1. A halmazokkal kapcsolatos fogalmak, jelölések A csoport AC Milan Málaga Győri ETO FC CFR B csoport Barcelona Celtic Fenerbahce Montpellier C csoport Juventus Lille Chelsea Shakhtar D csoport Paris Saint-Germain Liverpool Bayern Zenit A Bajnokok Ligája egy idényében szerepelt labdarúgó csapatok közül sorolunk fel néhányat: AC Milan, Juventus, Málaga, Lille, Barcelona, Montpellier, Paris Saint- Germain. Másoljuk le a füzetbe az alábbi táblázatot, és helyezzük el benne a csapatokat az országukhoz! Olaszország Spanyolország Franciaország MEGOLDÁS Olaszország Spanyolország Franciaország AC Milan Juventus Málaga Barcelona A labdarúgó csapatokat az országoknak megfelelő halmazokba soroltuk. Lille Montpellier Paris Saint-Germain Már az általános iskolából is ismerjük a halmaz fogalmát. A halmaz bizonyos meghatározott, különböző dolgok öszszességét jelenti. Ezzel csak körülírtuk a halmaz fogalmát, mert nem tudjuk nála egyszerűbb fogalmakra visszavezetve értelmezni. A matematikában az olyan fogalmakat, amelyekről csak érezzük, hogy mit jelentenek, de egyszerűbb fogalmakkal nem tudjuk meghatározni, alapfogalmaknak nevezzük. Léteznek azonban olyanok is, amelyeket már korábban megismert, náluk egyszerűbb fogalmak segítségével értelmezünk. Ekkor azt mondjuk, hogy definiáljuk a fogalmat. A halmaz tehát alapfogalom. Halmazokat képezhetünk labdarúgó csapatokból, csillagokból, emberekből, autókból, madarakból stb., azaz a legkülönfélébb dolgokból. Ezeket nevezzük a halmaz elemeinek. Például: az AC Milan a Bajnokok Ligájában szerepelt csapatok halmazának eleme. 8
A halmaz elemét nem definiáljuk, azaz alapfogalomnak tekintjük. Egy halmaz megadása azt jelenti, hogy elemeit egyértelműen meghatározzuk. Ez az alábbi módok valamelyikével történhet: a) a halmaz elemeinek a felsorolásával, amelyeket kapcsos zárójelbe teszünk. Egy elem csak egyszer szerepelhet a felsorolásban. Például: { 2; 3; 5; 7}, {Budapest; Debrecen; Győr; Kecskemét; Miskolc; Nyíregyháza; Pécs; Szeged; Székesfehérvár}, {hélium; neon; argon; kripton; xenon; radon}. Sokszor előfordul, hogy egy halmaz túl sok elemet tartalmaz ahhoz, hogy mindet felsoroljuk. Ilyen esetben elég annyit megadni, amely alapján egyértelműen meg tudjuk mondani, hogy mik a halmaz elemei. Például: 3; 6; 9; 12; ; 99 b) olyan utasítással, amely alapján egyértelműen el lehet dönteni, hogy valamely elem eleme-e a halmaznak vagy sem. Az egyértelmű utasítást is kapcsos zárójelbe írjuk. Például {egyjegyű, pozitív prímszámok}, {százezer főnél nagyobb lélekszámú magyarországi városok}, {nemesgázok}, {a hárommal osztható, legfeljebb kétjegyű, nemnegatív egész számok}. Ebből következik, hogy például a szép lányok halmaza nem létezik. A halmazokat általában nagybetűvel jelöljük, de a geometriában például: a kör, az egyenes mint ponthalmaz jelölésére kisbetűket használunk. Például az A halmaz a 2, 3, 5, 7 elemek halmaza: A = { 2; 3; 5; 7 }. 1. Példa Petőfi legszebb versei Petőfi összes művei I. János Vitéz Apostol A helység kalapácsa Petőfi időskori versei Miskolc Nyíregyháza Budapest Gyôr Székesfehérvár Debrecen Kecskemét Szeged Pécs Olvassuk ki az alábbi jelöléseket! a) B = {Budapest; Debrecen; Győr; Kecskemét; Miskolc; Nyíregyháza; Pécs; Szeged; Székesfehérvár}, b) C = { hélium; neon; argon; kripton; xenon; radon}, c) D = 3; 6; 9; 12; ; 99 MEGOLDÁS a) B = {Budapest; Debrecen; Győr; Kecskemét; Miskolc; Nyíregyháza; Pécs; Szeged; Székesfehérvár } a B halmaz a Budapest, Debrecen, Győr, Kecskemét, Miskolc, Nyíregyháza, Pécs, Szeged, Székesfehérvár városok halmaza. b) C = {hélium;{ neon; argon; kripton; xenon; radon} a C halmaz a hélium, neon, argon, kripton, xenon, radon gázok halmaza. c) D = 3; 6; 9; 12; ; 99 a D halmaz a 3; 6; 9; 12; ; 99 számok halmaza. Arra, hogy valamely elem a halmaznak eleme-e vagy sem, ugyancsak használunk jelölést. A 2 eleme az A halmaznak, ezt az alábbi módon jelöljük: 2 A. Azt, hogy például a 6 nem eleme az A halmaznak, így jelöljük: 6 A. 9
2. Példa Adjuk meg az alábbi halmazokat elemeik felsorolásával! a) E = { egyjegy û prímszámok} ; b) F = {százezer fô nél nagyobb lélekszámú magyarországi városok}; c) G = { nemesgázok }; d) H = { a hárommal osztható, legfeljebb kétjegy û, nemnegatív egész számok}. MEGOLDÁS Az általános iskolában már volt szó a prímszámokról. Erre a számelmélettel foglalkozó fejezetben még visszatérünk, de nem árt a fogalmat itt is feleleveníteni. DEFINÍCIÓ: Az olyan pozitív egész számot, amelynek pontosan két pozitív osztója van, prímszámnak nevezzük. Ez a két szám az 1 és önmaga. a) A definícióból kiderül, hogy az 1 nem prímszám, mert az 1-nek csak egy pozitív osztója van, az 1. Ez alapján: E = { 2; 3; 5; 7 }. b) Az F halmaz elemeinek megállapításához a földrajzi atlaszban található Magyarország-térképet használhatjuk fel. Ez alapján: F = {Budapest; Debrecen; Győr; Kecskemét; Miskolc; Nyíregyháza; Pécs; Szeged; Székesfehérvár}. c) A nemesgázokat kémia tanulmányainkból ismerjük. Ez alapján: G = { hélium; neon; argon; kripton; xenon; radon }. d) Végül a H halmaz elemei a három 100-nál kisebb nemnegatív többszörösei, tehát a 0 is eleme a H halmaznak. Így: H = 0; 3; 6; 9; 12; ; 99. Vegyük észre, hogy az 1. és a 2. példában szereplő halmazok között vannak olyanok, amelyek elemei megegyeznek! Ilyenek a B és F, illetve a C és G halmazok. Ha két halmaz között ilyen kapcsolat áll fenn, akkor azt mondjuk, hogy a két halmaz egyenlő egymással. Ennek jelölésére a számok köréből már jól ismert = jelet használjuk. Ez alapján B= F és C = G. A H és D halmaz abban tér el egymástól, hogy 0 H, de 0 D. A két halmaz elemei nem egyeznek meg, így H D, azaz H nem egyenlő D-vel. Az A és B halmaz akkor és csak akkor egyenlő, ha az A halmaz elemei azonosak a B halmaz elemeivel. Pontosabban: DEFINÍCIÓ: Két halmaz egyenlő, ha x A, akkor, és csak akkor, ha x B. Jelölése: A= B. 10
Feladatok 1. Soroljuk fel a finom ételek halmazának elemeit! 2. Olvassuk ki az alábbi jelöléseket, és adjuk meg a halmazok elemeit! (A feladat megoldásához, ahol szükséges, használjuk az internetet!) a) b) A = {a 2007 számjegyei} ; B = {a MATEMATIKA szó betûi} ; c) C = {a Déli-Kárpátok 2500 m-nél magasabb csúcsai} ; f) F = {Radnóti Miklós verseskötetei} ; d) e) g) D = {a Naprendszer bolygói} ; E = {alkálifémek} ; G = {az osztály Gábor keresztnevû diákjai}. 3. Adjuk meg egyértelmű utasítással az alábbi halmazokat! (A feladat megoldásához, ahol szükséges, használjuk az internetet!) a) A = {3; 7; 11; 15; 19} ; b) B = {Julius Caesar; Pompeius; Marcus Licinius Crassus} ; c) C = {Szépség koldusa; Nem én kiáltok; Döntsd a tôkét, ne siráánkozz; Külvárosi éj; Medvetánc; Nagyon fáj}; d) D = {11; 13; 17; 19; 23; 29} ; e) E = {{2} ; {1}} ; f) F = {berillium; magnézium; kalcium; stroncium; bárium; rádium} ; g) G F = { mezei berillium; csiperke; magnézium; nyári szarvasgomba; kalcium; stroncium; piruló bárium; őzlábgomba; rádium céklatinóru; }; D = {11; 13; császárgomba 17; 19; 23; 29};; h) H F = { király; berillium; vezér; magnézium; bástya; D = {11; futó; kalcium; 13;huszár; 17; 19; stroncium; gyalog 23; 29}.; bárium; rádium} ; 4. Mely halmazok egyenlők az alábbiak közül? A hárommala) osztható A = {A a 20-nál hárommal 30-nálnagyobb, kisebb osztható 20-nál 30-nál 30-nál nagyobb kisebb, kisebb hárommal hárommal 20-náll nagyobb osztható oszthatóhárommal számok. számok} ;l osztható számok.} b) B = {21; 24; 27; 30}; c) C = {a 7, 8, 9 számok háromszorosa}; d) D = {a 42, 48, 54, 60 számok fele}. 5. Két dobozban kavicsok vannak, az egyikben 100, a másikban 70. Két játékos felváltva vesz el valamelyik kupacból tetszőleges számú kavicsot, de legfeljebb annyit, amennyi a halmazban található. A játékot az nyeri, aki elveszi az utolsó kavicsot. Játszuk ezt a játékot a társainkkal! Tudunk úgy játszani, hogy bármit csinál a társunk, mi nyerjünk? (Van-e nyerő startégia?) 11
2. A halmaz elemszáma Legyen B = {Magyarországon található 1050 m-nél magasabb hegyek}! Olvassuk ki az előző jelölést! Adjuk meg a B halmaz elemeit! MEGOLDÁS A B halmaz a Magyarországon található 1050 m-nél magasabb hegyek halmaza. Földrajzból már általános iskolában is tanultuk, hogy Magyarország legmagasabb pontja a Kékestető, amelynek a tengerszint feletti magassága 1014 m. Így a B halmaznak nincs egyetlen eleme sem. Az ilyen halmazt üres halmaznak nevezzük. DEFINÍCIÓ: Az olyan halmazt, amelynek nincs eleme, üres halmaznak nevezzük. Jelölése:, vagy {}. Nagyon fontos, hogy a két jelölés nem alkalmazható egyszerre, mert a { } szimbólum egy olyan halmazt jelent, amelynek egy eleme van, az üres halmaz. ; ; ; halmaznak négy eleme van, míg B = {Budapest; Debrecen; Győr; Kecskemét; Miskolc; Nyíregyháza; Pécs; Szeged; Székesfehérvár} halmaz kilenc elemet tartalmaz. Ezzel megkaptuk az A, illetve a B halmaz elemszámát, amit a következőképpen jelölünk: Az A = { 2 3 5 7} A = 4, tehát az A halmaz elemszáma 4; B = 9, tehát a B halmaz elemszáma 9. A halmaz elemszámát úgy jelöljük, hogy a halmaz betűjelét abszolút értékbe tesszük. Például: A. Nagyon fontos szerepet töltenek be a halmazok körében a számhalmazok, melyekkel behatóbban a következő leckében foglalkozunk. A jelölésükre külön szimbólumot használunk: természetes számok halmaza: natura (= természet) szóból; egész számok halmaza: Zahl (= szám) szóból; racionális számok halmaza: kvóciens (= hányados) szóból; valós számok halamaza: real (= valós) szóból. 12
További jelölések például: pozitív egész számok halmaza: + vagy + ; negatív valós számok halmaza:. 1. Példa Fogalmazzuk meg szavakkal, hogy milyen elemekből állnak az alábbi halmazok! Soroljuk fel az elemeiket! Melyek egyenlők az alábbi halmazok közül? Adjuk meg a halmazok elemszámát! a) A= 2 n 3 < n 9 és n { 3 2 3 és } { 2 8 és + } b) B= k k k c) C = m+ m m MEGOLDÁS A megadott utasítások mindegyike két részből áll. Az első rész, amely a függőleges vonal előtt található, a halmaz elemeit bemutató kifejezés, a reprezentáns. A második rész, amely a függőleges vonal mögött látható, azt a számhalmazt adja meg, amelyből vesszük a kifejezésben szereplő betű vagy betűk értékeit. a) Most nézzük az A halmaz elemeit! Mivel az n értékei háromnál nagyobb, kilencnél nem nagyobb természetes számok, ezért az n lehet 4, 5, 6, 7, 8, 9. A kifejezés szerint ezen számoknak kell venni a kétszeresét. Tehát: A = { 8; 10; 12; 14; 16; 18}, szavakkal A = {a hatnál nagyobb, húsznál kisebb páros számok}. A = 6. Az A halmazbeli jelölést használva könnyen megadhatjuk a páros számok általános alakját: 2n, ahol n egész szám, azaz n. b) A k értékei: 2, 1, 0, 1, 2, 3. Tudjuk, hogy k 3 = k k k. Ez alapján B = 8; 1; 0; 1; 8; 27, azaz B = a 8-nál nem kisebb, 27-nél nem nagyobb köbszámok. B = 6. c) Mivel az m pozitív egész, és nem nagyobb nyolcnál, így m értékei: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Tehát ; ; ; ; ; ; ;. A C halmaz minden eleme egy egész szám háromszorosánál, azaz egy hárommal osztható számnál 2-vel nagyobb szám. Az ilyen számokra azt mondjuk, hogy hárommal osztva kettőt adnak maradékul, vagy röviden a hármas maradékuk kettő. Ez alapján a C halmaz megadása szavakkal megfogalmazva C = {26-nál nem nagyobb, ötnél nem kisebb egész számok, melyek hármas maradéka kettő}. C = 8. C = { 5 8 11 14 17 20 23 26} 2. Példa Adjuk meg az alábbi halmazokat az előző feladatban használt matematikai jelekkel! Soroljuk fel a halmazok elemeit! a) D = a 5-nél nagyobb, 7-nél kisebb páratlan számok ; b) E = { az 1-nél nem kisebb, 100-nál kisebb négyzetszámok }. 13
MEGOLDÁS a) Ha egy páros számhoz egyet hozzáadunk, páratlan számot kapunk. Az is igaz, hogy bármely páratlan szám előállítható így. Mivel a páros számok 2 nn, összefüggéssel adhatók meg, ezért a páratlan számok a 2n+ 1, n kifejezéssel írhatók fel. A D halmaz elemei a 5-nél nagyobb, de 7-nél kisebb páratlan számok, ezért az n értékét úgy kell megadni, hogy a 5< 2n + 1< 7 fennálljon. Ebből 6< 2n < 6 következik, amit elosztva kettővel kapjuk, hogy 3< n < 3. Tehát D= { 2n+ 1 3< n< 3 és n }= { 3; 1; 1; 3; 5}. b) A négyzetszámokat úgy kapjuk, hogy egy egész számot megszorzunk önmagával, ezért a 2 négyzetszámok általános alakja: m m= m, ahol m. A negatív számok négyzete pozitív, ezért elég, ha m. Ráadásul a halmazban a 0 sem szerepelhet. 2 + Ezt figyelembe véve az E = m m < 10 és m 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81. = Feladatok 1. 2. 3. Legyen A = {a rendesen szó betűi}! Olvassuk ki az előző jelölést! Adjuk meg az A halmaz elemeit felsorolással! Hány elemű a halmaz? Legyen A = {kétjegyű, pozitív páros számok, melyek mindkét számjegye prímszám}! Soroljuk fel a halmaz elemeit! Hány elemű a halmaz? Milyen halmazokat képezhetünk a képen látható elemekből? 4. 5. Fogalmazzuk meg szavakkal az alábbi halmazok megadási utasításait! a) A= 2n 1 n< 13 és n + ; { 2 2 7 és }; { 4 3 2 3 és }; { 100 5 9 és + }. b) B= k k k c) C = j+ j j d) D= a+ a a Adjuk meg matematikai jelekkel az alábbi halmazokat! Soroljuk fel a halmazok elemeit! a) A = {a 30-nál kisebb nemnegatív köbszámok kétszerese}; b) B = {a 10-nél nem kisebb, 120-nál kisebb, 7-tel osztható számok}; c) C = {a 7-re végződő háromjegyű számok}; d) D = {a 100-nál kisebb négyzetszámoknál eggyel nagyobb számok}. 14