MEGOLDÁSOK Pontszerző Matematikaverseny 2015/2016-os tanév 1. forduló 1. feladat: Jancsi és Juliska Matematikai Memory-t játszik. A játék lényege, hogy négyzet alakú kártyákra vagy műveletsorokat írnak vagy a műveletsorok eredményét. Így kártyapárokat alakítanak ki. Minden műveletsornak szerepel egy másik kártyán az eredménye. A kártyákat lefelé fordítják, és felváltva megfordítanak két kártyát. Ha párt talál valamelyikük (műveletsor és eredménye), akkor nem fordítja vissza a lapokat és kap egy pontot. Ha nem sikerül párt találnia, akkor visszafordítja a lapokat. Juliska már két párt is talált és valamennyi lapot legalább egyszer megfordították. Most éppen Jancsi következik, aki egy lapot már megfordított, amelyen műveletsor volt. Nem tudja pontosan, hogy melyik a párja, de emlékszik néhány információra a kártyákról. Az információk: - Az első sorban szereplő valamennyi eredmény legalább kétjegyű szám volt. - Nem volt olyan, hogy két eredményt tartalmazó lap azonos oszlopban lett volna. a) Melyik kártyát fordítsa meg Jancsi, hogy megtalálja az általa felfordított kártyalap párját? b) Milyen szám fog szerepelni a megfordított lapon? c) Indokold meg, hogy miért az általad választott lapot kell megfordítania Jancsinak, ha meg szeretné találni a kártyapárt! A kártyák jelenlegi látható állapota: 1
a) Az X -el jelölt lapot kell megfordítania. b) Az eredmény: 9 c) A szürkével jelölt lapokon szerepelnek az eredmények a második információ alapján. Az első sorban legalább kétjegyű számok szerepeltek (az első információ alapján), ezért a második sorban van az eredményt tartalmazó lap. 2. feladat: Hány olyan háromjegyű szám van, amelyekben a számjegyek összege 11? Válaszodat indokold! Összesen: 8 pont Számjegyek összege 11 Lehetőségek Lehetőségek száma a+b+c abc, acb, bac, bca, cab, 6 cba a+a+b a+a+b, a+b+a, b+a+a 3 920 A 0 nem lehet első 4 számjegy 911 3 830 4 821 6 740 4 731 6 722 3 650 4 641 6 632 6 551 3 542 6 533 3 443 3 Soronként 0,5 pont, ami összesen: 7 pont 61 db háromjegyű szám van, melyekben a számjegyek összege 11. 1 pont Összesen: 8 pont 3. feladat: Van egy 3 3-as és 4 4-es négyzet. A legkevesebb vágással darabold át úgy ezeket, hogy egy 5 5-ös négyzetet lehessen kirakni belőlük! Válaszodat rajzokkal indokold! 2
Egy vágással egy lapot két darabra lehet szétvágni, ami azt is jelenti, hogy egymásra nem lehet több lapot helyezni. Ha egy lapot nem kettévágunk, ha nem egy részét szeretnénk kivágni, akkor ahhoz legalább két vágás kell. Két átdarabolás akkor különböző, legalább darabja különböző. Javaslom, hogy ne csak a legkevesebb kétvágásos megoldást értékeljük, ha nem a három és a négy vágásosat is. A négyvágásost pontszáma legyen 2, a háromvágásos 3 pont és a kétvágásos 4 pont. Néhány átdarabolást látunk az alábbi ábrákon (A vágások különböző színűek): Négyvágásos Háromvágásosak: 3 pont Kétvágásos: 4 pont 3 pont Minden további különböző jó megoldás az adott pontot éri, hibás megoldás 1 pont! Az összes pont nem lehet negatív. Összesen:? pont 4. feladat: A táblázatból válassz ki négy számot úgy, hogy az összegük 100 legyen! Keress legalább négy megoldást! (Többet is megadhatsz!) 18 36 30 13 21 39 33 16 16 34 28 11 20 38 32 13 1 2 3 4 a 18 36 30 13 b 21 39 33 16 c 16 34 28 11 d 20 38 32 13 A sorokat fentről lefele jelöljük: az a, b, c, d betűkkel; az oszlopokat balról jobbra az 1, 2, 3, 4 számokkal. Így pl.: a1=18, c3=28. 3
1. a1+ d2+b3+c4 =100 18+38+33+11=100 2. b1+a2+d3+c4 =100 21+36+32+11=100 3. c1+d2+a3+b4 =100 16+38+30+16=100 4. d1+c2+a3+b4 =100 20+34+30+16=100 5. d1+b2+c3+a4 =100 20+39+28+13=100 6. d1+a2+c3+b4 =100 20+36+28+16=100 Megjegyzés: Minden további megoldásért 1 pont. Az első hat megoldás mindegyikéért adjunk 2 pontot. Hibás megoldás -1 pont. Az összpontszám nem lehet negatív. Összesen: 12+? pont 5. feladat: Kitalált ország tengerpartján két kikötő fekszik: Északi kikötő és Déli kikötő. Mindkét kikötőből egy-egy járőrhajó indul útnak a másik kikötőbe. A járőrözés folyamán a hajók egy képzeletbeli négyzetrácson haladnak, a rácsvonalak mentén metszéspontról metszéspontra. Az útvonalukat folyamatosan nyomon követik a kikötői parancsnokságokról. A hajók útvonalát egy kódsor formájában tárolják. A kódok 0-3 közötti egész számok, amelyek a hajók haladásának irányát adják meg a következő rácspontra. Pl.: Ha az ábra szerinti haladt a hajó, akkor az útvonala: KKDND (Kelet, Kelet, Dél, Nyugat, Dél), az ennek megfelelő kódsor: 11232 Tehát ebben az esetben az 1-es jelenti a Keletet, a 2-es Déli irányt, míg a 3-as a Nyugatit. Az égtájaknak megfeleltetett számokat naponta változtatják, de mindig 0-3 közötti egész számok. Az egyik napon egyszerre indult a két járőrhajó az Északi, illetve Déli kikötőből. Az útvonaluknak megfelelő kódsort az ügyeletes járőrparancsnok feljegyezte, de elfelejtette a kódoknak megfeleltetett aktuális égtájakat. Arra sem emlékezett, hogy melyik hajó melyik kikötőből indult. Két információra viszont emlékezett: - A hajók csak egyszer keresztezték egymás útvonalát. - Az útvonaluk kereszteződése az Északi kikötőhöz esett közelebb. a) Rajzold be a két hajó útvonalát! A két kódsor: 12211211222211122211 és 33330000003300300333 b) Írd le a két hajó útvonalát az égtájak szerinti megadási móddal! a) A két hajó útvonala: 12211211222211122211 és 33330000003300300333 4
É Északi kikötő Ny K D Déli kikötő. 4-4 pont b) Írd le a két hajó útvonalát az égtájak szerinti megadási móddal! ÉNNÉÉNÉÉNNNNÉÉÉNNNÉÉ és KKKKDDDDDDKKDDKDDKKK vagy szerepcserével: Összesen: 10 pont Déli kikötőből indul: NÉÉNNÉNNÉÉÉÉNNNÉÉÉNN Északi kikötőből indul: DDDDKKKKKKDDKKDKKDDD Mindegy, hogy melyik megoldást adja meg, azért jár a pont. De ha mindkét változatot leírja nem jár többlet pont. 5