Történelmi tartószerkezetek statikai kérdéseiből About Static Problems of Historical Structures Despre probleme statice ale structurilor istorice Dr. KOPENETZ Ludovic 1, Dr. GOBESZ Ferdinánd-Zsongor 2 Kolozsvári Műszaki Egyetem, Építőmérnöki Kar, Tartószerkezetmechanikai Tanszék Románia, 400020 Cluj-Napoca, C.Daicoviciu utca 15, tel.: +40 264 401351, honlap: http://www.utcluj.ro/ 1 egyetemi tanár, e-mail: ludovic.kopenetz@mecon.utcluj.ro 2 egyetemi docens, e-mail: go@mecon.utcluj.ro Abstract The bearing structure of historical buildings can offer many surprises. For the reinforcement and restoration of such buildings, beside structural analysis, a proper knowledge about the materials is also required. Stone and brick (with or without binding matter) are the most frequently occurring materials, sometimes side by side with wooden parts or steel pieces. The common cause of degradation is usually due to the natural ageing process. Any structural intervention must be done with special care and skillfulness, because, apart from value keeping, the serviceableness and long-lasting conservation of the building should be achieved to. The presented cases and solutions are illustrating some base aspects and ground rules for those involved in this area. Rezumat Structura de rezistenţă a clădirilor vechi poate oferi numeroase surprize. Pentru consolidarea, restaurarea acestor clădiri e nevoie nu doar de analiză statică, ci şi de o cunoaştere corespunzătoare a materialelor. Materialele cele mai frecvente întâlnite sunt piatra şi cărămida (cu sau fără lianţi), uneori alături de părţi din lemn sau piese metalice. Problemele uzuale sunt cauzate de procesul firesc de îmbătrânire. Intervenţiile structurale trebuie realizate cu grijă deosebită şi pricepere, deoarece, pe lângă păstrarea valorii trebuie asigurată utilizabilitatea şi trăinicia clădirii. Exemplele şi soluţiile din lucrare prezintă câteva aspecte esenţiale şi principii de bază pentru cei implicaţi în acest domeniu. Összefoglaló Régi épületek tartószerkezete sok meglepetéssel szolgálhat. Az ilyen épületek megerősítéséhez, restauráláshoz nemcsak statikai mérlegelés, hanem megfelelő anyagismeret is kell. A leggyakoribb anyag a kő és a tégla (kötőanyaggal vagy anélkül), néha fa vagy vas mellett. A legszokványosabb gondokat a természetes elévülés okozza. A szerkezeti beavatkozást nagy körültekintéssel és műgonddal kell megvalósítani, hiszen az értékmegőrzés mellett az épület használhatóságát és tartós állagmegóvását is biztosítani kell. A cikkben felvonultatott példák és megoldások ezen a téren próbálnak némi elengedhetetlen alaptudást kínálni az érdekeltek számára. Kulcsszavak Régi épület, műemlék, tartószerkezet, falazat, statika, megerősítés, állagmegóvás, restaurálás 1. ELŐSZÓ A régi szerkezeteket nem tanítják és nem is igen lehet csak úgy egyszerűen megtanulni az egyetemen. Általában ezeknél az épületeknél mindent meg kell vizsgálni, mert hihetetlen meglepetések érhetik a statikust. A vizsgálatot célszerű a statikai működés ábrázolásával kezdeni. A műemlék tartószerkezetek, falazatok, pillérek, boltozatok védelme sok körültekintést igényel. A statikai mérlegelés és számítások során különös
figyelmet kell fordítani az összeférhetőségi kérdésekre a még meglévő és a kialakítandó megerősítő szerkezet között. A történelmi tartószerkezeteknél végzett restaurálási munkánál a cél nemcsak a minőség elérése, hanem, hogy hosszú távon az épületszerkezet állagvédelme is biztosítva legyen. A következő példák történelmi tartószerkezetek statikai kérdéseinek az elveit mutatják be. 2. FÖLDSZINTI KÜLSŐ TARTÓFALAK KŐBURKOLATÁNAK KIHASASODÁSA ÉS TÉGLAFALÁNAK FÜGGŐLEGES REPEDÉSEI Egy műemlék besorolású 3 szintes háznál a külső tartófalak kőburkolata kihasasodott (1. ábra). A szerkezeti vizsgálatnál kiderült, hogy a belső téglafalon sok függőleges repedés jelentkezett, lesújtó jelként a teherbíró képesség irányában. Acélgerendák közt porosz süveg boltozat e bekötés 1. ábra Földszinti tartófal kőburkolatának kihasasodása. A rugalmassági modulus (E) β szorzója 1. táblázat Anyag β Rövid idejű terhek Tartós terhek terméskő 4000 2500 tégla 1800 1000 kavics-beton 2700 1300 A statikai mérlegelést a fagyhatás értékelésével kezdjük, bár fagy által okozott kihasasodásról általában szó sem lehet. A víz hőtágulási együtthatója, víz jég esetén, kb. 1,03. Ahoz, hogy például 1 cm-es kihasasodást tudjon előidézni, 33 cm vastag vízréteg kellene. Márpedig a kőburkolat és tégla közt biztosan nincs ennyi, csupán kb. 1 mm, tehát ez nem okozhat ekkora alakváltozást. Geometriai okokból a fagy hatását így kizárhatjuk. Ilyen esetben a vizsgálatot a fal statikai működése irányába igazítjuk. A kőfalak összenyomódása, ugyanakkora teherre, a téglafalak összenyomódásának a fele (1. táblázat). Érdekes, hogy rövid terhelés esetén a tégla 1,8-szor annyit bír mint tartós terhelésnél. A túlzott teher hatására a kevésbé összenyomódó kőfal igyekszik a terhet viselni, melynek nagyobb része jut rá. E pillanatban a tégla és a kő között a habarcs tapadása már megszünik és ha volt bekötés, akkor az kilazult, így a téglafalat burkoló kőfal kihajlik, kihasasodik, kitérve a teher alól (1. ábra, jobbra). Most már minden teher a téglafalra hárul és valószínűleg nem központosan, hanem valamekkora külpontossággal. A téglafal függőleges repedései a közeli összeroppanást jelzik, amely bármely pillanatban bekövetkezhet (megjegyzés: a függőleges repedés vízszintes alakváltozásra utal, falazott kémények esetében hőtágulás miatt is megjelenhet). Mivel esetünkben minden jel a túlterhelésre utal, a megoldás azonnali dúcolás és csak aztán a helyreállítás.
A dúcolás elvei: - nem szabad a bajban levő falhoz hozzányúlni; - előbb az egész állványt el kell készíteni és csak azután felékelni a födémgerendákhoz. A dúcolást két ütemben kell elvégezni: I. ütem: ha kész az állványszerkezet, akkor a födémgerendák vége alatt 20 20 cm 2 vakolatot le kell verni és ellentétes irányú keményfa ékekkel (ékkel és kontraékkel) az állványt jó erősen rögzíteni kell (2. ábra, balra); II ütem: dúcolást kell tenni az ablak- és ajtónyílásokba, hogy a fal külső oldalának terhét is megfogjuk. A külső (utcai) oldalról is meg kell támasztani a házat (2. ábra, jobbra). 18 21 Néhány φ 16 Átló Belső támasztás Külső támasztás φ 20 Felbontani az alapig Ékelés (keményfa) 2. ábra Dúcolás kialakítása állványzattal. Helyreállítás: Egyenként ki kell bontani egy-egy ablakközt és cement habarcsba rakott, válogatott, áztatott téglából szorított fugával felfalazni, (a vízszintes fuga nem lehet magasabb 12 mm-nél), majd fent, faragott síma felületű téglával kiékelni (a téglákat fakalapáccsal kell beverni). 3. MŰEMLÉKI TARTÓSZERKEZETEK CEMENT ALAPÚ STATIKAI RESTAURÁLÁSÁNAK ANYAGI KÉRDÉSEI A műemlékszerkezetek alrendszerei alapozás, földszinti padlószerkezet, fal (külsõ, belső), lépcső, közbenső födém szinte kivétel nélkül építőelemként a követ és téglát tartalmazzák kötőanyaggal egymáshoz kötve. A használt kőfajták: mészkő, homokkő, andezit, bazalt, trachit, riolit és különféle tufák. A tégla alapanyaga az agyag, melyben a mésztartalom legfeljebb 10 %. Kötőanyagként, a kötés típusa szerint csoportosítva, a következő anyagokat találjuk: - agyag és vályog (száradás után kötnek); - mész, mészhidrát és gipsz (levegőn szilárduló kötőanyagok); - hidraulikus mész, cementek és habarcsok, (levegőn és vízben szilárduló vagy hidraulikus kötőanyagok). Szerkezeti szempontból a legfontosabb kötőanyagunk a hidraulikus mész (már a rómaiak is használták). Szárazon vagy vízben egyaránt megkeményedik és a szilárdulás után a vízben oldhatatlan. Az előállításához a márgát (10 20 % agyagtartalmú mész) 1100 1200 C-ra hevítik fel. Szilárdsága megnő a kötés befejezése után mind a levegőn, mind a vízben, ezért nagyon megfelelő az olyan szerkezetek esetében melyeket később nedvesség érhet. Ezt az anyagot használták Caesar és Augustus korában is, de Vezúv környéki tufával keverve. Az így kapott anyagot később római cementnek (opus caementitium) nevezték el, ilyen cementtel készült a budapesti Lánchíd alapja is 1840-ben. Aspdin (1842) az általa előállított Portland-cement -nél mesterséges keveréssel
próbálta a márga hatását biztosítani, de mivel az oldódó sók 10 % felett vannak, a nedvesség hatására a kristályodási folyamatok veszélyes betonkorrózió alapját képezik. A műemléki habarcsok alkotórészei: - a kötőanyag (mész, hidraulikus mész, trasz és gipsz); - az adalék (az 5 mm-nél kisebb szemcséjű homok vagy kőzúzalék). A Portland-cement megjelenése után sok hibát okozott, hogy a habarcsokhoz (különösen a vakolóhabarcshoz) ilyen kötőanyagot használtak műemlék épületeknél. A műemlékek határoló szerkezeténél végzett restaurálási munkáknál a cél nemcsak a minőség elérése, hanem hogy hosszú távon az épületszerkezet állagvédelme is biztosítva legyen. Vakolatot készíteni és ez úgy látszik, elterjedt felfogás mindenki tud, hiszen ez nem áll másból mint abból, hogy a finom szemcséjű adalékanyagot (homok), kötőanyagot vízzel össze kell keverni és felhordani (bedolgozni) a felületre. Valóban így van, sőt, nagyon sokan a mészhabarcs minőségének javítása érdekében Portland-cementet is adagolnak hozzá. Ilyen eset történt a Szpasz-Neredica székesegyház (XII. századi műemlék) helyreállításánál, melynek falai mészkőből épültek kívűlről meszelve. A restaurátor (Popriskin P. P., műépítész) különösebb körültekintés, előírás nélkül, de sok gondossággal a falak külső felületét Portland-cementet tartalmazó habarccsal vakolta be, hogy azt az időjárás káros hatásától megvédje. Két év múlva az összes bevakolt fal átnedvesedett és a XII. századi freskók rongálódni kezdtek. A leromlás oka főként a külső felületre felvitt, párazáró (párát át nem eresztő) rétegként viselkedő cement vakolat helytelen elhelyezése volt. A cement vakolat eltávolítása után mész és kőzúzalék alapú habarcsot használtak vakolatnak, így sikerült megmenteni a műemléket. Az erőtani számításnál nemcsak szerkezeti, hanem anyagmodelleket is használunk. Habár a múlt század elején érvénybe lépő szerkezeti szabályzatok az anyagmodellek fejlődéséhez vezettek, mégis a szerkezeti modellek fejlődése ezt messze megelőzte. Különbség van a méretezési alapelvek között is. Míg a szerkezeteknél a determinisztikus elmélet a jellemző, addig az anyagok esetében a sztochasztikus alapú módszereket alkalmazzák. Persze, a szerkezetek nem ismerik ezeket az elméleteket és, mint mindenütt a természetben, öntörvényeik szerint viselkednek. A műemlékek szerkezeti teherbíró képességének növelése általában vasbeton szerkezeti vázak beépítésével érhető el. Ezekben az esetekben döntő jelentőségű az összeférhetőség a meglévő és a megerősítő szerkezet között. Ilyen kérdések vezetnek a cement típusának a kiválasztásához. A cement kötését a gipsz jelenlétében duzzadási jelenségek követik. A folyamat fő okozója a cement C 3 A (3CaO.Al 2 O 3 ) tartalma, amely a Portland-cementeknél 9 16 % között mozog. Mivel a műemlék jellegű épületeknél a gipsz típusát lehetetlen meghatározni, olyan cementeket kell használni amelyeknél a C 3 A tartalom minél kevesebb. E célból az őrölt klinkerhez különböző anyagokat kevernek. A hidraulitok, vagy hidraulikus cementek, kiegészítő anyagok lehetnek aktív vagy inaktív jelleggel aszerint, hogy önmagukban is kötőképesek víz hatására vagy nem. Az aktív jellegű hidraulikus anyagok közül megemlíthető a kohásalak, míg az inaktív típusú anyagok közül a trasz, puccolán, kovaföld (diatómaföld), tufa és téglapor (a felsorolást a hidraulikus érték szerint végeztük). Kiegészítő anyagokkal kapott cementek közül a műemlékeknél a kohócement CEM III/A (32,5 52,5)R, a puccolán cement CEM II/A P (32,5 62,5)R, és a kompozit cement CEM II/A M (32,5 62,5)R nyer teret. A kohósalak cement klinkertartalma kisebb, így a C 3 A tartalma csak 3 5 %. Ez a típusú cement jól ellenáll a lágy víz kilúgozó hatásának is, mert kisebb a szabad kalciumhidroxid Ca(OH) 2 tartalma. Egy másik értékes tulajdonsága, hogy nagy a térfogat-állandósága. A hátrányok csak a kötés lassúságában jelentkeznek. A puccolán cement C 3 A tartalma 4 7 %, tehát sokkal kisebb mint a Portland-cementnél. Nagy előnye a tömörség és a szulfátállóság. A műemléki kőfalak falvastagsága általában megtévesztő, mivel faragott kő csak külső belső részen van, míg a falazat közét kőtörmelékkel, sőt földdel töltötték ki. A megerősítési munkáknál ezt nem szabad szem elől téveszteni. 4. STATIKAI KÉRDÉSEK RÉGI ACÉLSZERKEZETEKNÉL A csavarás hatásainak vizsgálata a régi acélszerkezeteknél jelentős, sokszor megengedhetetlen többlet igénybevételt okozhat. Mindenek előtt azt kell tehát gondosan mérlegelnünk, hogy jelentkezik-e csavarás acélszerkezetű tartóinknál, illetve ennek a konzekvenciáját mikor lehet elhanyagolni és mikor kell alapvetően figyelembe venni.
Egy I-keresztmetszetű acéltartónál a csavarás mértékét egy olyan erőpárral helyettesíthetjük Timoschenko elvei szerint, amely az alsó és a felső övnél vízszintesen működik és nagysága természetesen egyenlő a csavarónyomatékkal. A kérdés már most az, hogy ez a viszonylag egyszerű megoldás kellő biztonságot ad-e, illetve nincs-e benne felesleges tartalék. Általánosságban elmondhatjuk, hogy minden esetben kellő biztonságot ad, azonban jelentős megtakarítás jelentkezik ha a gátolt csavarás elvei szerint pontosabban méretezzük a tartót, amire a számítógép programok révén most már viszonylag könnyűszerel mód van. Különböző példák számítási végeredményeiből kiderült, hogy a gátolt csavarással történő pontosabb számítással összevetve a Timoschenko féle közelítés mintegy 30 %-kal tér el a biztonság javára. Csavarás esetén nagyon célszerű a zárt szelvények alkalmazása, mert ez igen jelentős acél megtakarítást eredményez, továbbá szükség volna a csavarás pontosabb vizsgálatát biztosító számítási programokra minél szélesebb körben, végül pedig alapvető, hogy a tervező minden esetben gondosan mérlegelje azt, hogy az acélszerkezet számításánál mit lehet elhanyagolni és mit nem. 5. TÉGLASZERKEZETEK STATIKAI KÉRDÉSEI Ilyen esetekben általában a repedések jelzik a problémát. A falon tapasztalható vízszintes repedések legtöbbször valóban süllyedésről árulkodnak. Csakhogy a süllyedés szót köznapi nyelvünkön használjuk és mindig egyenlőtlen süllyedést értünk alatta. Természetesen, az öreg épületeknél létezik egy természetes avulás is a szerkezetekben. Általában: - a boltozatok a záradékban mindig megrepednek. A hőmozgások és rezgések sokasága a hézagokban ezredmiliméternyi porladásokat idéz elő, de ez a por lehull, elmozdul és így megakadályozza azt, hogy a boltozat eredeti geometriájára alakuljon vissza. Hasonló módon nyomódik kifelé a boltozat válla is, ha hosszanti falat terhel, és ez újra növeli a záradék megnyílását. Ez azonban még nem jelent teljes tönkremenetelt, csak bizonyos intézkedéseket igényel; - a falazatokban alkalmazott mészhabarcs puha anyag, tehát szintén porlik, s így repedések keletkezhetnek a falakban minden külső nyomósabb ok nélkül is; - a fafödémek és kötő -gerendák a tetőszékben csak kevésbé tartják össze a falakat, sőt a nedvesség hatására keletkező mozgásaik holker illetve mennyezetrepedéseket okoznak. Ezeket a természetes jelenségeket el kell választani a külső okból bekövetkezettektől. 2 harang nincs harang 8 10 2 3 3 5 3 4 2 3 2 3 3. ábra Függőleges repedések templomok homlokzatán.
Ha az alapozás környékén és az alsó részeken nincs repedés, akkor nincs elmozdulás, süllyedés. Felfelé haladva a repedések szaporodnak, nagyobbak lesznek és felfelé nyílnak meg. Egyértelmű, hogy fent akar az épület szétmenni (3. ábra). Ennek a kiváltó oka elsőrendűen a boltozatrendszer. De nem a boltozat normális oldalnyomása, hiszen akkor már újkorában baj lett volna vele, hanem az a jelenség, amit már említettünk: a hőmozgások, terhelések stb. miatt a boltozat tágul, aztán néhány porszem a hézagokba esik és már nem tud visszatérni eredeti helyére. Bár ennek csupán ezredmilliméternyi a mérete, sok év alatt már több milliméter széles repedések keletkeznek. Ezt elősegítik a rázkódások, a talajmechanikai kérdésekkel együtt. Mi tudna ellenállni egy vízszintes erőnek, mely az épület felső részein jelentkezik? A koszorú. Akkor persze még a betont sem ismerték, koszorút csak a XX. században kezdtek alkalmazni. Koszorú fogalom alatt azonban értsünk tágabban mindent ami az épület felső részeit összefogni képes, így a közismert koszorún kívül ide tartózik: a falkötő vas, a vonóvas és maga a kötőgerenda is, melyet éppen ezért neveztek így, mert összekötötte az épület szemközti falait. Ilyenkor tehát az a feladat, hogy e hiányzó összekötéseket pótoljuk, majd (esetleg csak egy év múlva) a repedéseket stabilizáljuk. Ajánlott, hogy a koszorú keresztmetszete legalább 24 40 cm 2, vagy 30 30 cm 2 legyen és alaposan túl kell vasalni, hogy ne nyúljon (4. ábra, bal oldali rajz). Le kell venni legalább egy sor téglát, hogy tiszta felületre kössön a beton. Betonozás előtt meg kell a téglát locsolni és folyós betont kell alkalmazni, hogy ne zsugorodjon és ki ne száradjon. Utána PVC-vel le kell takarni kiszáradás ellen, ugyanis nem lehet utókezelni. A fa részeket vasakkal be kell kötni a koszorúba (4. ábra). M12 M12 (4+4)φ 12 2 U10 50 5 φ 6 / 25 φ 20 tüske, 3 m-ként (1,0 m hosszú) 4. ábra Vasbeton koszorúk kialakítása, farészek bekötésével. A koszorú jobb bekötése érdekében lyukakat lehet fúrni óvatosan a téglafalba. A φ 30 mm-es lyukba híg cementhabarcsot töltünk és egy φ 20 mm-es tüskét helyezünk bele. Ma már nem gond akár másfél méter mély lyukakat is fúrni (bányvállalatoknak vannak ilyen fúróik), de itt elég lenne 3 m-ként egy 60 80 cm-es lyuk, benne egy méteres dorni. A koszorú két végén mindenkép egy kisebb tömböt tanácsos kialakítani. A koszorúk folytatódhatnak acélszerkezetekben is, mivel általában acélszerkezetek befogására nagyon alkalmasak. A koszorúk esetében fontos a keresztirányú összekötés. Ha valahol koszorút lehet kiképezni (pl. a végfalakon), akkor az a legcélszerűbb. Az adott esetben, a két felső koszorút össze lehet kötni vonóvasakkal, melyeket közepesen szabad csak megfeszíteni, és persze a nyúlások csökkentése végett jócskán túl kell méretezni. A vastag méretek előnyösek a rozsdásodás ellen is, így a tartósságot is szolgálják. A legcélszerűbb a végfalon kiképzett koszorú (5. ábra). A régi épületeknél a falkötő vas pótolta a vasbeton koszorút (6. ábra). 5. ábra Végfalon kiképzett lépcsőzetes koszorú.
6. ábra Túlterheléstől eltorzult falkötő vas az ajtónyílás feletti boltív szomszédságában. Főállások két oldalán acél szerkezet Vonóvas 2,00 m-ként Faszerkezet kikötése a koszorúhoz Koszorú 7. ábra Fa tetőszerkezet acél vonóvasakkal kombinálva.
A régiek sokszor alkalmaztak kupolák oldalnyomása ellen egy fa tetőzet és acél vonóvas kombinációt (7. ábra). Persze itt az acél elemek a főállások két oldalára kerülnek, csavarokkal rögzítve de fent valamiféle papuccsal, mert a csavarok az ilyen régi fákban nem érnek annyit mint az újakban, a szegek pedig semmit. Természetesen statikai számítással kell a fa főtartók teherbírását ellenőrízni. Valószínűleg jó lesz az avultság miatt fél határfeszültséggel számolni, így a keresztmetszetek igen nagyok szoktak lenni. A fa repedései nem számítanak, hacsak nem valami rendkívüli méretűek. Irodalmi hivatkozások [1] Kopenetz L.: Gondolatok statikusoknak, Kriterion Könyvkiadó, Kolozsvár, 2006. [2] Murzewski J.: Sicherheit der Baukonstruktionen, Verlagsgesellschaft Rudolf Müller, Köln, 1974. [3] Gillyén J., Horváth Z. K., Iványi J., Kovács B., Polgár L., Tóth L., Zámbó E.: Tapasztalatok és ajánlások tartószerkezetek tervezőinek és építőinek, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1998. [4] Zöldy S.: Épületkárok, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1969. [5] Lánczos C.: Applied Analysis, Pitman & Sons Ltd, London, 1957. [6] Csák B., Hunyadi F., Vértes Gy.: Földrengések hatása az építményekre, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1981. [7] Dulácska E.: Statikai kisokos, Sámson Kft, Budapest, 2004. [8] Dulácska E., Kollár L.: Keretek közelítő stabilitásvizsgálata, Mélyépítéstudományi Szemle, 1961/11. [9] Kollár L. P.: Buckling Analysis of Coupled Shear Walls by the Multi-Layer Sandwich Model, Acta Technica Hung., 1986/99. [10] Gáspár Zs.: Rúdszerkezetek stabilitásvizsgálata, Műszaki tudomány, 1972/45. [11] Korányi I.: Stabilitási kérdések a mérnöki gyakorlatban, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1965. [12] Dulácska E., Kollár L.: Angenaherte berechnung des Momentenzuwachses und der Stabilität von gedruckten Rahmenstielen, Bautechnik, 1960/3, vol.37. [13] Dulácska E.: Vasbeton faltartók tervezési kérdései, Mélyépítéstudományi Szemle, 1966/16. [14] Kollár L., Dulácska E.: Héjjak horpadása, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1975. [15] Kováts O., Faber G.: A rugalmas stabilitás kézikönyve, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1963. [16] Bosznay A.: Műszaki rezgéstan, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1962. [17] Vértes Gy.: Építmények dinamikája, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1976. [18] Szalay B.: Fizika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. [19] Beda Gy., Kozák I.: Rugalmas testek mechanikája, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1987. [20] Beda Gy., Kozák I., Verhas J.: Kontinuum mechanika, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1986. [21] Farmer I. W.: Engineering Properties of Rocks, Spon, London, 1968. [22] Dulácska E.: Stabilitási útmutató és példatár, TS-23, TTEI, 1987. [23] Massányi T., Dulácska E.: Statikusok könyve, Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1989.