Az ábrázoló geometria célja a térbeli alakzatok meghatározása alakra, nagyságra és helyzetre nézve síkban való ábrázolás által, s ezen ábrázolás alapján a térbeli alakzatra vonatkozó feladatok rajzbeli megoldása. Ábrázoló geometria módszere: VETÍTÉS centrális vetítés Egy térbeli alakzat pontjait egy végesben fekv pontból vetítjük egy a pontra nem illeszked síkra. A síkot képsíknak (Π), a pontot a veítés centrumának (O) nevezzük. A centrális projektció egyértelm leképezés. A centrális ábrázolás egyenestartó. A centrumra illeszked egyeneseket és síkokat vetít sugaraknak illetve vetít síkoknak nevezzük. A keépsíkot használjuk a rajz síkjának. A centrális projekctó az emberi látás természetes általánosítása. Ezért ha a centrális projekciót úgy rendezzök be, hopgy az emberi látás természetes körülményeihez igazodjon képies képet nyerünk (perspektíva). párhuzamos vetítés A vetít sugarak egymással párhuzamosak. A vetít sugárnak a képsíkkal való metszéspontja adja egy pont képét. Ha a vetít sugarak a kép síkra mer legesek, akkor mer leges (ortogonális), egyebbként pedig ferde (klinogonális) vetítésr l beszélünk. Történet: Az alap és homlokrajz eljárást az építészet szülte. (rómaiak, egyiptomiak, Salamon király - jeruzsálemi templom) XVI. század Franciaország - bizonyítás nélküli eljárások, szabályok. Desargues - általános elveket próbál felfedezni a különféle eljárásokban. Monge teremti meg az ábrázoló geometriát, mint tudományt. Fölfedezi azon általános szabályokat, melyek a különböt feladatok megoldásának közös alapját adják, s ezeket tudományos rendszerbe foglalta. Az ábrázoló geometriának alapítója, a francia matematikus, tengerészeti miniszter és haditengerészeti szakért Gaspard Monge (1746-1818) megfogalmazásában a következ két feladatot kell szolgálnia: Az ábrázoló geometria m vészetének két f tárgya van: Az els a háromdimenziós testek szabatos ábrázolása a kétdimenziós rajzlapon úgy, hogy a rajz alapján a testek pontosan meghatározhatóak legyenek. Ebb l a szempontból ez a nyelv a szellem emberének szükségeltetik, aki kigondol egy tervet azok számára, kiknek feladata a kivitelezés irányítása, és végül a mesterembereknek, akik munkája a különböz részek megvalósítása. Az ábrázoló geometria második feladata mindannak kikövetkeztetése a testek pontos leírásából, ami szükségszer en adódik formáikból és helyzetükb l. Ebben az értelemben ez az igazság keresését jelenti; örökösen példákat nyújt az 1
ismertb l az ismeretlenbe történ átjárásra; és mivel ez mindig a legelemibb formájú tárgyakra alkalmazható, szükséges bevezetése a nemzeti tantervbe..." Az ábrázoló geometria önálló tudományágként Monge tevékenysége óta létezik. Érdekes módon célkit zései, alapelvei, módszerei a francia forradalom által megreformált iskolarendszerben egyre hangsúlyosabb szerepet kapó, mer ben új szemlélet tantárgy el adásanyagából származnak. E tantárgyat még jóval a forradalom el tt Ábrázoló geometria néven Monge vezette be a mérnökképzés rendszerébe. Az 1748-ban alapított mézieres-i katonai akadémia tanársegédjeként 1768 és 1789 között er dítéstant oktatott. El adásai keretében dolgozta ki önálló ábrázolási rendszerét, amelyet az általános geometriától való megkülönböztetés jeleként ábrázoló (vagy más szóval fordítva leíró) geometriának nevezett. A k faragók és ácsmesterek által alkalmazott rajzi módszerek vizsgálatával kezdte munkáját, és els ábrázoló geometriai elveit is e két területen próbálta ki. Az addigi bonyolultabb és hosszadalmas ábrázolási módszerek helyett az áttekinthet bb és egyszer bb, ma Monge-rendszerként ismert kétképsíkos ábrázolást ajánlotta. El adásai már egy kiadható könyv terjedelmére rúgtak, ám annak publikálását a hatóságok, haditoknak nyilváníttatva, megtiltották. El adásai el ször 1795-ben jelentek meg Géométrie Descriptive címmel. Az ábrázoló geometria önálló tudományággá szentelése Monge tanítványainak és közvetlen követ inek tevékenységén keresztül teljesedett be. Monge ábrázoló geometriája er sen elméleti, tudományos alapokról építkez rendszer volt, amely a francia nemzeti m szaki rajzoktatás tantárgyaként számos követ re talált: ugyanabban az id ben az esztétizáló, lozokus jelleg német természettudományos kutatás is szívesen fogadta, s t, a napóleoni id kben Egyiptomban is kiadták, Itáliában pedig már 1804-ben megjelent els fordítása. A brit rajzoktatásban azonban néhány elszigetelt kísérlet24 után sem történt meg a Monge-rendszer teljes adaptálása. A francia kétképsíkos rendszer párjaként önállóan dolgozták ki az ortograkus - úgyszintén mer leges vetületekkel operáló - projekció (vetítés) elveit, amelynek els rendszeres leírását 1857-ben William Binns adta. Újdonságértéke, miként Monge Ábrázoló geometriájáé is, abban rejlik, hogy az addig tapasztalati úton szerzett ismereteket rendszerezte és pontosította. 1. Axonometria A m szaki és az azzal összefüggésben álló építészeti rajzoknak kétféle kívánalomnak kell eleget tenniük. Képeiken az ábrázolandó tárgy rajza legyen szemléletes és olyan világos információkat nyújtson, amelyek lehet vé teszik az eredeti tárgy egyértelm rekonstrukcióját. Az els látásra értelmezhet, egynézet képek a szemléletességre (perspektíva, axonometria), a többnézet, két- 2
vagy többképsíkos rendszerek a rekonstrukció pontosságára törekednek (Mongerendszer, ortograkus projekció). A többnézet rajzok, bármilyen logikusan és következetesen felépített ábrázolási rendszerben legyenek is el állítva, mindig nehezen értelmezhet k els látásra. Az imént körülírt rajzolvasási igény kett sségéb l fakadóan a XIX. század els felében egy angol matematikus-tanár dolgozta ki az általa izometrikus-nak elnevezett perspektíva elveit, amely egyben az axonometria mint önálló ábrázolási rendszer történetének a kezd pontját is jelenti. William Farish 1822-ben megjelent On Isometrical Perspective cím m vében a képiesség igényének eleget téve rendszerét egy szintén a képiesség követelményét maradéktalanul kielégít hagyomány, a centrális perspektíva elméleti továbbgondolásával alakította ki. Az axonometrikus kép szemléletesség szempontjából felveheti a versenyt a centrális vetítéssel szerkesztett képpel, s t a m szaki rajzolás területén a re-konstruálhatóság követelményének megfelelve értékesebb leképezésnek min sül, mint az utóbbi. Ám a XIX. század er sen perspektíva alapú szemlélete miatt a század végéig nem válhatott sem az építészeti rajzok, sem a m alkotások alapvet képalkotási eszközévé. A XIX. századi m szaki rajzolásban el szeretettel alkalmazták az axonometriát gépek, szerkezetek bemutatására, és az építészeti rajz sem haladt túl a szerkezeti elemek ilyenfajta megjelenítésén, az ábrázolást nem terjesztette ki az épületek látképeinek el állítására. Az axonometria az építészeti rajzok egységes ábrázolási eszközeként els ként August Choisy 1870-es, 1880-as években kiadott építészettörténeti összefoglalóiban jelent meg jellegzetes szerkezeti elemek, csomópontok illusztrálására. Alapfogalmak: A geometria a térbeli alakzatok tulajdonságaival foglalkozik. térelemek: pont (A, B, C,... ), egyenes (a, b, c,... ), sík (α, β, γ,... ) 1. Két ponton keresztül egyetlen egyenes húzható. 2. Három nem kollineáris pontra egyetlen sík fektethet. 3. Ha egy egyenes két pontja illeszkedik egy síkra, akkor az egyenes minden pontja illeszkedik a síkra. 4. Egy ponton keresztül egy egyenessel egy és csak egy párhuzamos húzható. Térelemek kölcsönös helyzete: 1. pont-pont (a) különböz k (b) egybees k 3
2. pont-egyenes (a) illeszked (b) nem illeszked 3. egyenes-egyenes (a) egybees k (b) metsz k (közös síkjuk van) (c) párhuzamosak (közös síkjuk van) (d) kitér k 4. pont-sík (a) illeszked (b) nem illeszked 5. egyenes sík (a) illeszked (b) metsz (metszéspont) (c) párhuzamos 6. sík-sík (a) illeszked k (b) metsz k (metszésvonal-ha van közös pont, akkor van közös egyenes) (c) párhuzamosak Axonometrikus ábrázolás: A térbeli alakzatok képének az axonometrikus tengelykereszt segítségével való meghatározását axonometriának nevezik. Három egymásra mer leges képsík egy térbeli derékszög koordinátarendszert határos meg. A három síkot koordinátasíknak, a metszésvonalaikat koordinátatengelyeknek (x, y, z) nevezzük. A koordinátatengelyek közös pontja a koordinátarendszer kezd pontja (O). Az egységpontok E x, E y, E z. Ahoz, hogy egy pont képét a koordinátatengelyekhez képest jellemezzük a ponton keresztül a koordinátasíkokkal párhuzamos síkokat fektetünk. A P pont három képe P, P, P, tengelyképei P x, P y, P z. A pont koordinátáit OP x, OP y, OP z adja. Ha felveszünk egy új képsíkot (Ā)- axonometrikus képsík- mely egyik tengellyel sem párhuzamos, megkeressük a tengelyek vetületét ( x, ȳ, z), meghatározzuk az egységpontok vetületeit (Ēx, Ēy, Ēz). Az Ō, Ēx, Ēy, Ēz kongurációt axonometrikus tengelykeresztnek nevezzük. 4
Theorem 1 A tér axonometrikus leképezését egy Ā síkra meghatározhatjuk a térbeli tengelykereszt Ō kezd pontjának és Ēx, Ēy, Ēz egységpontjainak megadásával. (E négy pontot tetsz legesen vehetjük fel, az egyetlen megkötés, hogy a négy pont különbözzön egymástól.) Négy tetsz legesen felvett pont a tér axonometrikus leképezését egy síkra egyértelm en meghatározza. Pont képeinek megrajzolása: az axonometrikus képet a tengelypontokból, a koordináta hasáb kiegészítésével nyerjük. A koordináta hasáb élei párhuzamosak a megfelel tengelyekkel. Theorem 2 (Az axonometria alaptétele) Egy alakzat axonometrikus képe mindíg tekinthet az alakzat parallel projekciója an megfelel jének. Theorem 3 Egy alakzat axonometrikus képe az alakzat normál projekciójának an megfelel jének tekinthet. Theorem 4 (Pohlke tétel) Egy alakzat minden axonometrikus képe hasonló az alakzat párhuzamos projekciójához. Theorem 5 Egy sík három egy O pontból kiinduló, tetsz leges irányú és hosszúságú O E x, O E y, O E z szakasza mindíg tekinthet három egymásra mer leges és egyenl távilságokból álló O(E x, E y, E z ) tengelykereszt parallel projekciójának feltéve, hogy az O, E X, E y, E z pontok közül legfeljebb csak három esik egy egyenesbe. Az axonometrikus tengelykereszt tetsz legesen felvehet. alábbi kongurációk használatosak. A gyakorlatban az isometrikus axonometria A tengelykereszt tetsz leges és O E x = O E y = O E z = 1. katona perspektíva x, y egymásra mer legesek és O E x = O E y = 1. Az alaprajz valódi nagyságban látszik. Kavalier-perspektíva y, z egymásra mer legesek és O E y = O E z = 1. Kavalier-perspektíva A képsíkot azonosítjuk az yz koordináta síkkal. Az y és z tengelyek képein a távolságok eredeti nagyságban látszanak. Az x tengelyen megadjuka rövidülést: q x = OĒx OE x. A rövidülésb l meghatározható a vetít sugár iránya. 5
Theorem 6 A térbeli alakzat kavalier-perspektívája az alakzat ferde parallel projekciójának tekinthet. Ahoz, hogy az alakzatok egyértelm en visszaállíthatók legyenek, a tárgyaknak a koordináta síkokon lev ortogonális vetületének a parallel projekcióját is el állítjuk a képsíkon (els, második és harmadik képek). Pont ábrázolása: Az axonometrikus ábrázolásban a pont két-két rendez je egymást a megfelel tengelyben metszi. Az axonometrikus kép bármely másik képpel együtt valamelyik tengellyel párhuzamos egyenesre illeszkedik. Pont két képe tetsz legesen felvehet. Adott koordinátájú pont ábrázolása, pont térbeli visszaállítása. Egyenes ábrázolása: 1. Két ponja segítségével. 2. Nyompontok segítégével. Egyenes két képe tetsz legesen felvehet. 6
Ábrázoló Geometria Feladatsor Axonometria 1. Adott egy ABC háromszög, továbbá egy sík nyomvonalaival. Szerkesszük meg a sík és a háromszög áthatását (metszésvonal)! 2. Adott egy ABC háromszög axionometrikus és els képével, továbbá egy a egyenes els és harmadik képeivel. SZerkesszük meg a háromszög és az egyenes döféspontját! 3. Adott két egyenes a, b, melyek metsz helyzet ek. Vegyünk fel olyan síkot, amely a két egyenes által meghatározott síkkal párhuzamos! 4. Adott két sík α, β nyomvonalaival. Vegyünk fel az α síkban egy a, a β síkban egy b egyenest úgy, hogy a és b a két sík metszésvonalán messék egymást! 7