AZ I. FEJEZET SUMMÁJA HÁROMDIMENZIÓS EUKLIDESZI GEOMETRIA AZ EUKLIDESZI ÉS A LORENTZ-TRANSZFORMÁCIÓ ÖSSZEHASONLÍTÁSA NÉGYDIMENZIÓS LORENTZ- GEOMETRIA Feladat: megtalálni az összefüggést egy pontnak egy nem elforgatott koordinátarendszerben mért (vesszőtlen) és ugyanannak a pontnak egy elforgatott koordinátarendszerben mért (vesszős) koordinátái között egy eseménynek a laboratóriumi vonatkoztatási rendszerbeli (vesszőtlen) és ugyanannak az eseménynek az űrhajó vonatkoztatási rendszerében mért (vesszős) koordinátái (tér- és időkoordinátái) között Az elemzést egyszerűsítő feltételek az origók egybeesnek forgatás az xy síkban; az y és az y tengelyek θ r szöget zárnak be (meredekség: S r = thθ r ) z = z minden koordinátát méterben mérünk az origók t = t = 0-kor egybeesnek az űrhajó vonatkoztatási rendszere a pozitív x tengely irányában mozog, a laboratóriumhoz képest θ r sebességparaméterrel (sebesség: β r = thθ r ) y = y, z = z minden koordinátát méterben mérünk (az idő egysége: 1 méter fényút megtételéhez szükséges idő ) Az invariáns, melynek értéke mindkét vonathoztatási rendszerben ugyanaz ezért (hosszúság) 2 = L 2 = x 2 + y 2 + z 2 x 2 + y 2 = x 2 + y 2 (térszerű intervallum) 2 = σ 2 = (időszerű intervallum) 2 = τ 2 = x 2 + y 2 + z 2 t 2, ezért x 2 t 2 = x 2 t 2 Az utóbbi feltétel teljesüléséhez vezető általános összefüggés cos 2 θ + sin 2 θ trigonometrikus függvényekre ch 2 θ sh 2 θ = 1 hiperbolikus függvényekre
AZ I. FEJEZET SUMMÁJA HÁROMDIMENZIÓS EUKLIDESZI GEOMETRIA AZ EUKLIDESZI ÉS A LORENTZ-TRANSZFORMÁCIÓ ÖSSZEHASONLÍTÁSA NÉGYDIMENZIÓS LORENTZ- GEOMETRIA Transzformáció vesszős koordinátákról vesszőtlen koordinátákra x = x cos θ r + y sin θ r = x + S r y (1 + S 2 r ) 1/2 y = x sinθ r + y cos θ r = S rx + y (1 + S 2 r ) 1/2 (euklideszi transzformáció) x = x ch θ r +t sh θ r = x + β r t (1 β 2 r ) 1/2 t = x sh θ r +t ch θ r = β r x +t (1 β 2 r ) 1/2 (Lorentz-transzformáció) Transzformáció vesszőtlen koordinátákról vesszős koordinátákra x = xcos θ r ysin θ r = x S ry (1 + S 2 r ) 1/2 y = xsinθ r + ycos θ r = S rx + y (1 + S 2 r )1/2 x = xchθ r t sh θ r = x β rt (1 β 2 r )1/2 t = xshθ r +t ch θ r = β rx +t (1 β 2 r ) 1/2 meredekségek összeadása: ha egy egyenes θ szöget zár be az elforgatott y tengellyel, akkor a nem elforgatott y tengellyel bezárt θ szögét a θ = θ + θ r összefüggés adja meg, vagy relatív meredekségek kifejezésében tgθ = tg θ + tg θ r 1 tg θ tg θ r S = S + S r 1 S S r Fontos összeadási törvények sebességek összeadása: ha egy lövedék az x tengely irányában mozog a vesszős űrhajórendszerhez képest θ sebességparaméterrel, akkor a vesszőtlen laboratóriumi rendszerbeli θ sebességparaméterét a θ = θ + θ r összefüggés adja meg, vagy relatív sebességek kifejezésében thθ = th θ + th θ r 1 + th θ th θ r β = β + β r 1 + β β r
Téridőfizika
További olvasnivaló a kiadó kínálatából: HRASKÓ PÉTER: Relativitáselmélet FREI ZSOLT PATKÓS ANDRÁS: Inflációs kozmológia E. SZABÓ LÁSZLÓ: A nyitott jövő problémája TIMOTHY FERRIS: A világmindenség. Mai kozmológiai elméletek ANDRÉ BRAHIC: A Nap gyermekei LEON LEDERMAN: Azistenia-tom
EDWIN F. TAYLOR JOHN ARCHIBALD WHEELER Téridőfizika Fordította: DR. ABONYI IVÁN Budapest, 2006
A könyv az Oktatási Minisztérium támogatásával, a Felsőoktatási Tankönyv- és Szakkönyvtámogatási Pályázat keretében jelent meg. Hungarian translation c Dr. Abonyi Iván 1974, Typotex, 2006 c Copyright 1963, 1966 by W. H. Freeman and Company Aműeredeticíme: Spacetime Physics 1. kiadás W. H. Freeman and Company San Francisco és London, 1963 A fordítás a könyv 1966-os kiadása alapján készült Fordította: Dr. Abonyi Iván A fordítást az eredetivel összevetette és szakmailag ellenőrizte: Dr. Károlyi Gyula ISBN 963 9548 86 3 Témakör: fizika, csillagászat Kedves Olvasó! Önre gondoltunk, amikor a könyv előkészítésén munkálkodtunk. Kapcsolatunkat szorosabbra fűzhetjük, ha belép a Typoklubba, ahonnan értesülhet új kiadványainkról, akcióinkról, programjainkról, és amelyet a www.typotex.hu címen érhet el. Honlapunkon megtalálhatja az egyes könyvekhez tartozó hibajegyzéket is, mert sajnos hibák olykor előfordulnak. Kiadja a Typotex kiadó, az 1795-ben alapított Magyar Könyvkiadók és Könyvterjesztők Egyesülésének tagja. Felelős kiadó: Votisky Zsuzsa Felelős szerkesztő: Dr. Bokor Nándor Műszaki szerkesztő: Bori Tamás Borítóterv: Tóth Norbert Terjedelem: 25,73 (A/5) ív Készült a Naszály Print Kft. nyomdájában Felelős vezető: Hemela Mihályné
Tartalomjegyzék Előszó 7 I. A téridő geometriája 9 1. Mese a földmérőkről 9 2. Az inerciális vonatkoztatási rendszer 14 3. A relativitás elve 21 4. Egy esemény koordinátái 27 5. Az intervallum invarianciája 33 6. A téridő-diagram; a világvonalak 41 7. A téridő tartományai 50 8. A Lorentz-transzformáció 54 9. A sebességparaméter 64 Az I. fejezet feladatai 79 Bevezetés az I. fejezet feladataihoz 79 A. A téridő-intervallum 81 B. A Lorentz-transzformáció 85 C. Rejtvények és paradoxonok 95 D. A háttér 101 E. Közelítések kis sebességek esetén 119 F. Téridő-fizika: további megfigyelések 128 G. A geometriai értelmezés 134 H. Szabad a vásár! 141 II. Az impulzus és az energia 149 10. Bevezetés. Az impulzus és az energia tömegegységekben 149 11. Az impulzus 152 12. Az energia-impulzus négyesvektor 161 13. Az energia és a nyugalmi tömeg egyenértékűsége 174 Hogyan élünk és hogyan élünk vissza a tömeg fogalmával 190 A II. fejezet feladatai 197 Bevezetés a II. fejezet feladataihoz 197 A. Általános problémák 199 B. Az energia és a nyugalmi tömeg egyenértékűsége 209 C. Fotonok 212 D. A Doppler-eltolódás 226 E. Ütközések 237 5
6 TARTALOMJEGYZÉK F. Az atomfizika 249 G. A csillagközi repülés 257 III. A görbült téridő fizikája 259 A fizika vázlata a téridő-szempontból szemlélve 273 Az I. fejezet feladatainak megoldása 281 A II. fejezet feladatainak megoldása 313 Név- és tárgymutató 357
Előszó A XIX. század mechanikában, elektrodinamikában és az anyagszerkezet megismerésében elért eredményeit harmonikus egészbe foglalták a relativitáselmélet és a kvantumelmélet nagyszabású, modern, egységes elvei. Bevezető fizikaielőadássorozatot tartani úgy, hogy nem hívjuk segítségül ezeknek az egyszerűsítő koncepcióknak az erejét, hasonló lenne ahhoz, hogy hosszadalmas osztásokat végzünk fáradalmasan a római számokat használva, az arab számok kínálta előnyöket nem ismerve fel. A Téridő-fizika, amit az első éves egyetemi hallgatók fizikakurzusának első hónapjára dolgoztunk ki, példamutatóan kész Einstein és a többiek egyszerűsítő felfedezéseit inkább a fizikai tanulmányok elejére, mint végére helyezni. Könyvünk elemi, de mégis biztos és szigorú bevezetést kínál a relativitáselméletbe, és annak a napnak eljövetelén igyekszik munkálkodni, amikor a fizikustanuló éppoly otthonosan érzi majd magát a téridő geometriájában, mint múlt századi elődje az euklideszi geometriában. Könyvünk első változatait több intézményben használták kezdő osztályokban vagy magasabb szinten, középiskolai tanárok nyári iskoláin. A differenciálszámításra való hivatkozást minimálisra szorítottuk (a sebesség fogalma), az idevágó ismereteket a vezető tanár pótolhatja, ha ezt történetesen nem tette volna meg egy korábbi vagy paralel előadás. Több mint száz feladat amelynek nagy részét részletesen megoldottuk a mai kísérletek széles körét elemzi, a relativitáselmélet megfigyelésekből adódó és filozófiai megalapozását vizsgálja, és gazdag választékot kínál fejtörő kérdésekből és paradoxonokból. Néhány bonyolultabb probléma (amelyet csillaggal jelöltünk meg) a differenciálszámítás ismeretét igényli, ezek a haladók problémamegoldó készségét igyekeznek kihívni. Az első fejezet a téridő legegyszerűbb és legfontosabb tulajdonságait fejti ki. A téridő-geometria paradoxonai szertefoszlanak, amint a mindennapi euklideszi geometria hasonló paradoxonaival vetjük őket össze. Szoros kapcsolat épül ki a téridő geometriája és a szabadon mozgó test fizikája között. A második fejezet megelőzi az F = ma Newton-féle mozgásegyenlet hagyományos, de korai használatát, és ehelyett közvetlenül a hatás-ellenhatás elvéhez, illetve az impulzusmegmaradás elvéhez fordul. Az impulzus és az energia, áttörve a newtoni kép határait, egy nagyobb egység részeinek mutatkoznak, amely a nyugalmi tömeget is átöleli. A harmadik fejezet a speciális relativitáselmélet korlátait és az relativitáselmélet területét vizsgálja. A könyv a fizika panorámaképével zárul, azzal 7
8 ELŐSZÓ a képpel, amely a téridő szempontjából látszik, s a fizika megértéséhez vezető igazán egyszerűutattűzi ki, mert bemutatja, hogyan működik a világ gépezete.