MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 6. évfolyam TANULÓI MUNKAFÜZET 2. FÉLÉV

A kiadvány KHF/4356-14/2008. engedélyszámon 2008.11.25. időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program 3.1.1. központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: www.educatio.hu címen. Matematika szakmai vezető: Pálfalvi Józsefné Szakmai tanácsadók: Csahóczi Erzsébet, Szeredi Éva Alkotószerkesztő: Vépy-Benyhe Judit Lektor: Makara Ágnes Grafika: Pusztai Julianna Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT0603 Szerzők: Birloni Szilvia, Pintér Klára, Zsinkó Erzsébet Educatio Kht. 2008. Tömeg: 460 gramm Terjedelem: 23,69 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Györfi Lászlóné Tudományos szakmai szakértő: Vecseiné dr. Munkácsy Katalin Technológiai szakértő: Nagy Károly

tartalom 066. síkidomok 0661. Adott tulajdonságú ponthalmazok szerkesztése.................................. 5 0662. Kör és szög... 15 0663. Háromszögek, nevezetes vonalak... 33 0664. Háromszögek és négyszögek szerkesztése... 43 0665. Gyakorlás, mérés... 55 067. Arány, arányosság, statisztika 0671. Arányos osztás... 59 0672. Egyenes arányosság... 67 0673. Fordított arányosság... 83 0674. Bevezetés a statisztikába... 93 0675. Gyakorlás, mérés... 105 068. Geometriai számítások 0681. Vegyes kerület- és területszámítási feladatok... 113 0682. Testek térfogata és felszíne... 131 0683. Gyakorlás, mérés... 139 069. egyenletek, egyenlőtlenségek 0691. Nyitott mondat, egyenlet, egyenlőtlenség... 143 0692. Egyenletek, egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel... 151 0693. Szöveges feladatok megoldása... 163

0661. MODUL síkidomok Adott tulajdonságú ponthalmazok szerkesztése Készítette: Takácsné Tóth Ágnes

6 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 1. Feladatlap 1. Határozd meg a geometriai alakzatok távolságát! A P B e A g e f h k P A Q B C P O O e O Q

tanulói munkafüzet 0661. Adott tulajdonságú 7 EMLÉKEZTETŐ Ponthalmazok távolsága Ponthalmazok távolságán az őket összekötő legrövidebb szakasz hosszát értjük. Két pont távolsága az őket összekötő szakasz hossza. Pont és egyenes távolsága: a pontból az egyenesre bocsátott merőleges szakasz hossza. Két párhuzamos egyenes távolsága: az őket összekötő, rájuk merőleges szakasz hossza. 2. FELADATLAP 1. Rajzolj egy P pontot! a) Szerkeszd meg a P ponttól 3 cm távolságra lévő pontok halmazát! b) Szerkeszd meg a P ponttól 2 cm távolságra lévő pontok halmazát! c) Színezd pirossal a P ponttól 2 cm-nél nem nagyobb, zölddel a 3 cm-nél nagyobb távolságra lévő pontok halmazát! Nevezd meg az a), b), c) feladatokban megjelölt ponthalmazokat! Mi a neve a színezetlen ponthalmaznak? 2. Rajzold meg azon pontok halmazát, amelyek egy f egyenestől legalább 2 cm-re, de legfeljebb 4 cm-re vannak! 3. Milyen tulajdonságú pontokat színeztünk be az ábrán? I. ii. 0 2 cm 2 cm III. 2 cm e 2 cm

8 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet IV. 2 cm e 2 cm V. 3 m 6 m összegzés A körvonal pontjai a sík egy adott pontjától adott távolságra vannak. Ez az adott pont a kör középpontja, az adott távolság a kör sugara. A körlap pontjai a sík egy adott pontjától egy adott távolságnál nem nagyobb távolságra vannak. Egy egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok két, az egyenessel párhuzamos egyenest alkotnak. Egy sáv pontjai a sáv középvonalától egy adott távolságnál nem nagyobb távolságra vannak. 3. FELADATLAP 1. A feladat megoldásához rajzolj a füzetedbe derékszögű koordináta-rendszert! a) Jelöld be derékszögű koordináta-rendszerben az A (2, 1) pontot! Add meg az A pont és a tengelyek távolságát! Keress olyan rácspontot (rácspontokat), mely(ek) 4 egység távolságra van(nak) az A ponttól! Add meg ezek jelzőszámait! b) Keress olyan pontokat, és jelöld piros színnel, melyek 3 egység távolságra vannak az x tengelytől! c) Keress olyan pontokat, és jelöld kék színnel, melyek az y tengelytől 2 egység távolságra vannak! d) Add meg azoknak a rácspontoknak a jelzőszámait, melyekre egyszerre teljesülnek a b) és a c) feladat feltételei!

tanulói munkafüzet 0661. Adott tulajdonságú 9 2. Milyen közös tulajdonsággal rendelkeznek a koordináta-rendszerben az azonos színnel jelölt egyenesek, illetve metszéspontjaik? Hány részre bontották ezek a színes egyenesek a koordinátarendszer síkját? Add meg a síkrészeket alkotó pontok közös tulajdonságát (a színes egyenesek kivételével)! y 1 1 x 4. FELADATLAP 1. Rajzolj félegyenest! Szerkeszd meg azokat a pontokat, amelyek a félegyenestől 3 cm távolságra vannak! Színezd kékkel azokat a pontokat, melyek legalább 3 cm-re, zölddel azokat, amelyek legfeljebb 3 cm-re vannak a félegyenestől! 2. Rajzolj egy 5 cm hosszú szakaszt! Szerkeszd meg azokat a pontokat, amelyek a szakasztól 2 cm távolságra vannak! Színezd zölddel azokat a pontokat, amelyek a szakasztól maximum 2 cm, kékkel azokat, amelyek minimum 2 cm távolságra vannak! 3. Rajzolj egy 5 cm sugarú kört, és rajzold be az egyik átmérőjét! Keresd meg a zárt körlapon azokat a pontokat, melyek az átmérőtől 3 cm távolságra vannak! Színezd kékkel azokat a pontokat, amelyek 3 cm-nél kisebb, zölddel azokat, amelyek 3 cm-nél nagyobb távolságra vannak! 5. FELADATLAP 1. Zolinak két kutyája van, Ali és Berci. Mindkettő elég mérges fajta, ezért a fiú kikötötte őket egyegy cölöphöz 3 méter hosszú lánccal, egymástól 5 méter távolságra. Szerkesztéssel keresd meg az egyes feladatokban megadott pontokat, ponthalmazokat! A füzetedben 1 cm feleljen meg 1 méternek! a) Hol tartózkodjon Zoli, ha azt akarja, hogy mindkét kutyától egyforma távolságra legyen? Ezen belül lesz-e olyan hely, ahol harapásveszély van? b) Ali kutyát sikerült megszelídíteni, de a másik még mindig veszélyes. Hol tartózkodhat Zoli, ha kutyát szeretne simogatni úgy, hogy a kutya lánca ne feszüljön meg teljesen? c) Zolihoz eljött a legjobb barátja, Peti, aki nagyon fél a kutyáktól. Hol legyen Peti, hogy ne érhesse el egyik kutya sem? Mekkora hosszúságú láncot kellene használni, hogy a két kutya egymással ne találkozhasson?

10 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 2. Egy parkban két sétaút találkozik, jelölje őket e, illetve f egyenes! a) Hova ültesse a kertész a piros tulipánokat, hogy mindkét sétaúttól egyforma távolságra legyenek? Szerkeszd meg a tulipánok helyét! b) Színezd zölddel azokat a pontokat, ahol a park látogatói közelebb vannak az egyik sétaúthoz (f), mint a másikhoz! 3. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Keress olyan pontokat, melyek a két tengelytől egyforma távolságra vannak! Add meg négy ilyen pontnak a jelzőszámát! Hány ilyen pont van? Hol találhatók ezek a pontok? EMLÉKEZTETŐ A szakaszfelező merőleges azon pontok halmaza, amelyek a szakasz két végpontjától azonos távolságra vannak. A szögfelező pontjai a szög két szárától azonos távolságra vannak. 6. FELADATLAP A feladatok megoldásához segítségnek használjatok átlátszó papírt! Első lépésben az egyik alakzatot a füzetbe, a másikat az átlátszó papírra rajzoljátok fel! Először az egyik, majd a másik alakzatnál jelöljétek be a megadott tulajdonságú ponthalmazt! Ezután a füzet ábrájára csúsztassátok rá az átlátszó papír ábráját az egyes feladatoknak megfelelően! Így jól látható, melyik lesz a több feltételnek eleget tevő ponthalmaz! Végül oldjátok meg a feladatot az átlátszó papír használata nélkül is a füzetben! 1. Vegyél fel egy A pontot és egy B pontot! Rajzold meg azokat a pontokat, melyek az A ponttól 2 cm, illetve azokat, amelyek a B ponttól 2 cm távolságra vannak! Színezd zölddel a 2 cm-nél közelebb levő, és pirossal a 2 cm-nél távolabb levő pontokat mindkét esetben! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek a) B ponttól 2 cm-nél távolabb, és az A ponthoz 2 cm-nél közelebb vannak, b) az A és B ponttól is legalább 2 cm-re vannak! Milyen alakzatokat kapunk az AB távolságtól függően? 2. Rajzolj egy e egyenest és az egyenestől 3 cm távolságra egy P pontot! Rajzold meg azokat a pontokat, amelyek az e egyenestől 2 cm, illetve azokat, amelyek P ponttól 4 cm távolságra vannak! Színezd zölddel az adott távolságnál közelebb, pirossal a távolabb lévő pontokat! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek a) a P ponttól 4 cm és az e egyenestől 2 cm; b) a P ponttól 4 cm-nél kisebb és az e egyenestől 2 cm-nél kisebb; c) a P ponttól 4 cm-nél nagyobb és az e egyenestől 2 cm-nél kisebb távolságra vannak! 3. Rajzolj két, egymást metsző egyenest, legyenek e és f egyenesek! Rajzold meg azokat a pontokat, amelyek e egyenestől 2 cm, illetve az f egyenestől 2 cm távolságra vannak! Színezd zölddel az adott távolságnál közelebb, pirossal a távolabb lévő pontokat! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek távolsága a) mindkét egyenestől kisebb 2 cm-nél; b) e egyenestől nagyobb, mint 1 cm, f egyenestől maximum 2 cm!

tanulói munkafüzet 0661. Adott tulajdonságú 11 4. Rajzolj egy 4 cm-es szakaszt! a) Jelöld pirossal a szakasztól 2 cm-re lévő pontokat! b) Jelöld kékkel azokat a pontokat, amelyek legfeljebb 1 cm-re vannak a szakasztól! c) Színezd zöldre a szakasztól 2 cm-nél nagyobb távolságra levő pontokat! d) Milyen tulajdonságúak a fehéren maradt pontok? Térben is próbáld végig gondolni a feladatot! 7. FELADATLAP Fogalmazd meg, milyen tulajdonsággal rendelkeznek az ábrán vonalkázással, színezéssel vagy vastagítással kiemelt pontok! I. a) b) 2 cm A B 3 cm A B 2 cm 3 cm c) d) 2 cm A B 3 cm A 2 cm B 3 cm II. a) b) e 2 cm 2 cm P P 4 cm 4 cm 2 cm 2 cm e

12 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet III. e 2 cm f 3 cm IV. 1 cm A 3 cm 3 cm B 1 cm FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Keresd meg azokat a pontokat, amelyek egy megadott P ponttól a) 5 cm; b) legfeljebb 5 cm; c) legalább 5 cm távolságra vannak! 2. Rajzold le A és B pontot egymástól 4 cm-re. Keresd meg azokat a pontokat, melyek mindkét ponttól a) 1 cm; b) 2 cm; c) 3 cm; d) 4 cm; e) 5 cm; f) 6 cm távolságra vannak! 3. Rajzolj P és Q pontot egymástól 4,5 cm távolságra! a) Szerkeszd meg a P és Q pontoktól 5 cm távolságra lévő pontokat! b) Szerkessz mindkét ponttól egyenlő távolságra lévő pontokat! 4. Tervezz céltáblát, melyen négy különböző pontot érő mező van, a legbelső kör sugara 20 cm, és a többi körgyűrű is ugyanilyen szélességű! Szerkeszd meg a kicsinyített képét! A rajzon 1 cm a valóságban 10 cm-nek feleljen meg! 5. Készíts minden feladathoz egy derékszögű koordináta-rendszert! Rajzold be azokat a pontokat, amelyek az origótól a) 3 egységnél nagyobb és 5 egységnél kisebb; b) 3 egységnél nagyobb és 5 egységnél nem nagyobb; c) 3 egységnél nem kisebb és 5 egységnél nem nagyobb; d) 3 egységnél kisebb vagy 5 egységnél nagyobb távolságra vannak! Mindegyik esetben add meg 3-3 rácspont koordinátáját!

tanulói munkafüzet 0661. Adott tulajdonságú 13 6. A földrajz atlaszod segítségével válaszolj a következő kérdésekre! Magyarország és Budapest térképére lesz szükséged. a) Sorolj fel öt olyan helységet, amely Kecskeméttől legfeljebb 50 km távolságra van! b) Keress olyan várost, mely Debrecentől legalább 10 km, de legfeljebb 30 km távolságra van! c) Baranya megye székhelye Pécs. Hogyan tudnád jellemezni a megye pontjait Pécstől számított távolságuk segítségével? d) A Budapest térképen keresd meg azokat a kerületeket, amelyek a Vörösmarty tértől legalább 6 km távolságra vannak! e) A Szolnok Szeged egyeneshez képest milyen távolsággal megadható közös tulajdonsággal rendelkeznek a következő városok: Hódmezővásárhely, Szentes, Csongrád, Mezőtúr? 7. Vegyél fel egy 38 mm hosszúságú szakaszt! Szerkeszd meg a felezőmerőlegesét! 8. Szerkeszd meg a 64 mm hosszúságú szakasz felezőpontját! 9. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Jelöld az A( 4; 2) és a B(2; 4) pontot! Szerkeszd meg az AB szakasz felezőmerőlegesét! Mely pontban metszi x, illetve az y tengelyt a felező merőleges? 10. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Keress olyan pontokat, melyek a) az x tengelytől 4 egység távolságra vannak! Add meg négy ilyen rácspontnak a koordinátáit! b) az y tengelytől 4 egység távolságra vannak! Add meg négy ilyen rácspontnak a koordinátáit! c) Add meg azoknak a rácspontoknak a koordinátáit, melyek mindkét tengelytől 4 egység távolságra vannak! 11. Rajzolj egy e egyenest, és jelölj ki rajta egy P pontot! Keresd meg az e egyenes azon pontjait, melyek a P ponttól a) 2 cm; b) 2 cm-nél kisebb; c) 2 cm-nél nem kisebb távolságra vannak! 12. Legyen e és f két metsző egyenes! Keress olyan pontokat, amelyek a) legalább az egyik egyenestől 2 cm távolságra vannak; b) mindkét egyenestől 2 cm távolságra vannak; c) mindkét egyenestől 2 cm-nél nagyobb távolságra vannak! 13. a) Legyen a és b két metsző egyenes! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek mindkét egyenestől 1 cm-re; 1,5 cm-re; 2 cm-re; 2,5 cm-re; 3 cm-re vannak! Hol találhatók ezek a pontok? b) Legyen a és b két párhuzamos egyenes! Milyen alakzatot alkotnak a két egyenestől egyenlő távolságra lévő pontok? Színezd kékkel azokat a pontokat, melyek közelebb vannak az a egyeneshez, zölddel azokat, melyek a b egyeneshez vannak közelebb! 14. Panda kutyát kikötötték egy 3 m hosszú láncra úgy, hogy a lánc két, egymástól 6 méterre lévő cölöp között kifeszített kötélen csúszhat. Rajzold meg azt az alakzatot, melyen belül nem lehet tartózkodni a harapás veszélye nélkül! 15. Van egy folyó, mely egy hosszú szakaszon ugyanolyan széles, mélysége azonban igen változó, ezért a hajóknak a következő utasítást adták: A folyónak ezen a szakaszán úgy lehet hajózni, hogy a hajó nem kerülhet semelyik parthoz 15 méternél közelebb, illetve 45 méternél távolabb. Rajzold meg a hajók lehetséges tartózkodási helyét! Milyen széles lehet a folyó, hogy még hajózható legyen? Mennyi a folyó szélessége, ha a hajózható sáv éppen 30 méter? 16. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! a) Rajzold be azokat a pontokat, amelyek az x tengelytől 5 egységnél kisebb, az y tengelytől pontosan 4 egység távolságra vannak! Add meg az ilyen tulajdonságú rácspontok koordinátáit! b) Hol találhatók azok a pontok, amelyek a x tengelytől maximum 5, az y tengelytől legfeljebb 4 egység távolságra vannak?

14 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 17. Rajzolj két, egymásra merőleges egyenest! Szerkessz olyan pontokat, amelyek mindkét egyenestől a) 1 cm-re; b) 2 cm-re; c) 3 cm távolságra vannak! 18. Rajzolj két metsző egyenest! Jelölje őket e és f! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek távolsága e egyenestől pontosan 20 mm, f egyenestől legfeljebb 1 cm! 19. Szerkessz egyenlő oldalú háromszöget, ha kerülete 1,5 dm! 20. Rajzolj két egymást metsző egyenest! Szerkessz olyan pontokat, melyek mindkét egyenestől a) 3 cm; b) 5 cm távolságra vannak! c) Szerkessz olyan pontokat, melyek mindkét egyenestől egyenlő távolságra vannak. d) Színezd be (eltérő színnel) azokat a pontokat, melyek közelebb vannak az egyik, illetve a másik szög szárához! 21. Magyarország térképén keress olyan települést, mely körülbelül egyenlő távolságra van a) Szekszárdtól és Szegedtől b) Szolnoktól és Karcagtól 22. Magyarország térképén keress olyan települést, amely körülbelül egyforma távol van a Dunától és a Tiszától! 23. Rajzolj egy derékszögű koordináta-rendszert! Jelöld meg azokat a pontokat, amelyek közelebb vannak az A(3; 1) ponthoz, mint a B( 3, 1) ponthoz! 24. Rajzolj két nem merőleges metsző egyenest a-t és b-t! Színezd sárgára azokat a pontokat, melyek mindkét egyenestől legfeljebb 2 cm-re vannak! Színezd kékre azokat a pontokat, amelyek a egyeneshez közelebb vannak, mint b-hez! Színezd pirosra azokat, amelyek b-hez vannak közelebb! 25. Egy kockán megjelölünk két szomszédos csúcsot. a) Keressük az éleknek azokat a pontjait, amelyek a két ponttól egyenlő távolságra vannak! b) A kocka felületén mely pontok vannak egyenlő távolságra a két szomszédos csúcsától? c) A test mely pontjai vannak egyenlő távolságra a két szomszédos csúcstól? 26. Rajzolj egy e egyenest, és jelölj ki az egyenestől 2 cm távolságra egy A pontot! Jelöld meg az e egyenesen azokat a pontokat, amelyek az A ponttól a) 3 cm, b) 3 cm-nél kisebb; c) 3 cm-nél nagyobb d) legalább 3 cm-re; e) legfeljebb 3 cm távolságra vannak! 27. Dóri két pontot rajzolt egymástól 3 cm-re, A-t és B-t. Az A ponthoz 2 cm-nél közelebb lévő részt fehéren hagyta, a többi részt kékre festette. A B ponttól 2 cm-nél nem messzebb lévő részt sárgára festette. Hol lett zöld az ábra? 28. Egy egyenes országúttól 5 m távolságra áll egy nagy fenyőfa. A szóbeszéd szerint az úttól 6 méterre, a fától 1 méternél nem messzebb található a kalózok kincse. Hol kell ásnia annak, aki meg akarja találni a kincset? Készíts rajzot! 29. Két falu távolsága 10 km. Templomaikból a harangszó 6 km-re hallatszik el. Készíts rajzot! Színezd pirossal azokat a helyeket, ahol mindkét templom harangja hallatszik! Színezd kékkel azt a részt, ahol egyik templom harangja sem hallható! A rajzon 1 km-nek 5 mm feleljen meg! 30. Van két kör alakú sziget a tengerben, A és B, amelyek egymástól 10 km távolságra vannak. A két sziget körül legalább 5 km-re, de legfeljebb 7 km-re egy hajó cirkál. Hol tartózkodhat a hajó? Készíts rajzot kicsinyített méretben, 1 km-nek feleljen meg 1 cm!

0662. MODUL síkidomok Kör és szög Készítette: Takácsné Tóth Ágnes

16 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 1. FELADATLAP 1. Keressétek meg az összetartozó párokat! (pirossal jelzett alakzat fogalom) A B C D E F 1. körgyűrű 2. sugár 3. félkörív 4. körvonal 5. körszelet 6. szelő 7. átmérő 8. érintő 9. félkörlap 10. húr 11. körlap 12. körcikk G H I J K l 2. Hány körcikket látsz az ábrán? A B C D E F

tanulói munkafüzet 0662. Kör és szög 17 3. Döntsétek el, az alábbi állítások igazak vagy hamisak! A hamis állítást javítsátok ki úgy, hogy igaz legyen! 1. A körlap pontjai egyenlő távolságra vannak a középponttól. 2. A húr olyan egyenes, mely a körvonal két pontját köti össze. 3. A leghosszabb húr az átmérő. 4. Az érintő olyan egyenes, amelynek egy közös pontja van a körrel. 5. Minden szelő tartalmaz egy húrt. 6. A körcikket egy körív és két húr határolja. 7. A sugár a kör tetszőleges két pontját köti össze. 8. Van olyan körszelet, ami egyben körcikk is. 9. A sugár hossza kétszerese az átmérő hosszának. 4. Rajzolj egy egyenest és egy kört! Hányféleképpen helyezkedhet el egymáshoz képest a két alakzat? a) Szerkessz olyan egyenest, melyre az egyenes és a kör szimmetrikus! b) Figyeld meg azt az esetet, amikor az egyenesnek és a körnek egy közös pontja van! Milyen kapcsolat van az érintő és az érintési pontba húzott sugár között? c) Figyeld meg azt az esetet, amikor az egyenesnek és a körnek két közös pontja van, M 1 és M 2! Mi a kapcsolat a két érintési pont között? Mivel esik egybe az M 1 M 2 húr felezőmerőlegese? d) Határozd meg az egyenes és a kör középpontjának távolságát mindhárom esetben! e) Próbálj kapcsolatot találni az egyenes és a kör helyzete, valamint a távolságok között! Fogalmazz meg összefüggést a három esetben! Nevezd el c-nek a középpont és az egyenes távolságát, r-nek a kör sugarát! 5. Vegyél fel egy 4 cm sugarú kört, és jelölj ki rajta két pontot! Szerkessz a körhöz érintőket a kijelölt pontokban! EMLÉKEZTETŐ A körrel kapcsolatos fogalmak A húr olyan szakasz, melynek a körvonallal két közös pontja van. A szelő olyan egyenes, melynek a körvonallal két közös pontja van. Az érintő olyan egyenes, melynek a körvonallal egy közös pontja van. Az érintő és az érintési pontba húzott sugár merőlegesek egymásra. A sugár olyan szakasz mely a körvonal tetszőleges pontját a kör középpontjával köti össze. Az átmérő olyan szakasz, mely a körvonal két pontját köti össze, és átmegy a kör középpontján. Az átmérő a leghosszabb húr.

18 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 2. FELADATLAP 1. Egy 3 cm sugarú körbe húzz kettő 2 cm-es és kettő 1,5 cm-es húrt! Szerkeszd meg a húrok kör középpontjától való távolságát! Hasonlítsd össze a távolságokat! 2. Rajzolj egy 25 mm sugarú kört! a) Szerkeszd meg a kör két, egymásra merőleges átmérőjét! Mekkora az átmérők hossza? Szerkessz érintőket az egyik átmérő két végpontjába! Milyen helyzetben van a két érintő? b) Kösd össze az átmérők végpontjait! Milyen négyszöget kaptál? Hogyan nevezzük a négyszög oldalait? Hány szimmetriatengelye van a négyszögnek? c) Keress az ábrádon körcikket, körszeletet! 3. a) Rajzolj egy 35 mm sugarú kört! Rajzold meg egy húrját! Szerkessz a húrral párhuzamos érintőt! Gondold végig a szerkesztés egyes lépéseit! b) Rajzod be pirossal azt az egyenest, amelyre az ábra szimmetrikus! Fogalmazz meg igaz állításokat a rajzról! A következő órára vágj ki papírból egy-egy 3 cm, illetve 5 cm sugarú kört! 3. FELADATLAP 1. Hajtogatással állíts elő 90 -os, 45 -os szögeket az otthon készített 3 cm, illetve 5 cm sugarú körlapokból! Mik alkotják a szögszárakat? Milyen részekre bontottuk a körlapokat? Vágd szét a hajtási élek mentén a körlapokat, majd hozd fedésbe az egyes körcikkeket egymással! Hasonlítsd össze az azonos sugarú, illetve a különböző sugarú körökből származtatott egyenlő, illetve különböző szögek nagyságát, a megfelelő körívek hosszát! Kösd össze a körívek végpontjait, és az így kapott húrok hosszát is hasonlítsd össze! Fogalmazd meg tapasztalataidat, észrevételeidet, amelyeket jegyezz le a füzetedbe! 2. Állapítsd meg, hogy az állítások igazak vagy hamisak! A középponti szögtartomány egy körcikk. A középponti szög csúcsa a körvonalon található. A kör két húrja által határolt szög a középponti szög. Egyenlő sugarú körökben egyenlő középponti szögekhez egyenlő körívek tartoznak. A 2 cm sugarú kör 60 -os középponti szögéhez kisebb körív tartozik, mint egy másik 2 cm sugarú kör 45 -os szögéhez. Az 5 cm hosszú húrhoz tartozó középponti szög nagyobb, mint az ugyanebben a körben lévő 3 cm-es húrhoz tartozó. Ugyanabban a körben kétszer akkora középponti szöghöz kétszer akkora körív tartozik. Különböző sugarú körökben egyenlő hosszú körívekhez egyenlő középponti szögek tartoznak. Különböző sugarú körökben egyenlő nagyságú középponti szögekhez különböző hosszúságú körívek tartoznak. Az 5 cm sugarú kör minden középponti szöge nagyobb, mint az 1 cm sugarú kör bármelyik középponti szöge.

tanulói munkafüzet 0662. Kör és szög 19 ÖSSZEGZÉS A középponti szög A kör két sugara által alkotott szögeket középponti szögeknek nevezzük, mivel csúcsuk a kör középpontja. Az egyenlő sugarú körökben egyenlő középponti szögekhez egyenlő ívek és egyenlő húrok tartoznak. Egyenlő sugarú körökben nagyobb középponti szöghöz nagyobb ív tartozik. Különböző sugarú körök esetén ugyanakkora szöghöz különböző körívek tartoznak. Egyenlő sugárral rajzolt körívek segíthetnek a szögek összehasonlításában.

20 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 4. FELADATLAP 1. Szögmérő használata nélkül, csak egy körző segítségével rakjátok a következő szögeket nagyságuk szerint növekvő sorrendbe! a b g 2. Az adott O kezdőpontú e félegyenesre szerkessz adott nagyságú szöget! A szög csúcs az O pontban legyen, az egyik szögszár illeszkedjen az e félegyenesre! Fogalmazd meg, és írd le a szerkesztés lépéseit! O e 3. Adott az a és a b szög. Szerkeszd meg a következő szögeket! a) a + b b) a b c) 2 a d) 2 a b a b 4. Adott az a szög. Szerkeszd meg a következő szögeket! a) 180 a b) 360 a c) 180 a a 5. Adott az a szög (4. feladat). Szerkeszd meg a szög háromszorosát! Mekkora lehet az a szög legnagyobb értéke, hogy a feladatot végre lehessen hajtani?

tanulói munkafüzet 0662. Kör és szög 21 5. FELADATLAP Vágjatok ki a tanárotok által kiosztott háromszöggel egybevágó háromszögeket, fejenként négy darabot! 1. Tépd szét az egyik háromszöget úgy, hogy ezzel szétválasztod a három szögére! Tedd egymás mellé a három szöget, úgy hogy csúcsaik közösek legyenek, egy-egy szárukkal érintkezzenek! Mit tapasztalsz? Mekkora a háromszög három belső szöge együtt? Ragaszd be a füzetedbe az egymás mellé helyezett három szöget, és mellé egy, a széttépett háromszöggel egybevágó másik háromszöget is! 2. Készítsetek parkettázást úgy, hogy a háromszögek csúcsai csak csúcspontokkal találkozhatnak! Színezzétek az egymásnak megfelelő szögeket azonos színnel! Ragasszátok is fel a háromszögeket egy nagyobb papírlapra! Figyeljétek meg az egy sorban lévő háromszögek egymás mellé került belső szögeit! Fogalmazzátok meg észrevételeiteket! Rajzoljátok le a parkettázás egy részletét! 3. Az egyik szerkesztett háromszög rajzát egészítsd ki a külső szögek bejelölésével! Másold át átlátszó papírra a háromszög külső és belső szögeit, vágd ki őket, és segítségükkel próbálj összefüggést keresni a belső és külső szögek között! Szögmérővel ellenőrizd, jó-e a sejtésed! Mekkorák a háromszög külső szögei?

22 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet TUDNIVALÓ A háromszög belső szögeinek az összege A háromszög színezett szögeit belső szögeknek nevezzük. A háromszög belső szögeinek összege 180. A háromszög külső szögei A háromszög külső szögének nevezzük azt a szöget, amely a háromszög belső szögét 180 -ra egészíti ki. Minden belső szöghöz két külső szöget tudunk rajzolni, de a két szög nagysága megegyezik. A háromszög külső szöge egyenlő a nem mellette lévő két belső szög összegével. a = b + g b = a + g g = a + b 6. FELADATLAP 1. Szerkessz háromszöget, ha két oldala 4 cm és a harmadik 5 cm! a) Jelöld meg a háromszög belső szögeit, majd a külső szögeit is! b) Mérd meg a belső szögeit, add össze a belső szögeket! Van-e eltérés a mért és a várt szögösszeg között? Mi okozta az eltérést? Számítsd ki a külső szögeket!

tanulói munkafüzet 0662. Kör és szög 23 2. Mérd meg szögmérővel a megjelölt szögeket! Mindegyik esetben add meg, hogy a háromszögnek belső vagy külső szöge a megjelölt szög! Van-e olyan a megadott szögek között, amelyik nem lehet a háromszögnek külső szöge? a) b) c) b a d g' b a' 3. Rajzolj háromszöget, ha két külső szöge 120 és 150! Milyen háromszöget kaptál? Számítsd ki, mekkorák a hiányzó szögei? Számításaidat ellenőrizd a megfelelő szögek megmérésével! 7. FELADATLAP 1. Az asztalon lévő háromszögekből rakjatok ki különböző négyszögeket, és figyeljétek meg az így létrehozott négyszögek belső szögeit! Fogalmazzatok meg igaz állításokat a belső szögekről! 2. A tanárotok által kiosztott négyszög közül válasszon mindenki magának egy-egy fajta négyszöget! Nevezd meg a választott négyszöget, és a 8 db egybevágó négyszög segítségével készíts parketta mintát! Az elkészített parkettázáson figyeljétek meg az egymás mellé került négy belső szöget! Mekkora a négy belső szög összege? 3. Jelöljétek meg a következő sokszögek belső és külső szögeit! Milyen összefüggés van egy belső és a mellette lévő külső szög esetében? a) egyenlőszárú háromszög b) szabályos háromszög 52 c) húrtrapéz d) deltoid 125 84 125 62

24 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet ÖSSZEGZÉS A konvex négyszög belső szögeinek összege Minden konvex négyszöget egy átlója két háromszögre bont, amely háromszögek belső szögei alkotják a négyszög belső szögeit. Ebből következik, hogy a konvex négyszög belső szögeinek összege 360. a + a = 180 b + b = 180 g + g = 180 d + d = 180 Négyszögekkel is parkettázhatunk

tanulói munkafüzet 0662. Kör és szög 25 8. FELADATLAP 1. Készíts parketta mintát a megadott négyszögek segítségével!

26 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 2. Számítsd ki a négyszögek ismeretlen belső szögeit! a) Egy tengelyesen szimmetrikus trapéz egyik szöge 48. b) Egy rombusz egyik szöge 123. c) Egy deltoid szemközti szögei 56 és 130. d) Egy deltoid két szomszédos szöge 50,5 és 100,5. 3. Határozd meg a négyszögek ismeretlen külső és belső szögeit! a) rombusz b) deltoid c) húrtrapéz 76 95 137 120

tanulói munkafüzet 0662. Kör és szög 27 d) háromszög e) derékszögű háromszög f) szimmetrikus háromszög 22 141 78 57 146 9. FELADATLAP 1. Végezd el a mértékváltásokat! a) 1 = = 6 = = 23 = = 0,1 = = 0,7 = = 1,7 = = 0,5 = = 18,5 = = 33,3 = = b) 180 = 2 532 = 68,4 = 15 = 45 = 90 = 14 32 = 25 40 = 4 13 60 = 2. Fejezd ki fokban a következő szögeket (az egyenesszöget p jelöli!) a) p = 2p = 4p = b) 0,5p = 1,5p = 0,75p = 3. Fejezd ki az egyenesszög (p) törtrészeként a következő szögeket! a) 30 = p 150 = p 45 = p 135 = p b) 270 = p 300 = p 60 = p 240 = p 4. Számítsd ki a két szög összegét, illetve különbségét! a) 87 36 és 24 12 b) 132 58 és 80 14 c) 206 13 és 86 51

28 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet EMLÉKEZTETŐ A szögmérés egysége a fok ( ), kisebb egységei a szögperc ( ) és a szögmásodperc ( ). 1 = 60 1 = 60 1 = 3600 Gyakran használjuk az egyenesszöget (p) is. 1p = 180 10. FELADATLAP 1. Eg y r sugarú körben az AB húr hossza megegyezik a sugár hosszával. Mekkorák a húrhoz tartozó középponti szögek? 2. Szerkessz 4 cm oldalú szabályos háromszöget! Mekkorák a belső szögei? a) Szerkeszd meg külön ezt a szöget, felezd meg, majd az így kapott szöget is felezd meg! Hány fokos szögeket tudunk így szerkesztéssel előállítani? b) Ismét szerkessz 60 -os szöget, majd másold mellé önmagát! Hány fokos szöget kaptál? A szögmásolást a szögfelezéssel kombinálva, mekkora szögeket állíthatunk elő? 3. a) Szerkessz 90 -os szöget! Szerkeszd meg a szög felezőjét, majd az így kapott szöget is felezd meg! Hány fokos szögeket találsz az ábrádon? b) Szerkessz 135 -os, 225 -os, 315 -os szöget! 4. Vegyél fel egy tompaszöget! Szerkeszd meg a felét, másfélszeresét, negyedét, 3-negyedét! 5. Készítsetek egy tablót azokról a szögekről, amelyeket már meg tudunk szerkeszteni! A szerkesztéseket az A4-es lapokra készítsétek, amelyeket azután ragasszatok a tablóra! ÖSSZEGZÉS O r r A r B Egy r sugarú körben az AB húr hossza megegyezik a sugár hosszával. A húrhoz tartozó középponti szög 60 és 300. OA = OB = r és AB = r a feladat szerint, ezért az OAB háromszög egyenlő oldalú, amelynek minden szöge 60. Ezért az O pontnál lévő egyik középponti szög 60, a másik 300. 60 fokos szög szerkesztése adott félegyenesre VÁZLAT ÖSSZEFÜGGÉSEK Az O pont köré kört rajzolunk, és a félegyenestől sugár hosszúságú húrt jelölünk ki a körben. 60 -os középponti szöget kapunk

tanulói munkafüzet 0662. Kör és szög 29 A SZERKESZTÉS LÉPÉSEI 1. O pont körül tetszőleges sugarú kör rajzolása. 2. A kör és a félegyenes metszéspontjából a sugár felmérése. 3. A kapott ponthoz tartozó középponti szög megrajzolása. FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Határozd meg a ponthalmazok távolságát! a) Adott P pont és adott AB szakasz. b) Adott AB és CD szakasz. c) Egy háromszög és egy kör. 2. Keresd meg Magyarország térképén az országhatár két legtávolabbi pontját! Mekkora a távolságuk a térképen és a valóságban? 3. Vegyél fel három egyenest és egy P pontot! Szerkeszd meg a P pont távolságát mindegyik egyenestől! Melyikhez van a legközelebb, melyiktől van a legtávolabb? 4. Fogalmazd meg, hogy milyen tulajdonságokkal rendelkeznek a következő pontok! a) Az O középpontú 5 cm sugarú körvonal pontjai. b) Az O középpontú 5 cm sugarú körlap pontjai. c) A síknak azok a pontjai, melyeket az O középpontú 5 cm sugarú körlap elhagyásával kapunk. 5. Egy 3 cm sugarú körbe szerkessz 2 cm, 3 cm, 4 cm, 5 cm, 6 cm hosszúságú húrt! Szerkeszd meg a húrok középponttól való távolságát! Hasonlítsd össze ezeket a távolságokat! 6. Rajzolj egy 35 mm sugarú kört! Jelölj ki a körvonalon tetszőlegesen három pontot, nevezd el őket (A, B, C)! Kösd össze a három pontot egymással és a kör középpontjával is! Keress az ábrádon húrt, körcikket, körszeletet, középponti szöget! Mérd meg az utóbbiakat! 7. Szerkessz érintőt a kör egy adott pontjához! 8. Rajzolj egy egyenest, jelöld meg egy pontját! Szerkessz olyan 4 cm sugarú kört, amely az egyenest a megadott pontjában érinti! Hány megoldás van? 9. Készíts térképet, amelyen 1 cm feleljen meg 5 km-nek! A sivatagban van egy oázis, melyet jelöljön O pont. Hol lehet az a szomjas vándor, aki a) 5 km-nél nem nagyobb távolságra van az oázistól? b) legalább 10 km-re, de legfeljebb 15 km-re van az oázistól?

30 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 10. Lehet-e a) két hegyesszög összege hegyesszög, derékszög, tompaszög, homorúszög? b) egy hegyes- és egy tompaszög összege hegyesszög, tompaszög, egyenesszög, homorúszög? c) egy homorú-és egy tompaszög különbsége hegyesszög, derékszög, homorúszög? 11. 13+1-es totó 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 13+1 A háromszög belső szögeinek összege 1. kisebb 180 2. egyenlő 180 X. nagyobb 180 A háromszög külső szögeinek összege 1. biztosan 360 2. nem biztos, hogy 360 X. nem lehet 360 Egy háromszög egyik belső szöge hegyesszög, a mellette lévő külső szög 1. hegyesszög 2. derékszög X. tompaszög Egy háromszög egyik külső szöge hegyesszög, a mellette lévő belső szög 1. homorúszög 2. tompaszög X. hegyesszög A derékszögű háromszög külső szögei között 1. biztos van derékszög 2. nincs derékszög Egy háromszögnek lehet X. pontosan két derékszög van 1. két derékszöge 2. homorúszöge X. két hegyesszöge Ha egy háromszög minden belső szöge hegyesszög, akkor minden külső szöge 1. hegyesszög 2. tompaszög X. derékszög Ha egy háromszögben két belső szög 60, akkor a háromszögnek 2. pontosan egy tükörtengelye van 1. nincs tükörtengelye A háromszög belső szögei között lehet X. három tükörtengelye van 1. egy tompaszög 2. két tompaszög X. három tompaszög A háromszög külső szögei között 1. lehetnek egyenlők 2. nem lehetnek egyenlők X. nem lehet eldönteni Ha egy háromszögnek két belső szöge 60 -os, akkor a harmadik belső szöge 1. 120 2. 30 X. 60 Egy háromszög egyik külső szöge 150. Belső szögei között lehet 1. 70 és 80 -os 2. 30 és 150 -os X. 100 és 80 -os Ha egy háromszög külső szögei egyenlők, akkor a háromszögnek 1. egy tükörtengelye van 2. nincs tükörtengelye X. 3 tükörtengelye van Egy háromszög két belső szöge 45 és 85, akkor külső szögei közül biztos, hogy 1. két tompaszög van 2. nincs tompaszög X. egy tompaszög van

tanulói munkafüzet 0662. Kör és szög 31 12. a) Mekkorák az egyenlő oldalú háromszög külső szögei? b) Mekkorák az egyenlőszárú derékszögű háromszög belső szögei? 13. Számítsd ki a háromszög hiányzó belső és külső szögeit! a) b) 23 76 90 33 14. Számítsd ki a háromszög hiányzó szögeit, ha a) két belső szöge 35 és 110 ; b) két külső szöge 95 és 140! 15. Egy háromszög egyik külső szöge 100. A nem mellette lévő két belső szög közül az egyik háromszorosa a másiknak. Mekkorák a háromszög szögei? 16. Végezd el a mértékváltásokat! a) 3 = = 6 = = 23 = = 0,4 = = 0,7 = = 1,7 = = 100,5 = = 18,5 = = 33,3 = = b) 120 = 2 532 = 68,4 = 30 = 45 = 90 = 14 32 = 25 40 = 4 13 60 = 17. Fejezd ki az egyenesszög (p) törtrészeként a következő szögeket! a) 90 = p 360 = p 9 = p 27 = p b) 120 = p 210 = p 330 = p 99 = p 18. Fejezd ki fokokban a következő szögeket (az egyenesszöget p jelöli)! a) 3p = 1,5p = 10p = 1 b) 3 p = 3 4 p = 1 2 p =

32 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 19. Számítsd ki a két szög összegét, illetve különbségét! a) 45 23 és 66 11 b) 89 29 és 75 34 c) 243 7 és 86 56 20. Vegyél fel egy hegyesszöget és egy tompaszöget! Szerkessz olyan háromszöget, melynek van két, a megadott szögekkel egyenlő szöge! 21. Vegyél fel egy tompaszöget! Szerkeszd meg a negyedét, ötnegyedét, háromkettedét, kétszeresét! Milyen fajta szögeket kaptál? 22. Döntsd el, melyik állítás igaz, illetve melyik hamis! a) A kör átmérője a leghosszabb húr. b) Az átmérő hossza kétszerese a sugárénak. c) A leghosszabb sugár az átmérő. d) Az érintő távolsága a kör középpontjától egyenlő a kör sugarának hosszával. e) Ugyanabban a körben az a középponti szög a nagyobb, amelyikhez nagyobb körív tartozik. f) Különböző sugarú körökben egyenlő középponti szögekhez egyenlő húrok tartoznak. 23. Adott egy kör és a körvonalon egy A pont. Szerkessz négyzetet úgy, hogy csúcsai a körvonalon legyenek, és a megadott pont az egyik csúcs legyen! A 24. Szerkessz egy 4 cm sugarú körbe egymás mellé 135 -os és 22,5 -os szöget! a) Hány fokos a harmadik középponti szög? b) Szerkessz a körhöz érintőket az ívek végpontjaiban! 25. Lehetséges-e, hogy a különböző sugarú körpályán ugyanolyan sebességgel futó két versenyző egyszerre érjen a célba? Válaszodat indokold! 26. Van három koncentrikus kör, sugaruk 2 cm, 3 cm és 4 cm. a) Egy 50 -os középponti szöghöz melyik kör esetén tartozik a leghosszabb körív? b) Igaz-e, hogy a három kör egy-egy 25 mm-es húrjához ugyanakkora középponti szög tartozik? Válaszodat indokold! c) Egy 30 -os és egy 150 -os középponti szög esetén melyik körön keletkezik a legrövidebb húr? Állítsd hosszúságuk szerint csökkenő sorrendbe az egyes körökben az egyes szögekhez tartozó íveket! Az íveket jelölje a kisebb szögtől indulva i 1, i 2, i 3, i 4, i 5, i 6!

0663. MODUL síkidomok Háromszögek, nevezetes vonalak Készítették: Jakucs Erika, Takácsné Tóth Ágnes

34 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet Háromszögek csoportosítása 1. FELADATLAP 1. Rajzolj a táblázat megfelelő helyeire megfelelő háromszöget! Rajzold be a szimmetriatengelyeket! HÁROMSZÖG Hegyesszögű Derékszögű Tompaszögű Különböző oldalú háromszög Olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek pontosan két oldala egyenlő Olyan egyenlőszárú háromszög, amelynek minden oldala egyenlő. (Egyenlő oldalú vagy szabályos háromszög.)

tanulói munkafüzet 0663. Háromszögek, nevezetes vonalak 35 2. Az alábbi háromszögek közül válogasd ki, és add meg betűjelét azoknak, melyeknek: a) van derékszöge; b) van 90 -nál nagyobb szöge; c) szögei kisebbek az egyenesszög felénél; d) vannak egyenlő oldalai. Add meg a csoportok nevét! B C A D E F 3. Az adott halmazábrákban keresd meg a megfelelő címke helyét! A: háromszög B: egyenlőszárú háromszög C: hegyesszögű háromszög D: derékszögű háromszög E: egyenlő oldalú háromszög F: tompaszögű háromszög

36 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 4. A koordinátarendszerben adott a B (5; 4) pont. Keress az x tengelyen két olyan pontot, melyek a B ponttal együtt a) egy derékszögű háromszög csúcsai b) egy egyenlőszárú hegyesszögű háromszög csúcsai, c) egy egyenlőszárú tompaszögű háromszög csúcsai! Rajzolj is egy-egy megadott tulajdonságú háromszöget, színes használatával különítsd el őket! d) Hány megoldás van az a), b), c) esetekben? Keress minél több megoldást! 5. Döntsd el az alábbi állításokról, hogy igazak vagy hamisak! A háromszög belső szögeinek összege 360. Van olyan háromszög, amelynek két belső szöge tompaszög. A derékszögű háromszög szögei legfeljebb 90 -osak. A tükrös háromszög minden belső szöge egyenlő. A szabályos háromszög minden belső szöge 60. Ha egy háromszögnek két szöge 50, akkor van tükörtengelye. Egy tükrös háromszögben a szárszög nem lehet egyenlő az alapon fekvő szögekkel. 6. Számítsd ki a háromszögek hiányzó belső szögeit! Milyen összefüggést használtál fel? a) A háromszög két belső szöge 65 és 34. b) A háromszög egyik belső szöge 28, a nem mellette fekvő egyik külső szög 107. c) A szimmetrikus háromszög alapon fekvő szöge 49. d) A szimmetrikus háromszög szárszöge 76. e) A háromszög két belső szöge 45 22 és 38 54. A háromszög magasságvonalai és magasságpontja 2. FELADATLAP 1. Rajzold be a megadott háromszögek magasságvonalait, jelöld meg a magasságpontot! a) b) c b a c a b b c a

tanulói munkafüzet 0663. Háromszögek, nevezetes vonalak 37 2. Szerkeszd meg a háromszögeket és a kijelölt magasságokat! a) A háromszög oldalai 4 cm, 5,5 cm, 6 cm. A 6 cm-es oldalhoz tartozó magasság. b) A derékszögű háromszög befogói 3,5 cm és 4,5 cm. Az átfogóhoz tartozó magasság. c) A háromszög két oldala 5,2 cm és 6,5 cm, az általuk bezárt szög 120. Mind a két megadott oldalhoz tartozó magasság. 3. Döntsd el, hogy melyik állítás igaz, illetve hamis a háromszög magasságvonalaival kapcsolatosan! Van olyan magasságvonal, amely nem halad át a háromszög egyik csúcsán sem. Az oldal és a hozzátartozó magasság mindig merőlegesek egymásra. Van olyan háromszög, amelynek nincs magasságpontja. Van olyan háromszög, amelynek magasságpontja egybeesik az egyik csúccsal. A háromszög bármely magassága mindig a háromszög belsejében helyezkedik el. 4. Vonalzóra, mint alátámasztásra helyezve találjátok meg a kartonpapírból kivágott háromszög egyensúlyi helyzetét! Keressétek meg az összes lehetséges egyensúlyi helyzetet! Rajzoljátok meg a háromszögön a vonalzó alátámasztó éleit! Hány ilyen élt találtatok? Mit lehet ezekről az élekről megállapítani? Ezután a tű és cérna segítségével függesszétek fel a háromszöget az egyik csúcsánál, és vizsgáljátok ebben a helyzetben is a háromszög egyensúlyi helyzetét! A függőón segítségével ellenőrizzétek, mivel esik egybe a függőón által kijelölt függőleges irány! 5. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! Szerkeszd meg mindhárom háromszög súlyvonalait! ÖSSZEGZÉS A háromszög magasságvonala, magasságpontja A háromszög magasságvonala a háromszög csúcsából a szemközti oldalegyenesre bocsátott merőleges egyenes. A háromszög magassága a háromszög csúcsa és a szemközti oldalegyenes távolsága. Az a, b, c oldalhoz tartozó magasság jele rendre m a, m b, m c. A háromszög magasságvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög magasságpontja.

38 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet A háromszög súlyvonala A háromszög súlyvonala a csúcsot a szemközti oldal felezőpontjával összekötő szakasz, illetve a szakasznak a hossza. Az A, B, C csúcsból kiinduló súlyvonal jelölése rendre s a, s b, s c. A háromszög súlyvonalai egy pontban metszik egymást. Ez a pont a háromszög súlypontja. A súlypont a háromszög belső pontja. A háromszög oldalfelező merőlegesei, szögfelező egyenesei 3. FELADATLAP 1. Szerkeszd meg a háromszöget, majd oldalfelező merőlegeseinek metszéspontját! Rajzolj e metszéspont köré a háromszög csúcsain átmenő kört! a) A háromszög egyik oldala 5 cm, a rajta fekvő két szög 45 és 60. b) A derékszögű háromszög befogói 3,5 cm és 5 cm. c) A háromszög oldalai 4 cm 5 cm 8 cm. 2. Szerkeszd meg a háromszöget, majd szögfelezőinek metszéspontját! Rajzolj e metszéspont köré a háromszög oldalait érintő kört! a) A háromszög két oldala 5,5 cm és 6 cm, a 6 cm-es oldalhoz tartozó magasság 4 cm. b) A háromszög oldalai 6 cm, 8 cm és 10 cm. c) A háromszög egyik oldala 4 cm, a hozzá tartozó magasság 4,5 cm, az oldalon fekvő egyik szög 135. ÖSSZEGZÉS A háromszög oldalfelező merőlegesei Bármely háromszög oldalfelező merőlegesei egy pontban metszik egymást. Ha a háromszög hegyesszögű, akkor a kör középpontja a háromszög belsejében van Ha a háromszög derékszögű, akkor a kör középpontja az átfogóra esik. Ha a háromszög tompaszögű, akkor a középpont a háromszögön kívülre esik.

tanulói munkafüzet 0663. Háromszögek, nevezetes vonalak 39 A háromszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez a pont minden esetben a háromszög belsejében található. A háromszög belső szögfelezőinek metszéspontja a háromszög beírható körének a középpontja. A háromszög beírt köre mindig létezik. FELADATGYŰJTEMÉNY 1. Szerkeszd meg az adott háromszögek magasságpontját!. Szerkessz háromszöget, ha oldalainak hossza a) 5 cm; 5,5 cm; 6 cm b) 4,5 cm; 6 cm; 7,5 cm c) 3,5 cm; 5 cm; 7 cm Szerkeszd meg a háromszögek magasságait! Mérd meg a csúcsoknak a szemközti oldalegyenestől való távolságát!

40 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 3. Szerkeszd meg ismét a 2. feladatban megadott háromszögeket! Szerkeszd meg mindhárom háromszög súlyvonalait! 4. Vegyél fel a füzetedben egy tompaszögű ABC háromszöget! a) Szerkeszd meg a magasságpontját, és jelöld M-mel! b) Szerkeszd meg az AMC háromszög magasságpontját! Mit veszel észre? Magyarázd meg! c) Szerkeszd meg a BMC háromszög magasságpontját! Mit veszel észre? Magyarázd meg! d) Szerkeszd meg az AMB háromszög magasságpontját! Mit veszel észre? Magyarázd meg! 5. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! Tükrözd mind a három háromszöget egyik súlyvonalára! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? 6. Mekkora szöget zár be a két magasságvonal? d 30 7. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mind a három háromszöget a leghosszabb oldalhoz tartozó magasságára! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? b) Tükrözd mind a három háromszöget a legrövidebb oldalhoz tartozó magasságára! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? 8. Egy háromszög két magasságvonalának hossza megegyezik. Milyen fajta háromszög lehet? 9. Szerkessz szimmetrikus háromszöget, melynek oldalai 3 cm, 5 cm, 5 cm hosszúak! a) Szerkeszd meg az oldalfelező merőlegeseit! Rajzold meg a háromszög körülírt körét! b) Szerkeszd meg a szögfelezőit! Rajzold meg a háromszög beírt körét! 10. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mind a három háromszöget a leghosszabb oldal felezőmerőlegesére! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? b) Tükrözd mind a három háromszöget a legrövidebb oldal felezőmerőlegesére! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? 11. Rajzolj egy hegyesszögű, egy derékszögű és egy tompaszögű háromszöget! a) Tükrözd mind a három háromszöget a legnagyobb szögének szögfelezőjére! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? b) Tükrözd mind a három háromszöget a legkisebb szögének szögfelezőjére! Milyen sokszöget határoznak meg az eredeti és a tükörkép háromszög csúcsai? 12. Mekkora szöget zár be a két megadott szögfelező? d 40

tanulói munkafüzet 0663. Háromszögek, nevezetes vonalak 41 13. Bizonyítsd be, hogy ha a háromszög derékszögű, akkor körülírt körének középpontja az átfogó felezőpontja! (Jusson eszedbe, amit a téglalapról tudsz!) 14. Bizonyítsd be, hogy ha a háromszög körülírt körének középpontja egyik oldalának felezőpontja, akkor a háromszögnek van derékszöge! (Használd fel a kör jól megválasztott sugarainak egyenlőségét!) B F C A 15. Rajzolj néhány különböző típusú háromszöget! Szerkeszd meg a körülírt és a beírt körüket! a) Van-e olyan háromszög, melynek e két köre metszi egymást? b) Van-e olyan háromszög, melynek e két köre koncentrikus? 16. Van-e olyan háromszög játék Készíts egy-egy kártyát, melyen a háromszög valamely nevezetes pontja szerepel! Minden pontról van egy kártya. Írd fel a füzetedbe az alábbi nyitott mondatot: Van-e olyan háromszög, melyben megegyezik a és a? Húzz a kártyakészletből kettőt, és helyezd el azokat a nyitott mondatban, majd válaszold meg a keletkezett kérdést! Válaszaidat indokold! 17. Sorold fel, milyen húrnégyszögekről tanultunk! Rajzolj egy húrnégyszöget, és szerkeszd meg oldalainak felezőmerőlegesét! Hol találkoznak a felezőmerőlegesek? Rajzolj olyan kört, amely a húrnégyszög csúcsain halad át! 18. Rajzolj egy általános négyszöget! Szerkeszd meg oldalainak felezőmerőlegesét! Hol találkoznak a felezőmerőlegesek? Rajzolj olyan kört, amely a húrnégyszög csúcsain halad át!

0664. MODUL síkidomok Háromszögek és négyszögek szerkesztése Készítette: Takácsné Tóth Ágnes

44 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet Tengelyesen szimmetrikus háromszögek és négyszögek tulajdonságai 1. FELADATLAP 1. A tanártól a következő feliratú papírcsíkokat kapjátok: a háromszögnek van szimmetriatengelye a háromszögnek van két egyenlő oldala a háromszögnek van két egyenlő szöge a háromszög minden magasságvonala egybeesik egy szögfelezővel a háromszögnek három szimmetriatengelye van a háromszögnek nincs szimmetriatengelye a háromszögnek van olyan súlyvonala, amely merőlegesen felezi az oldalt a háromszög egyik magassága sem felezi a megfelelő oldalt Válasszatok ki két tulajdonságot úgy, hogy ha az egyik elé a ha, a másik elé az akkor szót tesszük, akkor biztosan igaz állítást kapjunk! Írjatok le a füzetetekbe ezekből néhányat! 2. Igaz vagy hamis állítások-e az alábbi meghatározások? Válaszodat indokold! a) Egy háromszögnek nem lehet két derékszöge. b) Minden háromszögnek van két hegyesszöge. c) A hegyesszögű háromszög minden külső szöge hegyesszög. d) A derékszögű háromszög hegyesszögeinek az összege az egyenesszög fele. e) A tompaszögű háromszögnek lehet derékszöge. 3. Mekkorák a szimmetrikus háromszög belső szögei, ha a) alapon fekvő szöge 44? b) szárszöge 57? c) az alapon fekvő szöge fele a szárszögének? 4. Az alábbi feladatokat szögmérő használata nélkül oldd meg! a) Szerkessz 60 -os szögből kiindulva 30, 75, 150, 240 nagyságú szöget! b) Szerkeszd meg a 120 ötnegyedét! c) Szerkeszd meg a 90 negyedét! 5. a) Hányféle háromszöget tudsz kialakítani a kapott, különböző méretű szívószálakból? Melyik három darabból nem készíthető háromszög? b) Szerkeszd meg a különböző oldalú háromszögek közül a kisebb kerületűt!

tanulói munkafüzet 0664. Háromszögek és négyszögek szerkesztése 45 ÖSSZEGZÉS A háromszög egyenlőtlenség A háromszög bármely két oldalának összege mindig nagyobb, mint a harmadik oldal. 2. FELADATLAP 1. Csoportosítsátok az alábbi négyszögeket a megadott szempontok szerint, külön-külön az I-es, illetve II-es feladatban! Készítsetek halmazábrát! Írjátok be az egyes négyszögek számait a megfelelő helyre! Nevezzétek meg az egyes csoportokat! I. A: négy oldala van B: van párhuzamos oldalpárja C: van csúcson átmenő szimmetriatengelye II. D: van szimmetriatengelye E: van csúcson átmenő szimmetriatengelye F: szimmetriatengelye merőlegesen felezi az oldalakat 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 2. a) Rajzolj egy egyenest! Keress három, illetve négy olyan pontot, melyek a megadott egyeneshez képest szimmetrikusan helyezkednek el, és semelyik három pont nincs egy egyenesen! Hányféle megoldást találtál? Kösd össze a négy pontot, és nevezd meg az így létrejött négyszögeket! b) Keressetek egyenlő szakaszokat és egyenlő szögeket a szimmetrikus négyszögeken, jelöljétek is meg azokat! Ezek alapján soroljátok fel ezeknek a négyszögeknek a tulajdonságait! 3. Rajzolj egy téglalapot és egy négyzetet, rajzold meg az átlóikat is! Igazold, hogy mindkettő szimmetrikus trapéz! Hány szimmetriatengelyük van? Jelöld ezeket is!

46 matematika A 6. évfolyam 066. Síkidomok tanulói munkafüzet 4. Szerkessz háromszöget, ha oldalainak hossza a) 4 cm, 5 cm, 6 cm; b) 4,5 cm, 6 cm, 7,5 cm; c) 7 cm, 4 cm, 4,5 cm. Milyen háromszögeket kaptál az egyes esetekben? 5. Szerkeszd meg a háromszöget, ha adott három oldalának a hossza! Háromszögek szerkesztése Az euklideszi szerkesztés lépései 1. Két pont összekötő egyenesét megrajzolhatjuk vonalzóval. A B 2. Két adott pont távolságát körzőnyílásba vehetjük. A B 3. Adott pont körül adott körzőnyílással kört rajzolhatunk. P 4. Két metsző egyenes metszéspontját megkereshetjük. e f 5. Ha egy kör és egy egyenes metszi egymást, akkor mindkét metszéspontjukat megkereshetjük.