Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. MTEMTIK PRÓBÉRETTSÉGI MEGOLDÓKULCS EMELT SZINT ) dottak a 0; ; ; ; ; ; 5; 7; 7; 8 számjegyek. Hány darab tízjegyű, 5-tel osztható szám készíthető az adott számjegyekből úgy, hogy egy számjegyet csak egyszer használhatunk fel, tehát minden számjegynek szerepelnie kell egy adott lehetőségben? ( pont) Ezek között hány olyan szerepel, amikor a -es és a 8-as nincsenek egymás mellett? (7 pont) Egy szám akkor osztható 5-tel, ha 0-ra vagy 5-re végződik. I. eset: 0-ra végződik. 0 kkor ez a többi 9 helyen egy ismétléses permutáció a maradék számjegyekből: i P 9;, 9! 880 00!! lehetőség. II. eset: 5-re végződik. 8 5 Ekkor 0-val nem kezdődhet a szám, hanem a maradék 8 szám valamelyikével, ami 8-féle lehetőség. többi helyen pedig 8-féle elem állhat (a 0-át is beleszámítv. i 8 8;, P 8! 00 8 8 880!! két esetet összeadva 00 880 lehetőség. 570 db szám készíthető, amely 5-tel osztható. ( pont) Először számoljuk ki, hogy hány olyan eset van, amikor egymás mellett szerepelnek, tehát:, így valójában egy kétjegyű számról beszélünk. 8 8 vagy I. eset: ha 0-ra végződik i 8! 00 P 8;, 70!! lehetőség. ( pont) II. eset: ha 5-re végződik (és nem áll 0 az első helyen). i 7! 500 7 P 7;, 7 5880 lehetőség.!! ( pont) Tehát esetben áll egymás mellett a -es és a 8-as, így db szám esetén nem állnak egymás mellett. ( pont) 70 5880 00 570 00 50 Összesen: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. ; ; B5; és C;0 ) Legyen adott a koordinátasíkon a következő három pont: djon meg egy olyan P pontot koordinátái segítségével, amelyre teljesül, hogy P PB 0 (5 pont) ( pont) c) Milyen nevezetes pontjai a három pont által meghatározott háromszögnek az és pontban kapott pontok? ( pont) P PB PC 0. felezőpont definíciója alapján: P ; P y B ; ; y 0;0 5 y P P B 0 y 0 ( pont) y keresett pont: P ; súlypont definíciója alapján: P ; y P B 5 ; y P C ; 0 ; y 0;0 y P P B P C 0 y 0 ( pont) y P ; keresett pont: c) ; ; B 5 tehát P az B felezőpontja. ( pont) B C 5 0 ; ; tehát P az BC háromszög súlypontja. ( pont) Összesen: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. ) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! (9 pont) 0 0 8 0 8 0 ( pont) 0 8 0 5 7 0 I. és V. eset, ha 0 II. és IV. eset, ha 0 9 0 vagy 7 8 0 III. eset, ha 8 0 8 0 vagy 5 7 8 0 5 0 megoldva :, 8 0 8 0 megoldás tehát, az eseteket összegezve: 0 8 0 ellentmondásra jutottunk. 85 - -,ÉT ; ellentmondásra jutottunk. 85 85 ;,ÉT ( pont) ( pont) ( pont) Mivel két abszolútérték összege csak akkor 0, ha mindkettő 0, ezért vizsgáljuk a zérushelyeket, amelyek a következők: 5 és 7 megállapíthatjuk, hogy a két abszolútérték nem lesz egyszerre 0 Tehát nincs olyan valós, amely kielégíti az egyenletet. ) z egész számok halmazán tekintsük a következő tulajdonságú halmazokat: a - mal oszthatóegészszámok a - gyel oszthatóegészszámok Összesen: pont a - gyel oszthatóegészszámok. Hány olyan egész szám található 895 és 0 között, amely a megadott halmazok közül pontosan egynek eleme; ( pont) pontosan kettőnek eleme; ( pont) c) mindháromnak eleme; ( pont) d) egyiknek sem eleme? (5 pont)
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. Felírható pontosan 7 db 895 és 0 közé eső számtani sorozat, melyeknek differenciái rendre: ; ; ; ; ; ;. Tehát ezek alapján kiszámolhatóak az elemszámok. Fontos, hogy a 895 és a 0 nem esnek bele a vizsgált halmazokba! esetén: 00 897 n n 7 7 esetén: 008 89 n n 79 79 esetén: n n 0 0 00 90 esetén: esetén: 9 00 900 n n 9 980 9 n n esetén: 9 n n 5 5 980 esetén: n n 9 9 980 9 7 79 08 50 7 77 ( pont) 77 db egész szám szerepel a 895 és a 0 között, amelyre egy tulajdonság igaz. 9 5 7 = ( pont) db egész szám szerepel a 895 és a 0 között, amelyre két tulajdonság igaz. c) fenti számításokból adódik, hogy 9 db egész szám szerepel a 895 és a 0 között, amelyre három tulajdonság igaz. ( pont) d) Szita formula alapján számolva: 7 79 0 9 5 9 0 0 darab egész szám van a 895 és a 0 között, amely rendelkezik valamelyik fenti tulajdonsággal. db szám van a két szám között. Tehát 50 db szám van a 895 és a 0 között, amelyre egyik tulajdonság sem igaz. 0 895 7 0 50 Megjegyzés: Ezeket Venn-diagrammal is meg lehet adni az elemszámok kiszámítása után, de a külső elemszámra itt is mindenképpen alkalmazni kell a szita-formulát. z,, c) feladatrészekre a válaszok pedig egyszerű összeadással kijönnek. c) 9 55 70 5 77 8 pontszám természetesen ezen módszer alkalmazása esetén is jár. Összesen: pont Maimális elérhető pontszám: 5 pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. 5) Hat lány az alábbi mennyiségű órát tölti a konditeremben hetente: nna Klaudia, Saci Kata, Dóri Judit Tudjuk még azt is, hogy a harmonikus átlag:,8. Számítsa ki, hogy Saci mennyi időt tölt az edzőteremben egy héten! ( pont) Mekkora a szórás és a medián? z eredményt két tizedesjegyre kerekítve adja meg! ( pont) c) Ábrázolja hisztogramon a lányok konditerem-látogatási szokásait! ( pont) d) Mennyivel változik a számtani átlag, ha Saci háromszor annyi időt tölt edzéssel, mint eddig? ( pont) harmonikus átlag kiszámítási módja az értékek behelyettesítésével:, Rendezve:, 0,8,,,8,5,5 Saci 0,8 órát tölt az edzőteremben egy héten. y,9 ezt felhasználva a szórás:,9,,9 0,8,9,,9,9,9 medián jelen esetben a két középső elem átlaga: 7 5 0 Konditerem-látogatások, 0,8, - 5 -, nna Klaudia Saci Kata Dóri Judit,75 ( pont) ( pont) =,7 ( pont) c) ( pont) d),,, z új átlag:, 7 ( pont) kettő közötti különbség pedig:,7, 9= 0,7 Összesen: pont
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. ) Ábrázolja koordináta-rendszerben az alábbi függvényeket! f : y g : y 0 0 ( pont) Számítsa ki a két függvény által közbezárt területet! ( pont) c) Mekkora lesz annak az alakzatnak a térfogata, melyet az g függvény és az tengely által közbezárt terület tengely körüli forgatásával kapunk? Forgástest térfogatát a f 0 képlet segítségével kapjuk meg. ( pont) ( pont) konkáv parabola egyenletéből a másikat kivonva megkapjuk azt a függvényt melyet -- ig integrálva a keresett területet kapjuk eredményül. c) 7 5 7 50 0 88 0 7 ( pont) 5 f 0 képletbe behelyettesítve és a Newton-Leibnitz formulát alkalmazva: 5 58 80 7 08 5 ( pont) Összesen: pont - -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. 7) z alábbi telek sarkaiban J és K pont. köztük lévő legrövidebb út méter. kert középpontosan szimemtrikus a felezőpontjára. kert szélessége szintén méter, oldalai egész számú méterek. K-nál, -os szögben van a telek sarka. Mekkora a telek kerülete és területe? (8 pont) oldalak derékszögű háromszög alakú területek átfogói. Ezekbe és az ismeretlen négy pont által bezárt területbe kék virágokat ültetünk. Mennyi pénzt kell költeniük, ha a kimaradt területekre fehér virágokat akarnak ültetni és egy zsák mag 5 Ft-ba kerül és m - re elég? (5 pont) c) Milyen magas lesz a kerítés, amivel a telket szeretnénk körbekeríteni, ha m alapanyag van hozzá? ( pont) KH, IL, JM, és NO Behúzva a - hosszúság és szélesség jelölő segédvonalat keletkezik db egybevágó derékszögű háromszög. Melynek szögei 5, illetve,87 -osak. sinusokat kiszámolva 5 -öt kapunk, amelyből JK, és 5 5 -öt és a háromszög oldalai. Mivel a kert szélessége méter, így értéke minimum és maimum. Ábra elkészítése: ( pont) z F F így 8 5. z OKJ háromszögre felírva a Pithagorasz-tételt kijön, hogy méter és F F méter. Így már ki tudjuk számítani a területet, amely: T 5 5 kerület pedig: m OJ ( pont) 5 m ( pont) keresett területek összege: 5 78m 785 990 Tehát 9 90 Ft kell a területekre. c) 5 ( pont) ( pont),5 m magas lesz a kerítés. ( pont) Összesen: pont - 7 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. 8) Egy csúcsán álló négyzet alapú gúlába színültig víznek látszó folyadékot öntünk. gúla alapjának köré írható körének sugara R. gúlába beledobunk egy M R R sugarú fémgolyót. víz mekkora része szorul ki, ha a magasság? (5 pont) Ha a gúla oldaléle 0 méter, az alapjának oldala méter, akkor milyen hosszú lesz az azonos térfogatú kúp alkotója? ( pont) c) Mekkora a gúla, és mekkora a kúp felszíne? (5 pont) gúla térfogata: R m m R gúla: R Tehát a víz, a golyóé: ; golyó: hol m az oldallap magassága: R R 8 ( pont) -e folyik ki. ( pont) m 0 99 ( pont) hol m a gúla magassága: m 98 99 ( pont) c) V gúla r a gúla 98 98 kúp V r kúp a r 98 98 99 99 r r r m,79 99 9, ( pont) ( pont) ( pont) Összesen: pont - 8 -
Matematika PRÉ megoldókulcs 0. január. 9) Niki néni és Levi bácsi takarítanak. Három féle tisztítószerük van. Egy 5%-os, egy 7%- os és egy %-os töménységű. hígításhoz vizet használunk. Mennyi vízzel kell hígítanunk őket külön-külön, ha %-os oldatot szeretnénk? (5 pont) Niki néni és Levi bácsi úgy döntenek, hogy felhasználják a tisztítószereket. Niki néni dolgozik három órát, majd Levi bácsi egyet. Mennyit dolgozzanak együtt, ha különkülön, illetve 8 óra alatt végeznek? ( pont) c) Levi bácsi nagyon elfáradt ezért segítsen neki megoldani a kisfia házi feladatát! Ha egy kétjegyű számot elosztunk számjegyei összegével hányadosul -et, maradékul 9- I. II. et kapunk. Ha viszont e számot számjegyeinek szorzatával osztjuk el, akkor hányadosul -et, maradékul 5-öt kapunk. Melyik ez a szám? (5 pont) 0, 0,7 0 0, 0, 0,7 III. 8 0, 0,5 0 0, 0, 0,5 7 0, 0, 0 0, 0, Niki Levi 8 maradék óra alatt óra alatt 8 9 5 munkát együtt csinálják meg. 0,5 víz kell 0,8 víz kell nem lehet erősebbre hígítani (5 pont) ( pont) ( pont) 7 9 Egy óra alatt munkát csinálnak meg együtt, tehát a munka részét óra 7, perc c) alatt végzik el. y y 9 0 y 5 0 y y y 0 5 0 5 y ( pont) ( pont) 0 5 0 5 9 0 Rendezve: 5 5 0 ;, 5, de mivel csak egész szám lehet megoldás, ezért:. keresett szám a 9. ( pont), y 9 Összesen: pont Maimális elérhető pontszám: próbaérettségi során szerezhető maimális pontszám: 5-9 -