Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem Gépészmérnöki Kar Gépszerkezettani Intézet Horák Péter KÖRÍVPROFILÚ CSIGAHAJTÓPÁROK TRIBOLÓGIAI VIZSGÁLATA PhD értekezés 003 Témavezető: Dr. Bercsey Tibor egyetemi docens
Tartalomjegyzék Nyilatkozat Tartalomjegyzék Jelölésjegyzék Bevezetés... Szakirodalmi áttekintés... 4. A csigahajtások fejlődése... 4. Hazai kutatások a térbeli fogazott hajtópárok területén... 6.3 A csigahajtópárok érintkezési és kenési viszonyaival foglalkozó kutatások fejlődése... 8 3 A térbeli fogazatok geometriai és kinematikai viszonyainak vizsgálata... 3 3. Fogazáselméleti alapok... 3 3. A mozgásleképezés alapelvei, felosztása... 3 3.3 A kapcsolódás és a relatív mozgásinformációk visszaképezhetőségének alaptörvényei... 5 3.4 Térbeli fogazatok kapcsolódásának elmélete... 7 3.4. Térbeli koordinátarendszerek... 7 3.4. A fogfelület, a felületi normális egyenletei, a pillanatnyi érintkezési vonalak és a kapcsolófelület meghatározása... 8 3.5 A kenési viszonyokat befolyásoló geometriai, kinematikai jellemzők... 0 3.5. A viszonylagos mozgás sebességvektora és az érintkezési vonal érintője által bezárt szög... 0 3.5. A görbületi viszonyok meghatározása... 3 3.6 Tengelymetszetben körív profilú (ZTA) csigahajtópárok geometriai és kinematikai viszonyai... 8 3.6. Nem vonalfelületű hengeres csigahajtások... 8 3.6. A ZTA típusú csiga fogfelületének leírása, a kapcsolódás egyenlete... 8 3.6.3 Sebesség- és görbületi viszonyok... 34 3.6.4 A súrlódási viszonyok szempontjából lényeges sebességviszonyok meghatározása... 40 3.6.5 A fogazati paraméterek változtatásának hatása a kinematikai geometriai viszonyokra... 4 4 A hajtópárok fogfelületei között fellépő érintkezési viszonyok vizsgálata... 48 4. Az érintkezési feladatok áttekintése, célkitűzés... 49 4. Csigahajtópárok fogfelületei között fellépő érintkezési nyomáseloszlás meghatározása... 50 4.. Érintkezési vonal mentén állandó merevtestszerű közeledés feltételezése az érintkezési viszonyok számítására... 50
4.. Érintkezési viszonyok számítása egy kapcsolódási helyzetben állandó Hertz-féle feszültség feltételezésével... 60 4..3 A fogazati paraméterek változtatásának hatása az érintkezési feszültségre... 63 5 Fogazott hajtópárok tribológiai viszonyainak vizsgálata... 66 5. A tribológiai viszonyokat befolyásoló tényezők... 66 5. Hidrodinamikai (HD) kenéselmélet... 66 5.3 Elaszto-hidrodinamikai (EHD) kenéselmélet... 68 5.4 Elaszto-termohidrodinamikai (ETHD) kenéselmélet... 70 5.5 Helyettesítő modellek... 7 5.5. Érintkező felületek másodrendű közelítése... 7 5.5. Közelítés tóruszpárral... 74 5.5.3 Közelítés hengerpárral... 75 5.5.4 Közelítés henger sík, illetve kúp sík elempárokkal... 76 5.5.5 Közelítés gömb- és tóruszfelület érintkeztetésével... 78 5.6 Tribológiai vizsgálóberendezés henger-sík, kúp-sík elempárokhoz... 8 5.7 Az ETHD kenési modell alkalmazása csigahajtópárokra... 88 5.8 Körívprofilú csigahajtópárok kenési viszonyainak vizsgálata az ETHD kenési modell alapján... 97 6 Az értekezés új eredményeinek összefoglalása, további lehetséges kutatási irányok felvetése... 03 Irodalomjegyzék I. Melléklet II. Melléklet III. Melléklet Összefoglalás Summary Címfordítás és angol nyelvű kivonat Köszönetnyilvánítás
Jelölésjegyzék r, r, r a kapcsolódó felületek pontjainak helyvektora az S, S, illetve S vonatkoztatási rendszerben a érintkezési tartomány félszélessége A x, A y, A z d m df n e e r E E E, E S vonatkoztatási rendszer S hez való helyzete az x, y, z irányoknak megfelelően, tengelytáv komponensek csiga középhengerének átmérője infinitezimálisan kicsi normálerő felületi normális egységvektor a felületi normális egységvektor irányváltozási sebessége redukált rugalmassági modulusz az -es, illetve -es jelű test rugalmassági modulusza E, F, G elsőrendű főmennyiségek L, M, N másodrendű főmennyiségek F rh F nh h h i i i I, i II i III, i IV k H K dl M 0, M 0 M, M m folyadéksúrlódási erő folyadéknyomásból származó normálerő kenőfilm vastagság kezdeti hézag az érintkező felületek között az i pontban áttétel -es fogfelület főirány vektorai -es fogfelület főirány vektorai Stribeck-féle palástnyomás ívsugártáv az érintkezési vonal infinitézimálisan kis szakasza S és S vonatkoztatási rendszerek között a koordináta transzformáció mátrixai S és S vonatkoztatási rendszerek között a koordináta transzformáció mátrixai modul n, n, n felületi normális az S, S, illetve S vonatkoztatási rendszerekben n x, n y, n z p p p 0 felületi normális skalár komponensei az S vonatkoztatási rendszerben csavarparaméter (a 3. fejezetben a fogazati geometria tárgyalása során) hidrodinamikai nyomás a kenőanyagfilmben (az 5. fejezetben a kenési viszonyok tárgyalása során) környezeti nyomás
p j p H P 0 (), P (), P () R I, R II R III, R IV R E érintkezési nyomás a j pontban Hertz-féle érintkezési feszültség transzformációs mátrixok a tagok viszonylagos mozgássebességének meghatározására -es fogfelület főgörbületi sugarai -es fogfelület főgörbületi sugarai redukált normálgörbületi sugár S, S, S álló, -es, illetve -es taghoz rögzített forgó vonatkoztatási rendszerek t idő paraméter T T F, T m T F, T F u u i (), u i () v (), v () v (), v (), v () v e (i) v r (i) v m () v n () v t () v Σ v g w b W ji (), W ji () x nyomaték az -es tag tengelyén a fogfelszín-, illetve a közeg hőmérséklete kenőrés peremhőmérsékletek kezdeti értékei felületi paraméter az -es, illetve -es test rugalmas alakváltozása az i pontban a kapcsolódó fogfelületek sebességvektora az S vonatkoztatási rendszerben fogfelületek a viszonylagos mozgásának sebességvektora az S, S, illetve S vonatkoztatási rendszerekben az i-jelű tag szállító mozgásának sebességvektora a kapcsolódási pont vándorlási sebessége az i-jelű tagon az S vonatkoztatási rendszerben az -es jelű tag érintkezési vonalra merőleges sebességkomponense az S vonatkoztatási rendszerben az -es jelű tag felületi normális irányába eső sebességkomponense az S vonatkoztatási rendszerben az -es jelű tag érintkezési vonal irányába eső sebességkomponense az S vonatkoztatási rendszerben hidrodinamikailag hatásos sebesség csúszási sebesség vonalterhelés hatásmátrixok az -es, illetve -es testre profileltolás tényező a csigakeréken x, y, z a kapcsolódó fogfelületek helyvektorainak skalár komponensei az S vonatkoztatási rendszerben x, y, z a kapcsolódó fogfelületek helyvektorainak skalár komponensei az S vonatkoztatási rendszerben x, y, z a kapcsolódó fogfelületek helyvektorainak skalár komponensei az S vonatkoztatási rendszerben
z ax z, z α α 000 ϑ Σ, Σ χ I, χ II χ III, χ IV χ (P) (P) χ max δ δ i γ ϕ, ϕ ω (), ω () ρ η η s η fog τ λ, λ ρ, ρ körívprofil középpontjának távolsága S origójától a csiga tengelymetszetében csiga illetve csigakerék fogszám nyomás-viszkozitás tényező nyomás-viszkozitás tényező 000 bar túlnyomáson felületi paraméter az -es és -es jelű tagok fogfelülete az -es jelű fogfelület főgörbületei a -es jelű fogfelület főgörbülete redukált normálgörbület maximális redukált normálgörbület a relatív sebességvektor és az érintkezési vonal érintője által bezárt szög merevtestszerű közeledés az i pontban S és S vonatkoztatási rendszerek z tengelye által bezárt szög mozgásparaméterek az -es illetve -es tag szögsebessége körívprofil sugara a csiga tengelymetszetében kenőanyag dinamikai viszkozitása effektív kenőanyag viszkozitás fogazati hatásfok csúsztató feszültség -es, illetve -es test hővezetési tényezője -es, illetve -es test sűrűsége
Bevezetés A mechanikus elven működő hajtóművek veszteségteljesítményét elsősorban a teljesítmény átvitelben résztvevő hajtáselemek csúszó-gördülő mozgása okozza. A cél ennek megfelelően a hajtáselemek hatásfokának javítása, mely függ az elemek közötti érintkezési állapottól, a kinematikai viszonyoktól, az érintkezésben résztvevő szerkezeti anyagpároktól, illetve még egy nagyon fontos gépelem -től, a kenőanyagtól. A felsorolt négy legfontosabb jellemző határozza meg tehát egy adott elempár tribológiai viszonyait. Ezek a jellemzők további lényeges tulajdonságokat tartalmaznak, például az érintkezési állapotot az elempárok makro- és mikrogeometriáját, a kenőanyag mértékadó viszkozitását, fizikai és kémiai tulajdonságait és hőmérsékletét. A sokféle befolyásoló tényező miatt a mechanikus hajtóművek veszteségteljesítményének vizsgálata igen bonyolult, ezért a viselkedés szimulációjánál gyakran egyszerűsített számítási és kísérleti modelleket, illetve feltevéseket kell alkalmazni. Az egyszerűsített modellek segítségével kapott eredmények helytállóságát, alkalmazhatóságát az elkészített hajtómű próbapadi és üzemi vizsgálata igazolhatja. Ennél a módszernél a szerkezet valamely elemének megváltoztatása újabb számítást, kísérletet, illetve a berendezés prototípusának költséges legyártását és vizsgálatát igényli. Ezért merült fel az igény olyan új típusú helyettesítő számítási modellek kidolgozására, melyekkel végzett kísérleti vizsgálatok a valós geometriai, kinematikai viszonyokat jobban közelítik és ezzel a kísérleti vizsgálatok mennyiségi hatékonyságát növelik. Az értekezés témaválasztását indokolja, hogy a bonyolult térbeli fogazott hajtópárok, így a széles körben elterjedt csigahajtópárok súrlódási és kenési viszonyainak szimulációja, vizsgálata még nincs kellően kidolgozva. A tengelymetszetben körívprofilú, hengeres csigahajtásokat kedvező hatásfokuk és nagy teherbírásuk miatt elterjedten használják a korszerű hajtástechnikában. Problémát jelent azonban az, hogy ezen nem vonalfelületű hajtópárok geometriai, kinematikai és érintkezési viszonyainak meghatározása egyszerű, zárt alakú összefüggésekkel nem határozhatók meg. Az értekezés célkitűzései: hengeres csigahajtópárok tribológiai viszonyainak meghatározására alkalmas módszerek, helyettesítő modellek vizsgálata és továbbfejlesztése,
tengelymetszetben körívprofilú hengeres csigahajtópárok súrlódási kenési viszonyainak meghatározása numerikus módszerekkel, a fogfelületek helyi rugalmas deformációjának és a hőfejlődésnek figyelembevételével, mely vizsgálatokhoz szükséges a geometriai, kinematikai, illetve az érintkezési viszonyok, valamint a kenőanyag jellemzők nyomás- és hőmérsékletfüggésének figyelembevétele, a fogazati paraméterek változtatásának a kenésállapotra gyakorolt hatásának feltárása, kísérleti vizsgálatokra alkalmas helyettesítő modellek kidolgozása és modellvizsgálatok végrehajtása a numerikus eredmények alátámasztására. Az értekezés a bevezető és összefoglaló részekkel együtt hat fejezetből áll. A bevezetést követő második fejezet a hazai és a nemzetközi szakirodalomra támaszkodva összefoglalja és értékeli a csigahajtópárok fejlődését, illetve a hozzá kapcsolódó kutatások eredményeit, a fogazati geometria és a kenésállapot leírására alkalmazott modellek, számítási eljárások feldolgozásával. A harmadik fejezet összefoglalja a csigahajtópárok geometriai és kinematikai viszonyainak meghatározásához szükséges alapelveket, módszereket. Ismerteti a kiválasztott hajtópárok fogfelületeinek, érintkezési vonalainak, kapcsolómezőjének, valamint a kapcsolódás során folyamatosan változó görbületi és sebességviszonyok meghatározását. A negyedik fejezet a hajtópár terhelése során kialakuló érintkezési nyomás viszonyokat vizsgálja a Hertz-elmélet alapján adott kapcsolódási helyzetben az érintkezési vonal mentén állandó Stribeck-féle palástnyomást, illetve a végeselemek módszerével és a hatásmátrixos számítási eljárás felhasználásával vonal mentén állandó merevtestszerű közeledést feltételezve. Az ötödik fejezet ismerteti a fogazott hajtópárok vizsgálatára kidolgozott kenéselméleteket és helyettesítő modelleket. A vonal mentén változó görbületi és sebességviszonyok szimulációjára ismert és új típusú helyettesítő modellek, valamint egy vizsgálóberendezés kerülnek bemutatásra. Összefoglalja a kúp-sík helyettesítő modellen végzett kísérleti vizsgálatokat, illetve összehasonlítja a kísérleti és számított eredményeket és értékeli a helyettesítő modellek alkalmazhatóságát. A ZTA típusú csigahajtópárok tribológiai viszonyainak vizsgálatát az előző fejezetekben meghatározott eredmények (geometria, kinematika, terhelés) felhasználásával az elaszto-termohidrodinamikai kenéselmélet alapján mutatja be és elemzi a fogazati paraméterek változtatásának a hatását a kenésállapotra, a fogazati teljesítményveszteség szempontjából.
A hatodik fejezet az értekezés új eredményeit foglalja össze tézisek formájában és bemutatja a további lehetséges kutatási irányokat. A kutatás módszerét tekintve a kinematika és differenciálgeometria, a kontakt mechanika és a tribológia elméleti összefüggéseire épülő, az egyes problématerületeknek megfelelően kidolgozott számítógépes szimuláció és modelleken végzett kísérleti vizsgálat. Konkrét eredmények a vizsgált hajtópár típusra az egyes fejezetek végén kerülnek bemutatásra. A mellékletek bizonyos összefüggések részletes levezetését, a kifejlesztett számítógépes algoritmusok folyamatábráit, a vizsgálatok során figyelembe vett anyagjellemzőket és a vizsgált hajtópárok geometriai adatainak összefoglalását tartalmazzák. 3
Szakirodalmi áttekintés. A csigahajtások fejlődése Jóllehet a csigahajtópárok alapgondolata az egymásra merőleges, kitérő helyzetű tengelyek közötti mozgás átszármaztatására már Archimedes műveiben is megtalálható az időszámításunk előtti III. században, de valójában csak a XX. század második felében váltak a csigahajtópárok az alapötletből, hosszú kutató fejlesztő munka eredményeként, nagy teherbírású, kedvező hatásfokú hajtáselemmé. Az első csigahajtóművet az 500-as években az olasz mérnök Francisco di Giorgio vázolta fel. Hasonló vázlatok találhatók Leonardo da Vinci munkái között is. A csigahajtások tehát a homlokfogaskerék hajtásokhoz képest igen fiatal hajtóművek. A XIX. század közepétől egyre több mérnök és matematikus kezdett a csigahajtópárok geometriájával foglalkozni. Viszonylag egyszerű csigageometriából kiindulva szerkesztéssel vagy számítással határozták meg az érintkezési vonalakat, illetve a csigakerék geometriáját. Döntő előrelépést jelentett a fémmegmunkálási technológiák fejlődése, melynek eredményeképpen Pfauter H. 897-ben szabadalmaztatta az első lefejtő-csigamaró gépet, illetve szerszámot, mely lehetővé tette a csigahajtópárok gyártását. A csigahajtás az 930-as évekig azonban gyakorlatilag alig terjedt el az iparban, a rossz hatásfok, a hajtómű melegedése, a fogazat nagymértékű kopása, a hajtópárok gyártási és szerelési hibákra való érzékenysége miatt. Mivel a nagy fordulatszámon üzemelő motorok egyre nagyobb áttételű hajtóműveket igényeltek, melyek megvalósítására a csigahajtóművek kis anyag- és helyszükségletük miatt célszerűen felhasználhatók, egyre több kutató kezdett foglalkozni az említett kedvezőtlen tulajdonságok megszüntetésével. A kutatások egyrészt a fogazat- és a gyártásgeometria másrészt pedig a tribológia területére irányultak, a hajtópárok teherbírásának, valamint hatásfokának növelése érdekében. A hengeres csigahajtópárok első, napjainkban is aktuális, tudományos igényű elemzései Niemann és matematikus kollégája Weber nevéhez fűződnek [NieWeb4]. Alkalmazták a hidrodinamikai kenéselmélet összefüggéseit a csigahajtópárokra, és az eredmények alapján kidolgoztak egy új típusú, ívelt profilú hengeres hajtópárt [NieHey53], melyet később az 950-es évek elején a Flender Bocholt cég Cavex néven kezdett gyártani és forgalmazni. A hatásfok és a teherbírás növelésére irányuló kutatások két eltérő irányvonalat követtek. A Niemann és Litvin nevével fémjelzett irányzat szakítva a klasszikus vonalfelületek, valamint 4
az egyenes alkotójú származtató felületek alkalmazásával, a két csomóponti egyenessel rendelkező zárt csomóponti kapcsolófelület és a fogprofil megváltoztatásának gondolatából indult ki. Ezt az alapgondolatot használták fel a homorú, ívelt profilú csigahajtópárok kifejlesztésénél, melyek érintkezési vonalainak elhelyezkedése és alakja a hidrodinamikai kenés szempontjából lényegesen kedvezőbb, mint a vonalfelületű csigahajtásoké [NieHey53], [Lit7]. A Buckingham-Ryffel féle irányzat megtartotta az egyenes alkotójú hengeres csigákat jellemző kapcsolófelületeket, úgy hogy azokat a hajtás kilépő tartományába helyezték át [BucRyf60]. Ezeknél az úgynevezett all-recess hajtópároknál, melyeket nagy negatív profileltolással gyártottak, nem zavarják szingularitások a gördülve csúszás kinematikai és dinamikai viszonyait, mivel a csigahajtópár főpontja, illetve gördülő egyenese kiiktatódik a kapcsolódásból... ábra. Csigahajtópárok csoportosítása [Dud00] a.) Hengeres csigahajtópár, b.) Globoid csiga hengeres kerék hajtópár, c.) Globoid csigahajtópár, d.) Spiroid csigahajtópár Kezdetben a vizsgálatok főleg a legegyszerűbben gyártható evolvens profilú hengeres hajtópárokra irányultak, melyeket manapság a nagyobb teherbírású és kedvezőbb hatásfokú ívelt profilú csigák egyre inkább háttérbe szorítanak. A technika fejlődése, illetve a korszerű csigaköszörű gépek terjedése ugyanis lehetővé tette a bonyolultabb geometriájú csigaprofilok gyártását is. A kedvezőbb kapcsolómező keresése vezetett az aszimmetrikus, síkkerékkel kapcsolódó evolvens csigahajtáshoz, a helikoid hajtáshoz valamint a kúpos (spiroid) csigahajtásokhoz. 5
A hajtópár teherbírás valamint hatásfok növelésének másik útját jelentette a toroidhajtások legismertebb fajtájának, a globoid csigahajtásnak a megjelenése. A századunk elején gyártott globoid csigahajtópárok azonban még nem voltak alkalmasak teljesítmény átszármaztatásra. Ipari felhasználásra alkalmas globoid csigahajtópár megalkotása Cone M. amerikai mérnök nevéhez fűződik, akinek 93-ben benyújtott szabadalma alapján a Michigan Tool Co. fejlesztette ki az Európában gyártott csigahajtópároknál kedvezőbb hatásfokú és teherbírású globoid hajtópárt, melynek geometriáját és gyártási technológiáját még ma is több titokban tartott szabadalom védi. A Cone-féle globoid csigahajtás gyártástechnológiai problémái új típusú globoid, valamint globoid csiga hengeres kerék, párosítású hajtások kifejlesztésére ösztönözték a kutatókat [Jar59], [Dro68], [Sim89], [Sip90].. Hazai kutatások a térbeli fogazott hajtópárok területén Magyarországon a csigahajtópárok gyártásgeometriájának kutatását és fejlesztését elsőként Szeniczei Lajos kezdeményezte. Az 957-ben megjelent Csigahajtóművek c. könyve sok elméleti és gyakorlati problémát tisztázott, ami alapján, illetve gondolatainak továbbfejlesztésével több kutató is jelentős eredményeket ért el. Magyar József kandidátusi értekezésében [Magy58] feltárta és általánosította az evolvens és konvolut csavarfelületű elemek kapcsolódásának több törvényszerűségét. Tajnafői József kandidátusi értekezésében [Taj66] a szerszámgépek mozgásleképező elveinek feltárásával, egységes rendszerének kidolgozásával foglalkozott. A kapcsolódó felületek Litvin által megfogalmazott alámetszési feltételeit kiegészítette az axiális alámetszések kritériumával. Akadémiai doktori értekezésében a különböző mechanizmusok származtatás elméletét dolgozta ki [Taj9]. Drahos István kidolgozta a csigahajtópárok gyártásához alkalmas forgácsoló szerszámok gyártásgeometriai alapjait [Dra87], és a konstruktív geometria eszközei segítségével megadta több kapcsolódáselméleti probléma általános megoldását. Lévai Imre a hipoid hajtások vizsgálata mellett [Lév80], a nem köralakú, kitérő tengelyű, hengeres kerekes hajtások kapcsolódásának és gyártásának kutatásával foglalkozott [Lév66]. A köszörülhető egyenes és ívelt profilú hengeres, valamint köszörülhető csigával és kerékkel rendelkező globoidhajtások kutatása és fejlesztése Drobni József nevéhez fűződik [Dro68]. Korszerű csigahajtások elméletét, tervezését, gyártási problémáit taglaló, a szerző több évti- 6
zedes kutatásait napjaink technikai szintjére emelő, összefoglaló könyve rendkívül nagy szakmai értéket képvisel [Dro0]. Bercsey Tibor doktori értekezésében [Ber7] az egyenes fogfelületű globoidcsiga és egy sík fogfelületű hiperbolikus kerék kapcsolódási viszonyait elemezte a kinematikai módszer felhasználásával. Kandidátusi értekezésében [Ber77] a toroid hajtások elméleti vizsgálataival foglalkozott. Dimenziónélküli kinematikai-geometriai jellemző számokat dolgozott ki, melyek mind a HD-, mind az EHD kenéselmélet alapján alkalmasak a fogazat geometriák minőségi összehasonlítására. Dudás Illés a ZTA típusú csigahajtás [Dud73], [Dud8] és a spiroid hajtások elemeinek gyártásgeometriai problémáinak tisztázásával [Dud88] foglalkozott több publikációjában. A csigahajtópárok fogazatkapcsolódásának számítógépes modellezése [DudBanyVar96], és a spiroid hajtópárok optimalizálása terén [Dud99] az irányításával folyó kutatásokról rangos nemzetközi konferenciákon számolt be. Csigahajtópárok kapcsolódáselméletét és gyártásgeometriáját kiemelkedő részletességgel összefoglaló, angol nyelven megjelent könyve [Dud00] nemzetközi szinten is kimagasló értéket képvisel. N. H. Hoang [Hoa87] a csigahajtópárokból leképezhető egyik hajtással, a helikoid hajtásokkal foglalkozott. Összehasonlító elméleti vizsgálatainak eredményeképpen megállapította, hogy a csiga helyzetének változtatása döntően befolyásolja a helikoid hajtásokban kialakuló érintkezési vonalak jellegét, a hajtópárok érintkezését és kisebb mértékben görbületi viszonyait is. Kedvező csigahelyzetben kialakul a hidrodinamikai szempontból előnyös kapcsolómező és érintkezési vonal elhelyezkedés. Hegyháti József rendszerező összefoglalást adott [Hegy88] a spiroidhajtások geometriai, kinematikai és tribológiai kutatásának állásáról. Kutatásai során a Hertz-elmélet segítségével a spiroidhajtások teherbírására vonatkozó összefüggéseket határozott meg, melyeket kísérletileg is igazolt. Megállapította, hogy a spiroidhajtások hatásfoka, hidrodinamikai teherbírása és veszteség-teljesítménye kedvezőbb, mint a hasonló geometriai jellemzőkkel rendelkező csigahajtásoké. Körívprofilú szerszámmal, lefejtés nélkül fogazott csigakerékkel rendelkező globoid csigahajtás geometriai viszonyait Siposs István vizsgálta [Sip90]. N. D. Vinh munkája [Vin93] során nagy terhelésű, ferdefogú hengeres kerék globoid csiga kapcsolódását vizsgálta mind elméleti, mind kísérleti kutatásaiban. Megállapította, hogy terheletlen állapotban korlátozott fogérintkezési mezővel rendelkező hajtópárok kevésbé érzéke- 7
nyek a gyártási és szerelési hibákra, kedvezőbb fogazatuk terheléseloszlása és nagyobb a teherbírása. Simon Vilmos különböző térbeli fogazott hajtópárok, többek között hengeres és globoid csigahajtópárok geometriai viszonyait vizsgálta, és optimalizálta a súrlódási veszteség és a teherbírás szempontjából, numerikus módszerek felhasználásával, a elasztotermohidrodinamikai kenési modell alapján [Sim89], [Sim90], [Sim94]. [Sim96]. Dudás László az általa kifejlesztett úgynevezett elérés modellt, ami a kinematikai módszernek egy sajátos megfogalmazása, alkalmazta kapcsolódó felületpárok gyártásgeometriai feladatának numerikus megoldására [DudL9], [DudL98]. Kolonits Ferenc a fogaskerekek hőigénybevételét vizsgálta doktori dolgozatában [Kol70], kandidátusi értekezésében [Kol74], a Blok elméletből kiindulva, a fogazathelyesbítés hőtani kérdéseit tárta fel..3 A csigahajtópárok érintkezési és kenési viszonyaival foglalkozó kutatások fejlődése Többféle elmélet ismeretes a fogazott hajtópárok tribológiai vizsgálatára. Ezzel kapcsolatban Niemann és Weber [NieWeb4] valamint Hiersig [Hie54] végezték az első számításokat az 940 es években. Felállították a hengeres csiga fogkapcsolódására az érintkezési vonalakat, a görbületi- és sebességviszonyokat leíró alapegyenleteket, a kenési viszonyokat pedig a hidrodinamikai (HD) kenéselmélet szerint számították. A hidrodinamikai teherbírást és a teljesítményveszteséget Peppler [Pep38] publikációja alapján, helyettesítő hengerpárok segítségével számították, amelyek görbületei a kapcsolódó fogfelületek görbületeit közelítik az érintkezési vonal mentén. Weber és Maushake [WebMau59] továbbfejlesztették az eljárást, majd Jarchow [Jar59] ugyanezzel a módszerrel a globoid csiga ferdefogú hengeres kerék kapcsolatát vizsgálta. Megállapította, hogy a hajtópár még az ívelt fogprofilú hengeres csigahajtás hatásfokát és teherbírását is túlszárnyalhatja. Schouten [SchM73] a fogazott hajtások élettartamát, kopását vizsgálta kísérleti úton az elaszto-hidrodinamikai kenéselmélet alapján kéttárcsás vizsgálóberendezés segítségével. Mérései, a súrlódási viszonyok meghatározása mellett, kiterjedtek a kenőfilmben kialakuló nyomás és hőmérsékleti viszonyok meghatározására is. Predki [Pre8] evolvens, körív, és ciklois fogprofilú csigahajtások sebesség, görbületi, és érintkezési viszonyainak elméleti vizsgálatát folytatta, figyelembe véve a csigatengely alakváltozását is. Megállapította, hogy ha a deformálódott csigatengelyt szerszámként kezeljük, 8
amely a csigakereket a bejáratáskor korrigálja, akkor a tengely lehajlásának nincs számottevő hatása a hajtómű futási tulajdonságaira. A hajtópárokat a fellépő Hertz-feszültség, a Dowson és Higginson [DowHig59] által kidolgozott elaszto-hidrodinamikai (EHD) kenéselmélet alapján számított kenőfilm vastagság és a fogazati hatásfok mint összehasonlító paraméterek szempontjából vizsgálta. Kutatásai során elemezte a fogazatkapcsolódási interferenciákat, a fogkihegyesedést a csigakerék esetében, valamint egyéb, gyártás során fellépő problémákat. Megállapította, hogy a csigahajtások élettartamát elsősorban a felszíni kifáradás és a kopás határolja be, ezen kívül bizonyos hőmérsékleti határokat sem szabad túllépni. Az egészen kis terhelésektől eltekintve állandóan vegyessúrlódással és az ezzel járó kopással kell számolni. Dierich [Die89] elvetette azt a feltételezést, hogy az érintkezési vonal mentén állandó a fogfelületek között fellépő érintkezési nyomáseloszlás és a fogazatkapcsolódás során változó terheléseloszlást végeselem-módszerrel számította. Az érintkező felületpárokat tökéletesen simának tételezte fel, és különféle fogprofilú hengeres, valamint globoid hajtópároknál a kialakuló kenőfilm vastagságot és fogazati teljesítményveszteséget az elaszto-termohidrodinamikai (ETHD) kenéselmélet alapján számította. Schoo [SchA85] a homlokfogaskerekek fogazati veszteségteljesítményét és súrlódási számait vizsgálta szintén az ETHD kenéselmélet szerint, amely az energiaegyenlet bevonásával lehetővé teszi az olaj melegedésének számítását a kenőrésben. Dierich és Schoo feltételezték, hogy a kenőfilm az érintkező testeket tökéletesen elválasztja és nem lép fel szilárdtest érintkezés. Bouché [Bou9] figyelembe vette az érintkező testek felületi érdességét és a csigahajtópárok fogazati veszteségteljesítményét vegyessúrlódási állapot feltételezésével számította. A kenőrés modelljében az érintkező testek felületi érdességi csúcsait rugalmas félgömbökkel modellezte, melyek a rugómerevsége megközelíti a valós érintkezési felület rugalmas jellemzőit. Így lehetőség nyílt a szilárdtest érintkezés figyelembevételére az ETHD elméletet leíró egyenletrendszerben. A számított eredményeket összehasonlította a csigahajtópár vizsgáló berendezésen mért fogazati hatásfokokkal. A fogkapcsolódás tribológiai viszonyainak modellezéséhez lényegében valamennyi kutató a már korábban ismertetett helyettesítő hengerpárokat alkalmazta [Pep38]. A felsorolt kutatási eredményeket is felhasználva dolgozták ki az 998-ban életbe lépett DIN 3996 jelű szabványt, amely a hengeres csigahajtópárok teherbírásának számítását foglalja öszsze, tekintettel a fogfelületek kopására, fogtörésre, felületi kifáradásra, valamint a csigaten- 9
gely lehajlására és a hajtópárok melegedésére. Ez a szabvány tartalmilag, a főbb összefüggések tekintetében, megegyezik az ISO45 szabványtervezettel. A tribológiai viszonyok vizsgálatához nélkülözhetetlen a fogfelületek között fellépő érintkezési viszonyok meghatározása. Különböző numerikus eljárások találhatók a szakirodalomban, melyek általában speciális, fogérintkezésre kifejlesztett algoritmusokat alkalmaznak. Litvin és munkatársai több publikációjában is megjelenik a térbeli fogazatok kapcsolódási viszonyainak, az ideális illetve a gyártási és szerelési hibát tartalmazó hajtópárok hordképének numerikus meghatározása, pl. [SeoLit86], valamint a hordkép lokalizálása [LitCheSeoKimLuZhaEgeWanHan96]. A numerikus számítási algoritmus, a kapcsolódási pontbeli főgörbületek, valamint főirányok és a fog rugalmas testként való modellezéséből kiindulva, a hordképet a pillanatnyi kapcsolódási pontok környezetében kialakuló érintkezési ellipszisekből határozza meg. Dudás Illés a tengelymetszetben körívprofilú csigahajtópárok hordképlokalizációjával is foglalkozott. A hordképlokalizáció célja, hogy a pillanatnyi érintkezési vonalak minél nagyobb mértékben a tribológiai viszonyok szempontjából kedvező tartományba essenek, ahol tehát az érintkezési vonal adott pontjához tartozó érintő és a relatív sebesség által bezárt szög 70-90 között van. Numerikus összehasonlító vizsgálatai alapján megállapította, hogy ennél a típusú csigahajtópárnál az ívsugár középpontnak a csigatengelytől való távolságának növelése jelentős mértékben, míg a körívsugár növelése lényegesen kisebb mértékben javítja az érintkezési vonalak helyzetét [DudVarBan96]. Végeselemek módszere (VEM) Saját fejlesztésű végeselemes programot alkalmazott különböző térbeli fogazatok érintkezési viszonyainak vizsgálatára Simon [Sim89], [Sim90], [Sim96], valamint Dierich [Die89]. A kereskedelmi végeselem programok felhasználása a meglehetősen bonyolult geometriájú térbeli fogazatok érintkezési viszonyainak vizsgálatára gyakran nehézségekbe ütközik. Problémát jelenthet a geometriai modellezés, különösen akkor, ha a hajtópár egyik tagjának felülete nem adható meg zárt alakban, hanem csak az ismert felületű taggal közös, pillanatnyi érintkezési vonalak burkolófelületeként. Ennek megoldása lehetséges úgy, hogy a kapcsolódási egyenlet segítségével meghatározott érintkezési vonalakra nurbs-felületet illesztünk és így generáljuk az ismeretlen fogfelület modelljét. A másik lehetőség, hogy az ismeretlen fogfelület tengellyel párhuzamos metszeteit határozzuk meg a kapcsolódási vonalak tengelymetszetei 0
felhasználásával és így az egyes metszetekkel, mint szeletekkel közelítjük az ismeretlen fogfelületet [Die89]. Újabb probléma lehet az érintkezési vonalak mentén a terhelés megadása. Amennyiben nem rendelkezünk olyan végeselemes programcsomaggal mint pl. a MARC, melynek elemkészlete tartalmaz 3D-s kontaktelemet, akkor az elmozdulásmezőt és az érintkezési nyomáseloszlást külön algoritmus (pl. iteráció, hatásmátrix) segítségével kell a hajtó és hajtott tagra meghatározni [Hor99a]. Véges hasábok, véges sávok módszere Gosselin [Gos99] a véges hasábok módszerét (VHM) alkalmazta egyenes és ferde fogú hengeres fogaskerekek vizsgálatára, amely tulajdonképpen a véges elemek módszerén alapul azzal a különbséggel, hogy a VEM esetében mindhárom koordináta irányában polinom függvény közelíti az elmozdulás mezőt, a VHM esetében viszont csak két irányban, a harmadikban (a fogaskerék tengelyének irányában) viszont egy függvénysor. A módszer alkalmazásával, a hagyományos végeselemes futtatáshoz viszonyítva, 80-szor gyorsabb a számítás, és a memóriaigénye hatodára csökken hasonló pontosság mellett. Hátránya a módszernek, hogy bonyolultabb, térbeli fogazati geometria esetén nem alkalmazható. A véges sávok módszerének alkalmazásával a hengeres fogaskerekeken kívül pl. egyenes és ívelt fogú kúpkerék, illetve hipoid fogaskerékpárok érintkezési viszonyai vizsgálhatók [GagGosClo96], [Gos99]. A fog egy konzolosan befogott változó vastagságú lemezként jelenik meg a mechanikai modellben, amelyet kétdimenziós sávelemek segítségével vizsgál. A módszer, az elmozdulás mező közelítésére egy irányban egyszerű polinom függvényt, míg a másik két irányban folytonosan differenciálható, monoton sorozatokat használ. A fogak deformációjának, meghajlásának vizsgálata esetén a módszer lényegesen gyorsabb a VEM-nél, összehasonlító számítások szerint az eredmények eltérése kisebb mint 0%. A fent említett módszerek előnye a fogazat alakváltozásának gyors, viszonylag pontos számítása, így könnyen integrálható különböző fogaskerék geometriát tervező optimáló szoftvercsomagba. Hátránya viszont, hogy a mechanikai modell a fogakat gyakorlatilag befogott tartóként kezeli, így nem veszi figyelembe a fogaskeréktest és a tengely alakváltozását, lehajlását. Véges szeletek módszere A Drezdai Műszaki Egyetemen kifejlesztett eljárás alkalmas egyenes és ferde fogazatú hengeres és kúpfogaskerekek érintkezési és feszültségviszonyainak numerikus vizsgálatára, a kö-
vetkező modell felhasználásával [BauBörLinSen96]. A hajtópárt a tengelyre merőlegesen állandó vastagságú képzeletbeli szeletekre bontjuk, az egyes szeleteken belül a terhelést állandónak tételezzük fel. Vizsgáljuk lépésről lépésre az egyes képzeletbeli szeletek rugalmas alakváltozását az összes szelet terhelése esetén. Az így előállítható mátrix a vizsgált hajtópár merevségét jellemzi a hely függvényében. Ebben az esetben a rugalmas alakváltozások meghatározása során kereskedelmi végeselem program helyett hasonló elvű, saját fejlesztésű numerikus algoritmust használnak az előállított mátrixegyenletek megoldására. Csigahajtópárok vizsgálatára ugyanezt az elvet felhasználva fejlesztettek ki számítási algoritmust a Müncheni Műszaki Egyetemen [HöhSteLut00]. A kapcsolódó fogazott elemeket a modell a csigatengellyel párhuzamos szeletekkel helyettesíti, amely diszkrét szeletek felhasználásával az algoritmus meghatározza az érintkezési és feszültségviszonyokat, figyelembe véve nemcsak a hajtópár, hanem a csapágyazás, sőt a hajtóműház rugalmas alakváltozását is.
3 A térbeli fogazatok geometriai és kinematikai viszonyainak vizsgálata 3. Fogazáselméleti alapok A fogazáselmélet alapjait a burkolófelületek geometriai tulajdonságainak elemzésével Olivier [Oli84], Reuleaux [Reu88], és Gohman [Goh886] fektették le munkáikban. Olivier a kapcsolódó fogfelületek leírásához bevezette a burkolófelületek általános módszereit, a származtató felület alkalmazásával megalapozta ezen felületek leképezésének lehetőségét. Gohman, a térbeli fogazott kinematikai párok elméletét továbbfejlesztve, már 886-ban megalkotta a kinematikai geometriára épülő analitikai fogazáselmélet alapjait, amelynek alkalmazása azonban csupán néhány évtizedes múltra tekint vissza. Litvin [Lit7] továbbfejlesztette a fogazott elempárok vizsgálati módszereit a kinematikai módszer kidolgozásával, amely lehetővé teszi a kapcsolódás egyenletének felállítása alapján az érintkezési karakterisztikák és görbületi viszonyok meghatározását. 3. A mozgásleképezés alapelvei, felosztása Minden fogazott elempár megmunkálása és kapcsolódása, a kinematikai helyettesítés szempontjából, relatív mozgások, illetve mozgásinformációk leképezésének és visszaképezésének fogható fel. A mozgásleképezésen alapuló tárgyalásmód kialakulása egy zavaró hatásoktól mentes, ideális alakítási mechanizmus, amelyhez elsősorban a származtató felületet kell definiálni. A származtató felület egy általános modell, mely a különböző alakító szerszámokat egy-egy olyan felülettel helyettesíti, amely ugyanazon relatív mozgásokkal ugyanazon munkadarab-felületeket hozza létre, mint a valódi szerszám. A származtató felület és a munkadarab felület kapcsolatát a kölcsönösség, a megfordíthatóság és a teljes kapcsolódás jellemzi. A munkadarab leképezett Σ i felületét geometriai szempontból: a P származtató felület és a szerszám munkadarabhoz viszonyított relatív mozgásai határozzák meg [Taj65]. szögsebesség vektorrend- A szerszám munkadarabhoz viszonyított relatív mozgása a szerrel jellemezhető. Σω Ennek megfelelően a Σ I munkadarab-felület futópontjainak helyvektora az () i () i ( PΣ ) ( i PΣ ) r = r [P, Σω i ] (3.) egyenlettel adható meg. 3
A paraméterek sorrendjétől függően a megmunkálások geometriai és kinematikai szempontból kétféleképpen tárgyalhatók: a.) a megmunkálás a származtató felület leképezése a munkadarab felületére, adott relatív mozgások mellett, b.) a megmunkálás, a szerszám és a munkadarab közötti relatív mozgások leképezése egy felületpárra, amelynek egyik eleme a szerszámot helyettesítő származtató felület, a másik pedig a munkadarab megmunkált felülete. A felületek ebben az esetben csak eszközök az előírt relatív mozgások leképezésére. Kétféle relatív mozgásinformációt lehet megkülönböztetni: a leképezésben és a visszaképezésben ható állandó, úgynevezett statikus relatív mozgásinformációkat, melyek a relatív helyzet biztosítására szolgálnak, és a felületre leképezett, úgynevezett dinamikus relatív mozgásinformációkat. A dinamikus relatív mozgásinformációk leképezése közvetlen és közvetett mozgásleképezéssel valósítható meg. A közvetlen leképezésekkel Olivier második módszerével előállított felületpárokat konjugált felületpároknak nevezzük. Ez esetben a megmunkált Σ i felület P származtató felülete teljes mértékben egybe esik a Σ i felülettel kapcsolódó Σ m felülettel és a Σ i megmunkálása során a P és Σ i felületek relatív mozgásinformációi megegyeznek a Σ i és Σ m felületek kapcsolódása során fellépő relatív mozgásinformációkkal. A közvetlen mozgásleképezések egyszerűségéből adódó előnyök mellett a hátrányai a következők: minden különböző méretű kapcsolódó párhoz más-más szerszám szükséges, azaz nagy a fogazószerszám-készlet, a gyártható kapcsolódó párok alakját és méreteit korlátozza a szerszámgépek szerszámtér mérete. A fenti hátrányos tulajdonságok miatt a közvetett mozgásleképezések módszere nagy lehetőségeket rejt magában. A közvetett mozgásleképezés során a Σ i és Σ m felületeket a velük egybe nem eső P származtató felület képezi le, tehát a megmunkálás során egy helyettesítő származtató felület relatív mozgása az eredeti származtató felületet hozza létre határfelületként. Ez a helyettesítő származtató felület csak olyan felület lehet, amely relatív mozgásokkal az eredeti felületből származtatható. Az eredeti származtató felület ilyen leképezés esetén közvetítő származtató felületként jelentkezik, amelyen mint elméleti felületen keresztül kapcsolódnak a munkadarab és a helyettesítő származtató felületek, valamint az így előállított kinematikai 4
párok. E többszörösen végrehajtható felülethelyettesítéssel való leképezés Olivier első módszerének alapja. A közvetett mozgásleképezés tehát két vagy több közvetlen mozgásleképezésből áll. Lehetővé teszi ugyanazon felület előállítását különböző relatív mozgásinformációk mellett, illetve konjugált párok ugyanazzal a szerszámmal való létrehozását. A közvetlen leképezéssel létrehozott kinematikai párok elméletileg vonalmentén kapcsolódnak, tehát a pillanatnyi mozgásinformáció hordozója térgörbe, a felület menti és a pontszerű kapcsolódás csak pillanatnyi, vagy határhelyzetnek tekinthető. A közvetett leképezéssel készített kinematikai párokra mind a térgörbe menti, mind a pontszerű érintkezés általános. Felületmenti kapcsolódás ez esetben is csak elfajuló esetként valósul meg. 3.3 A kapcsolódás és a relatív mozgásinformációk visszaképezhetőségének alaptörvényei A kapcsolódás és a visszaképezhetőség minden konjugált elempárra és mozgásfajtára érvényes alaptörvényei a következők [Taj65]: ( ) ( ) mi im I. n v = n v = 0 (3.) i i m m azaz a kapcsolódó felületpárok sebességkülönbségei a felületek érintősíkjában csúszással egyenlítődnek ki. Vagyis a kapcsolódó fogfelületek bármely kapcsolódási pontjában a felületi normális merőleges a relatív sebesség vektorára. () ( ) i m II. nv = nv (3.3) A kapcsolódó pontok sebességvektorainak a közös felületi normális irányú komponensei egyenlők. ( ) () ( ) () ( ) m i im i mi III. r = r + v = r v (3.4) r r r Az u és ϑ paraméterekkel jellemezhető származtató felület bármely D (m) felületi görbéjén értelmezhető a kapcsolódási pont vándorlási sebessége: ( m) rr du rr ϑ r r = + (3.5) u dt ϑ dt Figyelembe kell venni, hogy a munkadarab felületén lévő vizsgált kapcsolódási pont a munkadarabhoz kötött rendszerben nyugalomban van, a szerszámhoz (itt a származtató felülethez) kötött rendszerben az érintkezési pont vándorlási sebessége a munkadarabhoz kötött koordinátarendszer szállítósebességével egyenlő. Így a munkadarab valamely felületi görbéjén lévő kapcsolódási pont vándorlási sebessége egyenlő az adott felületi görbével kapcsolódó, származtató felületi görbe kapcsolódási pontjának vándorlási sebességének és a 5
maztató felületi görbe kapcsolódási pontjának vándorlási sebességének és a származtató felület munkadarabhoz viszonyított csúszási sebességének összegével. IV. ( m) () i ( im) () i e = e + ω e (3.6) r r A kapcsolódás bármely pillanatában a kapcsolódó felületek normálisai egybe esnek, és irányváltozási sebességük a munkadarabhoz és a származtató felülethez kötött koordinátarendszerben felírt differenciálhányadosuk közötti kapcsolattal fejezhető ki. V. i m nnv =nnv L 0 (3.7) azaz ugyanazon relatív helyzet (statikus relatív mozgásinformációk) biztosítása mellett, a leképezett dinamikus mozgásinformációk csak akkor képezhetők vissza, ha a pillanatnyi mozgásinformációkat hordozó felületi elem kapcsolatban lévő pontjainak a közös érintősíkra merőleges sebességkomponensei nem egyenlők zérussal. A kapcsolódás elmélet alaptörvényeinek ebben a formában történő megfogalmazása és következetes alkalmazása az értekezésben is alkalmazott kinematikai módszer egyik legalapvetőbb jellemzője. 6
3.4 Térbeli fogazatok kapcsolódásának elmélete A fejezetben alkalmazott összefüggések a Litvin által publikált [Lit7], [Lit94] kinematikai módszeren alapulnak. Az irodalomban található összefüggések azonban helyenként hiányosak és nyomdahibával terheltek, ezért merült fel az igény az összefüggéseknek újbóli ellenőrzésére, kiegészítésére. További előrelépésként jelenik meg az említett irodalomhoz képest, hogy az itt levezetett összefüggések teljesen általános helyzetű koordinátarendszerekre érvényesek, így a módszer alkalmazhatóságát tovább általánosítja. A dolgozatban szereplő, helyenként bonyolult összefüggések helyességét a Mathematica 4.0 programcsomaggal ellenőriztük. 3.4. Térbeli koordinátarendszerek A kitérő tengelyek közötti mozgásátszármaztatás vizsgálatához, a fogfelületeket leíró térbeli koordináták megadásához minimum három koordinátarendszer felvétele szükséges, az -es S (x, y, z ) és -es S (x, y, z ) a tagokhoz rögzített forgó, valamint a hajtóműházhoz rögzített álló S (x, y, z) koordinátarendszer, melyhez képest kerül megadásra a forgó koordinátarendszerek helyzete. Az elemek forgástengelye z illetve z, a forgásirány a tengelyek irányából nézve pozitív (az óramutató járásával ellentétes), az elfordulás szöge vagyis a mozgásparaméter ϕ illetve ϕ. 3. ábra. Kitérő forgástengelyű koordinátarendszerek a fogfelületek megadására 7
Mivel az S álló koordinátarendszer origója egybeesik az S forgó koordinátarendszer origójával, ezért az S koordinátarendszer S-hez illetve S -hez viszonyított relatív helyzetét az A x () r A = r0 = A = y = állandó (3.8) A z vektor adja meg. A 3. ábrának megfelelően a koordinátarendszerek között felírható, a fogfelületeket leíró helyvektor, illetve a mozgás sebességvektorainak meghatározására szolgáló transzformációs mátrixokat az I. számú melléklet tartalmazza. 3.4. A fogfelület, a felületi normális egyenletei, a pillanatnyi érintkezési vonalak és a kapcsolófelület meghatározása A fogfelületeket paraméteres alakban célszerű megadni. Jelöljük a paramétereket u-val illetve ϑ -val, így a fogfelület pl. az S álló koordinátarendszerben r = r( u, ϑ) egyenlettel írható fel. Tegyük fel, hogy a fogak működő részén a felület folytonos, tehát r = r( u, ϑ) az u és ϑ pa- r r raméterek folytonos függvénye. A paramétervonalak és érintői által meghatározott sík u ϑ a felület adott pontbeli érintősíkja. A felületi normális n, merőleges az érintősíkra és az r r n = (3.9) u ϑ összefüggéssel határozható meg. A kapcsolódó tagok fogfelületein mint egymást kölcsönösen burkoló felületeken lévő érintkezési vonal a kapcsolódás I. törvényét kifejező () () () n v = n v = n = 0 (3.0) v kapcsolódási egyenlet és a fogfelületet leíró vektor-skalár függvény egyidejű megoldásával határozható meg. A számítást abban a koordinátarendszerben célszerű elvégezni, melyben az egyenletek a legegyszerűbb alakban írhatók fel. A kapcsolódási egyenlet felírásához az egyes tagok viszonylagos sebességi állapotát az előző fejezetben megadott összefüggésekkel lehet meghatározni. Legyen adott az S rendszerben a Σ felület r = ( u, ϑ) egyenlete. r A relatív sebességvektor az I. sz. melléklet összefüggései szerint: 8
v = P y( i x ( i = 0 ( i cos γ) i cosϕ sinγ Axi ( i cos γ) 0 i sinϕ sinγ Axi = i cosϕ sinγ i sinϕ sinγ 0 0 0 0 cos γ) zi cosϕ sinγ Axi sinϕ cos γ + Ayi cosϕ cos γ) + z i sinϕ sinγ A i cosϕ cos γ A i sinϕ x y xi cosϕ sinγ yi sinϕ sinγ + Axi sinγ 0 sinϕ cos γ + Ayi cosϕ cos γ Ayi A i sinγ 0 cosϕ sinϕ () () r r x A kapcsolódási egyenlet: =. (3.) n = 0, (3.) () v amely kifejtve a következő alakba írható: n x + n + n [ iz cosϕ sin γ y( i cos γ) i(a x sinϕ cos γ A y cosϕ) ] [ x ( i cos γ) + i z sinϕ sin γ i (A cosϕ cos γ + A sinϕ )] y z [ i sin γ(x cosϕ y sinϕ + A )] = 0 x x y + +, (3.3) ahol n x, n y, n z a felületi normális vektor skalár komponensei az S koordinátarendszerben. A (3.) kapcsolódási egyenlet kifejezi az u és ϑ felületparaméterek, valamint a ϕ mozgásparaméter közötti összefüggést, amely az F (u, ϑ, ϕ )=0 (3.4) kifejezésre vezethető vissza. A Σ és Σ fogfelületek érintkezési vonalainak meghatározása az S rendszerben az F (u, ϑ, ϕ )=0, r =r (u, ϑ ) egyenletek segítségével történik. (3.5) Az érintkezési vonalsereg burkolófelületeként kialakuló. tag fogfelületének egyenletei az S rendszerben a fentiek alapján: F (u, ϑ, ϕ )=0, r =r (u, ϑ ), r =M r. (3.6) A fogazott hajtópár kapcsolófelületét, vagyis az érintkezési vonalak S álló koordinátarendszerbeli vonalseregét az F (u, ϑ, ϕ )=0, r =r (u, ϑ ), r=m 0 r. (3.7) egyenletek határozzák meg. 9
A kapcsolófelület működő része, az úgynevezett kapcsoló mező, melyet a fogazott elemek alaptestjeinek ( ) ( ) R = R ϑ, ϑ és R = R ϑ, ϑ (3.8) () () () () fejfelületei metszenek ki a kapcsolófelületből. Néha célszerűbb a kapcsolódási egyenletet az S álló koordinátarendszerben felírni. ( ) nv = 0 (3.9) ahol a sebességvektor 0 ( i cos γ) i sin γ Ayi ( ) ( ) ( ) i cos γ 0 0 Axi cos γ v = P = 0 r r = i sin γ 0 0 Axi sin γ 0 0 0 0 (3.0) y( i cos γ) zi sin γ + Ayi x( i cos γ) Axi cos γ = xi sin γ + A i sin γ 0 x alakba írható, amellyel a kapcsolódási egyenlet az S álló vonatkoztatási rendszerben: [ y( i cos γ) zi sinγ + A i ] + n [ x( i cos γ) A i cos γ] + n [ xi sinγ + A i sinγ] 0. (3.) nx y y x z x = 3.5 A kenési viszonyokat befolyásoló geometriai, kinematikai jellemzők A kitérő tengelyű hajtások vizsgálatai bebizonyították, hogy a teherbírás, illetve a hatásfok a kapcsolófelület működő részén a teherbíró folyadékfilm kialakulását befolyásoló geometriaikinematikai jellemzőktől, a kapcsolódási pontokban a görbületi viszonyoktól és a viszonylagos mozgás sebességállapotától függ. Ennek megfelelően a súrlódási kenési viszonyok akkor a legkedvezőbbek, ha az érintkezési vonal érintője és a relatív mozgás sebességvektora merőleges egymásra. 3.5. A viszonylagos mozgás sebességvektora és az érintkezési vonal érintője által bezárt szög Helyettesítsen egy rögzített mozgásparaméterhez tartozó e pillanatnyi érintkezési vonalat az érintkezési vonal egy E pontjának kis környezetében a vizsgált ponthoz tartozó érintő. A kapcsolódó felületek közös pontjaiban a pontokhoz tartozó érintővektor és a pontokban a relatív sebesség vektora egy síkban, a közös érintősíkban fekszik. Vonalmenti kapcsolódás esetén az érintő irányában a kapcsolódó felületek normálgörbületei azonosak, ezért a redukált normálgörbület nulla. A Σ felület E pontjának sebességvektora a 3. ábra alapján a 0
() () () v v n + v t + = v (3.) () m összetevőkre bontható. 3. ábra. Kapcsolódó fogfelületek görbületi és sebesség viszonyai Hasonlóan a Σ felület E pontjának sebességvektora a v ( ) = v + v + v (3.3) ( ) n ( ) t ( ) m alakban írható fel. Tekintsük az érintőre merőleges m-m metszetet, ahol az érintkező felületeket a kenőanyag részecskéi választják el. Az E és E pontokban a kenőanyag részecskék sebessége v () m és v () m, a hidrodinamikailag hatásos sebesség, amellyel a hajtópár hidrodinamikai teherbírása arányos Σv m = v () () m + v m (3.4) Tehát egyéb azonos feltételek mellett, a hajtópár teherbírásának növeléséhez olyan alakú e érintkezési vonalak szükségesek, amelyek megléte esetén az adott pontban a sebességek érintőre merőleges összetevői a legnagyobbak. A viszonylagos mozgás sebességvektorának felbontásához az érintő irányát kell meghatározni rögzített mozgásparaméter értékek mellett. Mivel a vizsgálat során ϕ =állandó, az érintkezési pont a Σ i felületen végzett
i v ( ) r r = i =, () i () i du r + dt ϑ (i) (i) x du x dϑ + u dt dt ϑ (i) (i) dϑ y du y dϑ = + dt u dt ϑ dt (i) (i, (3.5) z du z dϑ + u dt ϑ dt 0 u ) sebességű viszonylagos mozgása során csak az érintkezési vonal mentén mozdulhat el, így az elmozdulás v (i) r sebességének iránya egybeesik az érintő irányával. A v () relatív sebességvektor és az érintő által bezárt δ szög meghatározásához differenciálni kell a kapcsolódás I. alaptörvényét kifejező egyenletet. F du F dϑ F dϕ + + u dt ϑ dt ϕ dt = 0 (3.6) dϕ Mivel ϕ =állandó, du dϑ = 0. Tetszőlegesen megadva, differenciálhányadosok egyikének az értékét, a másik differenciálhányadost a (3.6) egyenletből lehet kifejezni. Ezután dt dt dt a (3.5) összefüggéssel meghatározható a v r (i) vektor. A relatív sebességvektor és az érintő által bezárt δ szög pedig a cosδ = v v v (i) () r (i) () r v (3.7) képlettel határozható meg. Így az érintkezési vonalra merőleges sebesség komponens v = v sinδ, (3.8) () () m az érintő irányába eső komponens pedig v = v cosδ (3.9) () () t nagyságú. Az egyes sebességkomponensek, illetve a pillanatnyi érintkezési vonal egy adott pontjában a relatív sebességvektor és az érintő által bezárt szög ismeretében lehetőség nyílik az érintkezési vonalak kvalitatív értékelésére, a kedvező, δ 90 -os szöget bezáró vonalak kiválasztására és a kapcsolómező optimális helyzetének meghatározására.
3.5. A görbületi viszonyok meghatározása A felületi görbék () i χ görbületei közül a felületi normálist tartalmazó síkkal való metszésvonalhoz tartozót normálgörbületnek nevezzük. A normálgörbületek két egymásra merőleges irányban vett értékeivel szokás a felületet jellemezni. Azon két irány, ahol a normálgörbületeknek szélső értéke van, főirányok, a hozzájuk tartozó legnagyobb, illetve legkisebb görbületek a főgörbületek. A görbületi viszonyok meghatározása történhet differenciálgeometriai összefüggések alapján vagy a kinematikai módszer felhasználásával. A dolgozatban mindkét módszer bemutatásra kerül, egyrészt a meglehetősen bonyolult összefüggések helyességének ellenőrzésére, másrészt pedig a numerikus számításokhoz kifejlesztett algoritmusok pontosságának, hatékonyságának meghatározására. Differenciálgeometriai módszer a görbületek meghatározására Jelölje χ I, χ II és i I, i II az -es fogfelület, illetve χ III, χ IV és i III, i IV a -es fogfelület főgörbületeit és főirányait. A K = χ χ teljes vagy Gauss-féle görbület értékétől függően a felületi pontok i II lehetnek elliptikusak (K>0), hiperbolikusak (K<0), illetve parabolikusak (K=0). Tekintsük adottnak az -es fogfelületet, melyet az S koordinátarendszerben az ( u,ϑ) határoz meg. A felület főgörbületeit a következő másodfokú egyenlet gyökei adják: r vektor H + K 0 R R =, (3.30) amelyben H a felület kétszeres átlagos, vagy középgörbülete, K pedig a Gauss-féle vagy teljes görbülete. H és K az úgynevezett főmennyiségek függvényei: EN FM + GL H = + =, (3.3) R R EG F I I II II LN M K = =, (3.3) R R EG F ahol az elsőrendű főmennyiségek: r E =, (3.33) u r = r F, (3.34) u ϑ 3