Dr. Czeglédy István fôiskolai tanár Dr. Czeglédy Istvánné vezetôtanár Dr. Hajdu Sándor fôiskolai docens Novák Lászlóné tanár Dr. Sümegi Lászlóné szaktanácsadó Zankó Istvánné tanár Matematika 7. PROGRAM általános iskola 7. osztály nyolcosztályos gimnázium 3. osztály hatosztályos gimnázium 1. osztály Átdolgozott kiadás MÛSZAKI KÖNYVKIADÓ, BUDAPEST
Alkotó szerkesztô: DR. HAJDU SÁNDOR fôiskolai docens Az 1. kiadást bírálta: ELÔD ISTVÁNNÉ ny. felelôs szerkesztô DR. MAROSVÁRI MIKLÓSNÉ vezetôtanár Dr. Czeglédy István, Dr. Czeglédy Istvánné, Dr. Hajdu Sándor, Novák Lászlóné, Dr. Sümegi Lászlóné, Zankó Istvánné, 1994, 2002 Mûszaki Könyvkiadó, 2002 ISBN 963 16 2918 X Azonosító szám: CAE 041U Kiadja a Mûszaki Könyvkiadó Felelôs kiadó: Bérczi Sándor ügyvezetô igazgató Felelôs szerkesztô: Bosznai Gábor Mûszaki vezetô: Abonyi Ferenc Borítóterv: Bogdán Hajnal Mûszaki szerkesztô: Ihász Viktória Tördelôszerkesztés és számítógépes grafika: Köves Gabriella Terjedelem: 8,94 (A/5) ív 3. kiadás Nyomta és kötötte az Oláh Nyomdaipari Kft. Felelôs vezetô: Oláh Miklós
Tartalom ltal nos m dszertani javaslatok.... 5 Alaptanterv { Kerettanterv { program { helyi tanterv.... 5 A taneszk z kr l... 6 raterv... 8 A k pess g szerinti csoportbont sr l..... 9 Atananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l... 11 Halmazok, logika, kombinatorika... 11 Sz mtan, algebra... 13 Rel ci k, f ggv nyek, sorozatok.... 16 Geometria, m r sek... 18 Val sz n s g, statisztika... 21 Atananyag feldolgoz sa.... 22 1. Gondolkozz s sz molj!... 22 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 24 Kapcsol d si lehet s gek... 25 Tanmenetjavaslat... 26 Atananyag-feldolgoz s ttekint se... 29 2. S kidomok, testek... 36 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 36 Kapcsol d si lehet s gek... 37 Tanmenetjavaslat... 39 Atananyag-feldolgoz s ttekint se... 41 3. Hozz rendel s, f ggv ny... 51 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 54 Kapcsol d si lehet s gek... 55 Tanmenetjavaslat... 56 Atananyag-feldolgoz s ttekint se... 58 4. Geometriai transzform ci k........ 62 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 63 Kapcsol d si lehet s gek... 64 Tanmenetjavaslat... 65 Atananyag-feldolgoz s ttekint se... 66 5. Algebrai kifejez sek... 72 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 74 Kapcsol d si lehet s gek... 75 Tanmenetjavaslat... 76 Atananyag-feldolgoz s ttekint se... 79 6. A h romsz gekr l s a n gysz gekr l tanultak rendszerez se.... 84 Atananyag-feldolgoz s csom pontjai..... 85 Kapcsol d si lehet s gek... 86 Tanmenetjavaslat... 87 Atananyag-feldolgoz s ttekint se... 89 7. sszefoglal feladatok.... 97 Atananyag-feldolgoz s ttekint se... 98 3
LTAL NOS M DSZERTANI JAVASLATOK Alaptanterv { Kerettanterv { program { helyi tanterv Oktat si t rv ny nk a m dszertani szabads g mellett biztos tja a tanszabads got is. A t rv ny alapj n a tananyag kialak t sa, a k vetelm nyek megfogalmaz sa, az oszt ly sz nvonal nak megfelel t rgyal sm d kidolgoz sa a tan rnak nemcsak joga, hanem k teless ge is. A tananyagot saj t rt krend nk alapj n, a helyi tanterv aj nl sait gyelembe v ve gy kell megv lasztanunk, hogy megfeleljen az oszt ly pillanatnyi tud sszintj nek, s optim lisan seg tse el minden egyes tanul fejl d s t. A t rv ny szerint az iskola helyi tanterv t a Nemzeti alaptantervet (a tov bbiakban NAT), illetve a Kerettantervet gyelembe v ve kellett kidolgoznunk. A NAT 1995-ben jelent meg, s a 7. oszt lyban az 1998/99-es tan vben ker lt bevezet sre. A Kerettanterv, amelynek a NAT-ra kellett p lnie, a tanszabads g elve alapj n nem tekinthet k telez dokumentumnak, de az iskol k t bbs ge a Kerettantervet k vetve dolgozta ki a helyi tanterv t. Ezt a t nyt a tank nyvcsal d tdolgoz sakor gyelembe kellett venn nk. ANAT sakerettanterv jelenlegi v ltozata t bb bels ellentmond st tartalmaz, sem pedag giailag, sem tartalmilag nem alkot egys ges, h zagmentes rendszert. Els sorban a minimumk vetelm nyek kidolgoz sa elnagyolt. A matematik ban el rt k vetelm nyek s a matematikai alapoz st is ig nyl t rstant rgyak k vetelm nyrendszere t bb helyen nem illeszkedik egym shoz. Ez rt sem a NAT, sem a Kerettanterv nem tekinthet alaptantervnek", csup n tantervi alapnak". Ez azonban nem jelenthet gondot, hiszen ezek a dokumentumok csup n azt a k z s magot (deklar ltan a tananyag mintegy 70{80%- t) tartalmazz k, amelyet mindenki sz m ra tan tanunk kell. Ez rt a helyi tanterv (esetleg a tank nyvszerz ), de els sorban a szaktan r feladata, hogy kik sz b lje a NAT-ban, illetve a Kerettantervben tal lhat hi nyoss gokat, s tartalmilag, pedag giailag egys ges rendszert dolgozzon ki. V geredm nyben az oszt ly k pess g nek gyelembev tel vel, a helyi tanterv alapj n a szaktan r d nti el, hogy melyik tanul csoportnak hogyan p ti fel a tananyagot. Ez rt tank nyv nk s az ebben a k nyvben le rt k vetelm nyrendszer nk (mint b rmely m s tan t si program) csak javaslatnak tekinthet. Atananyag v gs ssze ll t sakor gondoljuk v gig a k vetkez ket: T bb ismeret felsz nes megtanul sa semmik ppen sem jelenti azt, hogy a gyermek matematikatud sa rt kesebb lesz. Ink bb kevesebbet tan tsunk, mint amennyit a tank nyv tartalmaz, de azt alaposan, alkalmaz sra k pesen. 5
Helyezz nk nagyobb hangs lyt a tanultak mindennapi gyakorlati alkalmaz s ra. Alaposan foglalkozzunk a sz zal ksz m t ssal, kamatsz m t ssal, a statisztikai sz m t sokkal s vizsg latokkal, a m r sekkel, a zik ban s a k mi ban tanult fogalmakkal kapcsolatos anyagr szekkel (vektor, sebess g, id { t diagram, s r s g, kever si feladatok). Ne a den ci k, t telek nc l sz monk r s re helyezz k a hangs lyt. Fontosabb, hogy tanul ink k pesek legyenek rtelmezni a fogalmakat, k vetni a t rsak, a tan r s a tank nyv gondolatmenet t. L ss k meg a fogalmak k zti sszef gg seket. Fejl dj n a probl mamegl t s -megold k pess g k. Gondolkod suk soksz n v s rugalmass v ljon. Legyenek ig nyesek a feladatok megold s nak teljes s pontos kidolgoz s ban. Ugyanakkor a k z piskol ba k sz l tanul inknak fokozatosan fel kell k sz lni k a k z piskol ban elv rt dedukt v t ls ly ismeretszerz si folyamatra is.tudniuk kell, hogy mit jelent egy fogalmat deni lni, meg kell rteni k a den ci k matematikai tartalm t, l tniuk kell a tapasztalatszerz sen alapul sejt s, illetve a bizony tott t tel k zti k l nbs get. A taneszk z kr l Matematika 1{8. Mintatanterv ANAT, illetve a Kerettanterv k vetelm nyrendszer t alapul v ve kidolgoztunk egy tantervi mint t, amely 1. oszt lyt l 8. oszt lyig egys ges koncepci szerint p ti fel a matematika-tananyagot. A k vetelm nyrendszer fel p t s ben gyelembe vett k matematikatan t sunk hagyom nyait, a k l nb z k r lm nyek k z tt dolgoz iskol k ig nyeit, a kor bbi orsz gos felm r sek eredm nyeit, a t rstant rgyak matematik val kapcsolatos k vetelm nyeit, valamint t bb eur pai orsz g tanterv t s vizsgak vetelm nyeit. Ezt a mintatantervet a M szaki K nyvkiad k nyv form j ban, illetve lemezen egyar nt t r t smentesen biztos tja az iskol k sz m ra. A mintatanterv alapj n a 7. oszt ly sz m ra a k vetkez taneszk z ket dolgoztuk ki: Matematika 7. A (alapszint) tank nyv Tartalmazza azt a tananyagot, amelyet mindenkinek tan tanunk kell, s amely a matematika, illetve a t rstant rgyak tov bbi tanul s hoz elengedhetetlen. L tnunk kell, hogy az alapszint" a heti 3 matematika r ra reduk lt ratervhez igazodik, amely nem biztos tja azokat az alapokat, s nem fejleszti ki azokat a k pess geket, amelyeket majd a k z piskola elv r tanul inkt l. 6
Matematika 7. B (b v tett v ltozat) tank nyv Az alapszinten t rgyalt tananyag mellett olyan kieg sz t anyagr szeket, feladatsorokat tartalmaz, amelyek els sorban sz nvonalukban s nem a tananyag mennyis g ben haladj k meg az alapszintet. Ezeknek az anyagr szeknek a feldolgoz sa felk sz theti a tanul kat a k z piskolai matematikatanul sra (biztosabb eszk ztud s, rendszerezettebb ismeretrendszer, egzaktabb fogalomalkot s, a bizony t si ig ny fejleszt se, a probl mamegl t s -megold k pess g magasabb szintje stb.). A tank nyvben nyomdatechnikai m dszerrel (sz rke s v, m s feladatsz moz s) v lasztjuk el a kieg sz t " anyagr szeket a t rzsanyagt l". A tank nyv b v tett v ltozat nak n ll, folyamatos oldalsz moz sa van, de megadtuk az alapszint tank nyv megfelel oldalsz mait is. Ez rt a k t v ltozat, p ld ul k pess g szerinti csoportbont s eset n ak r egy oszt lyban is haszn lhat. Matematika 7. Gyakorl A biztos eszk ztud s kialak t s hoz tartalmaz feladatsorokat, seg ti a kor bban tanultak feleleven t s t, a hi nyoss gok p tl s t, az j fogalmak, sszef gg sek felfedeztet s t, atanultak begyakorl s t. Elegend feladatanyagot tartalmaz a dierenci l sra, a folyamatos ism tl s megszervez s re is. Matematika 7{8. Feladatgy jtem ny Ezzel a feladatgy jtem nnyel a tehets ggondoz st s az emelt szint k pz st k v nt k seg teni a szerz k. Matematika 7. tank nyv feladatainak megold sa Atanul k nellen rz s t seg t kiadv ny. T maz r felm r feladatsorok, matematika 7. oszt ly A Mintatantervben, illetve a Programban megfogalmazott k vetelm nyek konkretiz l sa. A felm r feladatsorok els dleges c lja, hogy seg tse a szakmai munkak z ss gek munk j t a viszonylag egys ges k vetelm nyrendszer kidolgoz s ban. A tanul i p ld nyok A s B v ltozatban tartalmazz k a feladatsorokat. A szerz k mindk t v ltozatban k l n feladatokat dolgoztak ki az alapszint s az emelt szint sz m ra. A tan ri p ld nyokban a feladatsorok mellett megtal lhat k a jav t si tmutat k s az rt kel si norm k is. Olcs bb kivitelben, n gy f zetben k sz l az alapszint C s D, illetve az emelt szint E s F v ltozat, s k l n f zetben ezek jav t si tmutat ja. Ezeket a v ltozatokat csak az iskol k rendelhetik meg, a kereskedelmi forgalomban a tanul k nem v s rolhatj k meg. 7
A C, D, E s F v ltozatokban a t maz r feladatsorok mellett gynevezett t j koz d felm r feladatsorokat is kidolgoztunk. Ezekkel (els sorban diagnosztikus c llal) a tov bbhalad shoz n lk l zhetetlen eszk ztud st m rhetj k fel. raterv A matematika heti rasz m t az iskol k a helyi tanterv kben r gz tik. Az egyes tant rgyakra jut rasz mot az oktat si t rv ny sanat nem rja el k telez jelleggel. AKerettanterv minim lis rasz mk nt heti 3, vi 111 matematika r t rt el. Az iskol k t bbs g ben ezt a 3 r t legal bb 1 r val kieg sz tik vagy a k telez en tervezhet rakeretb l", amelyet az rarend is tartalmaz, vagy a kieg sz t rakeretb l". A biztos matematikai ismeretek s k pess gek kulcsfontoss g szerepet j tszanak a tanul k tov bbi tanulm nyi sikereiben. Ez rt a viszonylag b kieg sz t rakeretb l legal bb heti 1 ra j r" a matematikatanul ssal kapcsolatos speci lis feladatok megold s ra, a tehets ggondoz sra, a versenyre val felk sz t sre, a felz rk ztat sra, a kieg sz t anyagr szek megtan t s ra stb. Ennek a koroszt lynak az elm lt 100 vben Magyarorsz gon s Eur pa fejlett orsz gaiban ltal ban heti 4, esetleg 5 matematika r t biztos tottak s biztos tanak a tantervek. A matematikai alapoz st ig nyl t rstant rgyak m r a fels tagozaton, k s bb a k z piskol k matematika-, zika-, k miaoktat sa felt telezik azt a biztos alapoz st, amely csak heti 4 r ban val s that meg. A fentiek miatt a tananyag megtervez se, a tank nyv b v tett v ltozat nak ssze ll t sa, a k vetelm nyrendszer megfogalmaz sa sor n 185 napos tan t si vet s 148 matematika r t vett nk gyelembe. Ugyanennyivel sz molt a NAT matematika fejezet t kidolgoz szakmai bizotts g is. (A Kerettanterv k telez en minimum heti 3 r t rt el, ugyanakkor n velte a kor bbi tananyagot.) Amennyiben a helyi tanterv nk nem biztos t kieg sz t r t a matematikaoktat s sz m ra, akkor nem tan thatunk annyit s olyan sz nvonalon, mint azok az iskol k, amelyeknek 33%-kal magasabb az rakeret k, mint a mi nk. Feldolgoz si javaslat az A, illetve B v ltozat tank nyvh z. A (3 ra/h t) B (3 + 1 ra/h t) 1. Gondolkozz s sz molj! 22 ra 28 ra 2. S kidomok, testek 18 ra 24 ra 3. Hozz rendel s, f ggv ny 13 ra 16 ra 4. Geometriai transzform ci k 8 ra 12 ra 5. Algebrai kifejez sek 20 ra 26 ra 6. H romsz gek, n gysz gek 11 ra 14 ra 7. sszefoglal feladatok 6 ra 10 ra Felm r sek rat sa s jav t sa 10 ra 14 ra Tartal k 3 ra 4 ra sszesen 111 ra 148 ra 8
A heti 3 r ra reduk lt programban cs kkenten nk kell a tan t si anyag mennyis g t, a feldolgoz s m lys g t s a k vetelm nyeket. Ebben az esetben az tlagos k pess g vagy az ann l gyeng bb tanul ink k s bb nem fogj k meg llni hely ket nemcsak a k z piskol kban, hanem a matematikai alapoz st ig nyl szakm k tanul sakor sem. M g a tehets gesebb tanul ink is rem nytelen helyzetbe ker lhetnek a k z piskol ban, ha id hi ny miatt hi nyos, nem kell en begyakorolt ismeretekkel bocs tjuk el ket. Id hi ny eset n p ld ul az v v gi ism tl s raig nye gy cs kkenthet, hogy a sz mtan, algebra t mak rh z tartoz ismeretek jelent s r sz t az 5. fejezet, a geometri hoz kapcsol d kat a 6. fejezet sszefoglal sa sor n tekintj k t. A k pess g szerinti csoportbont sr l Felm r seink azt mutatj k, hogy 7. oszt lyt l kezdve olyan nagy k l nbs gek vannak egy-egy oszt lyon bel l is a tanul k k pess geiben s tud s ban, hogy a tehets ges, illetve a lassabban tanul ( s rdektelen) gyerekeknek nem lehet eredm nyesen ugyanazt a tananyagot, ugyanolyan m lys gben s intenzit ssal, ugyanazokkal a m dszerekkel tan tani. P ld ul nemcsak rem nytelen, hanem felesleges is a nem k z piskol ba k sz l tanul knak bonyolult geometriai szerkeszt si s bizony t si probl m kkal foglalkozniuk, hiszen nem tudnak bekapcsol dni az rdemi munk ba, s k s bb a szakiskolai k pz sben ( s a szakm ban) sem tal lkoznak ilyen k vetelm nnyel. Sz mukra sokkal hasznosabb a biztos eszk ztud s megszerz se. Ugyanakkor ha a tehets ges tanul kkal nem l p nk t l az eszk ztud s gyakorl s n, akkor elidegenedhetnek a matematik t l, s a k z piskol ban (de m r a felv teli vizsg n is) nehezen llhatj k meg a hely ket a fokozott k vetelm nyekkel szembes lve. Ezt a polariz lts got egy tan r n bel li dierenci l ssal m r csak nehezen oldhatjuk meg. Ez rt azt javasoljuk, hogy 7. oszt lyt l kezdve (a sz l kkel is megbesz lve, a fenntart val j v hagyatva) legal bb az anyanyelv, idegen nyelv s matematika eset n alak tsunk ki viszonylag homog n k pess g s amb ci j tanul csoportokat. Ha az iskol ban vfolyamonk nt legal bb k t p rhuzamos oszt ly van, akkor ennek a csoportbont snak nincs sem anyagi, sem szervez si akad lya. A k t csoportnak egyszerre tartjuk a matematika r t, s a tanul k nem az oszt lyukkal, hanem a n v csoportjukban vesznek r szt az r n. Az emelt szint minden negyedik r j t a kieg sz t anyagr szek tan t s ra, tehets ggondoz sra (T) fenntartott kieg sz t rakeret" terh re rhatjuk. Ugyancsak ebb l az rakeretb l felz rk ztat sk nt (F) elsz molhat az alapszint minden negyedik r ja is.... E E E T E E E T E E E T E...... A A A F A A A F A A A F A... 9
A csoportbont s csak akkor biztos tja a tanul k es lyegyenl s g t, ha tj rhat. Ez gy val s that meg legegyszer bben, ha az alapszint s az emelt szint tananyagot egym ssal p rhuzamosan tan tjuk, s egy-egy t ma lez r sakor egyes tanul k csoportot cser lhetnek az egy ni ig nyek vagy a t maz r dolgozatok eredm nye alapj n. Akkor is megoldhat a csoportbont s, ha a k t csoportban ugyanaz a koll ga tartja az r t, p ld ul gy, hogy az emelt szint matematika r t az alapszint anyanyelvi r val p ros tjuk, s viszont. Ha az alapszint s az emelt szint tananyagot egym st l f ggetlen l p tj k fel, s esetleg csak az emelt szint csoportnak tudjuk biztos tani a heti 4 r t, akkor az tj rhat s g csak kiv teles esetekben, legt bbsz r csak lefel " oldhat meg. Az eredetileg is nehezebben halad, heti 3 r ban reduk lt tananyagot tanul di kjaink n h ny h t alatt rem nytelen l leszakadnak a heti 4 r ban, emelt szinten tanul t rsaikt l.... E E E T E E E T E E E T E...... R R R R R R R R R R... Nagyobb iskol ban ind thatunk gimn ziumi", ltal nos" s alapoz " tagozatot is. A k pess g szerinti csoportbont st azokban az iskol kban neh z megoldanunk, amelyekben egy-egy vfolyamon egy kis l tsz m oszt ly van. Itt legal bb az r k egy r sz ben, minimum heti egy r ban bontsuk az oszt lyt. (Ennek a bont snak az raig nye elsz molhat " a korrepet l sra s a di kk rre biztos tott kieg sz t rakeretb l.) Ilyen szervez sben a t rzsanyagot a teljes oszt llyal tartott r kon lehet feldolgozni, m g a kieg sz t r kon az alapszinten tanul kkal a minimumk vetelm nyhez kapcsol d anyagot gyakoroltatjuk, a hi nyoss gokat p toljuk, az emelt szinten viszont kieg sz tj k, elm ly tj k a tanultakat. T T T... A A A A A A A A A A... F F Vizsg lataink azt mutatj k, hogy ha pedag giailag kell en el k sz tj k, akkor a tanul k t bbs ge j l rzi mag t az ilyen homog n csoportban, s minden szinten l nyegesen eredm nyesebb v lik a munka. Mi lehet a k l nbs g az alapszint s az emelt szint tananyaga s k vetelm nyrendszere k z tt? Emelt szinten a tananyag tartalm ban minim lisan l pj k t l az alapszintet. Els sorban m lyebben s magasabb alkalmaz si szinten v rjuk el a teljes t st. Ugyanazt t bb oldalr l j rjuk k r l, t bb szempontb l vizsg ljuk meg (p ld ul a trap z ter let nek kisz m t s t). Alapszinten sokszor megel gsz nk azzal, hogy a tanul { a szeml letre t maszkodva { min l teljesebben sorolja fel a fogalom tartalmi jegyeit (p ld ul a paralelogramma tulajdons gait), min l t bb sszef gg st fedez fel". 10 F
Az emelt szinten tanul knak fokozatosan el kell jutniuk oda, hogy meg rts k, mi a den ci s mi a t tel. Legyenek k pesek kiv lasztani a fogalom deni l tulajdons gait, majd ennek alapj n megfogalmazni a den ci t. Tudj k megk l nb ztetni a sz ks ges s el gs ges felt teleket. Ismerj k fel a k l nbs get a sejt s s a bizony t s k z tt. Jussanak el a t telek bizony t s hoz. Alapszinten elegend lehet a begyakorolt ismeretek k zvetlen alkalmaz sa t pusfeladatokban. Emelt szinten olyan feladatokkal is foglalkozhatunk, amelyekre alapszinten m r nem f lt tlen l ker l sor (p ld ul algebrai t rtek rtelmez si tartom ny nak vizsg lata, geometriai bizony t sok). Ezen a szinten a tanul knak az jszer, sszetettebb feladatokban is meg kell tal lniuk a megold s kulcs t. Ha az iskola nem biztos tja a heti 4 matematika r t (3 k telez ra, 1 kieg sz t ra), akkor az alapszint tananyag szelekci j val kialak tunk egy az alapszintn l alacsonyabb reduk lt szintet. A reduk lt szinten nemcsak kevesebbet tan tunk, mint az alapszinten, hanem a tanultak begyakorl s ra iskevesebb id t sz nunk. A tank nyv k t v ltozat t gy szerkesztett k meg, s a programot (l sd k s bb) gy ll tottuk ssze, hogy egy oszt lyon bel l is, egym ssal sszhangban s egym ssal p rhuzamosan megszervezhet legyen az alapszint (esetleg reduk lt) s az emelt szint k pz s. A fentiek miatt a tank nyv nagyon sz les s vban" t rgyalja a tananyagot. Ami azt jelenti, hogy egy-egy oszt lyban a tananyag, a mintap ld k s a feladatok mintegy 60{80%-a dolgozhat fel. Hogy melyik 60{80%-a, az a csoport teherb r s t l, a helyi tanterv aj nl sait l s a szaktan r saj t rt krendj t l f gg. Az gy megszervezett emelt szint k pz shez k v nnak seg ts get ny jtani a tank nyv b v tett v ltozat nak kieg sz t fejezetei s a Matematika 7{8. Feladatgy jtem ny, m g az alapszint k pz st a Matematika 7. Gyakorl feladatsorai t mogatj k. A tananyag s a k vetelm nyek rtelmez s r l Ebben a r szben a NAT, illetve a Kerettanterv fejezeteit k vetve tekintj k t a tananyagot s a k vetelm nyeket. A tananyag feldolgoz sa c m fejezetben sz ks g eset n konkr tabban is megfogalmazzuk, hogy az adott anyagr sz t rgyal sa sor n mit kell el rn nk. Halmazok, logika, kombinatorika Atank nyvben, tanmenetjavaslatban a halmaz, logika t mak r nem alkot n ll fejezetet, a Feladatgy jtem nyben azonban igen. Ennek oka, hogy a Feladatgy jtem ny els dleges c lja a jobb k pess g tanul k felk sz t se a k z piskol ra. Ezen az vfolyamon is igaz az, hogy nem halmazelm letet tan tunk, hanem halmazszeml letet fejleszt nk. Tanul ink ismerj k az alaphalmaz", igazs ghalmaz" fogal- 11
m t. Legyenek k pesek halmazokat tulajdons ggal megadni, ll t shoz igazs ghalmazt keresni (adott alaphalmazok eset n). Legyenek k pesek vizsg lni adott (ismert) halmazok egym shoz val viszony t. Tudj k k pezni a halmaz kieg sz t halmaz t (komplementer t) adott alaphalmaz eset n, alkalmazz k helyesen a halmaz komplementere s az ll t s tagad sa k zti kapcsolatot. Adott szempontok szerint tudj k k pezni a v ges vagy j l ismert v gtelen halmazok r szhalmazait (kapcsolat a kombinatorik val is). Legyenek k pesek k t vagy h rom halmaz k z s r sz t s egyes tettj t k pezni. Ismerj k a metszet, a logikai s", valamint az uni s a logikai vagy" kapcsolat t. Tudj k ezt alkot m don alkalmazni az j fogalmak, sszef gg sek vizsg lat ban. Javasoljuk, hogy 7., 8. oszt lyban a k z piskol ba k sz l tanul k ismerkedjenek a halmazokkal, halmazm veletekkel kapcsolatos fogalmakkal, jel l sekkel. gy ez a k z piskol ban nem lesz t ls gosan j, t ls gosan idegen. Ugyanakkor azt is javasoljuk, hogy ezeknek a den ci knak s jel l seknek a megtanul s t 7. oszt lyban csak emelt szint k pz s keret ben k vetelj k meg. A matematikai logik nak is csak n h ny elem t t rgyaljuk. Aszeml letfejleszt s m s t mak r k konkr t feladatainak megold s val t rt nik. Atanul k az jonnan tanult ismeretekkel kapcsolatosan is fogalmazzanak meg igaz s hamis ll t sokat, legyenek k pesek ll t sok igazs g t eld nteni. rts k meg, s az j anyagr szek elsaj t t s ban alkot m don alkalmazz k az s", vagy" kifejez seket. Tudj k a ha, akkor ", pontosan akkor, ha " t pus ll t sok igazs g t eld nteni. Haszn lj k (helyesen) ezeket a kifejez seket. Az jonnan tanult ismeretekkel kapcsolatban is rts k meg, s ismert (konkr t) halmazok eset n helyesen haszn lj k a minden", van olyan" kifejez seket. Tudj k ezeket tagadni. Tudjanak minden " s van olyan " t pus ll t sokat tfogalmazni, igazolni vagy c folni. Az els dleges c l ilyenkor az ppen t rgyalt ismeret, sszef gg s meg rt se, az eddigi ismeretekbe val be p t se, a t bbi t mak rrel val sszesz v se. A logik val kapcsolatos feladatok sz haszn lata, a mondatok szerkezete sokszor elt r a mindennapi nyelvt l. P ld ul ha azt az ll t st (kijelent mondatot), hogy Lacinak van k t n v re" egy t rsas gban halljuk, akkor ezt nem rezz k pontatlan k zl snek. gy rtj k, hogy Lacinak nem egy, nem h rom, hanem pontosan k t n v re van. A matematik ban ezt a pontosant" ltal ban meg is kell fogalmaznunk. P ld ul: A pr msz mot az jellemzi, hogy pontosan k t oszt ja van a term szetes sz mok k r ben. Az sszetett sz mokra is igaz, hogy van k t oszt juk, csakhogy ann l t bb is. Legink bb az s" s a vagy" k t sz k t bbf le jelent s re kell gyeln nk. Matematika r n is haszn lhatjuk k l nb z jelent ssel ezeket a k t sz kat. P ld ul: A 10-n l kisebb term szetes sz mok k z tt t kett vel oszthat s n gy h rommal oszthat sz m van. A 10-n l kisebb term szetes sz mok k z tt k t olyan sz m van (0 s 6), amely kett vel s h rommal oszthat. M g az els mondatban az s" n vel hat s, addig a m sodik mondatban logikai s" tulajdons gokat kapcsol ssze, ilyenkor cs kkent hat s. A Feladatgy jtem ny 1.2. fejezet ben vannak olyan logikai feladatok (1.2.01., 1.2.12{ 16.), amelyek nem illenek" egyik t mak r t rgyal s ba sem. Ezekkel b rmikor sz nezhet ", rdekess tehet a tan t si ra. Feladhatjuk ezeket szorgalmi h zi feladatnak, 12
ki rhatunk pontversenyt. Az rdekl d, kreat v gyermekek sz vesen foglalkoznak az ilyen jelleg probl m kkal. Konkr t p ld kon vizsg lhatjuk, hogy az ll t s s a megford tottja k z l melyik igaz, melyik hamis (Tk. B6.25. (b v tett v ltozat, N gysz gek vizsg lata) Fgy. 1.2.11.). Ezekkel a feladatokkal csak az ismerked s ig ny vel foglalkozzunk. 7. oszt lyban legfeljebb az emelt szinten javasoljuk, hogy ezen a t ren k vetelm nyeket rjunk el. A sz mtan, algebra s a geometria t mak r k igen sok lehet s get ny jtanak a kombinatorikus szeml let fejleszt s re s a megfogalmazott k vetelm nyek el r s re. Az erre alkalmas feladatok megold sakor sor ker l az sszes eset megkeres s re valamilyen rend szerint. A rendez si s ma lehet fadiagram vagy t bl zat. A t bl zat sz mp rjai k zti sszef gg s meg llap t sa nem k vetelm ny. Ugyanakkor a tehets gesebb, illetve a k z piskol ba k sz l tanul inkt l elv rhat, hogy k pesek legyenek a kombinatorikai m dszereket alkot m don alkalmazni a matematika k l nb z t mak reiben (sz melm let, soksz gek vizsg lata stb.). Az elnevez sek s k pletek megtan t s t legfeljebb csak az emelt szint oktat sban r szt vev k sz m ra aj nljuk. A Feladatgy jtem nyben tal lhat feladatok (Fgy. 5.1.01{ 5.1.41.) is megoldhat k logikai ton, az elnevez sek s k pletek ismerete n lk l, b r ezek a feladatok elvezethetnek az ltal nos sszef gg sek felismer s hez. Ha heti 3 r ban reduk lt program szerint tan tunk, akkor is adjunk fel feladatokat ezekb l a t mak r kb l, m g akkor is, ha minimumk vetelm ny nincsen bel le. Sz mtan, algebra 7. oszt lyban e t mak rben z mmel az el z vekben tanultakat fejlesztj k tov bb s szil rd tjuk meg. Ez rt a tan t s m dj t, atov bbl p s (norm lalak, algebrai kifejez s, azonoss gok) m rt k t s m lys g t er sen befoly solja, hogy hatodik oszt lyban mennyit, milyen szinten saj t tottak el a tanul k, egy-egy oszt lyon bel l (esetleg k pess gcsoportok szerinti bont sban) mennyire k l nb zik a tud suk, k pess g k, igyekezet k. A tank nyv, a Gyakorl s a Feladatgy jtem ny egy ttes haszn lata lehet s get biztos t mind a hi nyok p tl s ra, mind a jobbak, a k z piskol ba igyekv k fejleszt s re. v elej n m rj k f l, hogy kell en biztos-e tanul ink sz mfogalma: ismerik-e megb zhat an a t zes sz mrendszert, k pesek-e a sz mokat a mindennapi letben (m s tant rgyakban is) helyesen alkalmazni, tudj k-e a sz mokat k l nb z alakban fel rni: t rt- (esetleg vegyessz m), tizedest rt, sszeg-, k l nbs g-, szorzat-, h nyadosalak a k l nb z alak sz mok k z l ki tudj k-e v lasztani az egyenl ket, tudj k-e a sz mokat nagys g szerint rendezni, meg tudj k-e adni racion lis sz mok hozz vet leges hely t a sz megyenesen, k pesek-e ezt alkalmazni egyenl tlens gek megold s nak keres s ben s ellen rz s ben. 13
Fontos a racion lis sz mokkal kapcsolatos fogalomrendszer tudatos t sa: term szetes sz m, eg sz sz m, t rtsz m pozit v, negat v sz m, nempozit v, nemnegat v sz m, ellentett, abszol t rt k, reciprok. K z piskol ba k sz l tanul ink tanulj k meg, hogy k t eg sz sz m h nyadosa racion lis sz m, s minden racion lis sz m fel rhat k t eg sz sz m h nyadosak nt. Ismerj k fel, hogy vannak nem racion lis sz mok is. Tudj k megadni t rtalakban adott racion lis sz mok tizedest rt alakj t, v ges tizedest rt alakban adott sz mok t rtalakj t. Ismerj k a v gtelen szakaszos tizedest rt fogalm t. Legk s bb a kor bbi anyagr szek tism tl se ut n a tanul k legyenek tiszt ban a t rt fogalm val: a t rt mint az egys g t rtr sze, mint k t sz m h nyadosa s mint k t sz m ar nya. Tudj k adott mennyis g t rtr sz t s adott t rtr szb l az egys gnyi mennyis get kisz m tani. Legyenek k pesek a t rtek egyszer s t s re, b v t s re. Akor bban tanultakat kieg sz tve, tudatosabb t ve (legal bb a k z piskol ba k sz l tanul k) saj t ts k el a sz melm let elemeit, tudj k alkalmazni az oszt r l, a t bbsz r sr l, a sz mok t rzst nyez kre bont s r l, az oszthat s gi szab lyokr l, a legnagyobb k z s oszt r l, a legkisebb k z s t bbsz r sr l tanultakat. Biztos aritmetikai tud s n lk l bizonytalan lesz a r p l algebrai, f ggv nytani, geometriai ismeretrendszer is. Ez rt a m veletfogalom s a m veletv gz s fejleszt s re 7. oszt lyban is oda kell gyeln nk, hiszen a kor bban megszerzett (esetleg h zagos) tud st csak tervszer gyakorl ssal tudjuk megszil rd tani s a tanul k letkor nak megfelel begyakorlotts gi szintre emelni. M rj k fel, hogy tanul ink tudj k-e rtelmezni s elv gezni a n gy alapm veletet b rmilyen alak racion lis sz mok k r ben ismerik-e a m veleti azonoss gokat, k pesek-e azokat alkalmazni a sz m t sok sszer s t s ben, konkr t feladat megold sakor a t bbf le kisz m t si m d k z l ki tudj k-e v lasztani az egyszer bbet rtik-e a pozit v eg sz kitev j hatv ny fogalm t, kisz m t si m dj t t bb m veletet tartalmaz kifejez sben meg tudj k-e llap tani a helyes sorrendet rtik-e az ar ny fogalm t, k pesek-e azt alkalmazni az egyenes s a ford tott ar nyoss g, a sz zal ksz m t s k r ben, ki tudj k-e sz m tani a sz zal k rt ket, az alapot, a sz zal kl bat a m sik kett ismeret ben tudnak-e ar nyos oszt ssal kapcsolatos feladatokat megoldani, tudj k-e a tanultakat alkalmazni statisztikai sz m t sokban. A fentiek miatt is fontos a folyamatos ism tl s megtervez se (h zi feladatok megv laszt sa, ellen rz se n h ny perces ra eleji bemeleg t ", j t kos feladatok a sz beli sz mol s gyakorl s ra a kor bban tanultak rendszeres alkalmaz sa, sszesz v se az j anyagr szekkel stb.). Szinte minden anyagr szben lehet s g ny lik a sz mfogalom, m veletfogalom er s t s re, a m veleti tulajdons gok alkalmaz s ra, egyszer kapcsolatok aritmetikai vagy algebrai lejegyz s re, egyszer algebrai kifejez sek sz m rt k nek kisz m t s ra, az ar nyoss gi k vetkeztet sekre, sz zal ksz m t sra. 14
Amelyik oszt lyban a tanul k sz mfogalma s sz mol si k pess ge megb zhat, fokozatosan megtan thatjuk a zsebsz mol g p haszn lat t a racion lis sz mk rben. A sz mol g p haszn lat n l gondolnunk kell a pontos rt k s a k zel t rt k k zti k l nbs gre. Atanul knak m r a kor bbi ismeretekre t maszkodva tudniuk kell eg sz s tizedest rt alakban adott sz mokat adott nagys grendre kerek teni, kerek tett rt kekkel sz molva r sban vagy zsebsz mol g ppel v gzett m veletek eredm ny t megbecs lni. Gyakran el fordul, hogy a tanul k a kerek tett rt kkel val sz mol s eredm ny nek sszes sz mjegy t pontosnak tekintik. A k zel t sz m t s szab lyait nem tan tjuk, de arra gyelmeztess k ket, hogy az eredm ny pontoss ga igazodjon a legkev sb pontos adathoz. P ld ul ha egy t glalap oldalai 13,4 cm s 32,2 cm, akkor a ter lete: T = 13,4 32,2 cm 2 = 431,48 cm 2 Azonban az adatok mindegyik ben k t rt kes jegy van, rt kes jegyre k v natos kerek ten nk: T 430 cm 2 ez rt az eredm nyt is k t Az el bbin l pontosabb megold st kapunk, ha kisz m tjuk a lehets ges maxim lis hib t. A ter let legal bb: T = 13,35 32,15 cm 2 = 429,2025 cm 2 legfeljebb: T = 13,45 32,25 cm 2 = 433,7625 cm 2 A sz m t sok alapj n: T = (431,5 2,3) cm 2 A hatv nyokkal, norm lalakkal val sz mol st a tank nyv l nyegesen hangs lyozottabban t rgyalja, mint ahogyan az az alaptanterv alapj n elv rhat. gy konkr t p ld kon (ha futja az id nkb l s a tanul erej b l), hossz t von tudjuk el k sz teni a hatv nyoz s m veleti azonoss gait. A norm lalakkal sz mol s l nyegesen megk nny theti agyakorlati jelleg feladatok (m rt kegys g- tv lt s, k miai, zikai feladatok) megold s t. Tudatoss tehetj k a zsebsz mol g pen nagy (vagy kicsi) sz mokkal v gzett m veleteket. Ezzel els sorban a k z piskol ba k sz l ket, illetve k z piskolai tagozaton tanul kat k sz thetj k f l a k s bbi tananyag meg rt s re s befogad s ra. A reduk lt program szerint a norm lalakkal esetleg csak 8. oszt lyban foglalkozzunk. S lyos hi nyoss gokat tapasztalunk a tanul k besz dk szs ge, a matematikai gondolatok elmond sa s le r sa ter let n. Ez rt min l t bb alkalmat biztos tsunk a tanul knak a sz beli szerepl sre (den ci k, sszef gg sek, tletek, megold si tervek, bizony t sok n ll megfogalmaz sa, lejegyz se). A hib kat k vetkezetesen jav ttassuk, jav tsuk. Az 1970-es vekben v gzett felm r sekhez k pest l nyegesen romlott a tanul k sz veg- rtelmez k pess ge. Ez rt a sz veges feladatok megold sa sor n fokozottan gyelj nk arra, hogy tanul ink milyen szintre jutottak ezen a t ren. Tudnak-e matematikai sz veget rtelmezni? K pesek-e a sz veges feladatokban l v probl m t megfogalmazni, az adatok k z l a sz ks geseket s feleslegeseket megk l nb ztetni, az adatokat lejegyezni, a k zt k l v kapcsolatot meg llap tani, ezt a matematika nyelv n megfogalmazni, a megold st megtervezni, az eredm nyre becsl st adni, azt meghat rozni, ellen rizni s rtelmezni a sz veg alapj n? Az erre alkalmas feladatok megold sa sor n v rjuk el a tanul kt l: a feladat pontos rtelmez s t, az adatok lejegyz s t az sszef gg sek megfogalmaz s t a matematika nyelv n 15
a megold si terv elk sz t s t, lejegyz s t az eredm ny megfelel becsl s t a feladat megold s t, a kivitelez s pontoss g t az eredm ny sz veg alapj n t rt n ellen rz s t, rt kel s t a diszkusszi t. L nyeg ben j anyag az algebrai kifejez sek t rgyal sa, b r a sz m-sz m f ggv nyek hozz rendel si szab ly t kor bban is kifejez s seg ts g vel adtuk meg, ilyen form ban jegyezt k le a geometriai ( s zikai) sszef gg seket, s az egyenletek megold sa sor n is algebrai kifejez sekkel dolgoztunk. Ebben a t mak rben { a tan r egy ni rt krendj t, a heti rasz mot, a csoport sz nvonal t s a helyi tantervet gyelembe v ve { nagyon elt r k vetelm nyeket fogalmazhatunk meg az egyes oszt lyok sz m ra. A reduk lt program minimumszintj n is el kell rn nk, hogy a tanul k k pesek legyenek rtelmezni az egyenletekben, a line ris f ggv nyekben s a geometriai sszef gg sekben el fordul kifejez seket, tudj k ezeket egyszer bb alakra hozni, s biztosan ki tudj k sz molni a helyettes t si rt k ket. Ismerj k az algebrai kifejez sekkel kapcsolatban az egy tthat ", a v ltoz ", az egynem ", a k l nnem " elnevez seket, ismerj k fel az egynem kifejez seket. Jobb k pess g, k z piskol ba k sz l tanul inknak, term szetesen, meg kell haladniuk ezt a minim lis eszk ztud st. Tudniuk kell alkalmazni a racion lis sz mokra tanult azonoss gokat egyszer algebrai kifejez sek k r ben is. A tanult azonoss gok: az sszeg tagjainak s a szorzat t nyez inek felcser lhet s ge (kommutativit sa), t rs that s ga (asszociativit sa) sszeg s k l nbs g szorz sa (disztributivit s) egytag kifejez ssel sszeg s k l nbs g hozz ad sa, kivon sa. A reduk lt program szerint a szorzatt alak t s nem k vetelm ny. K vetelm ny a line ris egyenletek, egyenl tlens gek megold sa a m rlegelv alkalmaz s val (n gy- t l p sben is). 7. oszt lyban egyszer bb esetekben az egyenletek, egyenl tlens gek megold s ban s a megold s ellen rz s ben elv rjuk a m veleti azonoss gok alkalmaz s t, p ld ul z r jelek felbont s t, t rtek k z s nevez re hoz s t. A reduk lt program szerint a nehezebben halad tanul kkal csak k t-h rom l p sben megoldhat egyszer egyenleteket oldassunk meg. A k z piskol ba k sz l tanul k legyenek k pesek a sz veges feladatok megold si terv t egyenlettel, egyenl tlens ggel is fel rni, az eredm nyre becsl st adni, a megold st megkeresni, a sz vegben megfogalmazott probl ma t kr ben ellen rizni, rtelmezni. A reduk lt programban csak a legjobbakt l v rhat el az egyenl tlens gre vezet egyszer sz veges feladatok terv nek fel r sa. Rel ci k, f ggv nyek, sorozatok A f ggv nyszeml let fejleszt se, a kapcsolatok s a v ltoz sok meggyel se, szab lyok megfogalmaz sa, le r sa nemcsak ebben a t mak rben t rt nik, hanem beh l zza 16
a t bbit is. A halmazok, logika ismeretrendszerhez hasonl an sszesz vi az egyes matematikai t m kat. Ebb l az is k vetkezik, hogy 7. oszt lyban, alapszinten a f ggv nyekkel kapcsolatos biztos eszk ztud s igen fontos k vetelm ny, fontosabb, mint az egzakt fogalmak kialak t sa s a den ci k megtan t sa. Ford tsunk gondot a tapasztalati f ggv nyek br zol s ra, rtelmez s re, elemz s re, grakonok, t bl zatok k sz t s re, olvas s ra. Jegyeztess k le a sz veggel megadott egyszer f ggv nyeket k plettel, utas t ssal, grakusan is. (Kapcsolat a geometri val, zik val, k mi val.) Az itt szerzett ismereteket nemcsak a mindennapi letben s a t rstant rgyak tanul sa sor n hasznos thatja a tanul (b r ez nmag ban is fontoss teszi ezt a t mak rt), hanem az igen absztrakt fogalmak kialakul s hoz is biztos szeml leti alapot szolg ltathat. Szeml letes szinten el k sz theti az elemi f ggv nyvizsg lat tan t s t. A tapasztalat alapj n nagyobb gondot kell ford tanunk a sz veggel megadott f ggv nyekre, az adatok lejegyz s re, a v ltoz k kifejez s re, ezzel seg tve a sz veges feladatok egyenlettel t rt n megold s t is. Konkr t p ld k elemz s vel k sz tj k el a f ggv ny fogalm t. K plettel, utas t ssal megadott hozz rendel sekhez t bl zatot k sz tenek a tanul k, fel rj k a t bl zattal megadott hozz rendel sek szab ly t. Megvizsg lj k, hogy az alaphalmaz elemei k z l melyeknek nem lehet k pe a hozz rendel sben. Megk l nb ztetik az egy rtelm s a t bb rtelm hozz rendel seket, kiv lasztj k a f ggv nyeket. Azonban a f ggv nnyel kapcsolatos fogalomrendszer felm r sekor ilyen el k sz t s ut n sem t rekedhet nk a teljess gre. A t mak r gerince a line ris f ggv ny. Az ltalunk javasolt t rgyal sm d szerint 6. oszt lyban el k sz tj k az egyenes ar nyoss g mint f ggv ny fogalm t, felismertetj k, hogy az egyenes ar nyoss g grakonja az orig n tmen egyenes. Szeml letre t maszkodva felfedeztetj k a grakon meredeks ge s az ar nyoss gi t nyez k zti kapcsolatot. Ha ez az alapoz s (id hi ny miatt) 6. oszt lyban nem t rt nt meg, akkor most kell erre sort ker ten nk. 7. oszt lyban a tanul k ismerj k a line ris f ggv ny fogalm t. Tudj k, hogy az egyenes ar nyoss g s a konstansf ggv ny speci lis line ris f ggv ny. K plettel, formul val adott line ris f ggv nyhez tudjanak t bl zatot k sz teni, tudj k azt grakusan br zolni (minimumszinten az sszetartoz rt kp rok ltal meghat rozott pontok seg ts g vel). rts k (konkr t p ld kkal kapcsolatosan), hogy x 7! ax + b eset n az a f ggv ny grakonj nak meredeks g t, b az y tengellyel val metsz spontj t hat rozza meg. Grakonnal megadott line ris f ggv ny sszetartoz rt kp rjait tudj k t bl zatban fel rni. Legyenek k pesek a t bl zattal, grakonnal adott line ris f ggv ny hozz rendel si szab ly t (k plet t) fel rni. A line ris egyenletek grakus megold s t a Kerettanterv el rja. Ha jut is r id, alapszinten csak 8. oszt lyban k vetelj k meg ezt tanul inkt l. A feladatokban el fordul egy b f ggv nyek c lja, hogy a line ris f ggv ny fogalm t er s ts k, ez rt ezek ne jelenjenek meg a dolgozatokban. Az alaptanterv szerint n h ny rdekes sorozat megismer s vel, vizsg lat val kell foglalkoznunk. Atanul k legyenek k pesek megkezdett sorozatokat folytatni adott, illetve felismert szab ly szerint. Ismerj k fel t bbf le szab ly megfogalmaz s nak lehet s g t. A tanultakat legyenek k pesek alkot m don alkalmazni sz melm leti, geometriai vizsg latokban. 17
Az oszt ly k pess g t s rdekl d s t gyelembe v ve a legk l nb z bb sz nvonalon alak thatjuk ki saj t programunkat. Gyeng bb csoportban eszk zk nt alkalmazhatjuk a sorozatokr l kor bban tanultakat p ld ul a sz mol si rutin szinten tart s ra. Emelt szinten ezt az eszk ztud st alkot m don alkalmazhatj k a tanul k p ld ul geometriai sszef gg sek felt r s ra. Egy-k t r t sz nhatunk n h ny nevezetes sorozat (p ld ul a Fibonacci-sorozat) megismertet s re is. ANAT-ban el rt k vetelm nyekhez k pest a 7. oszt lyos tank nyv tfog bban s m lyebben t rgyalja ezt a t mak rt. Ha megel gsz nk az alaptanterv ltal el rt minimummal, akkor reduk lhatjuk a k vetelm nyeket. Ebben az esetben a fogalmak tudatos t s val s a tanultak begyakoroltat s val elegend 8. oszt lyban foglalkoznunk. (A 8. oszt lyos tank nyv ism t teljes eg sz ben ttekinti, majd kieg sz ti a rel ci kkal, f ggv nyekkel, sorozatokkal kapcsolatos ismeretrendszert.) Geometria, m r sek K v natos lenne, hogy a geometria a sz k rakeretek ellen re is kell s llyal szerepeljen a matematikaoktat sunkban. Ez a tananyag terjedelm re, m lys g re s a k vetelm nyek ig nyess g re egyar nt rv nyes. A 7. oszt ly geometria tananyag ra jellemz, hogy nagy r sz t az el z vfolyamokon intenz ven el k sz tett k. N h ny akkor szerzett ismeretet a gyermek letkor nak megfelel szinten, szeml letre t maszkodva igazoltunk" is (p ld ul a h romsz g bels sz geinek sszeg t parkett z ssal). Az el z vekben tanultakat gy gy jthetj k ssze, hogy feldolgoztatjuk a bevezet feladatsorokat is. Ezek a tanul si m dszerekre is utalnak, s olyan kapaszkod knak tekinthet k, amelyek abban is seg thetnek, hogy a k l nb z tud s- s szeml letszint tanul kat eljuttassuk legal bb a tov bbhalad shoz sz ks ges szintre. A k vetelm nyek megfogalmaz s ban is utalunk a tananyag spir lis" p tkez s re, illetve a 6. s a 7. oszt lyos k vetelm nyrendszer k z tt megl v nagy tfed sre". 18 K vetelm ny, hogy a tanul k rts k s helyesen haszn lj k az alapvet geometriai fogalmakat, begyakorlottan hajts k v gre az elemi szerkeszt seket, tudj k ezeket alkalmazni. Ismerj k a vektor szeml letes fogalm t, tudj k alkalmazni elmozdul sok megrajzol s ban s az eltol s rtelmez s ben. Legyenek k pesek egym ssal p rhuzamos vektorok sszeg nek s k l nbs g nek meghat roz s ra konkr t, gyakorlati jelleg feladatokban. (A nem p rhuzamos vektorok sszeg nek s k l nbs g nek megszerkeszt s t csak akkor v rjuk el, ha a helyi tantervben zik b l ez k vetelm ny.) Ismerj k a soksz gekkel kapcsolatos fogalomrendszert s elnevez seket. kisz m tani a soksz g ker let t. Tudj k Biztosan tudj k a sz gr l, sz gm r sr l, sz gfajt kr l tanultakat. Tudjanak sz get m solni, felezni, nevezetes sz geket szerkeszteni. br kon, alakzatokon ismerj k f l a sz gp rokat: egy ll s, ford tott ll s sz gek (speci lisan cs cssz gek), t rssz gek (speci lisan mell ksz gek).
Ismerj k a k rrel kapcsolatos fogalmakat, elnevez seket. Tudj k meghat rozni a k r ker let t. Ismerj k a h romsz g fogalm t, tulajdons gait (a h romsz g-egyenl tlens g, a h romsz g bels s k ls sz geinek sszege, kapcsolat a k ls s a bels sz gek k z tt, kapcsolat az oldalak s sz gek k z tt), tudj k ezeket alkalmazni szerkeszt si, sz m t sos s bizony t si feladatokban. Tudj k a h romsz geket csoportos tani oldalaik s sz geik szerint. Ismerj k a h romsz g magass g nak fogalm t. Ismerj k a h romsz g egybev g s g nak alapeseteit. Tudjanak h romsz get szerkeszteni a tanult egybev g s gi esetek alkalmaz s val. Ismerj k a n gysz g, a trap z, a h rtrap z, a paralelogramma, a rombusz, a t glalap, a n gyzet fogalm t, tulajdons gait, e fogalmak egym shoz val viszony t. Tudj k a felsorolt n gysz geket megszerkeszteni a h romsz gszerkeszt sr l tanultak alkalmaz s val. Az egybev g s gi transzform ci kr l s a sz gp rokr l tanultakat tudj k alkot m don alkalmazni a speci lis n gysz gek tulajdons gainak felismer s ben, szerkeszt si, sz m t sos s bizony t si feladatok megold s ban. A szerkeszt sek v grehajt sa nem v rhat el mindenkit l. Az ezzel kapcsolatos k vetelm nyek pontos t s t a helyi tanterv gyelembev tel vel gondoljuk t. A tananyag feldolgoz sa c m r sz 4. fejezet nek megfelel alpontjaiban s 6. fejezet nek bevezet j ben m g foglalkozunk ezzel a k rd ssel. Atanul k t rszeml let nek fejleszt se rdek ben minden vben foglalkozzunk a t relemekkel, illetve a testekkel. Ennek a t mak rnek a feldolgoz s ra mindenk ppen biztos tsunk elegend id t. A k vetelm nyrendszer most is szerves tov bbfejleszt se az el z vek k vetelm nyeinek. A tanul k ismerj k fel a soksz glapokkal hat rolt testeket, tudj k rtelmezni az ezzel kapcsolatos alapvet fogalmakat ( l, lap, cs cs, lap tl, test tl ), legyenek k pesek e testek tulajdons gainak vizsg lat ra. Tudj k rtelmezni, megrajzolni a soksz glapokkal hat rolt testek fel l-, el l- s oldaln zet t. Ismerj k f l a has bot, illetve az egyenes k rhengert. Ismerj k a has bbal s a hengerrel kapcsolatos fogalomrendszert, elnevez seket, az egyenes has b s az egyenes k rhenger tulajdons gait, a speci lis has bokat (t glatest, kocka). Tudj k megszerkeszteni az egyenes has b s az egyenes k rhenger h l zat t. Tov bbra is fontosak azok a k vetelm nyek, mindennapok" geometri j val. amelyek szoros kapcsolatban vannak a Atanul k ismerj k a hossz s g, a t meg, az rtartalom s az id m rt kegys geit, tudj k a m rt kegys geket tv ltani. Ismerj k a ter let fogalm t, m rt kegys geit, tudj k a m rt kegys geket tv ltani tudj k kisz m tani a t glalap, an gyzet, a deltoid, a paralelogramma, a h romsz g, a trap z s a k r ter let t. A tanultakat legyenek k pesek alkalmazni tetsz leges n gysz g, tsz g, illetve a szab lyos soksz gek ter let nek kisz m t s ban (a sz ks ges adatok szerkeszt s vel, megm r s vel). Tudj k kisz m tani az egyenes has b s az egyenes k rhenger felsz n t. 19
Ismerj k a t rfogat fogalm t, m rt kegys geit, tudj k a m rt kegys geket tv ltani. Ismerj k s tudj k alkalmazni a t rfogat- s az rm r s m rt kegys gei k zti kapcsolatot. Szerezzenek j rtass got az egyenes has b s az egyenes k rhenger t rfogat nak kisz m t s ban. Fontos, hogy a racion lis sz mokr l, a vel k v gzett m veletekr l s az algebrai kifejez sekr l tanultakat biztosan alkalmazz k a tanul k a geometriai sz m t sokban, aker let-, ter let-, felsz n- s t rfogatk pletek rtelmez s ben, haszn lat ban. A felm r sek szerint az elv rt szint alatt marad a ter let-, felsz n-, t rfogatsz m t ssal kapcsolatos ismeretek elsaj t t sa s a t rszeml let fejletts ge. Ez rt ( s a gyakorlati alkalmaz sra nevel s miatt is) tartjuk fontosnak, hogy behat an, a t bbi geometriai t mak rh z kapcsol dva foglalkozzunk ezekkel az anyagr szekkel. A geometriai transzform ci kkal val foglalkoz s k zponti szerepet j tszik a szeml let alak t sa s a k pi gondolkod s fejleszt se ter n. A tanul k az als tagozatban viszonylag sok feladatot oldottak meg ebb l a t mak rb l. Ezt a munk t folytatjuk most 7. oszt lyban, de a t mak r tfog bb feldolgoz sa k s bbi vek feladata. K vetelm nyek: K l nb z konkr t geometriai transzform ci k k z l a tanul k ismerj k f l az egybev g s gi transzform ci kat, a tengelyes s a k z ppontos t kr z st, az eltol st s az elforgat st (parkett z s, vizsg latok a der ksz g koordin ta-rendszerben). Tudj k, hogy az egybev g s gi transzform ci t vols g- s sz gtart. Ismerj k a tengelyes t kr z s s a k z ppontos t kr z s fogalm t s tulajdons gait. Tudj k megszerkeszteni adott s kidom tengelyes, illetve k z ppontos t k rk p t. Ismerj k a tengelyes szimmetria s a k z ppontos szimmetria fogalm t, tulajdons gait. Ismerj k f l a szimmetrikus alakzatokat. A tanultakat legyenek k pesek alkalmazni egyszer szerkeszt sekben, soksz gek tulajdons gainak vizsg lat ban. Emelt szinten els sorban az egybev g s gi transzform ci kr l s a soksz gekr l tanultak szerkeszt sekben s bizony t sokban val alkalmaz s ban v runk t bbet. A tanul i seg dletek feladatanyaga b ven ad lehet s get arra, hogy a geometriai ismereteket a t bbi t mak rrel sszesz hess k. A k vetelm nyekben ez a koncentr ci nem jelenik meg, de n lk le a megfogalmazott k vetelm nyek kev sb teljes thet k. Az sszesz v s lehet s ge a t bbi t mak rrel k lcs n s. P ld ul sokszor alkalmazhatjuk a der ksz g koordin ta-rendszert soksz gek el ll t s ra, vizsg lat ra, ter let k meghat roz s ra, geometriai transzform ci k v grehajt s ra. Ugyanakkor ezekkel a feladatokkal el k sz thetj k p ld ul a f ggv nytranszform ci tan t s t. Figyelembe kell venn nk, hogy a tanul k geometriai tud sukat tekintve a legpolariz ltabbak. A reduk lt program szerint heti 3 r ban tanul k geometri ban szakadnak le legink bb a heti 4 r ban tanul t rsaikt l, s a felm r sek szerint ezen a t ren vannak a legnagyobb hi nyoss gaik. Ez nemcsak az ismereteikre vonatkozik, hanem geometriai szeml let k fejletts g re s kifejez si k szs g k sz nvonal ra is. 20
Val sz n s g, statisztika A tank nyv els fejezet ben, a sz mtan, algebra ismeretek ism tl s hez, rendszerez s hez kapcsol dva tal lhat k t alfejezet ebb l a t mak rb l. A Matematika 7. Gyakorl 8. fejezete s a Matematika 7{8. Feladatgy jtem ny 5.2. Mi a val sz n bb? c m alfejezete is ennek a t mak rnek a feldolgoz s t t mogatja. Egyik legfontosabb oktat si-nevel si feladatunk annak a k pess gnek a fejleszt se, hogy a tanul k a matematika r n tanultakat a mindennapi letben is tudj k alkalmazni. Ez rt ebben a t mak rben rj k el, hogy tanul ink aktu lis statisztikai adatokat tudjanak gy jteni, t bl zatba foglalni, tudjanak vel k grakont, diagramot k sz teni. A t bl zattal, grakonnal adott adatokat tudj k elemezni, rtelmezni. A statisztikai vizsg latok (t bl zatok, grakonok, diagramok elemz se, k sz t se) a f ggv nyek t mak rh z is kapcsol dik. Ez rt a grakonok t rgyal sa sor n is t rj nk vissza ehhez az anyagr szhez, s aktu lis statisztikai adatgy jt ssel, vizsg latokkal eg sz ts k ki az ott tal lhat feladatokat. ANAT, illetve a Kerettanterv szerint a matematikai szeml let alak t s nak egyik fontos ter lete a val sz n s gsz m t s, ez rt ez a t mak r a kor bbiakhoz k pest nagyobb hangs lyt kap a tank nyvben. A t mak r feldolgoz sa sor n rj k el, hogy a tanul k tudjanak egyszer val sz n s gi k s rleteket v grehajtani, az esem nyeket lejegyezni, azok val sz n s g re (a nagy sz mok t rv ny nek megsejt s vel) becsl st adni. Ismerj k a relat v gyakoris g fogalm t, tudj k kisz m tani a meggyelt esem ny relat v gyakoris g t. Legyenek k pesek egyszer esetekben az esem ny val sz n s g t meghat rozni, azt a relat v gyakoris ggal sszehasonl tani. 21
A TANANYAG FELDOLGOZ SA 1. Gondolkozz s sz molj! Az aritmetika fogalomrendszer nek ki p t se az ltal nos iskola els oszt ly ban a term szetes sz mok tan t s val kezd dik, s hetedik oszt lyban jutunk el a racion lis sz mk r fogalm nak kialak t s hoz. A fogalom ki p l se azt a k vetelm nyt is mag ban foglalja, hogy a tanul k legyenek k pesek a racion lis sz mok k l nb z alakjaival (term szetes sz mok, eg sz sz mok, t rtek, tizedest rtek) a n gy alapm veletet a maxim lis begyakorlotts g szintj n elv gezni. A hossz id intervallum, a tanul k elt r k pess ge, szorgalma, a szoci lis h tt rben s a sz l i ig nyszintben mutatkoz k l nbs gek nagy val sz n s ggel azt eredm nyezik, hogy 7. oszt lyban v elej n nagy sz r s" tapasztalhat mind a tanul k sz mol si rutinja, mind az egy b matematikai tev kenys ge ter let n. Kedvez tlen l befoly solhatja tanul ink tud sszintj t az, ha az el z vekben reduk lt rasz mban tan tottuk a matematik t. Ha a helyi tanterv alapj n a kerettantervi minimumhoz igazodtunk, akkor 6. oszt ly v g re m r t bb mint egy teljes vet vesz thett nk az aritmetikai, illetve algebrai ismeretek feldolgoz sa ter n is. Ez rt tanul ink t bbs ge nem rendelkezhet azokkal az alapokkal, amelyek a hetedik oszt lyos tananyag elsaj t t s hoz sz ks gesek. A reduk lt rasz m miatt els sorban a gyakorl sra jutott kevesebb id. Ez ltal els sorban a gyeng bb k pess g tanul k ker ltek h tr nyba, hiszen nekik a gyakorl sra l nyegesen nagyobb sz ks g k lett volna, mint jobb k pess g t rsaiknak. Az is elk pzelhet, hogy egyes anyagr szekben { a kor bban eml tett okok, illetve a helyi tanterv aj nl sai miatt { eg sz oszt lyok elmaradtak att l a szintt l, amit 6. oszt ly v g re felt telez a program. (L sd Matematika 6. Program.) A tank nyv gy p l fel, hogy seg ts g vel p tolni lehessen az esetleges hi nyoss gokat. P ld ul az egyes fejezetek bevezet r sze ttekinti azokat a kor bban tanult ismereteket, amelyek n lk l zhetetlenek az j anyag feldolgoz sa sor n. Indokolt lehet egyes anyagr szek jb li feldolgoz sa is, ha 6. oszt lyban, a tananyag zs folts ga miatt, kev s id jutott r juk, gy m g az sem biztos, hogy a j k pess g tanul k kor bban szerzett ismeretei el gg szil rdak s alkalmaz sra k pesek. Ezekkel a fejezetekkel az oszt ly vagy az egyes tanul k szintj t l f gg en k l nb z m lys gben s r szletess ggel aj nlatos ism t foglalkozni, gyelembe v ve azt is, hogy 6. oszt lyban meddig jutottak el. Ebben a fejezetben ism telj k, rendszerezz k, gyakoroljuk, magasabb absztrakci s szintre emelj k s l nyegesen kib v tj k az el z hat vben tanult aritmetika-, algebra- 22