VII.4. RAJZOLGATUNK II. Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Axonometrikus rajzok készítése megadott szempontok alapján, meglévő rajzok kiegészítése, azokban való tájékozódás. Előzmények Arányos számítások, párhuzamosság, merőlegesség, térelemek és egymáshoz való viszonyuk, hasonlóság. Egyszerűbb testek, tulajdonságaik. Cél A térgeometriai szemlélet fejlesztése, a térgeometriai problémákhoz szükséges modellalkotási folyamat fejlesztése, az axonometrikus rajzok egy csoportjába tartozó ábrák elkészítésének fokozatos elsajátítása. A térgeometriai ábrák értelmezéséhez szükséges térlátási képességek fejlesztése. A felszín- és térfogatszámítás előkészítése, ismerkedés a hasábok és a gúlák világával. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben + Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás Önismeret, önértékelés Ismeretek rendszerezése A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásához az aktívabbak, illetve gyengébb térgeometriai személettel rendelkezők részére készíthető (vagy velük készíttethető) térbeli modell (élváz) például drótból vagy műanyag, harmonikás nyakú szívószálból, illetve írásvetítő fóliából. A tanulók önállóan dolgozzanak, de tanári felügyelettel. Ha valamely kérdésnél valaki elakad, akkor a tanár adjon segítséget, rávezető kérdés vagy hasonló, de egyszerűbb feladat adásával. A munka végén érdemes meg is beszélni az elkészített rajzokat, az elkészítés miértjét, hogyanját, valamint további problémák felvetésére ösztönözni a diákokat. A megoldásokból prezentáció is készíthető, hogy az ábrákat bemutathassuk a diákoknak. Folyamatosan figyelemmel kell kísérni, hogy ki hogyan boldogul a feladatok megoldásával. Mivel a megoldások ideális esetben nem tartanak túl sokáig, ezért ha valaki elakad, rögtön kapjon segítséget, különben unatkozni fog, illetve jelentősen lemarad a többiektől. Érdemes folyamatosan azt is kontrollálni, hogy az elkészült rajzok megfelelőek-e, mert egyegy feladatban elkövetett hiba kihatással lehet a további feladatok megoldására. VII. Térgeometria VII.4. Rajzolgatunk 2. 1.oldal/10
A fejlesztési folyamat végére lehetőleg mindenkinek el kell jutnia a képességfejlesztésben arra a szintre, hogy hasonló feladatokat meg tudjon oldani. Ha úgy tűnik, hogy valaki a feladatsorban felvetett problémák egyikét sem tudta megoldani, a már megoldott feladatok, kérdések megbeszélése után sem tudta a továbbiakat megválaszolni, akkor mindenképpen újabb feladatokat kell neki adni. VII. Térgeometria VII.4. Rajzolgatunk 2. 2.oldal/10
DÚL A GÚLALÁZ 1. a) Rajzoljuk be a bal oldali ábrába az ABCDK egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát, ha K rajta van az EFGH síkon! Milyen speciális pont a K pont az EFGH négyzetben? b) Rajzoljuk le az ABCDK egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát a jobb oldali ábrába, ha magasságának hossza az m szakasz hosszával egyezik meg. Látunk-e egyenlőszárú háromszöget a síkbeli ábrázoláson? c) Pistinek egy egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát kellett rajzolnia (lásd a lenti, bal oldali ábra). Az ABK egyenlőszárú háromszöggel kezdte, majd kiegészítette hátrafelé a rajzot az ábrának megfelelően. Miért helytelen a rajza? d) Rajzoljuk meg annak az egyenlő oldalú, háromszög alapú gúlának a látszati képét, amelynek alapja az ABC háromszög, az ehhez tartozó testmagassága pedig párhuzamos és egyenlő a megadott m hosszúságú szakasszal (fenti, jobb oldali ábra). VII. Térgeometria VII.4. Rajzolgatunk 2. 3.oldal/10
2. Tekintsük az ABCDK egyenlő oldalú, négyzet alapú gúlát. a) Rajzoljuk be a gúla K csúcsára illeszkedő, az alaplap szemközti éleinek felezőpontján átmenő sík és a gúla metszetét! Hány ilyen sík van? Rajzoljuk meg mindegyikre nézve a metszetet! Rajzoljuk be az ábrába a gúla magasságát is! b) Rajzoljuk be a szemközti oldalélekre illeszkedő sík és a gúla metszetét! Hány ilyen sík van? Rajzoljuk meg mindegyikre nézve a metszetet! c) Rajzoljuk be az egyik oldallap magasságára és a testmagasságra illeszkedő sík és a gúla metszetét! Hány ilyen sík van? Rajzoljuk meg mindegyikre nézve a metszetet! d) Rajzoljuk be a gúla egyik alapélére illeszkedő és a nem ezen alapélből induló egyik oldalél felezőpontján átmenő sík és a gúla metszetét! Milyen alakzat ez? Hány ilyen sík van? Rajzoljuk meg mindegyikre nézve a metszetet! a) b) c) d) VII. Térgeometria VII.4. Rajzolgatunk 2. 4.oldal/10
SZÖGET ÜT A FEJEDBE 3. Tüntessük fel a szabályos négyoldalú gúlát ábrázoló rajzon az alábbi szögeket! Jelöljük is meg, hogy a szögeket meghatározó egyenesek milyen tulajdonsággal rendelkeznek! (Például párhuzamosság, merőlegesség.) a) Az alaplap és az egyik oldallap hajlásszöge. b) Két szomszédos oldallap hajlásszöge. c) Oldalél és alapél hajlásszöge. d) Oldalél és alaplap hajlásszöge. VII. Térgeometria VII.4. Rajzolgatunk 2. 5.oldal/10
MEGOLDÁSOK 1. a) K pont az EFGH négyzet középpontja, mivel az alaplap középpontja felett van, azaz a belőle az alaplap síkjára bocsátott merőleges az alaplap középpontjába érkezik meg. (A négyzet középpontját természetes átlóinak metszéspontjaként is megkaphatjuk.) b) Az ABCD négyzet középpontjába kell állítanunk az m hosszúságú szakasszal azonos hosszúságú szakaszt, és ennek végpontja adja meg a keresett K pontot. A síkbeli ábrázoláson nincsenek egyenlőszárú háromszögek! (Persze, ha m kisebb, azaz K-t lejjebb tesszük úgy, hogy KK = K D, akkor van.) c) Az előző feladatban mondottak miatt a rajz helytelen, az ábra teteje a helyes ábrához képest balra van eltolódva. A K csúcsnak az alapnégyzet (az ábrán paralelogramma) középpontja fölött kell lennie axonometrikus ábrázolás esetén. (Persze egy feladathoz készített vázlatnak esetleg a fenti ábra is megteszi, pláne, ha az oldalélekre ráírjuk, hogy b, b, b, b.) VII. Térgeometria VII.4. Rajzolgatunk 2. 6.oldal/10
d) A háromoldalú gúla negyedik csúcsa az alapháromszög súlypontja fölött van. A súlyvonal a vetületben is felezőpontba kerül, tehát az ABC háromszög súlypontját kell megszerkesztenünk, és ide felmérni az m szakasszal párhuzamosan a testmagasságot. 2. a) Két megfelelő sík van. A gúla magassága éppen a két sík metszésvonala. b) Két ilyen sík van. A gúla magassága éppen a két sík metszésvonala. a) b) c) A szimmetria miatt az egyik oldallap magasságára és a testmagasságra illeszkedő sík a szemközti oldallap magasságát is tartalmazza. Emiatt két megfelelő sík van, az ábra megegyezik az a) feladatban kapott ábrával. d) A szimmetria miatt a keresett sík átmegy mindkét, nem az érintett alapélből induló oldalél felezőpontján. Mivel négy alapél van, ezért négy megfelelő sík van. A kapott síkmetszet egy egyenlő szárú trapéz, a gúla szimmetriája miatt. (A jobb oldali ábrán a piros sík metszete egyetlen szakasznak látszik az axonometrikus tengelyek állása miatt. Feladatmegoldásnál az elfajulás miatt nem érdemes ezt a helyzetet rajzolni.) VII. Térgeometria VII.4. Rajzolgatunk 2. 7.oldal/10
d) 1.ábra d) 2.ábra 3. a) Az alaplap és az egyik oldallap hajlásszöge az egyik oldallapon az alapélre állított merőleges egyenes (például az oldallap K-ból induló magassága), és az alaplapon szintén erre az élre állított merőleges bezárt szöge. Ha az oldallap magasságát használjuk, akkor a kérdezett szöget bezáró egyenesek benne vannak abban a síkban, melyet az oldallap háromszög magassága és a testmagasság határoz meg. [Lásd 2. a) feladat.] (A derékszögeket merőleges töröttvonalas jelölés mutatja.) b) Két szomszédos oldallap hajlásszöge az oldallapok közös élére állított merőleges egyenesek, például az azonos talppontba érkező magasságok által bezárt szög. (Mivel az ABK háromszög a BK tengely körüli forgatással a CBK háromszögbe vihető, a A és a C pontból induló magasságok talppontja közös.) a) b) c) Az egyik oldalél és az alapél hajlásszöge az oldallap alapon fekvő szögével esik egybe. VII. Térgeometria VII.4. Rajzolgatunk 2. 8.oldal/10
d) Az oldalél és az alaplap hajlásszöge az oldalél és a merőleges vetülete által bezárt szög (ez most az alaplap átlója). Ez a két egyenes benne van abban a síkban, amelyet az egyik oldalél és a testmagasság határoz meg. VII. Térgeometria VII.4. Rajzolgatunk 2. 9.oldal/10