Fazakas Tünde, 005. november Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Fazakas Tünde; dátum: 005. november I. rész 1. feladat Egy osztály tanulói a következő osztályzatokat kapták matematikából év végén: tízen ötöst, hatan négyest, kilencen hármast, heten kettest, s egy tanuló elégtelent. Számolja ki a diákok matematika jegyeinek átlagát két tizedesjegy pontossággal! (). feladat Határozza meg az összes olyan kör egyenletét, amely érinti a koordinátatengelyeket, s sugara 5 egység! (). feladat Számolja ki az alábbi kifejezések pontos értékét! a) sin 00 1 b) 006 log () 4. feladat Öt tanuló: Ági, Béla, Ede, Gabi és Feri két koncertjegyet nyert. Az öt nevet egy-egy cetlin bedobják egy kalapba, és kihúznak belőle kettőt visszatevés nélkül. Mi a valószínűsége, hogy Ági és Béla kapja a két jegyet? () 5. feladat Két üzletben ugyanolyan nadrágot árulnak. Az egyik boltban 00 forintért, a másikban 5%-kal drágábban. Mivel a második boltban nem fogyott a nadrág, ezért 50%- kal leárazták. Hány százalákkal kell az első boltban leszállítani a nadrág árát, ha ugyanannyiért akarják adni, mint a másik üzletben? () 6. feladat Az A = 5 11 vagy a B = 7 számnak van több (pozitív) osztója? Mennyivel? () 7. feladat Az alábbi egyenletek mindegyikéről döntse el, hogy azonosság-e! a) a b ( a b)( a b) b) log x log x c) 1 sin x cosx () 8. feladat Egy 165 cm hosszú, cm széles fürdőszoba padlóját négyzet alakú járólapokkal akarjuk burkolni. A lapok be kell fedjék az egész aljzatot. Legfeljebb hány cm lehet a járólap éle? (Az él hossza centiméterben mérve egész.) () 1
Fazakas Tünde, 005. november 9. feladat Reggel nyolc órakor két vírus támadott meg két számítógépet. A vírusok minden tizedik percben három, még nem fertőzött gépet támadnak meg. Melyik időpontban támad meg a vírus éppen 118098 gépet? (4 pont). feladat Egy szabályos tetraéder térfogata egy kocka térfogatának kilencszerese. Hogyan aránylik egymáshoz a tetraéder és a kocka élhossza? Pontos értéket számoljon! (4 pont) II./A rész 11. feladat Év elején egy osztály tanulóinak testmagasságáról (cm-ben mérve), testsúlyáról (kgban) és tömött vagy lyukas fogainak számáról készült az alábbi táblázat. A tanulók nevét sorszámmal helyettesítettük. Sorszám 1... 4. 5. 6. 7. 8. 9.. 11. Magasság 16 178 185 166 01 170 166 17 175 179 166 Testsúly 50 61 75 5 85 91 50 58 58 6 51 Hibás fogak száma 0 4 7 4 5 0 1 4 Sorszám 1. 1. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 0. 1.. Magasság 169 178 18 176 166 170 17 18 179 189 166 Testsúly 54 55 6 81 49 57 90 9 7 75 5 Hibás fogak száma 6 4 1 5 8 4 9 11 4 a) Mennyi a tanulók testsúlyának mediánja? b) Határozza meg a hibás fogak számának móduszát! c) Év közben az egyik tanuló az iskolából kiiratkozott. Az osztály tanulói testmagasságának az átlaga így megnőtt. Milyen magas lehetett az eltávozott tanuló? (1) 1. feladat Kirándulás közben egy forrásnál megpihentünk. A forrástól a turistaház 4 km-re, a város 6 km-re fekszik. Csapatunk gyalogosan km-t tesz meg óránként. a) Mennyi idő alatt érünk gyalogosan a forrástól a turistaházba, illetve a forrástól a városba? b) Milyen messze van a város a turistaháztól, ha gyalogosan a forrástól a városig órával rövidebb az út, mint a forrástól a turistaházat érintve a városig? c) A turistaháztól a városig kisvonat szállítja az utasokat, pályája 8 km hosszú. A vonat km/h-s sebességgel közlekedik, de csak óránként egyszer jár: a turistaháztól
Fazakas Tünde, 005. november mindig félkor indul. A lehető legrövidebb idő alatt szeretnénk a forrástól indulva a városba érni. Vegyük figyelembe, hogy a csoportnak egy percbe telik a felszállás végrehajtása. Melyik utat válasszuk: menjünk gyalog a városba, vagy gyalog a turistaházig, onnan pedig a kisvonattal a városba? Hogyan függ a válasz az indulás idejétől? Válaszát a 4 óra és 5 óra közti időintervallumban percre lebontva adja meg! (1) 1. feladat a) Oldja meg az x y 1 z egyenletet (x, y és z nem negatív egészek)! b) Oldja meg a következő egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! 5 7,5 5 és 1,5 x 4 y 1 x 4 y 1 II./B rész A 14-16. feladatok közül tetszés szerint választott kettőt kell megoldania. (1) 14. feladat Egy kerékpáros A helyről észak felé indul el, s 48 km megtétele után B-be érkezik. Innen nyugat fele folytatja útját. 0 km megtétele után C be érkezik, ahol a menetiránytól balra tér el, és a C-től 7,7 km-re fekvő D helyre ér. BCD = 18 5. a) Készítsen ábrát a négy helység (A, B, C és D) elhelyezkedéséről! b) Az adott helységek közül bármely kettő távolságát légvonalban szeretnénk tudni. Hány adat ez? (Az adatok között esetleg lehetnek egyenlők is.) c) Határozza meg A és C helységek távolságát légvonalban! d) Határozza meg A és D helységek légvonalban mért távolságát! (17 pont) 15. feladat A H alaphalmaz elemei a 40-nél nem nagyobb pozitív egész számok. Az A halmaz az alaphalmaz -mal, a B a néggyel osztható elemeinek halmaza. a) Készítsen Venn-diagrammot az alaphalmazról, az A és a B halmazról! Az ábrán mindegyik részhalmazba írjon be legalább egy elemet! b) Adja meg az A B halmaz elemeinek legnagyobb közös osztóját! c) Hány elemű az A B halmaz? d) Az alaphalmaz elemei közül véletlenszerűen egyet választunk. Mi a valószínűsége, hogy a kiválasztott elem az A B halmaz komplementerébe tartozik? e) Az alaphalmaznak hány olyan eleme van, amely a 1-höz relatív prím? (17 pont) 16. feladat a) Oldja meg a sin x = 0,5 egyenletet a valós számok halmazán! log b) Oldja meg a 0, 5 x egyenlőtlenséget a valós számok halmazán! c) Hány megoldása van a tgx = 1 egyenletnek a 0, intervallumon? x x 1 d) Oldja meg a valós számok halmazán a 4 5 5 egyenletet! (17 pont)
Fazakas Tünde, 005. november Fazakas Tünde 005. novemberi feladatsorának megoldásai és pontozási útmutatója I. rész 1. feladat 5 6 4 9 7 1 1 116,5 6 9 7 1 Hibás kerekítés (,51) esetén csak adható.. feladat A körök egyenlete: x 5 y 5 5, x 5 y 5 5, x 5 y 5 5, x 5 y 5 5. Egy egyenletért, kettőért vagy háromért adható.. feladat a) sin 00 1 sin 006 b) log 006 log 006 Összesen: 4. feladat A valószínűséget az összes esetek száma / kedvező esetek száma képlettel számolhatjuk. Az összes eset annyi, ahányféleképpen ki lehet választani öt ember közül kettőt, tehát tíz; a kedvező esetek száma 1. A valószínűség 0,1. Összesen: 5. feladat A második boltban az ár a leárazás után a 00 forint 6,5%-a (7500 Ft). Az első boltban 7,5%-kal kell leszállítani az árat. Összesen: 4
Fazakas Tünde, 005. november 6. feladat A-nak 8, B-nek 1 osztója van. Tehát B-nek 4-gyel több osztója van. 7. feladat Csak az a) azonosság. 8. feladat A és a 165 legnagyobb közös osztóját keressük. Ez a 15. 9. feladat perc múlva, n perc múlva n gép kapja meg a vírust. A n = 118098 egyenlet gyökét keressük. n = A kérdezett időpont: 9 óra 40 perc.. feladat Az a élű tetraéder térfogata a, a b élű kockáé b. 1 A térfogatokra felírt egyenlőség alapján az élek köbeinek aránya: 1- Összesen: Helyes válaszonként 1- Összesen: Összesen: Összesen: 4 pont a 9 1. b a Az élek aránya: b. Ez a pontos érték, de ennek reciproka is elfogadható. Összesen: 4 pont 5
Fazakas Tünde, 005. november II./A rész 11. feladat a) Az adatokat nagyság szerint rendezve a tizenegyedik 58, a tizenkettedik 61, tehát a medián 59,5. b) A 4 a leggyakrabban előforduló adat. (Hatszor szerepel.) c) Az átlag pontosan akkor nő, ha átlagosnál alacsonyabb tanuló távozik. Az átlag 175,09, tehát a kiiratkozott tanuló magassága lehetett 16, 166, 169, 170, 17, 17 vagy 175 cm. Összesen: 1 1. feladat a) Forrás - turistaház: óra. Forrás - város: óra. 1 - b) A turistaház város utat óra alatt tesszük meg, a távolság 6 km. c) A forrás város út óra. A forrás turistaház út gyalogosan óra, a kisvonat menetideje 48 perc, a felszállásra fordított idő 1 perc. Ez a változat óra 49 percet vesz igénybe, ha nem kell várni a vonatra. Ha a felszállás kezdetére 11 percnél kevesebbet várunk, akkor érdemes ezt választani, ha 11 percet, akkor mindegy, mit választunk, ha 11 percnél hosszabb a várakozási idő, akkor a közvetlen gyalogút a gyorsabb. Ennek megfelelően, ha a forrástól 4 óra 17 percig el tudunk indulni, akkor menjünk végig gyalogosan; ha 4 óra 18-kor indulunk, akkor mindegy, mit választunk; ha 4 óra 18 és 4 óra 0 között (a határokat nem beleértve), akkor menjünk gyalog és vonattal; ha 4 óra 0-ra vagy még későbbre tolódik az indulás, akkor használjuk a lábunkat! Összesen: 1 1. feladat a) A bal oldalon nem állhat negatív szám, így a jobbon sem, tehát z értéke csak 0 vagy 1 lehet. Ha z = 0, akkor x y 1. Ezt csak az x = 1, y = 0 számok oldják meg. Ha z = 1, akkor x y 0. Ezt csak az x = 0, y = 0 számok oldják meg. 1 - Az a) rész: 4 pont 6
Fazakas Tünde, 005. november 1 1 b) Az a és b új változók bevezetése után a következő x 4 y 1 egyenletrendszert kapjuk: a b 5 és 5a 1,5 7,5b. 4 pont Ennek gyökei: a =,5 és b = 0. Mivel b 1 y 1 értéke 0 nem lehet, ezért az egyenletrendszernek nincs megoldása. A b) rész: 8 pont A 1. feladat összesen: 1 II./B rész 14. feladat C 0 B 48 A a) A geometriai viszonyokat tükröző, nem feltétlenül méretarányos ábra készítése b) Hat. (Felsorolással vagy négy elemből kettőt választunk.) c) A Pitagorasz-tételből: AC = 5 km. D d) tg ACB AB, ebből ACB BC = 71 9. ACB = 67. ACD háromszögre a cosinus-tételt felírjuk. Ebből AD hossza,6 km. d) rész: 8 pont Összesen: 17 pont 7,7 ' 15. feladat a) A helyes ábra, és 1-1 elem megadása Amennyiben a vizsgázó A B komplementeréből nem ad meg elemet, legfeljebb pontot kaphat. b) 1, a -mal és 4-gyel is osztható számok mind oszthatók 1-vel, de nagyobb számmal nem, hiszen a 1 is benne van a halmazban. c) 0. A választ felsorolással vagy számolással is lehet indokolni. 7
Fazakas Tünde, 005. november d) A komplementernek 0 eleme van, a halmaznak 40. A kedvező esetek száma 0, az összesé 40, a valószínűség 0,5. 4 pont e) A 1-höz relatív prímek azok az egészek, melyek nem oszthatók se -vel, se -mal. -vel 0, -mal 1, 6-tal 6 szám osztható. A -vel vagy -mal osztható számok száma: 0+1-6=7. Se -vel, se -mal nem osztható számból így 1 van. Megjegyzés: természetesen a számok felsorolással is megszámolhatók. 5 pont Összesen: 17 pont 16. feladat a) x = /6 + k vagy 5 /6 + l, k és l egészek. b) Mivel az alap 1-nél kisebb, ezért x 4 feltételnek eleget tevő pozitív számok adják a megoldást. c) Az x = /4 + k (k egész) értékek közül keressük az adott intervallumba esőket. Ez k = 0, 1 vagy esetén következik be, tehát a megoldások száma. d) Az egyenlet a = 5 x -re másodfokú. Rendezve és behelyettesítve: 4a 15a 0. 15 85 Gyökei:. 8 Ebből csak a pozitív lehet 5 x értéke. x 15 log 5 85 8 0,91, ami az egyenletnek megoldása. Összesen: 17 pont 8