Egy másik érdekes feladat Az előző dolgozatban melynek címe: Egy érdekes feladat az itteninek egy speciális esetét vizsgáltuk. Az általánosabb feladat az alábbi [ 1 ]. A feladat Adott: az ABCD zárt négyszög alakú csuklós rudazat, a, b, c, d oldalhosszakkal, melynek átlói mentén egy - egy húrt feszítettünk ki, T 1 és T nagyságú erővel. Keresett: a rudazat egyensúlyi helyzetében a húrerők nagyságának az aránya, illetve adott húrerő - arányhoz tartozó egyensúlyi helyzet. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is. A megoldás 1. ábra A megoldás alapja: a virtuális munka elve. Eszerint [ ] : Egy mechanikai rendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a rendszerre ható szabaderők teljes virtuális munkája zérus Képlettel: i F δr 0. ( 1 ) i Itt F i : az i - edik csuklóra ható szabaderő vektora, δr i : az i - edik csukló virtuális elmozdulása. A csuklós rudazatra ható szabaderők:
F1 FA T1 = T 1 e1, F FB T = T e, F3 FC T1 = T 1e1, F4 FD T = T e ; ( ) a csuklók virtuális elmozdulásai, a P momentán centrum körül végzett virtuális szögelfordulással: δr1 δra 0 ; δr δrb δ(bd) (PB) cos * e (PB) cos90 1e (PB) sin e ; 1 3 C (AC) (PC) cos * 1 (PC) cos 90 δr δr δ e e (PC) sin e ; 1 1 δr4 δrd 0. ( 3 ) Most ( 1 ), ( ), ( 3 ) - mal: F δr F δr F δr F δr 0 ; 3 3 4 4 T e 0T e (PB) sin e T e (PC) sin e T e 0 0 ; 1 T (PB) sin T (PC) sin 0 ; 1 T (PB) sin T (PC) sin 0 ; 1 T (PC) sin T (PB) sin ; 1 (PC) T sin (PB) T sin 1. ( 4 ) A PBC háromszög területe az 1. ábra jelöléseivel: T PBC (PB) (AC) sin (PC) (BD) sin,
3 (PC) (PB) (AC) sin (BD) sin Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel: T sin (AC) sin T sin (BD) sin T (AC) sin sin T (BD) sin sin 1 1 1 1 bevezetve az (AC) e, (BD) f jelöléseket, ( 6 ) és ( 7 ) - tel:. ;, ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) T e sin sin 1. T f sin sin ( 8 ) Most állítsunk fel trigonometriai összefüggéseket az adott és a keresett mennyiségek között v.ö.: [ 3 ], [ 4 ]! Ehhez tekintsük a. ábrát is! Adott: a, b, c, d; α. Keresett: e, f ; α, β 1, γ 1, δ.. ábra
Az ABD Δ - ből koszinusz - tétellel: f a d a d cos, 4 ( 9 ) f a d adcos. ( 10 ) A BCD Δ - ből, hasonlóan: f b c bccos, ( 11 ) b c f cos ; ( 1 ) bc most ( 9 ) és ( 1 ) - vel: cos tehát: b c a d a d cos bc b c a d a d cos, bc bc b c a d ad cos cos. bc bc ( 13 ) Ezután a BDE Δ - ből: bsin180 bsin tg, c b cos 180 c b cos tehát: bsin tg. c b cos Majd a BDF Δ - ből: asin tg 1. d a cos ( 14 ) ( 15 ) Továbbá: ( 16 ) 1. Most az ABC Δ - ből:
5 180 ; majd az ACD Δ - ből: 1 1 180 ; ezután ( 17 ) és ( 18 ) összegét képezve: 1 1 360, innen a. ábra szerint is: 360, ebből pedig: 360. Továbbá az ABD Δ - ből: 1 80, 180. Most az ACD Δ - ből: csin tg. 1 d c cos Majd ( 18 ) - ból: 180. ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ( 0 ) ( 1 ) ( ) Ezután a. ábra szerint:. 1 ( 3 ) Végül az ACD Δ - ből koszinusz - tétellel: e c d c d cos, ( 4 ) e c d cdcos. ( 5 ) Most már minden, a ( 8 ) képletben szereplő mennyiséget kifejeztünk a bemenő adatokkal. Néha kényelmesebben használható összefüggésekkel jobban boldogulhatunk. Például célszerű lehet β - ra újabb összefüggést is levezetni. Az ABC Δ - ből, koszinusz - tétellel:
6 e a b abcos ; ( 6 ) most ( 4 ) és ( 6 ) - ból, az előzőekhez hasonlóan: a b e a b c d cdcos cos ab ab a b c d cd cos, ab ab tehát: a b c d cd cos cos. ( 7 ) ab ab Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Specializáció 3. ábra Itt együtt tüntettük fel az előző dolgozatban az I. részben, valamint a jelen dolgozatban a II. részben alkalmazott jelöléseket. Ez megkönnyítheti az azonosítást.
7 A specializáció esete: c a, d b. ( S1 ) Ekkor a 3. ábra második sorának megfelelő átalakulás megy végbe 4. ábra. A húrerők viszonya ( 8 ) - ból: T e sin sin T f sin sin 1. 4. ábra ( S ) A 4. ábra szerint, szinusz - tétellel: sin f sin e sin 1 f sin e 1,. Most ( S ), ( S3 ), ( S4 ) - gyel: ( S3 ) ( S4 ) T e f1 f. ( S5 ) T f e e Minthogy a paralelogramma átlói felezik egymást [ 5 ], ezért: e e1 e, f f 1 f. Most ( S5 ) és ( S6 ) - tal: T f ; T 1 e ( S6 ) ( S7 ) ennek reciproka, ( 7 ) - tel is:
8 T1 e (AC). ( S8 ) T f (BD) Az ( S8 ) összefüggés megegyezik az I. / ( 13 ) - mal, így a specializáció sikerrel zárult. Grafikus megoldás Korábban láttuk, hogy az általános rúdnégyszög esetére is előálltak a ( 8 ) - hoz szükséges geometriai mennyiségek, a húrerő - nagyságok arányának meghatározásához, egyensúly esetére. Az I. részben innen rögtön meghatároztuk az egyensúlyi helyzetet jellemző ω szöget is. Itt ez nem olyan egyszerű, mert a T 1 / T viszony a ( 8 ) képlet által meghatározott, az ( a, b, c, d ; α ) mennyiségeket tartalmazó bonyolult trigonometriai kapcsolatokon keresztül áll elő, melyekből az α szög meghatározása igen körülményes lenne, ismert ( a, b, c, d; T 1, T ) adatok esetén, analitikus vagy numerikus úton. Ezért grafikus megoldást választunk. Ennek lényege, hogy ( 8 ) alapján felírjuk a T e( ) sin ( ) sin 1( ) F ( G1 ) T1 f ( ) sin 1( ) sin ( ) függvénykapcsolatot, egy adott / felvett ( a, b,c, d ) adategyüttesre, majd ezt ábrázoljuk a Graph programmal. Így egyenlet - megoldás nélkül is hozzájuthatunk a megoldáshoz: ~ adott α - hoz az egyensúlyi T / T 1 meghatározása; ~ adott T / T 1 - hez az egyensúlyi α meghatározása. Ennek érdekében a korábbiak alapján felírjuk az alábbi függvényeket. f ( ) a d adcos ; ( G ) a sin 1( ) arctg ; d acos ( G3 ) b c a d ad ( ) arc cos cos ; bc bc ( G4 ) bsin ( ) ( ) arctg ; cbcos ( ) ( G6 ) ( ) ( ) ( ) ; ( G7 ) 1 e( ) c d cdcos ( ) ; ( G8 ) csin ( ) 1( ) arctg ; dccos ( ) ( G9 )
9 ( ) 1( ) ; ( G10 ) ( ) 180 ( ) ( ) ; 180 ( ). ( G11 ) ( G1 ) A függvényrajzoláshoz felvesszük az alábbi adatokat: a = 5,6 ( m ); b = 4,8 ( m ); c = 7,1 ( m ); d = 10,0 ( m ). ( A ) Most ( G ) ( G1 ) és ( A ) - val: f ( ) 131,36 11cos ( m ) ; sin 1( ) arctg ( ); 1, 78571486 cos ( ) arc cos0,8496185446 1, 64319488 cos ( ); sin ( ) ( ) arctg ( ); 1, 479166667cos ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ); e( ) 150,4114cos ( ) ( m ) ; ( G13 ) sin ( ) 1( ) arctg ( ); 1, 408450704 cos ( ) ( ) 1( ) ( ); 1( ) 180 1( ) ( ) ( ); 80 1( ) ( ). Majd ( G13 ) - mal elvégezzük a ( G1 ) szerinti műveleteket, a Graph - ban egyéni függvények megadásával. Az eredmény - görbe az 5. ábrán látható. A feladat természetéből adódik, hogy csak a nem - negatív ordináták jönnek számításba. Azt kaptuk, hogy ~ T / T 1 = 0, ha α 0 = 40,675 ; ~ α > 95 esetén csak T >> T 1 esetében lehet egyensúlyban a rudazat. A 6. ábra azt mutatja, hogyan kell az adott példa összetartozó értékpárjait leolvasni a grafikonról. Itt például kerestük az y 1 = 4 - hez tartozó szögértéket, melyre α 1 = 93,98 adódott. Ezzel a feladatot megoldottuk. Persze, nem mi vagyunk az elsők. Talán már Leonhard Euler is megoldotta [ 1 ], legfeljebb nem voltak ilyen szép grafikonjai, mint nekünk. Azért ez is valami. Mondják [ 6 ], hogy a nagy Euler megvakult. Bizony, akkoriban ( XVIII. sz. ) nagyon nehéz lehetett az ilyen hosszadalmas számításokat gyalogosan, rossz megvilágítás mellett végezni
10 30 y = T / T1 5 0 15 10 5 alfa ( fok ) -10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110-5 α0 = 40,675 f(x)=(ee(x)*sin(a(x))*sin(g1(x)))/(ff(x)*sin(b1(x))*sin(d(x))) r(t)=40.675/cos(t) -10 Irodalom: 5. ábra [ 1 ] http://www.archive.org/details/atreatiseonstat04mincgoog [ ] Budó Ágoston: Mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ 3 ] Sz. N. Kozsevnyikov: Mechanizmusok és gépek elmélete Tankönyvkiadó, Budapest, 195. [ 4 ] Terplán Zénó: Mechanizmusok. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 196. [ 5 ] Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998. [ 6 ] http://hu.wikipedia.org/wiki/leonhard_euler
11 0 y = T / T1 15 10 5 y1 = 4 alfa ( fok ) 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110-5 α0 = 40,675 α1 = 93,98-10 -15 f(x)=(ee(x)*sin(a(x))*sin(g1(x)))/(ff(x)*sin(b1(x))*sin(d(x))) r(t)=40.675/cos(t) f(x)=4 r(t)=93.98/cos(t) 6. ábra Megjegyzések: M1. Ha a feladat T / T 1 < 0 - t is megengedne, akkor a keresett grafikon a 7. ábra szerinti lenne. M. Ha negatív szögeket is megengedünk, akkor a grafikon a 8. ábra szerinti.
1 30 y = T / T1 5 0 15 10 5-50 -40-30 -0-10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 alfa ( fok ) -5-10 α0 = 40,675-15 -0-5 f(x)=(ee(x)*sin(a(x))*sin(g1(x)))/(ff(x)*sin(b1(x))*sin(d(x))) r(t)=40.675/cos(t) -30 7. ábra
13 30 y = T / T1 5 0 15 10 5 alfa ( fok ) -100-90 -80-70 -60-50 -40-30 -0-10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 α0,1 = -58,997-5 -10 α0, = 40,675-15 f(x)=(ee(x)*sin(a(x))*sin(g1(x)))/(ff(x)*sin(b1(x))*sin(d(x))) r(t)=40.675/cos(t) r(t)=-58.997/cos(t) -0-5 -30 8. ábra Sződliget, 010. december 18. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár