II.4. LÓVERSENY Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Kombinatorika ismétlés nélküli és ismétléses permutáció, variáció és ismétlés nélküli kombináció. Leszámlálás. Előzmények Cél Egyszerű leszámlálási feladatok. Egyszerű kombinatorikai feladatok. Százalékszámítás. A kombinatorikus gondolkodásmód, valamint a modellalkotás és szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei + Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatmegoldás során javasoljuk, hogy csoportmunkában vitassák meg a problémákat és a megoldási utakat. Ha az 1. a) és az 1. b) feladat közötti különbség nem világos, akkor nyomatékosítsuk, hogy a lótulajdonosoknak a bevétel szempontjából csak az számít, hányadik helyre futottak be a lovaik, de az nem, hogy melyik hányadik helyre. Vonhatunk párhuzamot is az autóverseny és a lóverseny között (például a Forma-1 versenysorozatban nemcsak a pilóták, hanem az istállók, azaz a csapatok is versenyeznek egymással, a csapatok pontjai a pilótáik pontjainak összegével egyenlők). A kombinatorikus gondolkodás, modellalkotás, a leszámlálások végiggondolása az alapvető sokkal fontosabb, mint a permutációk, illetve variációk eseteinek beazonosítása az egyes feladatoknál. Inkább a gondolkodás fejlesztésére törekedjünk, ne a sablonok használatára. Közös megbeszélésnél nézzük végig a különféle megoldásokat; csoportmunkánál különösen biztassuk a diákokat többféle megoldás, illetve reprezentáció kidolgozására. Mutasson a tanár is minél többféle megoldást. A diákok (és a tanár is) mondják el, hogyan gondolkodtak. Ebből látható, helyes-e az okoskodásuk, a többiek is tanulhatnak belőle. A faábra nemcsak szemléletes, de hasznos és tananyag is (gráfok). A kis számokkal, próbálgatással történő leszámlálási mód pozitívan értékelendő, különösen, ha ebből kiindulva elmozdulás történik a modellalkotás, absztrahálás irányába. A kom- II. Kombinatorika, gráfok II.4. Lóverseny 1.oldal/7
binatorikus gondolkodás fejlődése tetten érhető abban, ha az egyik feladat tanulságait, módszereit a feladatsor további részében alkalmazni tudja a diák azonos módon, alkalmas módosítással vagy összetett probléma megoldásának részeként. A feladatok kipróbálhatók más (kisebb v. nagyobb) számokkal, akár valóságos adatokkal is. A feladatsorhoz visszatérhetünk a valószínűségszámítás témakörnél, amikor az egyes istállók, illetve az egyes lovak nyerési valószínűségeit számítjuk ki, illetve esélykalkulációt végzünk. A feladatsor a későbbi valószínűségszámítási, esélykalkulációs témakörök előzményének tekinthető (ott újból elővehető vagy megemlíthető). A 2.d) feladat nehéz az átlagos diák számára, csak a legjobbaknak ajánljuk a megoldását. A feladatsorban szóba kerülnek a lóversennyel kapcsolatos egyes fogadási módok is. Érdemes megvitatni a kapott eredmények alapján, hogy mennyire éri meg ezt a fajta szerencsejátékot játszani hosszú távon. Érdemes figyelmeztetni a diákokat a szerencsejáték szenvedélyre is mint egyfajta betegségre (lásd Dosztojevszkij A szerencsejátékos című novelláját). Az online fogadások elterjedése tovább rontja a helyzetet, ugyanis az átutalások miatt a pénz konkrét használata nem érződik annyira, így még könnyebb hatalmas veszteségeket szenvedni. II. Kombinatorika, gráfok II.4. Lóverseny 2.oldal/7
LÓVERSENY Feladat sor Egy helyi bajnokságon két istálló indít paripákat. Az Aranypatkó két paripát (Szellőt és Cukorbabát), a Gyémántnyereg istálló pedig egy paripát (Kincsemet). Mindegyik paripa kitűnő állapotban van, zsokéik tapasztalt versenyzők, így egyforma esélyekkel indulnak. A versenyeken a befutási sorrendet mindig egyértelműen eldöntik, holtverseny nem alakulhat ki. 1. a) Ha minden lovat megkülönböztetünk, hányféle befutási sorrend lehetséges? b) A tulajdonosoknak sokszor csak az számít, hogy lovaik jól szerepeljenek, de az már nem érdekli őket, hogy az istállón belül milyen sorrend alakul ki. Ebből a szempontból nézve hányféle befutási sorrend lehetséges? A verseny előírásai szerint a jó megkülönböztethetőség érdekében a zsokék színes inget és sapkát viselnek, melyek színe eltér a többiekétől. (Egy zsokénak viszont lehet azonos színű az inge és a sapkája.) A zsokék ingének és sapkájának színét az istálló színei közül választják ki. Az Aranypatkó istálló színei a vörös és a sárga, a Gyémántnyereg istálló színei a fehér és a kék. 2. a) Hányféleképpen öltöztetheti fel a Gyémántnyereg istálló a zsokéját? b) Hányféleképpen öltöztetheti fel az Aranypatkó istálló a két zsokéját? (A zsokékat megkülönböztetjük egymástól!) c) Hányféle színösszeállításban folyhat a verseny, mindhárom zsokét tekintve? (Két színösszeállítást akkor tekintünk különbözőnek, ha legalább az egyik zsokénak valamelyik ruhadarabja a két összeállításban nem ugyanolyan színű.) d)* Hogyan alakulna a válasz az a), b) és c) kérdések esetén, ha mindkét istállónak 3-3 saját színe lenne? II. Kombinatorika, gráfok II.4. Lóverseny 3.oldal/7
Az öttusa lovas számában öt zsoké indul. Az istállóban öt ló áll felkantározva. Sorsolással döntik el a viták elkerülése végett, hogy mely zsoké mely lovon fog versenyezni. A versenyen hazánkat Nagy András képviseli. Tudja, hogy az induló lovak között szerepel Kincsem, aki ugyan nem a híres versenyló, Kincsem leszármazottja, de nagyon rutinos, eredményes versenyző. Ezért András örülne, ha Kincsemet lovagolhatná. 3. a) Hányféleképpen sorsolhatják ki a lovakat a zsokék között (vagyis hányféleképpen párosíthatók össze a lovak és a zsokék)? b) Az összes eset hány százalékában jön ki úgy a ló-zsoké párosítás, hogy András Kincsemet lovagolja? 4. A lóversenyen a fogadóirodában sokféle fogadást lehet kötni. Ha Kincsemet TÉT-re teszem meg, akkor arra fogadtam, hogy ő nyerni fog. Ha Kincsemet HELY-re teszem meg, akkor arra fogadtam, hogy benne lesz az első háromban. Ha Kincsemet és Jópofát (ebben a sorrendben) BEFUTÓ-ra teszem meg, akkor arra fogadtam, hogy Kincsem lesz az első és Jópofa a második. Tegyük fel, hogy a versenyen összesen hat ló indul, köztük a két említett ló. a) Kincsemet tétre fogadtam. Hány olyan befutási sorrend van, amikor nyerek? b) Kincsemet és Jópofát befutóra fogadtam ebben a sorrendben. Hány olyan befutási sorrend van, amikor nyerek? c) Kincsemet helyre fogadtam. Hány olyan befutási sorrend van, amikor nyerek? d) Kincsemet tétre, Jópofát helyre fogadtam (külön-külön). Hány olyan befutási sorrend van, amikor mindkét fogadásommal nyerek? Hány olyan befutási sorrend van, amikor nyerek? e) Kincsemet és Jópofát megtettem tétre, helyre, befutóra oda-vissza (azaz minden lehetséges sorrendben) külön-külön fogadásokban. Hány fogadást kötöttem összesen? II. Kombinatorika, gráfok II.4. Lóverseny 4.oldal/7
MEGOLDÁSOK 1. a) Első megoldás Három ló indul. Az első helyre beér közülük valamelyik, ez háromféleképpen történhet. A második helyre az előzőtől függetlenül a maradék két paripa valamelyike ér be, ez kétféleképpen történhet. Az első két helyre tehát 3 2 6 -féleképpen érhetnek be a zsokék. A harmadik helyre a harmadik, utolsó paripa fut be. Az első három helyre tehát 3 2 1 3! 6 -féle befutási sorrendet kaphatunk. Második megoldás (faábra) S: Szellő, C: Cukorbaba, K: Kincsem jelölésekkel: 1. hely 2. hely 3. hely Ez összesen 3 2 1 3! 6 különbözőféle befutási sorrend. Harmadik megoldás SCK, SKC, CSK, CKS, KSC, KCS. Ez hat különböző befutási sorrend. b) Első megoldás Az a) feladatnál láttuk, hogy ha az egyes istállók által indított lovak helyezési sorrendjeit egymás között megkülönböztetjük, akkor 3! = 6-féle befutási sorrend alakulhat ki. Most azonban a tulajdonosok szempontjából az egyazon istállóból indított lovakat nem kell megkülönböztetni (akár elláthatjuk őket az istállók nevével). Az első istálló két lovat indított, ezek befutási sorrendje 2! = 2-féle lehet. A másik istálló egy lovat indított, ez egyféleképp futhat be. Mivel az istállókon belül a lovak egymás közötti sorrendjét 3! 6 nem vesszük figyelembe, így a tulajdonosok szempontjából 3-féle sorrend lehetséges. 2! 2 Megjegyzés: készülhet a megoldás az ismétléses permutációk számának meghatározásával is. Második megoldás Jelöljük a lovakat az őket küldő istállók kezdőbetűivel: A, A, G. Ekkor a következő sorrendek adódnak a tulajdonosok szempontjából: AAG, AGA, GAA. Ez a tulajdonosok szempontjából nézve adódó háromféle lehetséges befutási sorrend. Megjegyzés: készülhet a megoldás faábra segítségével is. 2. a) A zsoké sapkája és inge is kétféle színű lehet, így az összes lehetőségek száma 2 2 = 4. (Ezek akár fel is sorolhatók.) II. Kombinatorika, gráfok II.4. Lóverseny 5.oldal/7
b) Vegyük észre, hogy az egyik zsoké felöltöztetése már megadja, hogy a másik milyen színeket viselhet, hiszen a ruhadarabok színének különböznie kell a másikétól. Tehát itt is csak 4 lehetőség van. c) Mindkét istálló négyféleképpen öltöztetheti a zsokéit, ezek bármelyike bármelyik másikkal párosítható, így a lehetőségek száma 4 4 = 16. d) Módosított a) kérdés: a zsoké sapkája is inge is 3-3-féle színű lehet, így a lehetőségek száma 3 3 = 9. Módosított b) kérdés: az első zsoké felöltöztetése itt is 9-féleképpen történhet. A második zsoké sapkájának színére 2 lehetőségünk marad (az a két szín, amit nem használtunk fel az első zsoké sapkájánál), így az ő ruháját 2 2 = 4-féleképpen színezhetjük ki. Ez így összesen 9 4 =36-féle színezést jelent a két zsokéra nézve. Módosított c) kérdés: hasonlóan ez eredeteihez a két istálló zsokéinak ruhájára kapott lehetőségeket összeszorozva a lehetőségek száma 9 36 = 324. 3. a) Az első zsoké az öt ló valamelyikét kapja (ez ötféle lehetőség). A második zsoké a maradék négy ló valamelyikét (ez újabb négyféle lehetőség), a harmadik zsoké a fennmaradó három ló valamelyikét, a negyedik a fennmaradó két ló valamelyikét, az ötödik zsoké a maradék egy lovat kapja. Ez összesen 5 4 3 2 1 5! eset. Vagyis öt zsokéhoz öt lovat 5!-féleképpen lehet párosítani. Az eredmény öt zsoké (vagy öt ló, azaz öt különböző elem) ismétlés nélküli sorrendjeinek (permutációinak) számával egyenlő: P 5 = 5! = 120. b) Első megoldás Használjuk az előző feladat eredményeit. Ha András Kincsemet lovagolja, akkor a többi (négy) zsoké a maradék négy lovon osztozik. Ez az előző feladat alapján P 4 = 4! = 24- féleképp történhet. (Négy elem ismétlés nélküli permutációinak számát kell tehát megadni.) András tehát az összes lehetséges 120 esetből 24 esetben lovagolja Kincsemet. P4 4! 1 100% 100% 100% 0,2 100% 20%. András tehát az összes eset 20%- P 5! 5 5 ában lovagolja Kincsemet. Második megoldás (valószínűségszámítási meggondolásokkal) Mivel 5 ló van, és András mindegyiket egyforma eséllyel kapja, ezért az esetek 5 1 részében, azaz 20%-ában lovagolja Kincsemet. 4. a) Kincsemnek kell lennie az elsőnek, és mögötte a többi ló mindegy, milyen sorrendben fut be. Tehát a lehetőségek száma 1 5! = 120. b) Kincsem az első, Jópofa a második, a többi ló mindegy, milyen sorrendben fut be. Ez összesen 1 1 4! = 24 lehetőséget jelent. c) Ha Kincsem az első, akkor 120 lehetőség van [ld. a) feladat]. Ha Kincsem a második, illetve harmadik, akkor ugyancsak 120-120 lehetőség van (Kincsemet eggyel, illetve kettővel lejjebb toljuk a végeredményben a többiekhez képest). Ez tehát összesen 360 lehetőség. II. Kombinatorika, gráfok II.4. Lóverseny 6.oldal/7
d) Számoljuk meg először azt, hogy hány esetben nyerek mindkét fogadásommal! Ha Kincsem az első és Jópofa a második, akkor ez 24 befutási sorrendet jelent [ld. b) feladat]. Ugyanennyit kapunk, ha Kincsem az első és Jópofa a harmadik (a második helyezett Jópofát és a harmadik helyezettet felcserélem minden sorrendben). Mindkét fogadásommal nyerek tehát összesen 48 befutási sorrendben. A tét fogadásommal nyerek, ha Kincsem az első, az összesen 120 lehetőséget jelent [lásd a) feladat]. A hely fogadásommal nyerek 360 befutási sorrendben [lásd c) feladat]. Ez tehát összesen 480 befutási sorrend, de kétszer számoltuk azokat, amelyekben mindkét fogadásommal nyerek. Így összesen 480 48 = 432 olyan befutási sorrend van, amikor valamelyik fogadásommal nyerek. e) Tétre két fogadásom van, helyre is, befutóra is, ez összesen hat fogadás. II. Kombinatorika, gráfok II.4. Lóverseny 7.oldal/7