Egy másik érdekes feladat. A feladat

Hasonló dokumentumok
Síkbeli csuklós rúdnégyszög egyensúlya

w u R. x 2 x w w u 2 u y y l ; x d y r ; x 2 x d d y r ; l 2 r 2 2 x w 2 x d w 2 u 2 d 2 2 u y ; x w u y l ; l r 2 x w 2 x d R d 2 u y ;

Fiók ferde betolása. A hűtőszekrényünk ajtajának és kihúzott fiókjának érintkezése ihlette az alábbi feladatot. Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Felső végükön egymásra támaszkodó szarugerendák egyensúlya

Egy általánosabb súrlódásos alapfeladat

Egy érdekes statikai - geometriai feladat

Egy forgáskúp metszéséről. Egy forgáskúpot az 1. ábra szerint helyeztünk el egy ( OXYZ ) derékszögű koordináta - rendszerben.

Függőleges koncentrált erőkkel csuklóin terhelt csuklós rúdlánc számításához

Érdekes geometriai számítások 10.

Érdekes geometriai számítások Téma: A kardáncsukló kinematikai alapegyenletének levezetése gömbháromszögtani alapon

Ellipszis átszelése. 1. ábra

Egy mozgástani feladat

A szabályos sokszögek közelítő szerkesztéséhez

Fa rudak forgatása II.

Forogj! Az [ 1 ] munkában találtunk egy feladatot, ami beindította a HD - készítési folyamatokat. Eredményei alább olvashatók. 1.

Befordulás sarkon bútorral

Két körhenger általánosabban ( Alkalmazzuk a vektoralgebrát! ) 1. ábra

Egy újabb térmértani feladat. Az [ 1 ] könyvben az interneten találtuk az alábbi érdekes feladatot is 1. ábra.

Keresztezett pálcák II.

Ellipszis vezérgörbéjű ferde kúp felszínének meghatározásához

A középponti és a kerületi szögek összefüggéséről szaktanároknak

Végein függesztett rúd egyensúlyi helyzete. Az interneten találtuk az [ 1 ] munkát, benne az alábbi érdekes feladatot 1. ábra. Most erről lesz szó.

A ferde szabadforgácsolásról, ill. a csúszóforgácsolásról ismét

Az éjszakai rovarok repüléséről

A gúla ~ projekthez 2. rész

Egy érdekes statikai feladat. Az interneten találtuk az [ 1 ] művet, benne az alábbi feladattal.

A csavarvonal axonometrikus képéről

Forgatónyomaték mérése I.

Szabályos fahengeres keresztmetszet geometriai jellemzőinek meghatározása számítással

Megoldások. Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma)

Trigonometria. Szögfüggvények alkalmazása derékszög háromszögekben. Szent István Egyetem Gépészmérnöki Kar Matematika Tanszék 1

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Egy érdekes nyeregtetőről

Az egyenes ellipszishenger ferde síkmetszeteiről

Két naszád legkisebb távolsága. Az [ 1 ] gyűjteményben találtuk az alábbi feladatot és egy megoldását: 1. ábra.

Egy kinematikai feladat

A kardáncsukló kinematikája I. A szögelfordulások közti kapcsolat skaláris levezetése

Kiegészítés a három erő egyensúlyához

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Rugalmas láncgörbe alapvető összefüggések és tudnivalók I. rész

Egy kinematikai feladathoz

A visszacsapó kilincs működéséről

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Néhány véges trigonometriai összegről. Határozzuk meg az alábbi véges összegek értékét!, ( 1 ) ( 2 )

Az eltérő hajlású szarufák és a taréjszelemen kapcsolatáról 1. rész. Eltérő keresztmetszet - magasságú szarufák esete

Poncelet egy tételéről

A magától becsukódó ajtó működéséről

Összefüggések egy csonkolt hasábra

5. házi feladat. AB, CD kitér élpárra történ tükrözések: Az ered transzformáció: mivel az origó xpont, így nincs szükség homogénkoordinátás

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Trigonometria III.

Egy gyakorlati szélsőérték - feladat. 1. ábra forrása: [ 1 ]

Az elliptikus hengerre írt csavarvonalról

A kötélsúrlódás képletének egy általánosításáról

Az ablakos problémához

Kosárra dobás I. Egy érdekes feladattal találkoztunk [ 1 ] - ben, ahol ezt szerkesztéssel oldották meg. Most itt számítással oldjuk meg ugyanezt.

Vonatablakon át. A szabadvezeték alakjának leírása. 1. ábra

4 = 0 egyenlet csak. 4 = 0 egyenletből behelyettesítés és egyszerűsítés után. adódik, ennek az egyenletnek két valós megoldása van, mégpedig

A kardáncsukló tengelyei szögelfordulása közötti összefüggés ábrázolása. Az 1. ábrán mutatjuk be a végeredményt, egy körülfordulásra.

Szökőkút - feladat. 1. ábra. A fotók forrása:

Fénypont a falon Feladat

Az Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny tanévi második fordulójának feladatmegoldásai. x 2 sin x cos (2x) < 1 x.

A hordófelület síkmetszeteiről

A 2014/2015. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

Chasles tételéről. Előkészítés

Egy látószög - feladat

Lövés csúzlival. Egy csúzli k merevségű gumival készült. Adjuk meg az ebből kilőtt m tömegű lövedék sebességét, ha a csúzlit L - re húztuk ki!

A felcsapódó kavicsról. Az interneten találtuk az alábbi, a hajítás témakörébe tartozó érdekes feladatot 1. ábra.

Ismét a fahengeres keresztmetszetű gerenda témájáról. 1. ábra forrása: [ 1 ]

t, u v. u v t A kúpra írt csavarvonalról I. rész

Egy újabb látószög - feladat

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

További adalékok a merőleges axonometriához

Egy sík és a koordinátasíkok metszésvonalainak meghatározása

Síkgeometria 12. évfolyam. Szögek, szögpárok és fajtáik

Húrnégyszögek, Ptolemaiosz tétele

Ellipszissel kapcsolatos képletekről

A véges forgatás vektoráról

Egy kérdés: merre folyik le az esővíz az úttestről? Ezt a kérdést az után tettük fel magunknak, hogy megláttuk az 1. ábrát.

A Kepler - problémáról. Megint az interneten találtunk egy szép animációt 1. ábra, amin elgondolkoztunk: Ezt hogyan oldanánk meg? Most erről lesz szó.

Egy kötélstatikai alapfeladat megoldása másként

Vontatás III. A feladat

Egy geometriai szélsőérték - feladat

A loxodrómáról. Előző írásunkban melynek címe: A Gudermann - függvényről szó esett a Mercator - vetületről,illetve az ezen alapuló térképről 1. ábra.

Rönk kiemelése a vízből

A tűzfalakkal lezárt nyeregtető feladatához

1. ábra forrása: [ 1 ]

A lengőfűrészelésről

Csúcsívek rajzolása. Kezdjük egy általános csúcsív rajzolásával! Ehhez tekintsük az 1. ábrát!

Egy nyíllövéses feladat

A csúszóvágásról, ill. - forgácsolásról

Kocka perspektivikus ábrázolása. Bevezetés

Henger és kúp metsződő tengelyekkel

A Cassini - görbékről

Lépcső beemelése. Az interneten találkoztunk az [ 1 ] művel, benne az 1. ábrával.

Érdekes geometriai számítások 9.

Aszimmetrikus nyeregtető ~ feladat 2.

Egymásra támaszkodó rudak

A gúla ~ projekthez 1. rész

Érdekes geometriai számítások Téma: Szimmetrikus kontytető tetősíkjai lapszögének meghatározásáról

Rönk mozgatása rámpán kötelekkel

Átírás:

Egy másik érdekes feladat Az előző dolgozatban melynek címe: Egy érdekes feladat az itteninek egy speciális esetét vizsgáltuk. Az általánosabb feladat az alábbi [ 1 ]. A feladat Adott: az ABCD zárt négyszög alakú csuklós rudazat, a, b, c, d oldalhosszakkal, melynek átlói mentén egy - egy húrt feszítettünk ki, T 1 és T nagyságú erővel. Keresett: a rudazat egyensúlyi helyzetében a húrerők nagyságának az aránya, illetve adott húrerő - arányhoz tartozó egyensúlyi helyzet. Ehhez tekintsük az 1. ábrát is. A megoldás 1. ábra A megoldás alapja: a virtuális munka elve. Eszerint [ ] : Egy mechanikai rendszer akkor és csak akkor van egyensúlyban, ha a rendszerre ható szabaderők teljes virtuális munkája zérus Képlettel: i F δr 0. ( 1 ) i Itt F i : az i - edik csuklóra ható szabaderő vektora, δr i : az i - edik csukló virtuális elmozdulása. A csuklós rudazatra ható szabaderők:

F1 FA T1 = T 1 e1, F FB T = T e, F3 FC T1 = T 1e1, F4 FD T = T e ; ( ) a csuklók virtuális elmozdulásai, a P momentán centrum körül végzett virtuális szögelfordulással: δr1 δra 0 ; δr δrb δ(bd) (PB) cos * e (PB) cos90 1e (PB) sin e ; 1 3 C (AC) (PC) cos * 1 (PC) cos 90 δr δr δ e e (PC) sin e ; 1 1 δr4 δrd 0. ( 3 ) Most ( 1 ), ( ), ( 3 ) - mal: F δr F δr F δr F δr 0 ; 3 3 4 4 T e 0T e (PB) sin e T e (PC) sin e T e 0 0 ; 1 T (PB) sin T (PC) sin 0 ; 1 T (PB) sin T (PC) sin 0 ; 1 T (PC) sin T (PB) sin ; 1 (PC) T sin (PB) T sin 1. ( 4 ) A PBC háromszög területe az 1. ábra jelöléseivel: T PBC (PB) (AC) sin (PC) (BD) sin,

3 (PC) (PB) (AC) sin (BD) sin Most ( 4 ) és ( 5 ) - tel: T sin (AC) sin T sin (BD) sin T (AC) sin sin T (BD) sin sin 1 1 1 1 bevezetve az (AC) e, (BD) f jelöléseket, ( 6 ) és ( 7 ) - tel:. ;, ( 5 ) ( 6 ) ( 7 ) T e sin sin 1. T f sin sin ( 8 ) Most állítsunk fel trigonometriai összefüggéseket az adott és a keresett mennyiségek között v.ö.: [ 3 ], [ 4 ]! Ehhez tekintsük a. ábrát is! Adott: a, b, c, d; α. Keresett: e, f ; α, β 1, γ 1, δ.. ábra

Az ABD Δ - ből koszinusz - tétellel: f a d a d cos, 4 ( 9 ) f a d adcos. ( 10 ) A BCD Δ - ből, hasonlóan: f b c bccos, ( 11 ) b c f cos ; ( 1 ) bc most ( 9 ) és ( 1 ) - vel: cos tehát: b c a d a d cos bc b c a d a d cos, bc bc b c a d ad cos cos. bc bc ( 13 ) Ezután a BDE Δ - ből: bsin180 bsin tg, c b cos 180 c b cos tehát: bsin tg. c b cos Majd a BDF Δ - ből: asin tg 1. d a cos ( 14 ) ( 15 ) Továbbá: ( 16 ) 1. Most az ABC Δ - ből:

5 180 ; majd az ACD Δ - ből: 1 1 180 ; ezután ( 17 ) és ( 18 ) összegét képezve: 1 1 360, innen a. ábra szerint is: 360, ebből pedig: 360. Továbbá az ABD Δ - ből: 1 80, 180. Most az ACD Δ - ből: csin tg. 1 d c cos Majd ( 18 ) - ból: 180. ( 17 ) ( 18 ) ( 19 ) ( 0 ) ( 1 ) ( ) Ezután a. ábra szerint:. 1 ( 3 ) Végül az ACD Δ - ből koszinusz - tétellel: e c d c d cos, ( 4 ) e c d cdcos. ( 5 ) Most már minden, a ( 8 ) képletben szereplő mennyiséget kifejeztünk a bemenő adatokkal. Néha kényelmesebben használható összefüggésekkel jobban boldogulhatunk. Például célszerű lehet β - ra újabb összefüggést is levezetni. Az ABC Δ - ből, koszinusz - tétellel:

6 e a b abcos ; ( 6 ) most ( 4 ) és ( 6 ) - ból, az előzőekhez hasonlóan: a b e a b c d cdcos cos ab ab a b c d cd cos, ab ab tehát: a b c d cd cos cos. ( 7 ) ab ab Ehhez tekintsük a 3. ábrát is! Specializáció 3. ábra Itt együtt tüntettük fel az előző dolgozatban az I. részben, valamint a jelen dolgozatban a II. részben alkalmazott jelöléseket. Ez megkönnyítheti az azonosítást.

7 A specializáció esete: c a, d b. ( S1 ) Ekkor a 3. ábra második sorának megfelelő átalakulás megy végbe 4. ábra. A húrerők viszonya ( 8 ) - ból: T e sin sin T f sin sin 1. 4. ábra ( S ) A 4. ábra szerint, szinusz - tétellel: sin f sin e sin 1 f sin e 1,. Most ( S ), ( S3 ), ( S4 ) - gyel: ( S3 ) ( S4 ) T e f1 f. ( S5 ) T f e e Minthogy a paralelogramma átlói felezik egymást [ 5 ], ezért: e e1 e, f f 1 f. Most ( S5 ) és ( S6 ) - tal: T f ; T 1 e ( S6 ) ( S7 ) ennek reciproka, ( 7 ) - tel is:

8 T1 e (AC). ( S8 ) T f (BD) Az ( S8 ) összefüggés megegyezik az I. / ( 13 ) - mal, így a specializáció sikerrel zárult. Grafikus megoldás Korábban láttuk, hogy az általános rúdnégyszög esetére is előálltak a ( 8 ) - hoz szükséges geometriai mennyiségek, a húrerő - nagyságok arányának meghatározásához, egyensúly esetére. Az I. részben innen rögtön meghatároztuk az egyensúlyi helyzetet jellemző ω szöget is. Itt ez nem olyan egyszerű, mert a T 1 / T viszony a ( 8 ) képlet által meghatározott, az ( a, b, c, d ; α ) mennyiségeket tartalmazó bonyolult trigonometriai kapcsolatokon keresztül áll elő, melyekből az α szög meghatározása igen körülményes lenne, ismert ( a, b, c, d; T 1, T ) adatok esetén, analitikus vagy numerikus úton. Ezért grafikus megoldást választunk. Ennek lényege, hogy ( 8 ) alapján felírjuk a T e( ) sin ( ) sin 1( ) F ( G1 ) T1 f ( ) sin 1( ) sin ( ) függvénykapcsolatot, egy adott / felvett ( a, b,c, d ) adategyüttesre, majd ezt ábrázoljuk a Graph programmal. Így egyenlet - megoldás nélkül is hozzájuthatunk a megoldáshoz: ~ adott α - hoz az egyensúlyi T / T 1 meghatározása; ~ adott T / T 1 - hez az egyensúlyi α meghatározása. Ennek érdekében a korábbiak alapján felírjuk az alábbi függvényeket. f ( ) a d adcos ; ( G ) a sin 1( ) arctg ; d acos ( G3 ) b c a d ad ( ) arc cos cos ; bc bc ( G4 ) bsin ( ) ( ) arctg ; cbcos ( ) ( G6 ) ( ) ( ) ( ) ; ( G7 ) 1 e( ) c d cdcos ( ) ; ( G8 ) csin ( ) 1( ) arctg ; dccos ( ) ( G9 )

9 ( ) 1( ) ; ( G10 ) ( ) 180 ( ) ( ) ; 180 ( ). ( G11 ) ( G1 ) A függvényrajzoláshoz felvesszük az alábbi adatokat: a = 5,6 ( m ); b = 4,8 ( m ); c = 7,1 ( m ); d = 10,0 ( m ). ( A ) Most ( G ) ( G1 ) és ( A ) - val: f ( ) 131,36 11cos ( m ) ; sin 1( ) arctg ( ); 1, 78571486 cos ( ) arc cos0,8496185446 1, 64319488 cos ( ); sin ( ) ( ) arctg ( ); 1, 479166667cos ( ) ( ) 1( ) ( ) ( ); e( ) 150,4114cos ( ) ( m ) ; ( G13 ) sin ( ) 1( ) arctg ( ); 1, 408450704 cos ( ) ( ) 1( ) ( ); 1( ) 180 1( ) ( ) ( ); 80 1( ) ( ). Majd ( G13 ) - mal elvégezzük a ( G1 ) szerinti műveleteket, a Graph - ban egyéni függvények megadásával. Az eredmény - görbe az 5. ábrán látható. A feladat természetéből adódik, hogy csak a nem - negatív ordináták jönnek számításba. Azt kaptuk, hogy ~ T / T 1 = 0, ha α 0 = 40,675 ; ~ α > 95 esetén csak T >> T 1 esetében lehet egyensúlyban a rudazat. A 6. ábra azt mutatja, hogyan kell az adott példa összetartozó értékpárjait leolvasni a grafikonról. Itt például kerestük az y 1 = 4 - hez tartozó szögértéket, melyre α 1 = 93,98 adódott. Ezzel a feladatot megoldottuk. Persze, nem mi vagyunk az elsők. Talán már Leonhard Euler is megoldotta [ 1 ], legfeljebb nem voltak ilyen szép grafikonjai, mint nekünk. Azért ez is valami. Mondják [ 6 ], hogy a nagy Euler megvakult. Bizony, akkoriban ( XVIII. sz. ) nagyon nehéz lehetett az ilyen hosszadalmas számításokat gyalogosan, rossz megvilágítás mellett végezni

10 30 y = T / T1 5 0 15 10 5 alfa ( fok ) -10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110-5 α0 = 40,675 f(x)=(ee(x)*sin(a(x))*sin(g1(x)))/(ff(x)*sin(b1(x))*sin(d(x))) r(t)=40.675/cos(t) -10 Irodalom: 5. ábra [ 1 ] http://www.archive.org/details/atreatiseonstat04mincgoog [ ] Budó Ágoston: Mechanika Tankönyvkiadó, Budapest, több kiadásban [ 3 ] Sz. N. Kozsevnyikov: Mechanizmusok és gépek elmélete Tankönyvkiadó, Budapest, 195. [ 4 ] Terplán Zénó: Mechanizmusok. kiadás, Tankönyvkiadó, Budapest, 196. [ 5 ] Obádovics J. Gyula: Matematika 15. kiadás, Scolar Kiadó, Budapest, 1998. [ 6 ] http://hu.wikipedia.org/wiki/leonhard_euler

11 0 y = T / T1 15 10 5 y1 = 4 alfa ( fok ) 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110-5 α0 = 40,675 α1 = 93,98-10 -15 f(x)=(ee(x)*sin(a(x))*sin(g1(x)))/(ff(x)*sin(b1(x))*sin(d(x))) r(t)=40.675/cos(t) f(x)=4 r(t)=93.98/cos(t) 6. ábra Megjegyzések: M1. Ha a feladat T / T 1 < 0 - t is megengedne, akkor a keresett grafikon a 7. ábra szerinti lenne. M. Ha negatív szögeket is megengedünk, akkor a grafikon a 8. ábra szerinti.

1 30 y = T / T1 5 0 15 10 5-50 -40-30 -0-10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 110 10 130 140 alfa ( fok ) -5-10 α0 = 40,675-15 -0-5 f(x)=(ee(x)*sin(a(x))*sin(g1(x)))/(ff(x)*sin(b1(x))*sin(d(x))) r(t)=40.675/cos(t) -30 7. ábra

13 30 y = T / T1 5 0 15 10 5 alfa ( fok ) -100-90 -80-70 -60-50 -40-30 -0-10 10 0 30 40 50 60 70 80 90 100 α0,1 = -58,997-5 -10 α0, = 40,675-15 f(x)=(ee(x)*sin(a(x))*sin(g1(x)))/(ff(x)*sin(b1(x))*sin(d(x))) r(t)=40.675/cos(t) r(t)=-58.997/cos(t) -0-5 -30 8. ábra Sződliget, 010. december 18. Összeállította: Galgóczi Gyula mérnöktanár