 14 30.
8. ábra Ha a gráfot összevont alakban vizsgáljuk (9. ábra), szintén észrevehet½o, hogy 14 30 = 2 6 1 5 + 4 6 3 5. 9. ábra 4. Az egérke egy cs½orendszer tetején áll, amib½ol sajtszag és macskaszag egyaránt árad (10. ábra). Az egérke elindul lefele a sajt után. A sajtszag-, illetve macskaszag a cs½orendszerben egyformán érz½odik mindenhol, az elágazásoknál így egyforma valószín½uséggel választ, visszafele pedig soha nem halad. Mennyi a valószín½usége annak, hogy az egérke megtalálja valamelyik sajtot? Hát annak, hogy az egérke valamelyik macskának a szájába szalad? 10. ábra
Az összevont gráfot tekintve (11. ábra), annak valószín½usége, hogy az egérke megtalálja valamelyik sajtot: 5 54 = 1 3 1 3 1 2 + 1 3 1 3 1 3 : Annak valószín½usége pedig, hogy az egérke valamelyik macskának a szájába szalad: 6 54 = 1 3 1 3 1 2 + 1 3 1 3 1 2 : 11. ábra 5. Egy pénzdarabot egymás után 11-szer feldobva, mind a tizenegyszer írást dobtunk. Mennyi annak a valószín½usége, hogy tizenkettedikszer is írást dobunk? A tizenkettedik dobás nem függ az el½oz½o tizenegy dobástól. Ha feldobjuk a pénzérmét (legyen az a tizenkettedik dobás vagy akárhányadik), akkor az írás dobásának valószín½usége 1 2. 6. Egy érmét kétszer feldobunk. Mekkora annak a valószín½usége, hogy legalább egy esetben írás lesz felül? A négy egyformán valószín½u esetb½ol (fej-fej, fej-írás, írás-fej, írás-írás) nekünk három kedvez, tehát a keresett valószín½uség 3 4. 7. Két csomag magyar kártyát elhelyezünk egymás mellé, és mindkett½ob½ol kihúzunk egy lapot. Mennyi a valószín½usége annak, hogy mindkét lap zöld lesz? Tulajdonképpen két egymástól független esemény együttes bekövetkezését vizsgáljuk. A keresett valószín½uség 1 4 1 4 = 1 16. 8. Egy zsákban 3 piros, 1 fekete és 1 zöld, egyforma méret½u golyó található. A golyókat véletlenszer½uen kihúzzuk egymás után, és egy sorozatot készítünk bel½olük. Melyik sorrend a valószín½ubb: PPPFZ vagy ZFPPP?
Ennél a feladatnál merült fel el½oször az a probléma, hogy ha az egyenl½o valószín½uség½u kimenetelek száma nagy,
akkor a véletlen gráf teljes kirajzolása szinte lehetetlen. Ezért az összevont alakkal dolgoztunk. Tapasztalatok alapján els½o ránézésre a PPPFZ sorrend valószín½ubbnek t½unik a ZFPPP sorrendnél. A hiba valószín½uleg ott csúszik be, hogy els½o húzásra valóban nagyobb a piros golyó megjelenésének valószín½usége, mint a zöldé. Viszont az ábra alapján ezek: Tehát a két valószín½uség egyforma! P (PPPFZ) = 3 5 2 4 1 3 1 2 1 = 6 120 = 1 20 ; P (ZFPPP) = 1 5 1 4 3 3 2 2 1 = 6 120 = 1 20 : 9. Egy dobozban 10 golyó van: 6 piros, 4 fekete. Két golyót húzunk ki egymás után, visszatevés nélkül. Mennyi a valószín½usége annak, hogy (a) mindkett½o fekete; (b) mindkett½o egyforma; (c) legalább az egyik piros? (a) Hogyan teljesül az az esemény, hogy mindkét kihúzott golyó fekete? Úgy, hogy az els½o kihúzott golyó is fekete és a második kihúzott golyó is fekete. A keresett valószín½uség: 4 10 3 9 = 12 90 0:13: (b) Hogyan teljesül az az esemény, hogy mindkét kihúzott golyó egyforma? Úgy, hogy az els½o kihúzott golyó is fekete és a második kihúzott golyó is fekete, vagy úgy, hogy az els½o kihúzott golyó is piros és a második kihúzott golyó is piros. A keresett valószín½uség: 4 10 3 9 + 6 10 5 9 = 42 90 0:46: (c) A keresett valószín½uség: 4 10 6 9 + 6 10 4 9 + 6 10 5 9 = 78 90 0:86: 10. Két dobókockával egyszerre dobunk. Mennyi a valószín½usége annak, hogy a két megjelen½o szám összege 8? Két dobókocka egyszeri eldobása esetén a különböz½o, egyenl½oen valószín½u kimenetelek száma 36. Ezek: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
Két dobókocka egyszeri eldobása esetén 5 36 annak valószín½usége, hogy a két megjelen½o szám összege 8: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) 11. Két dobókockával dobunk. Mennyi a valószín½usége annak, hogy (a) legalább az egyik kockán 6-os jelenik meg; (b) két egyforma számot dobunk; (c) két különböz½o számot dobunk; (d) a két dobás összege 8 és az egyik pont a 6-os? (a) Két dobókocka egyszeri eldobása esetén 11 36 annak valószín½usége, hogy legalább az egyik kockán 6-os jelenik meg: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) (b) Két dobókocka egyszeri eldobása esetén 6 36 (c) Két dobókocka egyszeri eldobása esetén 30 36 annak valószín½usége, hogy két egyforma számot dobunk: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) annak valószín½usége, hogy két különböz½o számot dobunk: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
(d) Két dobókocka egyszeri eldobása esetén 2 36 annak valószín½usége, hogy a két dobás összege 8 és az egyik pont a 6-os: (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6) (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6) (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6) (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6) (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6) (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6) 12. Egy dobozban 4 piros golyó van. Legalább hány fekete golyót kell a dobozban elhelyezni ahhoz, hogy egy találomra kihúzott golyó legalább 0:9 valószín½uséggel fekete legyen? Ha a dobozban x darab fekete golyót helyezünk el, akkor a fekete golyó húzásának valószín½usége: Tehát legalább 36 golyót kell a dobozban elhelyezni. x x + 4 0:9, x x + 4 9, 10x 9x + 36, x 36: 10 13. Annának két piros és egy sárga cukorka van a kezében. Péternek pedig egy piros, három sárga és két zöld cukorka van a kezében. Véletlenszer½uen megmutatnak egymásnak egy-egy cukorkát. Mennyi a valószín½usége annak, hogy a ezek a cukorkák egyforma szín½uek? Hogyan teljesül az az esemény, hogy a cukorkák egyforma szín½uek? Úgy, hogy Anna pirosat mutat és Péter is pirosat mutat, vagy úgy, hogy Anna sárgát mutat és Péter is sárgát mutat. A keresett valószín½uség: 2 3 1 6 + 1 3 3 6 = 5 18 0:28: 14. Egy csomag magyar kártyát megkeverünk, majd egyesével húzzuk ki a lapokat. Mennyi a valószín½usége annak, hogy a második ászt a harmadik helyen húzzuk ki? (A magyar kártyának 32 lapja van, a lapok között pedig 4 ász található.) Hogyan teljesül az az esemény, hogy a második ászt a harmadik helyen húzzuk ki? Úgy, hogy els½ore kihúzunk egy ászt és másodikra nem húzunk ászt és harmadikra ismét ászt húzunk, vagy úgy, hogy els½ore nem húzunk ászt és másodikra ászt húzunk és harmadikra ismét ászt húzunk. A keresett valószín½uség: 4 32 28 31 3 30 + 28 32 4 31 3 30 = 7 310 0:02: 15. Egy út akkor engednek el játszani, ha három egymás utáni sakkparti közül legalább két egymás utánit megnyer. Játékostársai apa és nagytata, mégpedig vagy apa-nagytata-apa, vagy pedig nagytata-apa-nagytata sorrendben. Apa jobban játszik, mint nagytata. Melyik sorrend kedvez½obb a ú számára? Tételezzük fel, hogy a ú p valószín½uséggel nyer apa ellen és q valószín½uséggel nyer nagytata ellen. Mivel apa jobban játszik, mint nagytata, ezért p < q.
Ekkor az apa-nagytata-apa sorrend választása esetén annak valószín½usége, hogy a ú legalább két egymásutáni partit megnyer: pqp + pq (1 p) + (1 p) qp = pq (2 p) : A nagytata-apa-nagytata sorrend választása esetén annak valószín½usége, hogy a ú legalább két egymásutáni partit megnyer: qpq + qp (1 q) + (1 q) pq = pq (2 q) : Mivel p < q, ezért pq (2 p) > pq (2 q), tehát az apa-nagytata-apa sorrend választása a ú számára kedvez½obb. Megjegyzés. Az intuíció ennél a feladatnál is cserben próbál hagyni minket, nagyon sok ember, ha azonnali választ kell adni, inkább a nagytata-apa-nagytata sorrend választását javasolná a únak. 16. Minden másodpercben, függetlenül más id½oszaktól, p valószín½uséggel halad el egy autó az úton. A gyalogosnak 3 másodpercre van szüksége ahhoz, hogy átérjen az úton. Mennyi a valószín½usége annak, hogy egy átkelni szándékozó gyalogosnak: (a) nem kell várnia; (b) 1 másodpercet kell várnia; (c) 2 másodpercet kell várnia; (d) 3 másodpercet kell várnia? (a) Annak valószín½usége, hogy a gyalogosnak nem kell várnia: (1 p) (1 p) (1 p) = (1 p) 3 : (b) Annak valószín½usége, hogy a gyalogosnak 1 másodpercet kell várnia: p (1 p) 3 : (c) Annak valószín½usége, hogy a gyalogosnak 2 másodpercet kell várnia: pp (1 p) 3 + (1 p) p (1 p) 3 : (d) Annak valószín½usége, hogy a gyalogosnak 3 másodpercet kell várnia: ppp (1 p) 3 + p (1 p) p (1 p) 3 + (1 p) pp (1 p) 3 + (1 p) (1 p) p (1 p) 3 : 17. Mennyi a valószín½usége annak, hogy két egyforma kockával dobva, 25 dobásból lesz legalább egy dupla hatosunk? A feladatbeli esemény ellentett eseménye az, hogy két egyforma kockával dobva, 25 dobásból nem lesz dupla hatosunk. Ennek valószín½usége: 20 21 25. Tehát annak valószín½usége, hogy két egyforma kockával dobva, 25 dobásból lesz legalább egy dupla hatosunk: 1 25 20 : 21
18. A tegnap Csíkszeredában a Megyei Kórházban négy gyermek született. Tételezzük fel, hogy egy gyermek ugyanolyan eséllyel lehet ú vagy lány. Az alábbiak közül melyiknek van a legnagyobb esélye? (A) (B) (C) (D) (E) Mind a négyen úk. Mind a négyen lányok. Kett½o ú és kett½o lány. Három ú és egy lány vagy három lány és egy ú. A fentiek közül mindeniknek ugyanannyi az esélye. (A) Mind a négyen úk. 1 16 (B) Mind a négyen lányok. 1 16 (C) Kett½o ú és kett½o lány. 6 16 (D) Három ú és egy lány vagy három lány és egy ú. 8 16 (E) A fentiek közül mindeniknek ugyanannyi az esélye. (Nem igaz.) 19. Sa király három a: Prius, Maximus és Servus egyaránt szerelmes Matekország királylányába. Elhatározzák, hogy pisztolypárbajban döntik el, melyikük legyen a kér½o. Körbeállnak és bármelyikük l½ohet bármelyikükre. Tudják egymásról, hogy ha l½o, Prius 1, Maximus 0,8 és Servus 0,5 valószín½uséggel talál. Úriemberek lévén, abban állapodnak meg, hogy el½oször l½o Servus, utána (ha életben van) Maximus, végül Prius. Ha els½o körben nincs vége a párbajnak, akkor még egy második kört is l½onek azonos sorrendben, de többet nem. Mikor a királylány meghallotta a feltételeket, a párbaj el½otti este titokban kicserélte Servus els½o golyóját vaktöltényre. Kibe szerelmes a királylány? (Matekország királylánya természetesen nagyon okos, a király ak úgyszintén.) Ha megtörténik a csere, akkor a következ½o ábra készíthet½o:
A gy½ozelmi valószín½uségeket kiszámítjuk és táblázatba foglaljuk: Gy½oztes Servus els½o golyója vaktöltény Prius 0:2 0:5 = 0:1 Maximus 0:8 0:5 0:8 = 0:32 Servus 0:8 0:5 + 0:2 0:5 = 0:5 Servus és Maximus 0:8 0:5 0:2 = 0:08 És itt volt az a pont, amikor nagyon egyszer½uen le lehetett a téves következtetést vonni, azaz hogy Servusba szerelmes a királylány. Viszont ahhoz, hogy ezt el tudjuk dönteni, legalább azt feltétlenül szükséges megvizsgálni, hogy mi történt volna akkor, ha nem cserélte volna ki az els½o töltényt. Ha nem történik csere, akkor az ábra a következ½o: A gy½ozelmi esélyek táblázata pedig: A fentieket egy táblázatba írva: Gy½oztes Servus els½o golyója igazi Prius 0:5 0:1 = 0:05 Maximus 0:5 0:8 + 0:5 0:2 0:5 0:8 + 0:5 0:32 = 0:6 Servus 0:5 0:2 0:5 + 0:5 0:5 = 0:3 Servus és Maximus 0:5 0:2 0:5 0:2 + 0:5 0:08 = 0:05
Gy½oztes Servus els½o golyója vakt. Servus els½o golyója igazi Prius 10% 5% Maximus 32% 60% Servus 50% 30% Servus és Maximus 8% 5% És most már látjuk, hogy legalábbis a táblázatba foglaltak alapján Maximusba nem lehet szerelmes a királylány. De kibe szerelmes? Servusnak egyértelm½uen n½ottek a gy½ozelmi esélyei, így neki van hármuk közül abszolút értékben a legnagyobb esélye a gy½ozelemre, viszont Priusnak is megduplázódott gy½ozelmi esélye. De ennyi vizsgálat vajon elég ahhoz, hogy dönteni tudjunk? Nem kellett volna megvizsgálni azt is, hogy milyen meggondolásból cserélte ki a királylány pont Servusnak- és pont az els½o töltényét?