. márius 9. Dr. Vinze Szilvia
Tartalomjegyzék.) Elemi bázistranszformáió.) Elemi bázistranszformáió alkalmazásai.) Lineáris függőség/függetlenség meghatározása.) Kompatibilitás vizsgálata.) Mátri/vektorrendszer rangjának meghatározása.4) Mátri inverzének meghatározása.5) Egyenletrendszer megoldása
Elemi bázistranszformáió A vektorterek meghatározásánál nagyon fontos szerepet játszik a bázis meghatározása. A bázis definíiója szerint az R n vektortér minden n számú lineárisan független vektorrendszere bázist alkot az n koordinátájú vektorok terében. A geometriai térben bázist alkot bármely három, nem egy síkban fekvő vektor.
Elemi bázistranszformáió Definíió: Ha az R n tér valamely adott bázisáról áttérünk egy másik bázisára, akkor bázistranszformáióról beszélünk. Definíió: A bázistranszformáiónak azt a legegyszerűbb esetét, amelynél az adott bázisnak egy lépésben sak egy bázisvektorát seréljük ki, elemi bázistranszformáiónak nevezzük.
Elemi bázistranszformáió Legyen az R n vektortérnek egy bázisa: b, b,, b n vektorrendszer. Legyen továbbá a egy vektora. A kifejezhető a bázisvektorok lineáris kombináiójaként: b + b + + n b n, ahol,,, n skalárok a vektornak a b, b,, b n bázisra vonatkozó koordinátái.
Elemi bázistranszformáió Tegyük fel, hogy az R n egyik tetszőleges vektorának a b, b,, b n bázisba vonatkozó koordinátái:,,, n. Ez azt jelenti, hogy: b + b + n b n.
Elemi bázistranszformáió Annak a feltétele, hogy a vektort a b, b,, b n bázisba beírhassuk például a b vektor helyébe az, hogy a vektornak a b bázisra vonatkozó koordinátája nullától különböző legyen. Kérdés: Hogyan alakulnak az R n koordinátái az elemi bázistranszformáió elvégzése után?
Elemi bázistranszformáió Tegyük fel, hogy az adott kikötés mellett áttérünk a, b,, b n bázisra. Mivel, így b + b + + n b n alapján: n b n b b... Ezt a formulát behelyettesítve az b + b + n b n be: n n n n b b b b + + +......
Elemi bázistranszformáió Átrendezés után: n n n n b b + + + ) (... ) ( További alakítás után: n n n b b + + + ) (... ) ( ezek a skalárok az vektornak az új bázisra vonatkozó koordinátái
Elemi bázistranszformáió A b, b,, b n bázisra vonatkozó helyzet : generáló elem, ami sak tól különböző lehet bázis b b...... b n n n
Elemi bázistranszformáió A, b,, b n bázisra vonatkozó helyzet : bázis b.. b n.. / ( )/.. ( n n )/
Elemi bázistranszformáió szabályai Minden számolásnál be kell tartani az alábbi szabályokat: A generáló elem nulla nem lehet, Amelyik sorból már választottunk generáló elemet, onnan nem választhatunk többé, A számolást addig végezzük, ameddig lehet generáló elemet választani.
Példa elemi bázistranszformáióra Tekintsük a következő vektorokat: 5 5,,, b a a a Ha lehet, próbáljuk meg bevonni a bázisba az első három vektort, s ha ez sikerült, akkor a b vektort fejezzük ki az új bázishoz tartozó bázisvektorok lineáris kombináiójaként!
Lineáris függőség fogalma Definíió. Az a, a, a,..., a n vektorrendszer lineárisan függő, ha nem lineárisan független. Megjegyzés. A lineáris függőség azt jelenti, hogy az a, a,..., a n vektorokból a nullvektort nem sak supa nulla skalárokkal vett lineáris kombináióval lehet előállítani.
Lineáris függőség A bázistranszformáió segítségével adott vektorrendszerről el tudjuk dönteni, hogy lineárisan függő, vagy lineárisan független vektorrendszert alkot e. Mivel a bázistranszformáiós táblázat bal oldali oszlopának elemei mindig bázist alkotnak, ezért ha a vektorrendszer minden vektorát bevisszük a bázisba, akkor a vektorrendszer lineárisan független, ha nem sikerül minden vektort bevinni a bázisba, akkor a vektorrendszer lineárisan függő (hiszen a fennmaradó tagok előállíthatók a többi lineáris kombináiójaként).
Lineáris függőség Állapítsa meg az,, 6,, a a a a a a vektorrendszerekről, hogy lineárisan független vagy lineárisan függő vektorrendszert alkotnak e.
Lineáris függőség (. feladat) a a a e e e
Lineáris függőség (. feladat) a a a a a e e e a e e
Lineáris függőség (. feladat) a a a a a a e e a e a a e e e Mivel az a vektor bevonható a bázisba hiszen tudunk generáló elemet választani, így az a, a, a vektorrendszer lineárisan független.
Lineáris függőség (. feladat) a a a e e 6 e
Lineáris függőség (. feladat) a a a a a e e e 6 e 6 e a
Lineáris függőség (. feladat) a a a a a a e e a e 6 e 6 e e a a Az a vektor nem vonható be a bázisba, így a a + e + a
Kompatibilitás definíiója Definíió: A b vektor kompatibilis az a, a, a,..., a n vektorrendszerrel, ha b L( a, a, a,..., a n ). Megjegyzés: A b vektor kompatibilis az a, a, a,..., a n vektorrendszerrel, ha előállítható azok lineáris kombináiójaként.
Kompatibilitás vizsgálata Adott az a, a,, a n vektorrendszer és a b vektor. A feladatunk annak vizsgálata, hogy a b vektor benne fekszik e az a, a,, a n vektorok által generált lineáris altérben, azaz előáll e az a, a,, a n vektorok lineáris kombináiójaként?
Kompatibilitás Adottak az vektorok. Állapítsuk meg, hogy a b kompatibilis e az a, a, a, a 4 vektorrendszerrel? 5 8,,, 4 4 b és a a a a
Rang definíiója Definíió: Az a, a, a,..., a n vektorrendszer rangján az L( a, a,..., a n ) generált altér dimenzióját értjük. Jele: rg( a, a,..., a n ). Megjegyzés: A vektorrendszer rangja megegyezik a benne lévő maimális számú lineárisan független vektorok számával.
Mátri/vektorrendszer rangjának meghatározása Adott az a, a,, a n vektorrendszer és a b vektor. A feladatunk annak vizsgálata, hogy a b vektor benne fekszik e az a, a,, a n vektorok által generált lineáris altérben, azaz előáll e az a, a,, a n vektorok lineáris kombináiójaként?
Mátri/vektorrendszer rangja Állapítsa meg az mátri rangját! 6 4 A Ekkor a mátri oszlopvektorai adják a vektorrendszert: 6 4,, a a a
Mátri rangja a a a e e 4 e 6
Mátri rangja a a a a a e a e 4 e e 6 e
Mátri rangja a a a a a a e a a e 4 e a e 6 e e Az a vektor már nem vihető be a bázisba, így a mátri rangja.
Mátri inverzének meghatározása Az inverz mátrira fennáll, hogy A A E. Ez az egyenlőség azt jelenti, hogy az E egységmátri e i (i,,, n) oszlopvektorai előállíthatók az A mátri a i (i,,, n) oszlopvektoraiból. Ezt elérhetjük olyan bázistranszformáiókkal, amelyekkel az E mátri egységvektorai helyébe rendre az a, a,, a n vektorokat seréljük. Ekkor az e i egységvektorok kifejezhetőek az a i (i,,, n ) vektorok lineáris kombináiójaként.
Inverz mátri meghatározása Határozza meg az A mátri inverzét bázistranszformáió segítségével.
Egyenletrendszer megoldása Az A b mátriegyenletet megoldani annyit jelent, hogy meg kell határoznunk mindazokat az vektorokat, amelyek eleget tesznek az egyenletrendszernek. Keressük tehát azokat az vektorokat, amelyek a b vektort az A együtthatómátri oszlopvektorai által generált altérre vonatkozóan kompatibilissé teszi. Ha a kompatibilitás fennáll, akkor az egyenletrendszernek biztosan van megoldása (esetleg több is lehet), ha azonban nem áll fenn a kompatibilitás, akkor nins megoldás.
Egyenletrendszer megoldása A lineáris egyenletrendszer általános megoldását az r d D s alakban adhatjuk meg, ahol r komponensei a kiemelt i k, a d komponensei a megváltozott b komponensek, az s az esetleg kimaradt i k, míg a D a visszamaradt együtthatómátri.
Lineáris egyenletrendszer megoldása Határozza meg az alábbi lineáris egyenletrendszer megoldását bázistranszformáióval: + + + + 5 8 7 4 4 4
Lineáris egyenletrendszer megoldása 4 b e 7 e e 8 e 4 5
Lineáris egyenletrendszer megoldása 4 b 4 b e 7 7 e e 5 e 8 e 8 e 4 5 e 4 9
Lineáris egyenletrendszer megoldása 4 b 4 b 4 b e 7 7 e e 5 5 e 8 e 8 e 4 e 4 5 e 4 9 e 4 5 6
Lineáris egyenletrendszer megoldása 4 b 4 b b,5 5 e 4 5 e,5 5 7 4 d e 4 5 6,5 r
Egyenletrendszer megoldása r d D s 4 s r D d,,, 4 Az egyenletrendszer megoldása: