MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 011. október 18. KÖZÉPSZINT I. 1) Írja fel prímszámok szorzataként a 40-at! ( pont) 40 3 5 7 3 5 7 ( pont) ) Bontsa fel a 36000-et két részre úgy, hogy a részek aránya 5:4 legyen! ( pont) 0 000 és 16000. ( pont) 3) Egy sejttenyészetben naponta kétszereződik meg a sejtek száma. Az első nap kezdetén 5000 sejtből állt a tenyészet. Hány sejt lesz a tenyészetben 8 nap elteltével? Számításait részletezze! A 8 nap alatt 4-szer kétszereződött meg a sejtek száma (s), 4 s 5000 s 80000 Összesen: 3 pont 4) Jelölje a természetes számok halmazát, az egész számok halmazát és az üres halmazt! Adja meg az alábbi halmazműveletek eredményét! a) b) c) \ a) b) c) Összesen: 3 pont
5) Az ábrán a valós számok halmazán f x x a b értelmezett függvény grafikonjának egy részlete látható. Adja meg a és b értékét! a b 3 Összesen: pont ( pont) 6) Adja meg a ; 11; 7; 3; 17; 5; 13 számok mediánját! ( pont) A medián: 7. ( pont) 7) Rajzoljon le egy 4 pontú egyszerű gráfot, amelyben a pontok fokszáma rendre 3,,, 1! ( pont) ( pont) 8) Egy számtani sorozat ötvenedik tagja 9, az ötvenegyedik tagja 6. Számítsa ki a sorozat első tagját! d 3 a a d 50 1 49 a1 176 Összesen: 3 pont 9) Ha a 1, akkor az alábbi egyenletek közül melyik azonosság? a) a a a 1 a 1 b) a a a a 1 c) a a a 1 a 1 d) a a 0 a 1 b). ( pont) ( pont)
x x x függvény grafikonját akarta 10) István az log 0 1 felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett (a hibás vázlat látható a mellékelt ábrán). Döntse el, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül! a) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény szigorúan monoton csökkenő. b) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény - höz -t rendel. c) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény zérushelye 1. ( pont) b). ( pont) 11) A 000 eurós tőke évi 6 %-os kamatos kamat mellett hány teljes év elteltével nőne 404 euróra? Megoldását részletezze! (4 pont) x 000 1,06 404. x kiszámítása. lg 000 x lg1,06 lg 404 lg 404 lg 000 x 11,998. ( pont) lg1,06 1 teljes év alatt. Összesen: 4 pont 1) Az ábrán látható kockának berajzoltuk az egyik lapátlóját. Rajzoljon ebbe az ábrába egy olyan másik lapátlót, amelynek van közös végpontja a berajzolt lapátlóval! Hány fokos szöget zár be ez a két lapátló? Válaszát indokolja! Az egy csúcsból kiinduló (bármelyik) két lapátló a végpontjaik által meghatározott harmadik lapátlóval kiegészítve szabályos háromszöget határoz meg, ( pont) a keresett szög ezért 60 -os. Összesen: 3 pont
II/A. 13) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket! a) 5 x x 71 (6 pont) b) sin x 1 cosx (6 pont) a) A négyzetgyök értéke csak nemnegatív lehet: x 5 és csak nemnegatív számnak van négyzetgyöke: x 35,5 Négyzetre emelve: x 10x 5 x 71. Rendezve: x 10x 96 0 amelynek valós gyökei a 16 és a 6. Az utóbbi nem felel meg az első feltételnek, ezért nem megoldása az egyenletnek Az egyenlet egyetlen megoldása a 16, hiszen ez mindkét feltételnek megfelel, s az adott feltételek mellett csak ekvivalens átalakításokat végeztünk. b) A bal oldalon a sin x 1cos x helyettesítést elvégezve kapjuk: 1 cos x 1 cos x cos x cos x 0 cos x cos x 0 Ha cos x 0, akkor x k, ahol k. ( pont) A cos x 0 egyenletnek nincs megoldása (mert cos x nem lehetséges). Összesen: 1 pont 14) Egy felmérés során két korcsoportban összesen 00 embert kérdeztek meg arról, hogy évente hány alkalommal járnak színházba. Közülük 10- an 40 évesnél fiatalabbak, 80 válaszadó pedig 40 éves vagy annál idősebb volt. Az eredményeket (százalékos megoszlásban) az alábbi diagram szemlélteti. a) Hány legalább 40 éves ember adta azt a választ, hogy 5-nél kevesebbszer volt színházban?
b) A megkérdezettek hány százaléka jár évente legalább 5, de legfeljebb 10 alkalommal színházba? (4 pont) c) A 00 ember közül véletlenszerűen kiválasztunk kettőt. Mekkora a valószínűsége annak, hogy közülük legfeljebb az egyik fiatalabb 40 évesnél? Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pont) a) A legalább 40 éveseknek a 18,75%-a adta az idézett választ. 80-nak a 18,75%-a: 80 0,1875. Tehát 15 legalább 40 éves ember adta az 5-nél kevesebbszer választ.
b) A 40 év alattiak közül 10 0,35 4, a legalább 40 évesek közül 80 0,375 30, azaz összesen 7 olyan ember van, aki évente 5 10 alkalommal jár színházba. Ez a szám a megkérdezettek 36%-a. c) 00 Az összes lehetséges kiválasztás: 19900. Ezek közül mindkét véletlenszerűen kiválasztott legalább 40 éves: 80 3160 esetben, 80 10 9600 esetben. különböző korosztályú: 80 80 10 A kérdezett esemény valószínűsége: 1760. 00 19900 Tehát 0,641 a valószínűsége annak, hogy legfeljebb egy 40 évnél fiatalabb van a kiválasztottak között. A feladat megoldható a komplementer esemény valószínűségének kiszámításával is. Összesen: 1 pont 15) Adott két egyenes: e : x 5y 14, 5, f : x 5y 14, 5. a) Határozza meg a két egyenes P metszéspontjának koordinátáit!(4 pont) b) Igazolja, hogy az e és az f egyenesek egymásra merőlegesek! (4 pont) c) Számítsa ki az e egyenes x tengellyel bezárt szögét! (4 pont) a) (A két egyenes egyenletéből alkotott egyenletrendszer megoldása adja a P koordinátáit.) Az első egyenletből: y,5x 7,5. Ezt behelyettesítve a második egyenletbe és rendezve x 1,5. y 3,5 Tehát P 1, 5; 3, 5. b) Az egyenesek meredeksége: m 5 e m f 5 A meredekségek szorzata 1, tehát a két egyenes merőleges. A feladat megoldható a normálvektorok skaláris szorzatát megvizsgálva is. c) Az e egyenes meredeksége,5, tehát az egyenes x tengellyel bezárt α szögére igaz, hogy tg,5. Ebből 68,. Összesen: 1 pont
II/B. 16) Újsághír: Szeizmológusok számításai alapján a 004. december 6-án Szumátra szigetének közelében kipattant földrengés a Richter-skála szerint 9,3-es erősségű volt; a rengést követő cunami (szökőár) halálos áldozatainak száma megközelítette a 300 ezret. A földrengés Richter-skála szerinti erőssége és a rengés középpontjában felszabaduló energia között fennálló összefüggés: M 4, 4 lg E. 3 Ebben a képletben E a földrengés középpontjában felszabaduló energia mérőszáma (joule-ban mérve), M pedig a földrengés erősségét megadó nem negatív szám a Richter-skálán. a) A Nagasakira 1945-ben ledobott atombomba felrobbanásakor 14 felszabaduló energia 1, 344 10 joule volt. A Richter-skála szerint mekkora erősségű az a földrengés, amelynek középpontjában ekkora energia szabadul fel? b) A 004. december 6-i szumátrai földrengésben mekkora volt a felszabadult energia? c) A 007-es chilei nagy földrengés erőssége a Richter-skála szerint - vel nagyobb volt, mint annak a kanadai földrengésnek az erőssége, amely ugyanebben az évben következett be. Hányszor akkora energia szabadult fel a chilei földrengésben, mint a kanadaiban? (5 pont) d) Az óceánban fekvő egyik szigeten a földrengést követően kialakuló szökőár egy körszelet alakú részt tarolt le. A körszeletet határoló körív középpontja a rengés középpontja, sugara pedig 18 km. A rengés középpontja a sziget partjától 17 km távolságban volt (lásd a felülnézeti ábrán). Mekkora a szárazföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? (6 pont) 14 a) 4,4 lg 1,344 10 M 3 M 5 ( pont) b) 9,3 4,4 lg E 3 lg E 0,58 Tehát a felszabadult energia körülbelül E 3,8 10 J 0
c) A chilei rengés erőssége -vel nagyobb volt, mint a kanadai: 4,4 lg Ec 4,4 lg E k 3 3 Rendezve: lg E lg E 3 c k Ec (A logaritmus azonosságát alkalmazva) lg 3 Ek Ec Ebből 1000 Ek 1000-szer akkora volt a felszabadult energia. d) Az ábra jelöléseit használjuk. Az AKF derékszögű háromszögből: cos 17 18 19, 38,4 18 sin38,4 T AKB 100,6 km 38,4 T körcikk 18 108,6 km 360 T körszelet 108,6 100,6 8 km Az elpusztult rész területe körülbelül 8 km. Összesen: 17 pont
17) a) Hány olyan négy különböző számjegyből álló négyjegyű számot tudunk készíteni, amelynek mindegyik számjegye eleme az 1; ; 3; 4; 5; 6; 7 halmaznak? b) Hány 4-gyel osztható hétjegyű szám alkotható az 1,, 3, 4, 5 számjegyekből? (6 pont) c) Hány olyan hatjegyű, hárommal osztható szám írható fel, amely csak az 1,, 3, 4, 5 számjegyeket tartalmazza, és e számjegyek mindegyike legalább egyszer előfordul benne? (8 pont) a) Összesen 7 6 5 4, ( pont) azaz 840 négyjegyű számot lehet készíteni. b) Az első öt számjegy mindegyike lehet az 1,, 3, 4, 5 számok közül bármelyik, 5 5 315 lehetőség. ( pont) ez összesen Az utolsó két számjegy a 4-gyel való oszthatóság miatt csak a következő öt eset valamelyike lehet: 1, 4, 3, 44, 5. ( pont) 5 Összesen 5 5 azaz 15 65 hétjegyű szám alkotható. c) Az 1,, 3, 4, 5 számjegyek mindegyike szerepel a hatjegyű számban, közülük az egyik pontosan kétszer. Csak a 3-as számjegy lehet az, amelyik kétszer fordul elő, mert a számjegyek összegének 3-mal oszthatónak kell lennie, és 1+ + 3+ 4 + 5 = 15 (ami osztható 3-mal). A két 3-as számjegy helyét 6 -féleképpen választhatjuk meg. A megmaradó 4 helyre 4!-féleképpen helyezhető el a többi számjegy. A megfelelő hatjegyű számokból összesen 6 4!, azaz 360 darab van. Összesen: 17 pont
18) Egy csonkakúp alakú tejfölös doboz méretei a következők: az alaplap átmérője 6 cm, a fedőlap átmérője 11 cm és az alkotója 8,5 cm. a) Hány cm 3 tejföl kerül a dobozba, ha a gyárban a kisebbik körlapján álló dobozt magasságának 86%-áig töltik meg? Válaszát tíz cm 3 -re kerekítve adja meg! (11 pont) b) A gyártás során a dobozok 3%-a megsérül, selejtes lesz. Az ellenőr a gyártott dobozok közül visszatevéssel 10 dobozt kiválaszt. Mennyi a valószínűsége annak, hogy a 10 doboz között lesz legalább egy selejtes? Válaszát két tizedesjegyre kerekítve adja meg! a) Ábra. A csonkakúp m cm magas. (A szimmetria miatt) ED,5 cm. Az AED derékszögű háromszögből ( AD 8,5 cm, AE m ): (6 pont) m 8,5,5 m 8,1 Ennek 86%-a: 0,86m 7,0. Az APQ és az AED derékszögű háromszögek hasonlók (mindkettő derékszögű és egyik hegyesszögük közös); a hasonlóságuk aránya (megfelelő oldalaik hosszának aránya) 0,86. Ezért PQ 0,86 DE, vagyis PQ 8,6,5,15. A síkmetszet sugara: GQ 3,15 5,15. 7,0 A tejföl térfogata V 5,15 3 5,15 3 3 3 V 37,9 cm Tíz cm 3 3 -re kerekítve a tejföl térfogata 370 cm. b) Komplementer eseménnyel számolunk. Sérült doboz kiválasztásának a valószínűsége 0,03, ezért a jó doboz kiválasztásának a valószínűsége 0,97. 10 Annak a valószínűsége, hogy az ellenőr nem talál selejtes terméket 0,97, ( pont) 10 10,97 0,66 tehát annak a valószínűsége, hogy talál selejtest A keresett valószínűség két tizedesjegyre kerekítve 0,6. A feladat az eredeti esemény valószínűségét kiszámolva is megoldható. Összesen: 17 pont