X.6. NYERŐ PIROS. A feladatsor jellemzői

Átírás

1 X.6. NYERŐ PIROS Tárgy, téma A feladatsor jellemzői Valószínűségszámítás, valószínűségi játékok. Előzmények Valószínűség fogalma, igazságos játék fogalma (igazságos játékról beszélünk, ha a nyerési esélyek egyformák, vagy a tétekkel és nyereményekkel játszott játékban hosszú távon átlagosan egyik fél sem gyarapítja vagyonát ). Cél Valószínűségi játékok lejátszása a gyakorlatban, megfigyelési készség fejlesztése, a tapasztalatok alapján matematikai összefüggések felismerése, megfogalmazása és az elmélettel való párhuzam kialakítása készségének fejlesztése. A szövegértés fejlesztése. A feladatsor által fejleszthető kompetenciák Tájékozódás a térben Ismeretek alkalmazása + Tájékozódás az időben Problémakezelés és -megoldás + Tájékozódás a világ mennyiségi viszonyaiban + Alkotás és kreativitás + Tapasztalatszerzés + Kommunikáció + Képzelet + Együttműködés + Emlékezés + Motiváltság + Gondolkodás + Önismeret, önértékelés + Ismeretek rendszerezése + A matematika épülésének elvei Ismerethordozók használata Felhasználási útmutató A feladatsor megoldásához szükség lehet francia kártyára, zsetonokra (korong, pénzérme, bab, ). A játékok lejátszása utáni matematikai tartalom nem egyszerű, ezért ezt a feladatsort inkább azoknak ajánljuk, akik matematikából érdeklődő, a nehezebb gondolatok iránt fogékonyabb diákok. A játékokat, feladatokat érdemes sorban lejátszani, megoldani. Ha a 2. feladatnál a különböző stratégiát választók száma körülbelül megegyezik, akkor a párokat az ellenérdekelt csoportokból válasszuk. Hívjuk fel a figyelmet arra, hogy a játékról szerzett tapasztalatokkal a választott taktikáról, stratégiáról tudunk mondani valamit, például olyanokat, hogy: ha így játszunk, akkor mindig veszítünk. Vagy ha ezt a taktikát választjuk, akkor jobban járunk, mint egy másikkal. Beszéljük meg, mit jelent az, hogy egy játékot érdemes játszani valakinek, és mit jelent az, hogy igazságos játék. Könnyen mondhatnak a gyerekek igazságos vagy igazságtalan játékokat, melyekről ez a tulajdonságuk triviálisan látszik. (Például a Fej vagy írás játék igazságos, mert szimmetrikus, de a huszonegyezés nem, mert egyenlőségnél a bank nyer.) X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 1.oldal/5

2 Mivel a feladatok játékra és a szerzett tapasztalatokra épülnek, így nagyon fontos, hogy tényleg lejátsszák a gyerekek a partikat. A magyarázatok, indoklások megtalálása, leírása nem feltétlenül lesz mindenki számára könnyű. Most még nem is ez a fontos, hanem a tapasztalatszerzés és a rácsodálkozás. Ezzel együtt, ha van megfelelő hajlandóság és adottság a csoportban, ne hagyjuk ki a lehetőséget a tapasztalatok rendszerezésére és összefoglalására. A játék és a tapasztalatszerzés mindenkinek menni fog, legfeljebb egy kevésbé hasznos stratégiáról szerez valaki tapasztalatokat. Egyszerűbb esetben a beugró és a nyeremény zsetonszámokról való vélekedések megfelelő mélységű indoklása, magyarázata elvárható, de a feladatok többségénél ez nem lesz könnyű. A diákok a végrehajtott kísérletekből gyakorlati tapasztalatot tudnak szerezni, és esetleg intuitív konzekvenciákat is le tudnak vonni. X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 2.oldal/5

3 NYERŐ PIROS Feladat sor Az osztály egy klubdélutánra kaszinót szervez. Az egyik játék neve Nyerő piros. AZ ALAPJÁTÉK Három kártyalap van az asztalon, közülük kettő fekete és egy piros. A játékmester megkeveri a lapokat, és kirakja színükkel lefelé fordítva egymás mellé. A játékos rámutat egy lapra, ezek után azt megfordítják. A játékos győz, ha a kiválasztott lap a piros lap, veszít, ha a kiválasztott lap fekete. 1. a) Játsszatok le párosával játékot! (Azaz mindkét szerepben 20 játék, játékmesterként és játékosként is!) Jegyezzétek fel, ki hányszor győzött! b) Legyen egy játék ára három zseton, tehát ennyit fizetünk a banknak egy játékért. Érdemes-e játszani, ha győzelem esetén a játékos hét zsetont kap (a beadott három zseton mindenképpen a banké, tehát győzelem esetén a nettó nyereség négy zseton)? Véleményedet indokold! Számítsd ki, hogy az a) feladat végrehajtásakor lejátszott játékok eredményét tekintve hány zsetont nyertél volna játékosként? Hány zsetont nyertél volna játékmesterként? A kapott eredmény alátámasztja a válaszodat? c) Ha egy játék ára két zseton, akkor hány zseton járjon győzelem esetén, ha azt szeretnénk, hogy igazságos legyen a játék? Véleményedet indokold! X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 3.oldal/5

4 VARIÁCIÓ Három kártyalap van az asztalon, közülük kettő fekete és egy piros. A játékmester megkeveri a lapokat, és kirakja színükkel lefelé fordítva egymás mellé. A játékos rámutat egy lapra. Ezután a játékmester, aki tudja, hogy melyik a piros lap és melyik kettő a fekete, a játékos által nem választott két lap közül megfordít egy fekete lapot. (Ezt mindig megteheti.) Már csak két lap fekszik az asztalon. Ekkor a játékos eldöntheti, hogy marad-e az eredetileg választott lapnál, vagy inkább a másik, még nem ismert lapot választja. Ezek után megfordítják a játékos által véglegesen kiválasztott lapot. A játékos győz, ha ez a lap a piros lap, veszít, ha ez a lap fekete. 2. a) Mit gondolsz, érdemes-e váltani az eredetileg választott és a még nem ismert kártya között, vagy nem? Tippelj! b) A tippelés után játsszatok le párosával játékot! Jegyezzétek fel, ki hányszor győzött a saját taktikájával! (Minden egyes lejátszott játékban a játékos alkalmazza ugyanazt a taktikát, azaz vagy mindig térjen át a másik lapra, vagy egyszer sem!) A játékok eredményei alapján melyik taktikát érdemes választani? c) Legyen egy játék ára három zseton. Érdemes-e játszani, ha győzelem esetén a játékos öt zsetont kap? A kérdés megválaszolásában segít, ha a korábban lejátszott játékok eredményei alapján kiszámítjátok, mekkora nyereségre (vagy veszteségre) tettetek volna szert! X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 4.oldal/5

5 MEGOLDÁSOK 1. b) Elvileg a lejátszott játékok megmutatják majd, hogy érdemes-e játszani. Az mindenesetre valószínűleg kiderül majd, hogy a játékos hosszú távon veszíteni fog. Magyarázat Ha a játékos tippel, akkor az esetek (közel) 1/3-ában fog csak a piros lapra mutatni, azaz nyerni. Vagyis átlagosan három játékból egyszer nyer, tehát ha befizet 3 3 zsetont, amiből visszanyer hét zsetont, akkor látható, hogy ezzel hosszú távon kevesebb zsetonja lesz, vagyis a játékosnak ilyen feltételekkel nem érdemes játszania. c) Az előző gondolatmenetet alkalmazva hat zseton járjon a győzelemért. 2. c) Elvileg a lejátszott játékok és a különböző taktikák alkalmazása megmutatja majd, hogy érdemes-e játszani és milyen módon. Az mindenesetre valószínűleg kiderül majd, hogy érdemes váltani a lapok között. Ha nem választják ezt, akkor biztassuk erre a taktikára gyerekeket. Ha kipróbálják, a gyakorlat megmutatja, hogy jobban járnak így. Ne erőltessük, nagy valószínűséggel lesz, aki magától is megpróbálja. Mi van a kevert stratégiával? Jelenség Ha a játékos tippel, és nem vált a lapok között, akkor ugyanaz a helyzet, mint az 1. feladatban, csak még rosszabb feltételekkel játszik, tehát így rohamosan fogy majd a zsetonja. Ha a játékos vált a lapok között, akkor sok játék esetén a játékok közel 3 1 részében veszít, közel 3 2 részében nyerni fog. Így a három zsetonos beugróra győzelem esetén adott öt zseton a játékos számára hosszú távon (sok játék esetén) kifizetődő. Magyarázat Ha a játékos tippel, és vált a lapok között, akkor tulajdonképpen az történik, hogy az elején kiválaszt egy lapot, amit biztosan nem fog végül választani, és a másik kettőből pedig azt választja majd, ami nem a felfordított fekete lap. Így akkor nyer, ha először fekete lapra tippel, azaz 3 2 eséllyel nyerni fog. Vagyis, ha vált a lapok között, akkor átlagosan három játékból kétszer nyer, tehát a befizetett 3 3 zsetonért 2 5 zsetont kap, tehát jól jár, zsetonjainak száma hosszú távon gyarapodik. X. Valószínűségszámítás X.6. Nyerő piros 5.oldal/5