MATEMATIKA 6. MUNKAFÜZET Megoldások

Átírás

1 MATEMATIKA 6. MUNKAFÜZET Megoldások Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet

2 A kiadvány megfelel az 51/01. (XII. 1.) EMMI rendelet:. sz. melléklet: Kerettanterv az általános iskolák 5 8. évfolyama számára..0. előírásainak. Tananyagfejlesztők: SZÁMADÓ LÁSZLÓ, GEDEON VERONIKA, KOROM PÁL JÓZSEF, URBÁN Z. JÁNOS, DR. WINTSCHE GERGELY Alkotószerkesztő: DR. WINTSCHE GERGELY Vezetőszerkesztő: TÓTHNÉ SZALONTAY ANNA Tudományos szakmai lektor: RÓZSAHEGYINÉ DR. VÁSÁRHELYI ÉVA Pedagógiai lektor: BECK ZSUZSANNA Nyelvi lektor: SZŐNYI LÁSZLÓ GYULA Fedélterv: SLEZÁK ILONA Látvány és tipográfiai terv: OROSZ ADÉL Illusztráció: LÉTAI MÁRTON Szakábrák: SZALÓKI DEZSŐ, SZALÓKINÉ TÓTH ANNAMÁRIA Fotók: Wikimedia Commons; Pixabay; Public Domain Pictures; Morgue File; Flickr A tankönyv szerkesztői ezúton is köszönetet mondanak mindazoknak a tudós és tanár szerzőknek, akik az elmúlt évtizedek során olyan módszertani kultúrát teremtettek, amely a kísérleti tankönyvek készítőinek is ösztönzést és példát adott. Ugyancsak köszönetet mondunk azoknak az íróknak, költőknek, képzőművészeknek, akiknek alkotásai tankönyveinket gazdagítják. ISBN Oktatáskutató és Fejlesztő Intézet A kiadásért felel: dr. Kaposi József, főigazgató Raktári szám: FI Műszaki szerkesztő: Orosz Adél Grafikai szerkesztő: Kováts Borbála Nyomdai előkészítés: Kardos Gábor Terjedelem: 14,4 A/5 ív, tömeg: 88 gramm 1. kiadás, 014 A kísérleti tankönyv az Új Széchenyi Terv Társadalmi Megújulás Operatív Program.1.-B/ számú, A Nemzeti alaptantervhez illeszkedő tankönyv, taneszköz és Nemzeti Közoktatási Portál fejlesztése című projektje keretében készült. A projekt az Európai Unió támogatásával, az Európai Szociális Alap társfinanszírozásával valósult meg. Nyomtatta és kötötte az Alföldi Nyomda Zrt., Debrecen Felelős vezető: György Géza vezérigazgató A nyomdai megrendelés törzsszáma:

3 TARTALOMJEGYZÉK Játékos feladatok... 6 I. Műveletek, oszthatóság A törtek áttekintése Törtek szorzása törttel Reciprok, osztás törttel Szorzás tizedes törttel Osztás tizedes törttel Gyakorlás Az egész számok szorzása Az egész számok osztása Közös többszörös, legkisebb közös többszörös Közös osztó, legnagyobb közös osztó Oszthatóság 10 zel, 5 tel, vel Oszthatóság mal és 9 cel Prímszámok, összetett számok Összefoglalás... 7 II. Mérés, geometria Hosszúság, tömeg, idő Terület, térfogat Alakzatok síkban, térben Háromszögek egybevágósága A kör és a hozzá kapcsolódó fogalmak Tengelyes tükrözés A tengelyes tükrözés tulajdonságai A tengelyes tükrözés alkalmazásai Tengelyes szimmetria Tengelyesen szimmetrikus háromszögek Tengelyesen szimmetrikus négyszögek, sokszögek Szerkesztések Összefoglalás... 64

4 TARTALOMJEGYZÉK III. EGYENLETEK, FÜGGVÉNYEK Az arány fogalma Arányos osztás Százalékszámítás A 100% kiszámítása Hány százalék? Vegyes százalékszámításos feladatok Százalékszámítás gyakorlása Egyenletek, lebontogatás A mérlegelv Összevonás, zárójelfelbontás Szöveges feladatok megoldása egyenlettel Egyenlőtlenségek megoldása mérlegelvvel Egyenlettel megoldható feladatok Egyenletek gyakorlása Egyenes arányosság Egyenes arányossággal megoldható feladatok Grafikonok, diagramok, összefüggések Összefoglalás

5 TARTALOMJEGYZÉK IV. Kerület, terület, felszín, térfogat A sokszögek kerülete A sokszögek területe Alakzatok a térben Testek felszíne Felszínszámítással kapcsolatos gyakorlati feladatok Átdarabolással megadható testek térfogata Összefoglalás V. Statisztika Játék Adatok ábrázolása Kördiagram Sorbarendezések Összefoglalás

6 JÁTÉKOS FELADATOK SUDOKU A 9 darab -as négyzetbe 1-től 9-ig írhatsz be számokat úgy, hogy minden szám csak egyszer szerepelhet benne, és a nagy négyzet soraiban és oszlopaiban is minden szám csak egyszer fordulhatnak elő A KERT Samu vetemé nyeskertjében min denféle földi jó meg talál ha tó. Samu fele sége, Bori a ( 1; 4)-ből és a (; )-ból fog levest főzni, a (5; )-ből pedig még tortát is süt hozzá. A kilenc gyerek kedvence a ( 5; 4) lekvár, és a kis Dóri rajong a (; 4)-ért, de nem eszi meg a ( 1; 4)-et. a) Miből lesz a leves? krumpli, alma b) Miből készül a gyerekek kedvenc lekvárja? szilva c) Mi Dóri kedvence? alma Mit nem szeret Dóri? tök d) A zöldséges kertben 4 katicabogár mászkál. Hol vannak most? ( 4; 1), ( ; 1), (4; ), (6; ) e) Mik találhatók a ( 1; 1), (; 5), ( ; 1), (7; ) helyeken? krumpli, alma, répa, uborka f) Hol vannak a -k? (1; ), (1; 1), (1; ), (1; ), (1; 4), (1; 5) g) Hol helyezkednek el az -k? (7; 1), (7; ), (7; ), (7; 4), (7; 5) h) Miből van több a kertben, -ból vagy -ből? eperből i) A kert 1 -át Samu gondozza, a többit a nagyobb gyerekek, Tóni, Kata, Zsiga és Rózsa egyenlő arányban Mekkora rész jut egy-egy gyerekre? :4 = : = = = =

7 JÁTÉKOS FELADATOK TORPEDÓ, avagy hol rejtőzik az ellenséges flotta? A torpedó játékot ketten játszhatjátok. Helyezzetek el a 6 6-os táblán egy db egység hosszú, két db egység hosszú és három db 1 mezőt elfoglaló hajót! Ezek egymással még átlósan sem érintkezhetnek. Az X helyen egy hajó tartózkodik. Takarjátok el saját tábláitokat, és felváltva tippeljetek.! Keresd meg a társad 1, vagy mezős hajóit! A társad tábláját a játék elején hagyd üresen, ebben jelölheted, hol fogod az ő hajóit elsüllyeszteni. Például: a társad azt mondja: a4, mire te azt, hogy: nem talált, és tippelsz egyet: d. A társad válaszol, és azt mondja: d1, mire te azt válaszolod, hogy talált, süllyedt. (És így tovább.) Ha a te táblád: X X X X X X X X X X a b c d e f A te táblád (töltsd ki) a b c d e f Tippjeid a társad hajóiról a b c d e f a b c d e f a b c d e f HÁNYAN ÉLÜNK A FÖLDÖN? Míg 010-ben körülbelül 7 milliárd ember élt a Földön, addig 1950-ben még csak volt a Föld lakosainak a száma. Milliárd fő A világ népessége régiók szerint (tény) (010. Évi ENSZ előreszámítás, közepes változat) 4 Szakemberek szerint 050-ig bolygónk lélekszáma megközelítheti 0 a kilencmilliárdot Afrika Ázsia Európa Észak-Amerika Dél- és Közép-Amerika Ausztrália és Óceánia a) Mennyivel nőtt a Föld lakóinak száma 1950 és 010 között? b) Valószínűleg mennyivel fog nőni a Föld lakosainak a száma 010 és 050 között? c) A grafikon alapján melyik földrész lakosainak a száma fog nőni a leggyorsabban 100-ig? Afrika d) Körülbelül hányan éltek a Földön, amikor te megszülettél? Egyéni megoldások 7

8 I. MŰVELETEK, OSZTHATÓSÁG 1. A TÖRTEK ÁTTEKINTÉSE 1 Olvasd le az ábrákról, hogy az 1 egész téglalap hányadrésze színes! Írd le ezeket a törteket az ábra alá, és végezd el a műveleteket! Színezd ki az üres téglalapokat az eredménynek megfelelően! = = 45 9 Egyszerűsítés után rendezd növekvő sorrendbe a következő törteket! a) 16 0 = = = 5 80 = = 7 5 b) 6 14 = = = = = 1 11 Karikázd be azokat a számokat, amelyek nagyobbak, mint 5, és kisebbek, mint A mely értékénél igazak az alábbi egyenlőségek? = a) b) 1 + = c) = = 6 = 10 = 15 d) 7 5 = = 11 e) 1 41 = 8 40 = 5 5 Ábrázold a számegyenesen a következő törteket!

9 1. A TÖRTEK ÁTTEKINTÉSE Páros munka Szükségetek lesz két dobókockára. Az első játékos dob a két kockával, összeadja, és beírja az összeget az alsó ábrán ide: 7 Ez lesz a tört közös nevezője (pl. 7). A második játékos dob a két kockával, összeadja, és beírja az összeget az ábrán ide: 5 Ez lesz az első tört számlálója (pl. 5). A második játékos számolja ki a hiányzó értéket! = megoldása 9, mert = 7 = És írja be ide: 9 A következő játszmában cseréljetek szerepet! A játék módosítható úgy, hogy az összeget is dobókockával dobjátok. 6 Mi a műveletlánc vége? a) = = b) 100 : 11 9 : 11 6 : 11 = = =

10 . TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL 1 Szorozd össze a számegyenesen bejelölt törteket, és jelöld a szorzat helyét is a számegyenesen! Színezd ki a szorzatnak megfelelő területet a minta szerint! 9 0 Állítsd a szorzatok eredményét növekvő sorrendbe! = = = = = = = = = = = = = < < < < < < Mekkora területet kell felásnunk, ha a 85 9 m hosszú és 0 m széles téglalap alakú kertünkben virágokat szeretnénk ültetni? = = =

11 . TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL 5 Hány négyzetméter üveglap kell egy akvárium téglalap alakú elejének elkészítéséhez, ha oldalai m és 7 9 m hosszúak? Mekkora az akvárium űrtartalma, ha a harmadik oldala m? = = = Javítsd ki a dolgozatokat! Húzd alá a rossz eredményt, és pipáld ki a jókat! Név: Kiss Tamás Név: Nagy Magdolna Szorozd össze a törteket! Szorozd össze a törteket! 1 a) 6 = 6 18 = = A) 6 = 1 = b) = = = B) 0 = c) 5 8 = = 4 4 = 5 C) 5 8 = 5 1 = d) 1 9 = 117 D) 1 9 = e) 9 14 = = 1 E) 9 14 = A versenyautók fölötti szorzatokból megtudhatod, hány másodperccel érkeztek az első autó után a célba. Melyik autó nyert? = = = = = =, = = 0, ,6 5 = 8 00 = 11

12 . TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL 8 a) A boltban árusított termékek ára 4 -szörösére változott. Írd fel az új árat a kirakatban lévő termékek árcédulájára! = = = = = = = = = = = = = = = = = b) Írd fel az új árak tizedestört alakját, és kerekíts századokra! 4,4 16,16 8,6 1, ,4 5 = ,16 5 = 4 8,6 5 = 04 1,16 5 = 1

13 . TÖRTEK SZORZÁSA TÖRTTEL 9 Párosítsd a pólókat! Az összetartozó pólón lévő törtek szorzata = = = = = = = = RECIPROK, OSZTÁS TÖRTTEL 1 Számold ki a következő átváltásokat! a) milliméter centiméter deciméter méter = = = = 5 80 = 16 4 = = = = = b) c) milliliter centiliter deciliter liter = = = = = = = gramm dekagramm kilogramm = = = = = = 15 1

14 . RECIPROK, OSZTÁS TÖRTTEL Melyik válasz igaz, melyik hamis? Írj a négyzetekbe I vagy H betűt! a) Minden számnak van reciproka. H b) Az 1 reciproka a 1. H c) Az 1 reciproka az 1. H d) A -nek nincs reciproka. H e) A negatív szám reciproka negatív. I Egyszerűsítsd a törteket és párosítsd a reciprokértékeket! 1 = = = = 15 6 = = = = Töltsd ki az alábbi osztótáblázatot! : : 5 4 = = = : = 5 4 = : 8 = = : 5 4 = = 15 = 8 10 : 10 = 1 10 : 8 = = 4 = : 5 4 = = 15 8 : 10 = = 0 = : 8 = 1 5 Bori édesanyja egyik este rakott krumplit készített. Mivel öttagú a család, öt egyenlő részre osztották. Bori még nem volt otthon, így az ő részét eltették. Este hétre hazaért az edzésről, de vele volt két barátnője, Klári és Zsófi is. Az eltett rakott krumplit így hármuk között osztotta el anya. A vacsora hányad része jutott Borinak? 1 1 :=

15 . RECIPROK, OSZTÁS TÖRTTEL 6 Mi kerülhet az üres helyekre, hogy az egyenlőség igaz legyen? a) b) Javítsd ki a dolgozatokat! Húzd alá a rossz eredményeket, és pipáld ki a jókat! 15 Név: Kerpes István Végezd el az osztást! 6 9 : = = : = = 175 = 5 15 : = = 96 = 1 = = 05 = : = = = Név: Angyal Angéla Végezd el az osztást! 6 9 : = = 6 = : = = 5 = : = = 60 = : = = 60 = = 1470 = 5 8 Mely számok kerüljenek a pólókra, hogy a szorzatok eredménye legyen? : = = = : = = = : = = = : = = =

16 4. SZORZÁS TIZEDES TÖRTTEL 1 Végezd el a következő szorzásokat! 0,4 5 1,710 1, ,99, ,7, ,49 Végezd el a következő szorzásokat! ,47 4, , ,089 0,89 8, Váltsd át a következő mennyiségeket! a) méter deciméter centiméter milliméter 0,4,4,4 4,46 4, b) kilogramm dekagramm gramm, ,167 16,7 167 c) liter deciliter centiliter milliliter,567 5,67 56, ,00 0,0 0, 4 Rendezd a szorzatokat csökkenő sorrendbe! Számolj a füzetedben! a) 7,4,5 = 5,9; 4,4 5,9 = 5,96;, 8,4 = 6,68;,6 9,5 = 4,1;, 8,4 > 4,4 5,9 > 7,4,5 >,6 9,5 b) 4,9,5 = 15,95; 4,55,6 = 16,8;,8 5,6 = 15,68; 1,86 8,6 = 15,996. 4,55,6 > 1,86 8,6 > 4,9,5 >,8 5,6 16

17 4. SZORZÁS TIZEDES TÖRTTEL 5 Hány négyzetméteres a lakás? Konyha:,4 m,5 m 5,85 m Előszoba: 1,4 m 4, m 5,668 m WC:,1 m 1,4 m,688 m Fürdőszoba:,9 m,45 m 8,0605 m Nappali: 4, m 5, m,419 m Hálószoba: 4, m, m 1,56 m Gyerekszoba: 4, m,17 m 1,4091 m Összesen: 71,5716 m,4, ,850 1,4 4, ,668,1 1, ,688,9, ,0605 4,, ,4091 4, 5, ,419 4,, ,56 6 a) Egy padlóburkoló lap 0, méter oldalú négyzet, a közöttük lévő fuga 0,005 méter. A padlón éppen 5 sornyi lap és 4 darab köz látható. Milyen hosszú a szoba? 5 0, + 4 0,005 = 8,5 + 0,1 = 8,7 b) A hinta 0,6 másodperc alatt lendül egyet. Mennyi idő alatt lendül 10-et, 15-t, 50-et? 0,6 10 =,6 0, ,90 0, ,00 7 Színezd ki azokat a lapokat, amelyekben a szorzat éppen 6,048-del egyenlő! 8,4 0,7,6 0,18,6 1,68 8,4 0, ,048 11, 0, ,048,6 0, ,048 89,6 0, , 0,54,8,16 89,6 0, ,04800,6 1, ,048,8, ,048 17

18 4. SZORZÁS TIZEDES TÖRTTEL 8 Csóka úr gyárában különböző méretű mikrocsipeket gyártanak. A számítógépek monitorján kiírták, hogy hányszor hány cm-es csippel működnek. Jelöld meg azokat a számítógépeket, amelyek monitorján látható szorzat 11,0-nál nagyobb!,56 4, ,50 5,6 1, ,60,45, ,15 8, 1, ,0640,56 4,5 5,6 1,85,45,5 8, 1,45 9 Számold ki annak az öt téglalapnak a területét, amelyeknek oldalai párhuzamosak a tengelyekkel, és két átellenes csúcsuk az origo, illetve az A, B, C, D, E pontok egyike!,65 1,85,66 4,05,5,15 y A) 0, 0,5 B) 0,75 0 C) 0,5 0, B D0,4 0, ,5 A0,05 0, ,5 0,5 1 x 0,5 C 0,55 0,5 E 1 D) 0,8 0, ,40 E) 0,75 0, , m fa felhasogatva és halomba rakva 1,75 m helyet foglal el, és körülbelül 900 kg. a) Mekkora helyet foglal el 8 m fa? 14 b) Mekkora helyet foglal el 4,4 m fa? 7,7 c) Mekkora helyet foglal el,5 m fa? 5, , ,00 4,4 1, ,700 1,75, ,

19 5. OSZTÁS TIZEDES TÖRTTEL 1 Váltsd át! a),6 dkg = 0,6 kg b) 564,7 gramm = 0,5647 kg c) 54,8 milliméter = 0,0548 méter d) 56,7 cm = 0,567 méter e) 4,56 deciliter = 0,456 liter f) 4,79 milliter = 0,479 deciliter Itt látható az ALMATEKERCS cukrászda étlapjának egy oldala. Az ételek mellett az árak euróban szerepelnek. Mennyibe kerülnek az ételek forintban, ha 1 euró aznap 00 forint? Mézes almatekecs: Mákos almatekercs: Almás pite: Almás lepény: Pikáns almatorta euró forint 7 8 6, , a) A,7 milliméter vastag magyarkártya-pakliban lap van. Milyen vastag egy kártyalap? Számolj a füzetedben!,7 : = 0,71 mm b) Egy pakli francia kártyában 5 lap található, és a pakli 4,64 cm magas. Milyen vastag egy kártyalap? Számolj a füzetedben! 4,64 : 5 = 0,08 cm 4 a) A teniszlabda átmérője 6,45 cm. Hány labda fér el a 161,5 cm hosszú hengerben? 5 db b) A pingponglabda átmérője 40 mm. Hány labda van a cm hosszú dobozban? 8 db c) A golflabda átmérője 4,67 mm. Hány labda fér el az 51,04 cm hosszú dobozban? 1 db d) A gyeplabda átmérője 6,6 milliméter. Hány darab van a 1,96 centiméter hosszú dobozban? 6 db a) c) 161,5 : 6,45 = 1615 : 645 = ,04 : 4,67 = 5104 : 467 = b) d) 0 : 40 = : 66 = 6 19

20 5. OSZTÁS TIZEDES TÖRTTEL 5 Végezd el az osztásokat! a) 48,6 : 5, = b) 1,4 :, = c) 0,691 : 0,7 = d) 7,78 : 1, = 48,6 : 5 = 9, ,4 : = 4, ,1 : 7 =, ,8 : 1 = 6, Tamás és Péter elvégezte a következő osztást: ((1,6 : 1,5) :,5) : 1, Péter 0,4-ot, Tamás 0,5-ot kapott. Melyik fiúnak volt igaza? Petinek 16 : 15 = 1, ,08 : 5 = 0, ,88 : 1 = 0, Autók számára parkolóhelyet terveznek. a) Egy átlagos parkolóhely szélessége,5 és,75 méter között lehet. Hány parkolóhelyet jelölhetnek ki egy,8 méter hoszszú üres területen, ha egymás mögött autó állhat? Ha,5 m, akkor 6 parkolóhelyet, ha,75 m, akkor pedig 4-et. b) Milyen széles lesz egy parkolóhely, ha egyenlő szélességű parkolóhelyeket szeretnének kijelölni?,6 c) Ha egy felfestett fehér csík 0 cm, egy parkoló autó pedig m széles, akkor mekkora hely marad a parkoló szélénél, illetve két autó között a kiszálláshoz? Ha 1 parkolót hozunk létre egy sorban, akkor 14 0, m =,8 m a felfestések szélessége. A fennmaradó hely,8,8 = 1 (m). Ezt kell 1 részre elosztani, ami kb.,4 m. Az autó két széle és a felfestés között így 0, 0, m hely marad. Tehát két autó között 0, + 0, + 0, = 0,6 (m) hely marad. 8 : 5 = 1, : 75 = 1, ,8 : 1 =,

21 5. OSZTÁS TIZEDES TÖRTTEL 8. A Cutty Sark kereskedelmi vitorláshajó néhány adatát a vitorlákon lévő hányadosok rejtik. Számold ki, melyek ezek! Hossza: 85,4 m Tömege: 978,5 t Merülési mélysége: 6,4 m Magassága: 64,8 m : 15 = 85, : 6 = 978, : 15 = 6, : 6 = 64, GYAKORLÁS 1 Végezd el a szorzásokat, és karikázd be a legnagyobb eredményt! Végezd el az osztásokat, és karikázd be a legkisebb eredményt! : : 4 : = = = = =

22 6. GYAKORLÁS Végezd el a szorzásokat! 0, 0,4 0,5 0, 0,06 0,08 0,1 0,4 0,1 0,16 0, Az eredményeket jelöld a számegyenesen! 4 Végezd el az osztásokat! : 0, : 0,4 : 0,5 0,0 0,15 0,075 0,1 0,04 0, 0,1 0,16 Az eredményeket jelöld a számegyenesen! 0, : = 0, , : 4 = 0, : 5 = 0, ,4 : 4 = 0, : 5 = 0, ,4 : = 0, Végezd el a következő műveleteket! Az eredményeket kerekítsd két tizedesjegyre! a) 1,,45,01 b) 1,446 : 1, 1,1 c) 0,49 1,4 0,7 d) 8,9175 :,5,57 1,, ,015 14,46 : 1 = 1, ,49 1, , ,175 : 5 =, a) Mennyit kapok, ha a,4-et előbb elosztom 0,8-del, majd a hányadost elosztom 1,5-dal?,4 b) Mi az eredmény, ha az 1,5-ot megszorzom 4,5- del, majd a szorzatot elosztom 9 4 -del? 5 c) Ha az 0,1-et elosztom 0,15-del, akkor véges vagy végtelen szakaszos tizedes törtet kapok? véges 4 : 8 = 00 : 15 =, : 15 = 0, ,5 4, , = = 8 9 7

23 7. AZ EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA 1 Párosítsd a számokat az ellentettjükkel! a)ábrázold a számegyenesen a szorzatokat! A: ( ) ( 1) = 6; B: ( 4) (+6) = 4; C: ( 18) = 6; D: 7 ( ) = 1; E: ( ) ( 8) = 4; F: 11 = ; G: ( 1) ( 4) = 4; H: (0) ( 5) = 0. b) Karikázd be kék ceruzával azokat a szorzatokat, amelyek az abszolút értékük ellentettjével egyenlők! c) Karikázd be piros ceruzával azokat a szorzatokat, amelyek megegyeznek abszolút értékükkel! Állítsd növekvő sorrendbe a következő szorzatokat! A: ( ) (5) = 15; B: ( ) ( 4) ( 1) = 1; C: ( ) ( 10) = 0; D: 1 ( ) = 9; E: ( 7) ( 6) = 4; F: 1 4 = 48. D < A < B < C < E < F 4 A levegő hőmérséklete 500 méterenként C-kal csökken. a) Ha a Föld felszínén 0 C a hőmérséklet, akkor mekkora a hőmérséklet 000 méter magasságban? 000 : 500 = 4 4 = = 8 C b) Ha a földfelszínen 5 C a hőmérséklet, akkor mekkora a hőmérséklet 500 méter magasságban? 500 : 500 = 7 7 = = 4 C 5 Sötétedés előtt a levegő hőmérséklete 4 C. Este 8-kor lemegy a Nap. Sötétedés után a levegő hőmérséklete óránként két fokkal csökken. a) Mennyivel lesz hidegebb 4 óra múlva? 4 = 8 C-kal b) Mennyi lesz a hőmérséklet 6 óra múlva? 6 = = 1 C c) Mennyi lesz a hőmérséklet 1 óra múlva? 1 = = 0 C

24 7. AZ EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA 6 Javítsd ki a dolgozatokat! 7 Az egyik gleccser évente 70 métert csúszik lefelé. Mennyit tesz meg 1 év alatt? m-t tesz meg 1 év alatt. 8 Milyen magasra jut a kiránduló család óra alatt, ha óránként 00 métert tesznek meg felfelé? Amikor ereszkednek, óránként 50 méterrel csökken a magasságuk. Mennyivel jutnak lejjebb óra alatt? 00 = 600 m magasra jutnak. 50 = 500 m-rel jutnak lejjebb. 4

25 7. AZ EGÉSZ SZÁMOK SZORZÁSA 9 Az áruk berakodása után az uszályok merülési mélysége 1,4-szeresre változott. a) Milyen mélyre merültek? b) Az uszályok mekkora magasságú része áll ki a vízből? a) 1, 1,4 = 1,68 m-re merül, m 1, m 1,6 m 5,6 m b), 1,68 = 1,5 m állki a) 1,6 1,4 =,4 m-re merül 10 Kösd a pozitív eredményű műveleteket tartalmazó bójákat a pozitív jelű, a negatívakat a negatív jelű, a 0 eredményűeket pedig a 0 jelű cölöphöz! b) 5,6,4 =,6 m állki 0 ( ( )) 4 5( 1) 6 1 ( ( 4)) (( 4) ( 5))) ( ) ( ( )( 7)) 4( ) ( ) 4 14 ( 4)( 5) ( 6) ( 4) Írd be az 1,, számokat a -as táblázatba úgy, hogy minden sorban és minden oszlopban egy szám csak egyszer szerepelhet, de figyelj arra, hogy a vastagabb vonallal határolt tartományokban a megadott műveleteknek is igaznak kell lenniük! Például a / azt jelenti, hogy az abban a részben álló két szám hányadosa. Nemcsak -as, hanem 4 4-es, 5 5 ös, es táblázatot is szoktak készíteni, ezekbe természetesen 1-től 4-ig..., 1-től 9-ig kell beírni a számokat. Segítségül megadtunk egy kitöltött táblát, a többit töltsd ki te! A Mathdoku játékot megtalálod az interneten is

26 8. AZ EGÉSZ SZÁMOK OSZTÁSA 1 Végezd el az osztásokat! a) ( 04):( 1); b) ( 65):(+8); c) 459 :( 9); d) ( 576): 16; e) ( 08):( 11); f) 1 : 41; g) ( 10):( 1); h) 0 :( 5). a) 04 : ( 1) = 17 b) 65 : 8 = 1 c) 459 : ( 9) = 51 d) 576 : 16 = e) 08 : ( 11) = 8 f) 1 : 41 = 5 g) 10 : ( 1) = h) 0 : ( 5) = 0 Párosítsd a számokat az ellentettjükkel! , a) Ábrázold a számegyenesen a hányadosokat! A: ( 180):( 5) = 6; B: 546 :( 4) = 1; C: ( 76): = 1; D: ( 576): = 18; E: 0 :( ) = 0; F: 58 : 16 = ; G: (48):( ) = 1; H: ( 05): 61 = 5. b) Karikázd be kék ceruzával azokat a hányadosokat, amelyek az abszolút értékük ellentettjei! c) Karikázd be piros ceruzával azokat a hányadosokat, amelyek megegyeznek az abszolút értékükkel! 4 Állítsd növekvő sorrendbe a hányadosokat! A: ( 105) : 5 = 1 B: ( 80) : ( 5) : ( 4) = 4 C: ( 40) : ( 8) = 5 D: 4 : ( ) = 14 E: ( 7) : ( ) = 9 F: 1 : 4 = A < D < B < F < C < E 5 A levegő hőmérséklete 500 méterenként C-kal csökken. a) Milyen magasságban lesz a hőmérséklet 18 C-kal hidegebb a földfelszíni hőmérséklethez képest? 000 m magasan b) Ha a földfelszínen 0,5 C a hőmérséklet, akkor milyen magasságban lesz,5 C a hőmérséklet? 0,5,5 = 7 7 : = = m magasan 6

27 8. AZ EGÉSZ SZÁMOK OSZTÁSA 6 Számold ki az eredményeket, és színezd ki a pozitív végeredményű mezőket! 7 Sötétedés előtt a levegő hőmérséklete 5 C. Sötétedés után a levegő hőmérséklete óránként fokkal csökken. Mennyi idő múlva lesz 10 C a hőmérséklet? 5 C 10 C = 15 C 15 C : C = 5 5 óra múlva 8 Az egyik gleccser évente 65 métert ereszkedik. Mennyi idő alatt tesz meg 1495 métert? év alatt 1495 : 65 = Ha a kiránduló család óránként 60 métert tesz meg felfelé, akkor mennyi idő alatt másznak 1560 méterrel magasabbra? Amikor ereszkednek, óránként 80 méterrel csökken a magasságuk. Menynyi idő alatt ereszkednek 660 métert? 6 óra alatt 7 óra alatt 1560 : 60 = : 80 = 7 7

28 9. KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS 1 Sorold fel a számok pozitív osztóit! a) 10; 10, 5,, 1 b) 1; 1, 6, 4,,, 1 c) 15; 15, 5,, 1 d) 16; 16, 8, 4,, 1 e) 0; 0, 10, 5, 4,, 1 f) , 0, 0, 15, 1, 10, 6, 5, 4,,,1 Jelöld a számegyenesen a) a és a 4 közös többszöröseit! b) a 4 és a 6 közös többszöröseit! Mindkét esetben pirossal jelöld a legkisebb közös többszöröst! Keresd meg a legkisebb közös többszöröst a) [; 8] = 8 b) [5; 10] = 10 c) [6; 8] = 4 d) [7; 11] = 77 e) [; 5] = 15 f) [4; 8; 16] = 16 g) [; ; 6] = 6 h) [; ; 4] = 1 i) [4; 5; 6] = 60 4 A legkisebb közös többszörös felhasználásával hozd közös nevezőre a következő törteket, és végezd el a kijelölt műveleteket! a) + = + = b) = = = c) + = + = = d) + = + = = a) Írd be a halmazábrába a természetes számokat 1-től -ig! b) Írd be a halmazábrába a természetes számokat 1-től -ig! Mit állíthatsz az üresen maradt rész alapján? 6-nak minden többszöröse -nek is többszöröse. 8

29 9. KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS 6 Mely számok állhatnak a betűk helyén? Hány megoldás van? a) [; a] = 8 b) [b; 10] = 10 c) [c; 1] = 48 a = 8 b = 1; ; 5; 10 c = 16; 48 d) [; d] = 1 e) [e; 1] = 6 f) [ f ; 4] = 0. nincs megoldás e = 9; 18; 6 f = 5; 10; 0 7 a) Egy buszvégállomásról 6 percenként indul a -as busz és 10 percenként a 9-es. Mindkét járat reggel 5-kor indul először. Hány perc után indulnak ismét egyszerre? [6; 10] = 0, tehát 5.0-kor indulnak együtt előszőr, majd 0 percenként b) A transzformátorháztól párhuzamosan indulnak a villanyvezetékek. Az egyik típusú vezetéknél 100 méterenként vannak a villanyoszlopok, a másiknál 10 méterenként. Hány méterenként állnak egymás mellett az oszlopok? [100; 10] = 5 = 600 méterenként 8 Péter és Pál tapszenekart alakított. a) Az első szerzeményt együtt indítják, aztán Péter minden negyedik, Pál pedig minden ötödik ütemre tapsol. Hányadik ütem után fognak újra együtt tapsolni? Péter X X X X X X X X Pál X X X X X X b) A második szerzeményben Péter a közös indítás után minden második ütemre tapsol, Pál pedig felváltva tapsol és ütemenként. Hány ütemenként tapsolnak együtt? Péter X X X X X X X X X X X X X X X Pál X X X X X X X X X X X X 9

30 9. KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS, LEGKISEBB KÖZÖS TÖBBSZÖRÖS 9 Az útfeleket elválasztó szaggatott vonalat újrafestik. A kicsit kopott régi csík méter hosszú volt, és 1 méter volt a csíkok közötti távolság. Rajzolj le a négyzetrácsra legalább 8 csíkot! Az új festésnél ráfestenek a korábbi csíkokra. Most méter hosszú a csík, és méter a csíkok közötti távolság. Milyen hosszú a régi és az új festés alapján kialakult leghosszabb csík? Rajzold le! Hány méterenként alakulnak ki ezek a hosszú csíkok? 9 11 m 10 A falon 0 darab fogas található. Az osztályba járó fiúk balról jobbra nézve minden negyedik fogasra, a lányok minden harmadik fogasra akasztják a kabátjukat. a) Hány fogason van két kabát? fogason b) Hány fogason nincs kabát? 15 üres fogas 11 A falat 0 centiméter széles deszkák fedik. Az első fogas az első deszka közepén helyezkedik el. a) Rajzolj be még néhány fogast az ábrába! b) Hányadik deszkán lesz újra középen egy fogas, ha a fogasok 5 centiméterenként követik egymást? A 6. deszkán 10. KÖZÖS OSZTÓ, LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ 1 Írd le a számok pozitív osztóit! a) 80; 80, 40, 0, 16, 10, 8, 5, 4,, 1 b) 50; 50, 5, 10, 5,, 1 c) 15; 5, 5, 1 d) 108; 108, 54, 6, 7, 18, 4,,, 1, 6, 1, 9 e) 90; 90, 45, 0, 15, 10, 9, 6,,, 1 f) 64; 64,, 16, 8, 4,, 1 Keresd meg a legnagyobb közös osztókat! a) (0; 4) = 4 b) (100; 1) = 1 c) (; 1) = 1 d) (40; 4) = 4 e) (8; 14) = f) (15; 5) = 5 g) (6; 8; 10) = h) (1; 4; 0) = 4 i) (0; 10; 0) = 10 0

31 9. KÖZÖS OSZTÓ, LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ Ábrázold grafikonon, hogy az 1 és 100 közé eső számok közül hány osztható -vel, -mal, 4-gyel, 5-tel, 6-tal, 7-tel, 8-cal 9-cel, 10-zel! 4 a) Ábrázold halmazábrán a 60 és a 80 pozitív osztóit! b) Ábrázold halmazábrán a 18 és a 6 pozitív osztóit! A legnagyobb közös osztó megtalálása után egyszerűsítsd a törteket! a) 5 6 c) = b) = 15 = d) = 6 Mely számok állhatnak a betűk helyén? Hány megoldás van? a) (4; a) = 4 b) (b; ) = 1 c) (c; 10) = 5 a = 4, 8, 1, 16,... b = 1,, 4, 5,... c = 5, 15, 5, 5, 45,... végtelen sok végtelen sok végtelen sok d) (1; d) = 8 e) (e; 6) = f) ( f ; 4) = 0 e =, 4, 8, 10, 14,... nincs megoldás végtelen sok nincs megoldás 1

32 9. KÖZÖS OSZTÓ, LEGNAGYOBB KÖZÖS OSZTÓ 7 Három természetjáró csapat együtt szeretne menetelni a diáktalálkozón. Az első csapat fős, a második 7 fős, a harmadik pedig 1 főt számlál. Hány oszlopba rendeződjenek, ha nem akarnak vegyes sorokat (amelyben más csapat tagjai is megtalálhatók lennének) kialakítani? Ekkor hány sorból áll a menetük? Készíts rajzot! 11. OSZTHATÓSÁG 10-ZEL, 5-TEL, -VEL 1 Hamupipőke azt a feladatot kapta a gonosz mostohától, hogy minden ötödik szem lencsét tegye a kék edénybe, minden másodikat pedig a pirosba, de minden tizedik szemet tegyen el magának a kis sárga lábosába. Írd bele a lábosokba, hogy hányadik lencse hová kerül! ; 4; 45; 79; 50; 15; 64; 78; 0; 40; 9; ; Írd be a halmazábrába a számokat! 15; 00; 14; 54; 850; 900; 1048; 475; 56; 705; 975;

33 11. OSZTHATÓSÁG 10-ZEL, 5-TEL, -VEL Egy cetlire felírt hétjegyű telefonszám utolsó három számjegye elázott, ezért olvashatatlan _ a) Sorold fel a lehetséges telefonszámokat, ha tudjuk, hogy 5-tel osztható a szám! , , , , , , , , , , , , , ,... b) Sorold fel a lehetséges számokat, ha 5-tel osztható, és páros a szám! A fenti számok közül a 0-ra végződők. 4 Szofi hétjegyű telefonszáma nagyobb, mint , és osztható 4-gyel. Ha a kapcsolási díj 5 Ft, akkor legfeljebb hány forint költséggel hívhatjuk fel Szofit? 45 Ft = : 4 = = Mely számok kerülhetnek a hiányzó helyekre, hogy a) -vel osztható számot kapjunk? 4; 1; ; ;4 56 ; 0; ; 4; 6; ; az 1 és 4 közé 0 és 9 közötti bármely számjegy; a 4 után 0; ; 4; 6; 8 b) 5-tel osztható számot kapjunk? 0; 1; ; ;4 19 ; 0; 5 6 ; a 6 és közé 0 és 9 közötti bármely számjegy; a után 0; 5 c) 4-gyel osztható számot kapjunk? 6; 1; ; ;4 76 ; 0; 4; ; az 1 és 9 közé 0 és 9 közötti bármely számjegy; a 9 után ; 6 d) 5-tel osztható számot kapjunk? 5; 1; ; ; 0; 5 8 1;4 18 ; 00; 5; 50; 75 6 Jeromos házáról tudni lehet, hogy a házszáma 8-től 15-ig valamelyik szám, és 4-gyel osztható. Legfeljebb hány házba kell becsöngetni, hogy megtaláljuk Jeromost? 1 házba 7 Igaz-e? a) Ha egy számot 10-zel megszorzunk, akkor 0-ra fog végződni. I b) Ha egy páratlan számot 5-tel megszorzunk, akkor 0-ra fog végződni. H c) Ha egy páros számot 5-tel megszorzunk, akkor 0-ra fog végződni. I d) Két páros számot összeszorozva páros számot kapunk. I e) Két páratlan számot összeszorozva páros számot kapunk. H f) Egy néggyel osztható szám számjegyeinek összege páros. H

34 1. OSZTHATÓSÁG -MAL ÉS 9-CEL 1 Kilenc egyforma nyakláncot szeretnének készíteni a gyerekek úgy, hogy az összes gyöngy elfogyjon. Sikerülhet-e nekik A: 117 piros gyöngy; B: 15 kék gyöngy; C: 189 sárga; D: 07 arany gyöngy; E: 61 fehér gyöngy; F: 87 zöld gyöngy esetén? Írd be a számokat a halmazábrába! 5616; 056; 568; 767; 585; 694; Egy kiránduláson a gyereket három egyenlő létszámú csapatra akarták osztani a számháborúhoz. Hány gyerek legyen tagja a zsűrinek, hogy ez sikerüljön? : = 10 Tehát db 10 fős csoportot kell létrehozni és gyerek a zsűri tagja. 4 Milyen számok kerülhetnek a hiányzó helyekre, hogy a) -mal osztható számot kapjunk? 41; 1; 4; 7 9 4; ; 5; 8 5 ; 1; 4; ; 0; ; 6; 9 b) 9-cel osztható számot kapjunk? 0; ; 79 ; 6 ; 0; 9 c) 6-tal osztható számot kapjunk? 6; ; 6; 9 5 4; 0; ; 6; 9 9 1; ; 4?? Gergő! d) 15-tel osztható számot kapjunk? 5; ; 5; 8 7 0; ; 5; 8 8 1; 0 18 ; 0 5 Melyik igaz? a) Ha egy szám osztható 50-nel, akkor nem osztható -mal. H b) -mal osztható szám nem végződhet 0-ra. H c) 9-cel osztható szám biztosan osztható 18-cal. H d) 18-cal osztható szám biztosan osztható 9-cel. I e) Egy 9-cel osztható szám számjegyeinek összege 9. H f) Ha egy szám osztható -mal, akkor osztható 9-cel is. H 4

35 1. PRÍMSZÁMOK, ÖSSZETETT SZÁMOK 1 Keresd meg a prímszámokat 1-től 5-ig eratosztenészi szitát használva! a) Keress páros prímszámot! b) Írd le a prímszámokat!,, 5, 7, 11, 1, 17, 19,, 9, 1, 7, 41, 4, 47, 5, 59, 61, 67, 71, 7, 79, 8, 89, 97, 101, 10, 107, 109, 11, 17, 11, 17, 19, 149, 151, 157, 16, 167, 17, 179, 181, 191, 19, 197, 199, 11, c) Keresd meg a leghosszabb egymást követő összetett számokból álló sorozatot! d) Keresd meg azokat a prímeket, melyek különbsége 1! e) Keresd meg azokat a prímeket, amelyek különbsége! Írd le a számpárokat! ; ; 19 17; ; ; 7 71; 61 59; ; ; 4 41; 1 9; 19 17; 1 11; 7 5, 5 Ábrázold diagramon, hogy a megadott számtartományokba hány darab prímszám esik! 5

36 1. PRÍMSZÁMOK, ÖSSZETETT SZÁMOK A halmazábrán megadtunk két számot. Prímtényezős alakban írtuk fel őket. Írd be a felsorolt számokat a halmazábra megfelelő helyére! 1; ; ; 4, 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 1; 1; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 0; 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 0; 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 40; 41; 4; 4; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50 4; 8; 9; ; 1; 16 (= 0) 1 (4 =) ; 18; ; 9; 1; ; ; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 40; 41; 4; 44; 45; 46; 47; 48; 49; 50 4 A szerencsekeréken igaz és hamis állítások találhatók. Színezd ki zölddel, ami igaz, pirossal, ami hamis! 5 A 6 nála kisebb pozitív osztói az 1,, és = 6. Keress ugyanilyen tulajdonságú számokat 0 és 0 között! 8 = Írd fel 1-től 0-ig azokat a számokat, amelyeknek a) pontosan egy osztójuk van: 1 b) pontosan két osztójuk van:,, 5, 7, 11, 1, 17, 19 c) pontosan három osztójuk van: 4, 9 d) pontosan négy osztójuk van: 6, 8, 5, 10, 14, 15 e) négynél több osztójuk van: 1, 16, 18, 0 7 Készítsd el a következő számok prímtényezős felbontását! a) 1 = b) 40 = 5 c) 46 = d) 6 = 7 e) 7 = f) 98 = 7 7 6

37 14. ÖSSZEFOGLALÁS 1 Milyen előjelű az utolsó eredmény? a) b) Jelöld a táblázatban az első oszlopban megadott számok osztóit! A nevezők legkisebb közös többszörösének használatával számold ki az összeadásokat, kivonásokat! a) + = + = b) = = c) + = + = d) = = 60 4 A legnagyobb közös osztó megkeresésével egyszerűsítsd a törteket! a) 40 6 c) = b) = d) = 7 = 5 5 Balról indulva a 15 darab kerítésléc közül minden harmadikat sárgára, minden ötödiket kékre festenek. A sárgára és kékre festett lécek zöldek lesznek. a) Színezd ki a léceket! b) Hányadik léc lesz először zöld, hányadik az utolsó zöld léc? 15; 15 c) Hány léc van két zöld között? 14 7

38 14. ÖSSZEFOGLALÁS 6 Állítsd csökkenő sorrendbe! [7;8] 56 (16;70) 54 [1;15] 60 (57;468) 5 60 > 56 > 54 > 5 7 Sorold fel a számok osztóit, és karikázd be a három szám közös osztóit! 7: 1; ; 9; 7 15: 1; ; 5; 9; 15; 7; 45; 15 16: 1; ; ; 6; 8; 9; 4; 6; 7; 7; 108; 16 8 Készítsd el a számok prímtényezős felbontását! 58 = = = TESZTKÉRDÉSEK 1. A és a 15 legnagyobb közös osztója A: ; B: 15; C: 1.. A és a 15 legkisebb közös többszöröse A: ; B: 15; C: 1.. A 14 és a 0 legnagyobb közös osztója A: 70; B: 140; C:. 4. A 14 és a 0 legkisebb közös többszöröse A: 70; B: 140; C:. 5. Két prímszám szorzata mindig A: prímszám; B: összetett szám. 8

39 II. MÉRÉS, GEOMETRIA 1. HOSSZÚSÁG, TÖMEG, IDŐ 1 Karikázd be a hosszúság mértékegységeit, húzd alá a tömeg mértékegységeit, keretezd be az idő mértékegységeit! g h cm mg dm kg m s dkg km t mm Add meg milliméterben és méterben a következő hosszúságokat! a) 500 cm = 5000 mm = 5 m; b) 780 cm = 7800 mm = 7,8 m; c) 510 dm = mm = 51 m; d) 500 dm = mm = 50 m; e) 44, cm = 44 mm = 0,44 m; f) 90 cm = 900 mm = 0,9 m; g) 8,9 dm = 890 mm = 0,89 m; h) 0,8 dm = 80 mm = 0,08 m. Add meg méterben és kilométerben a következő hosszúságokat! a) 160 dm = 16 m = 0,16 km; b) dm = 4610 m = 4,61 km; c) cm = 998 m = 0,998 km; d) cm = 6751 m = 6,751 km; e) 90 dm = 9 m = 0,09 km; f) 406 dm = 40,6 m = 0,0406 km; g) cm = 9058 m = 9,058 km; h) cm = m = 65 km. 4 Pótold a hiányzó mértékegységeket! a) 15 dkg = 150 g b) 51 kg = 5100 dkg c) 9 q = 900 kg d) 0,9 q = 90 kg e) 0,08 t = 8000 dkg f) 0,00 t = kg 5 Váltsd át kilogrammra! a) g = 16 kg; b) g = 175 kg; c) dkg = 169 kg; d) 400 dkg = 4 kg; e) mg = 51 kg; f) mg = 0,55 kg. 6 A hivatalos angol mérföldet 1609 méterre, az angol tengeri mérföldet pedig 185 méterre kerekíthetjük. Mekkora az eltérés 111 mérföld esetén a hivatalos angol és az angol tengeri mérföld között? Eltérés: m = =

40 1. HOSSZÚSÁG, TÖMEG, IDŐ 7 A font a tömeg egyik mértékegysége. Angliában és az Amerikai Egyesült Államokban az angol font még hivatalos mértékegység. A köznyelvben 1 font körülbelül 0,5 kg-ot jelent. Az 1 angol font pontosabban is megadható: 45,6 gramm. Add meg grammban és kilogrammban a következőket! 4 font = 1814,4 g = 1,8144 kg 15,5 font = 700,8 g = 7,008 kg 0,5 font = 6,8 g = 0,68 kg 45,6 4 = 180 4,4 45,6 15,5 = 700,8 45,6 = 6,8 8 A következő táblázatban kilométerben adtuk meg a városok távolságait. Budapest Győr Miskolc Pécs Budapest Győr Miskolc Pécs a) Hány kilométer hosszú az út Miskolctól Pécsig Budapesten át? b) Győrből Budapestre utaztunk, majd onnan Pécsre. Összesen hány kilométert tettünk meg? c) Budapestről árut kellett szállítani egy teherautóval Győrbe, Miskolcra és Pécsre. Hány kilométert vezetett a teherautó sofőrje, ha a végén visszaérkezett Budapestre? Hányféle megoldást kaptál? a) Az út hossza: 77 km; b) Az út hossza: 1 km; c) Az út hossza: 1000 km, 1001 km, 90 km vagy 91 km = = = = = = = = = = = Add meg a hiányzó számokat! a) 6 h = 0,5 nap = 60 perc; b) 0,5 h = 15 perc = 900 s; c) hét = 14 nap = 6 h; d) 4 00 s = 70 perc = 1 h. 40

41 . TERÜLET, TÉRFOGAT 1 Írd be a hiányzó mértékegységeket! a) 5, dm² = 50 cm = mm b) 10 cm² = 0,1 = mm c) 5 m² = 500 dm = cm d) mm² = 500 cm = 5 dm Rakd növekedő sorrendbe! 100 mm²; 0,01 m²; 0,00001 km²; 1 dm²; 1, cm² 1, cm < 100 mm < 0,01 m < 1 dm < 0,00001 km Írd le köbdeciméterben! a) 600 cm =,6 dm b) cm = 81 dm c) 9 m = 9000 dm d) m = 000 dm e) 0,007 km = dm f) 0,000 6 km = dm g) mm³ = 0,9 dm h) mm³ = 1,71 dm 4 Add meg hektoliterben! a) 7800 liter = 78 hl b) 655 liter = 6,55 hl c) dl = 960 hl d) ml = 10 hl 5 Két egyforma nagy, 1,4 hl űrtartalmú hordó lefejtését kezdték meg. Az egyikből 180 dl, a másikból 1 liter bor hiányzik. Hány liter van a két hordóban összesen? Első hordó: = 1 liter Második hordó: = 17 liter Összesen: = 49 liter 6 Egy hatlakásos társasház felújításánál egy burkoló elvállalta az összes szoba parkettázását. Két lakásban - darab, egyenként 11,5 m, négy lakásban pedig - darab, egyenként 10 m alapterületű szobát kell parkettáznia. a) Hány m -t vállalt összesen? b) Hány darab 15 cm -es keskeny parkettát használt fel a kisebb szobák burkolására, ha azt feltételezzük, hogy nem volt hulladék? c) A nagyobb szobák burkolására 1840 darab széles parkettát használt fel. Hány cm -t fed le egy parketta, ha azt feltételezzük, hogy nem volt hulladék? a) Alapterület összesen: 166 m b) A parketták száma: 9600 db c) Egy parketta területe: 50 cm 4 11,5 = = = : 1840 = 50 41

42 . TERÜLET, TÉRFOGAT 7 Egy 18 m² alapterületű terem magassága,5 m. A teremben négy egyforma,,5 m térfogatú szekrény található. A további bútorok térfogata 8400 dm. Mekkora a terem üresen maradt része? A terem térfogata: 45 m A szekrények térfogata: 9 m Az összes bútor térfogata: 17,4 m A terem üresen maradt része: 7,6 m 18,5 = 45 4,5 = ,4 = 17, ,4 = 7,6 8 János bácsi 8 magyar holdon búzát, 11 magyar holdon pedig árpát termelt. a) Add meg ezeket a területeket külön-külön katasztrális holdban! b) Hány négyszögöl a két terület összesen? a) A búzaföld: 6 katasztrális hold. Az árpaföld: 8,5 katasztrális hold. b) A terület összesen: 800 négyszögöl. a) = : 1600 = = : 1600 = 8,5 b) (8 + 11) 100 = 800. ALAKZATOK SÍKBAN, TÉRBEN 1 Megadtuk egy háromszög két szögét. Mekkora a hiányzó harmadik? a) β = 5, γ = 86. A hiányzó szög: = 69 b) α = 8, γ = 48. A hiányzó szög: = 104 c) α = 6 50, β = A hiányzó szög: = 70 0 d) α = 17 5, β = A hiányzó szög: = Cso por tosítsd nagyságuk szerint az ábrán látható szögeket! a) b) c) d) e) Nullszög: e) Hegyesszögek: a), c), f), l) f) g) h) i) Derékszög: b), i) Tompaszögek: h), j) Egyenesszög: g), n) j) k) l) m) n) Homorúszögek: d), k), m) Teljesszög: nincs 4

43 . ALAKZATOK SÍKBAN, TÉRBEN Keress az ábrán nevezetes szögpárokat! Nevezd el a szögeket, aztán írd le a szögpárokat! Egyállású szögek: például α és ε Váltószögek: például α és µ Csúcsszögek: például α és γ α β δ γ ε θ υ µ Kiegészítőszögek: például α és δ 4 Az ábrán az azonos színnel jelölt szögek azonos nagyságúak: α = 10 0, β = Számold ki a γ szög nagyságát! Első számolási mód: 5 α = β = 49 γ = Második számolási mód: α + β = 45 4 (α + β) = 91 γ = 4 (α + β) + α = Harmadik számolási mód: α + β = 45 5 (α + β) = γ = 5 (α + β) β = Ha α = 4 46, β = 48 54, akkor mekkora az α + β kiegészítőszöge? α + β = 9 40 α + β kiegészítőszöge: Ha α = 10 15, β = 86 7, akkor mekkora az α β pótszöge? α β = α β pótszöge: Add meg a következő négyszögek meghatározását! Trapéz: olyan négyszög, amelynek van párhuzamos oldalpárja. Paralelogramma: olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van. Rombusz: olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú. Téglalap: olyan négyszög, amelynek minden szöge egyenlő nagyságú. (90 ). Négyzet: olyan négyszög, amelynek minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge egyenlő nagyságú. 4

44 . ALAKZATOK SÍKBAN, TÉRBEN 8 a) Milyen négyszögek vannak az ábra zölddel festett részében? négyzetek b) Tervezz egy olyan ábrát, ahová ezeket írhatod: négyszögek, trapézok, paralelogrammák, téglalapok, négyzetek! Alaphalmaz: négyszögek trapézok paralelogrammák téglalapok négyzetek. 9 Írd be a hiányzó szavakat! Azokat a rombuszokat, amelyek téglalapok is, négyzeteknek nevezzük. Azokat a téglalapokat, amelyek rombuszok is, négyzeteknek nevezzük. 10 Hogyan mondanád egy szóval? Rajzold is le! a) Olyan téglalapot rajzoltunk, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú. négyzet b) Olyan trapézt rajzoltunk, amelynek minden oldala egyenlő hosszúságú. rombusz c) Olyan négyszöget rajzoltunk, amelynek két-két szemközti oldala egyenlő hosszúságú. paralelogramma d) Olyan négyszöget rajzoltunk, amelynek két szomszédos szöge 90. derékszögű trapéz 44

45 . ALAKZATOK SÍKBAN, TÉRBEN 11 Tizenhat darab egyforma négyzetet rendezünk el téglalap alakban! Hányféle téglalapot kaphatunk? Töltsd ki a táblázat minél több oszlopát, ha a b! a 1 4 b Tizenkét darab egyforma kockából téglatestet építünk. Hányféle téglatestet kaphatunk? Töltsd ki a táblázat minél több oszlopát, ha a b c! a b 1 c

46 4. HÁROMSZÖGEK EGYBEVÁGÓSÁGA 1 Hasonlítsd össze a két középső kört! Melyik a nagyobb? Válasz: A két kör ugyanakkora. Tippelj! Melyik oszlop magasabb? A zöld színű oszlop kb. mm-rel magasabb. Válaszodat méréssel ellenőrizd! Tévedésem milliméterben:. A tippelt adatok tetszőlegesek lehetnek. Zöld: 18 mm. Piros: 18 mm. Válassz egybevágó párokat! 4 Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha adott az alapja és a szárszöge! Adatok: Vázlat: Szerkesztés: 46

47 4. HÁROMSZÖGEK EGYBEVÁGÓSÁGA 5 Szerkessz egyenlő szárú háromszöget, ha adott a szára és az alapon fekvő egyik szöge! Adatok: Vázlat: Kivitelezés: 6 Szerkessz derékszögű háromszöget, ha adott a leghosszabb oldala és az egyik hegyesszöge! Adatok: Vázlat: Kivitelezés: 7 Vágd egy-egy egyenessel két egybevágó háromszögre a síkidomokat! 47

48 5. A KÖR ÉS A HOZZÁ KAPCSOLÓDÓ FOGALMAK 1 Írd be a hiányzó szavakat az ábrába! érintő érintési pont szelő metszéspontok Keresd a megfelelő meghatározást, és írd a betűjelét az üres helyre! a) Két azonos középpontú körvonallal határolt síkidom. b) Egy körív és a kör két sugara által határolt síkidom. c) A kör középpontját és a körvonal tetszőleges pontját összekötő szakasz. d) A körvonal két különböző pontját összekötő szakasz. e) A kör leghosszabb húrja. f) A sík adott pontjától adott távolságra lévő pontjainak összessége. g) A körvonal egy darabja. h) Egy körív és egy húr által határolt síkidom. sugár: c) körszelet: h) körvonal: f) körcikk: b) átmérő: e) körív: g) körgyűrű: a) húr: d) Készíts egy-egy szemléltető ábrát az előző feladat nyolc meghatározásához: a) b) c) d) e) f) g) h) 4 Képzeld el az összes olyan 1,5 cm sugarú körlapot, amelynek középpontja az ábrán látható szakaszra illeszkedik! Színezd ki azokat a pontokat, amelyek illeszkednek valamelyik körlapra! 5 Képzeld el az összes olyan 0,5 cm sugarú körlapot, amelynek középpontja az ábrán látható körvonalra illeszkedik. Színezd azokat a pontokat, amelyek illeszkednek valamelyik körlapra! 48

49 5. A KÖR ÉS A HOZZÁ KAPCSOLÓDÓ FOGALMAK 6 Pótold a hiányzó szavakat! A kör érintője merőleges az érintési pontba húzott sugárra. Az érintési pontban az érintőre merőleges egyenesre illeszkedik a kör A kör egy adott pontjában csak egy érintő rajzolható. Egy körön kívüli pontból két érintő húzható a körhöz, és az ezeken lévő érintő szakaszok egyenlő hosszúak. középpontja 7 Egy kör sugara centiméterben mérve egész szám. A körvonal egy tetszőleges pontjából megrajzoltuk az összes olyan húrt, amelynek hossza centiméterben mérve szintén egész szám. Összesen 9 ilyen húr van. Hány centiméteres a kör sugara? A kör sugara:,5 cm. 8 Rajzolj egy K középpontú kört és két olyan, KA és KB sugarat, amelyek 60 -os szöget zárnak be egymással! Rajzold meg az A pontra illeszkedő érintőt is! Ez az érintő a KB egyenest egy P pontban metszi. Mekkora az APK szög? APK szög = 0. 9 A fényképen látható olimpiai öt karika Budapesten a Duna partján látható. A félkörívek piros, fehér és zöld színnel lettek lefestve. A következő állítások közül melyik igaz, melyik hamis? A megfelelő szót húzd alá! a) Piros festéket használtak a legtöbbet. Igaz Hamis b) Zöld festékből használtak a legkevesebbet. Igaz Hamis c) A fehér ívekből pontosan két teljes fehér kört lehetne összeilleszteni. Igaz Hamis d) A piros ívekből két teljes piros kört lehetne összeilleszteni. Igaz Hamis e) Ha hat doboz piros festéket használtak fel a festéskor, akkor a fehérből nyolcat. Igaz Hamis 49

50 5. KÖR ÉS A HOZZÁ KAPCSOLÓDÓ FOGALMAK 10 a) A következő köröket 1,, és 4 darab átmérővel vágd fel körcikkekre! Írd az ábrák alá, hogy hány darab körcikket kaptál! b) Ha 10 különböző átmérőt rajzolnék egy körbe, akkor 40 darab körcikket kapnék. c) 4 darab körcikket 11 darab átmérő berajzolásával kapnék. 11 Az ábrán egy közlekedési táblát látsz. A következő mondatokat erről fogalmaztuk meg. Pótold a hiányzó szavakat! A tábla két körvonalból áll, amelyeknek egybeesik a középpontja. A két körvonalnak nem egyenlő hosszú a sugara és az átmérője. A piros alakzat neve: körgyűrű. 6. TENGELYES TÜKRÖZÉS 1 Rajzold meg vázlatosan a táj tükörképét a tó vizén! Szerkeszd meg az A, B és C pontok tükörképét! 50

51 6. TENGELYES TÜKRÖZÉS Rajzold le szabadkézzel a sokszögek csúcsainak tükörképét! A tükörképként kapott pontokat kösd össze a megfelelő sorrendben! a) b) c) d) e) f) g) h) 4 Rajzolj olyan háromszöget a rácsra, amelynek a tükörképét szabadkézzel is könnyen meg tudod rajzolni! 5 Az ábrán látható A, B, C és D pontoknak a tükörképe az A, B, C és D pontok. Rajzold be a közös tengelyt, ha van! 51

52 7. A TENGELYES TÜKRÖZÉS TULAJDONSÁGAI 1 Rajzolj olyan tengelyt, hogy az ábrán látható alakzat képe önmaga legyen! a) b) c) d) e) f) Igaz vagy hamis? Húzd alá az állítás mellett a megfelelő szót! a) Van olyan pont a síkon, amelynek a tengelytől vett távolsága nem egyenlő a képének a tengelytől vett távolságával. Igaz Hamis b) A tengelyre illeszkedő pont képe önmaga. Igaz Hamis c) A tengelyes tükrözés távolságtartó transzformáció. Igaz Hamis d) A tengelyre illeszkedő pont több pontnak is lehet a képe. Igaz Hamis e) Ha az A pont illeszkedik az a egyenesre, akkor az A illeszkedik az a -re. Igaz Hamis f) Egy szabályos háromszög képe is szabályos háromszög lesz. Igaz Hamis Egy háromszöget tengelyesen tükröztünk. Az eredeti háromszög egyik szögét 0 -osnak, a képháromszög egyik szögét 45 -osnak mértük. Add meg az eredeti háromszög három szögének nagyságát! Milyen háromszöget tükröztünk? Az eredeti háromszög szögeinek nagysága: 0, 45, 115 Ez egy tompaszögű háromszög. 4 Rajzold meg a téglalap tükörképét a megadott egyenesre! 5

53 7. A TENGELYES TÜKRÖZÉS TULAJDONSÁGAI 5 Az ABC háromszögben AB = AC = 4 cm. A B csúcs az AC oldaltól cm-re található. Mekkora a BAC szög? BAC = 0 6 A négyzethálón egy alakzat részletét látod. A hiányzó részleteknek megadtuk a tengelyes tükörképét. Rajzold meg a teljes ábrát! 7 Egy tükörben a következő órákat látjuk. Írd az ábrák alá, hogy mennyi a pontos idő! 6:00 :00 4:00 1:0 8. A TENGELYES TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSAI 1 Pótold a hiányzó szavakat! a) A rombusz minden oldala egyenlő. b) A rombusz két-két szemközti oldala párhuzamos egymással. c) A rombusz átlói merőlegesek egymásra. d) A rombusz két-két szemközti szöge egyenlő. e) A rombusz szomszédos szögeinek összege 180. f) Ha a rombusz minden szöge egyenlő, akkor az négyzet. Írj a négyzetbe I-t, ha igaznak, H-t, ha hamisnak gondolod az állítást! a) A deltoid két-két szomszédos oldala egyenlő hosszú. I b) Minden rombusz deltoid. I c) Minden deltoid rombusz. H d) Minden négyzet deltoid. I e) A deltoid átlói felezik egymást. H f) A deltoidnak van két szomszédos egyenlő szöge. H g) A deltoidoknak nem lehet derékszöge. H 5

54 8. A TENGELYES TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSAI Tükrözd a derékszögű háromszöget sorban, mindhárom oldalegyenesére! Mit alkot az eredeti és a képként kapott háromszög egyesítése? a) b) c) a) A kapott alakzat neve: egyenlő szárú háromszög. b) A kapott alakzat neve: szabályos háromszög. c) A kapott alakzat neve: deltoid. 4 Rajzolj olyan deltoidot, amelyben van azonos hosszúságú oldal és átló! 5 a) A 0,, 5, 8 számjegyeknek van olyan digitális írásmódja, hogy egy függőleges tengelyre tükrözve is számjegyet kapunk. Rajzold le a tükörképeket! b) Mennyivel lesz kisebb a tükrözött háromjegyű szám az eredetihez képest? Rajzold le a tükörképet! 55 5 = 0 Nincs ilyen = 94 A tükörképen látható szám 0-cal kisebb, mint az eredeti. c) Készíts a füzetedbe olyan kétjegyű számot, amelyet ha egy függőleges tengelyre tükrözöl, akkor 54-gyel nagyobb számot kapsz! Rajzold le a megoldásodat! Nincs ilyen szám. (A fenti négy számjegy felhasználásával kapható kétjegyű számokat kell megnézni.) d) Készíts a füzetedbe olyan háromjegyű számot, amelyet ha egy függőleges tengelyre tükrözöl, akkor 94-gyel kisebb számot kapsz. Rajzold le a megoldásodat! = 94 54

55 8. A TENGELYES TÜKRÖZÉS ALKALMAZÁSAI 6 Rajzolj olyan alakzatokat, amelyeket egy tengelyre tükrözve római számokat kapsz! Példaként egyet megadtunk. Rejtvény: Hogyan lehet a tizenkettőnek hét a fele? 9. TENGELYES SZIMMETRIA 1 Rajzold be a síkidomok szimmetriatengelyét! Rajzolj olyan cégjelzéseket, cégéreket, amelyek tengelyesen szimmetrikusak! Lehetnek ismertek, de tervezhetsz újakat is. Rajzolj szimmetrikus címerpajzsalakokat, ha segítségül megrajzoltuk az egyik felüket! 4 A kész mintának két egymásra merőleges tengelyű szimmetriája lesz. Rajzold le a teljes mintát! 55

56 9. TENGELYES SZIMMETRIA 5 Hány szimmetriatengelyt tudsz rajzolni a következő mintára? (Természetesen most nem kell geometriai pontosságra törekedned!) 6 Ágnes egy terítőre keresztszemes hímzéssel az alábbi mintákat szeretné kihímezni. A mintákat tartalmazó könyvben a szimmetrikus képeknek csak az egyik felét rajzolták meg. Ezt láthatod az ábrán. Készítsd el a képeket, ha a jobb szélén lévő tengelyre kell tükrözni mindent! A négyzetháló segít az ilyen minták rajzolásában. Tervezd meg a kész kép színeit is! 7 A régészek egy római kori piactérről kiderítették, hogy négyzet alakú volt, és 4 fal határolta. Ismert, hogy a piac közepén állt egy kút, amelybe az árusok egy támadás alkalmával elrejtették a pénzüket. A feltárás során találtak egy oszlopot, mely közvetlenül a piac egyik sarkába futó falszakasz mellett állt. Megtalálták az ezzel a sarokkal átellenes sarokból kifutó falak egy-egy méternyi darabját. Hol keressék a kútba rejtett kincset? Rajzolj! 8 Mutasd meg, hogy a következő állítások hamisak! Rajzolj! a) A tengelyesen szimmetrikus négyszögek konvexek. b) Minden szabályos sokszögnek van olyan átlója, amelynek egyenese szimmetriatengely. c) Csak a szabályos sokszögek tengelyesen szimmetrikusak. 56

57 9. TENGELYES SZIMMETRIA 9 A következő ábrák eredetiek vagy tükörképek? Válaszaidat röviden indokold! a) Tükörkép, a házszámon látszik. b) Tükörkép, a kitűzőn látszik. c) Tükörkép, az óra feletti római számon látszik. d) Tükörkép, mert az eredeti táblán a piros autó a baloldali. a) b) c) d) 10. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK 1 Fogalmazd meg egy mondattal a következő két állítást! Ha egy háromszögnek három szimmetriatengelye van, akkor az szabályos háromszög. Ha egy háromszög szabályos, akkor a háromszögnek három szimmetriatengelye van. Egy háromszög akkor, és csak akkor szabályos, ha három szimmetriatengelye van. Keress a környezetedben egyenlő szárú háromszögeket! Rajzolj, és színessel jelöld a rajzodon a háromszöget! Szerkeszd meg az ABC háromszög hiányzó C csúcsát úgy, hogy a háromszög a) szabályos; b) egyenlő szárú derékszögű háromszög legyen! A B A B 4 A közlekedési táblák jelentős része szabályos háromszög alakú. Rajzolj olyanokat, amelyek a benne lévő ábrával együtt tengelyesen szimmetrikus alakzatot alkotnak! 57

58 10. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS HÁROMSZÖGEK 5 Tervezz a koordináta-rendszerbe olyan szimmetrikus háromszöget, amelyiknek egyik oldala sem párhuzamos a tengelyekkel! Add meg a csúcsainak koordinátáit! A(; ), B( ; 1), C(1; ). 6 A négyzetrácson látható kilenc pont közül úgy válassz hármat, hogy azok egy szimmetrikus háromszög csúcsai legyenek! Mekkorák a szögei ezeknek a háromszögeknek? Szimmetrikus háromszögek: ACK, BDK, CEK, DFK, EGK, FHK, GAK, HBK, ACF, BDG, CFH, DFH, EGA, FHB, GAC, HBD. Szögeik nagysága: 90, 45, 45 7 Rajzold be a következő pontokat a koordináta-rendszerbe! A( 1; 0), B(1; ), C(; ), D(6; 1), E( 1; ) Adj meg olyan ponthármasokat, amelyek tengelyesen szimmetrikus háromszöget határoznak meg! ABC háromszög; BDE háromszög; 8 Egy tengelyesen szimmetrikus háromszög két csúcsa látható az ábrán. Ezeket A-val és B-vel jelöltük. Rajzold be az ábrába zölddel azokat a pontokat, amelyek a háromszög harmadik csúcsai lehetnének! 58

59 11. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK 1 Rajzolj szimmetrikus háromszögeket! Lehet-e egy szimmetrikus háromszög a) hegyesszögű? Igen Nem b) derékszögű? Igen Nem c) tompaszögű? Igen Nem Pótold a hiányzó szavakat! a) A deltoid szimmetriaátlója felezi a másik átlóját. b) A deltoidnak van két-két szomszédos egyenlő hosszúságú oldala. c) Ha egy négyszögnek van két egyenlő szemközti szöge, akkor az deltoid. a) Színezd sárgára azokat a pontokat, amelyek az A és B pontoktól egyenlő távolságra találhatók! b) Színezd pirosra azokat a pontokat, amelyek az A ponthoz közelebb vannak, mint a B ponthoz! c) Színezd zöldre azokat a pontokat, amelyek a B ponthoz közelebb vannak, mint az A ponthoz! d) Ha az ABC háromszögben AC = BC, akkor milyen színű lehet a C pont? Készíts rajzokat! e) Ha ABC háromszög egyenlő oldalú, akkor milyen színű lehet a C pont? Rajzolj is! a, b, c d e 4 A felsorolt állítások közül melyek igazak a rombuszra? Rajzolj egy rombuszt! a) Minden oldala egyenlő. I b) Csak egy szimmetriaátlója van. H c) Van két egyenlő oldala. I d) Átlói merőlegesek egymásra. I e) Csak az egyik átló felezi a másikat. H f) Szomszédos szögeinek összeg 180. I g) Átlói egyenlő hosszúságúak. H 59

60 11. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK 5 a) Rajzold meg az A és B tükörképeket, ha az y tengely a szimmetriatengely! A ( 6; ), B ( 4; ). Az ABB A milyen négyszög? szimmetrikus trapéz b) Rajzold meg az A és B tükörképeket, ha a szimmetriatengely az origóra és a P(1;) pontokra illeszkedik! A ( 6; ), B ( ; 4). Az ABB A milyen négyszög? szimmetrikus trapéz c) Rajzold meg a C pontot úgy, hogy ABB C paralelogramma legyen! C( ; ). d) Add meg a D pont koordinátáját, ha ABOD egy négyzet! D(; 4). e) Abod egy falu. Keresd meg, hogy melyik megyében található! A megye: Borsod-Abaúj-Zemplén megye. 6 Vágd szét az ábrát egybevágó deltoidokra! 7 A képen látható tengelyesen szimmetrikus tizenkétszög (ami egy H betűt formáz) kirakható a mellette található színes sokszöglapokból. Hogyan? Rajzolj és színezz! A lapok a másik oldalukra is fordíthatók! 60

61 11. TENGELYESEN SZIMMETRIKUS NÉGYSZÖGEK, SOKSZÖGEK 8 A képen látható sokszögek egymáshoz illesztésével egy tengelyesen szimmetrikus sokszöget lehet kirakni, ami egy betűt formáz. Készítsd el az összerakás vázlatrajzát! A lapok a másik oldalukra is fordíthatók! 1. SZERKESZTÉSEK 1 Szerkeszd meg a szakaszok negyedét, nyolcadát! Szerkeszd meg a szögek negyedét, nyolcadát! 61

62 1. SZERKESZTÉSEK Szerkessz az AB egyenesre B-ben, az AC egyenesre C-ben egy-egy merőleges egyenest! A két merőleges egyenes metszéspontja legyen D! A következő állítások közül melyik igaz az ABCD négyszögre? Ez a négyszög deltoid. Igaz Hamis Van két derékszöge. Igaz Hamis Nincsen szimmetriatengelye. Igaz Hamis Egyik szöge tompaszög. Igaz Hamis Átlói felezve metszik egymást. Igaz Hamis 4 Szerkeszd meg a következő ábrák másolatait a füzetedben! a) b) 5 Megadtuk az α, β, γ szögeket. Szerkeszd meg az a) α + β γ ; b) α + β ; c) β γ ; a) b) d) α γ 4 + szögeket! c) d) 6

63 1. SZERKESZTÉSEK 6 Szerkessz a füzetedbe a) egyenlő oldalú háromszöget, ha az oldala,5 cm hosszú! b) egyenlő szárú háromszöget, ha az alapja 4 cm, a szára 6 cm hosszú! c) háromszöget, ha a cm-es és a 4 cm-es oldala 60 -os szöget zár be! d) háromszöget, ha a 4 cm-es oldalán 60 o -os és 45 -os szög található! b) c) d) a) 7 Szerkessz a füzetedbe egy 4 cm és cm oldalhosszúságú téglalapot! 8 Szerkessz a füzetedbe téglalapot, ha az egyik csúcsából induló 6 cm-es átlója 60 -os szöget zár be a cm-es oldalával! 9 Megadtuk egy négyzet átlóját, szerkeszd meg a négyzetet! 10 Megadtuk egy téglalap átlóját, amely harmadolja a téglalap szögét. Szerkeszd meg a téglalapot! 11 Szerkeszd meg a kör középpontját! 6

64 1. ÖSSZEFOGLALÁS 1 Igaz-e? a) Van olyan négyzet, amely téglalap. Igaz Hamis b) Van olyan téglalap, amely négyzet. Igaz Hamis c) Minden téglalap rombusz. Igaz Hamis d) Minden téglalap paralelogramma. Igaz Hamis e) Minden trapéz rombusz. Igaz Hamis f) Minden téglalap trapéz. Igaz Hamis g) Van olyan téglalalap, amely nem paralelogramma. Igaz Hamis h) Van olyan rombusz, amely nem paralelogramma. Igaz Hamis Add meg a következő négyszögek meghatározását! Trapéz: olyan négyszög, amelynek van egy párhuzamos oldalpárja. Paralelogramma: olyan négyszög, amelynek két párhuzamos oldalpárja van. Rombusz: olyan négyszög, amelynek mind a négy oldala egyenlő hosszú. Téglalap: olyan négyszög, amelynek mind a négy szöge egyenlő nagyságú. Négyzet: olyan négyszög, amelynek mind a négy szöge egyenlő nagyságú. Rajzolj a megadott szöghöz egyállású szöget, váltószöget, csúcsszöget! 4 Add meg a szögek kiegészítő szögének nagyságát! a) α = 45, 15 b) β = 1, 58 c) γ = 1 40, 56 0 d) δ = 41 47, Add meg a szögek pótszögének nagyságát! a) α = 51, 9 b) β = 76, 14 c) γ = 19 4, d) δ = 46 48, Rajzold meg az órák tükörképét! a) b) c) d) 64

65 1. ÖSSZEFOGLALÁS 7 A vízszintes vonalat úgy képzeld el, mintha egy folyó partja lenne. Rajzold meg a folyó melletti épületek tükörképeit a vízen! 8 Fejezd be a szerkesztést úgy, hogy az ábrán ABCD paralelogramma legyen! 9 Az ábrán látható húrtrapézt tükrözd az egyik átlójára! Milyen síkidomot alkot az eredeti és a képként kapott síkidom közös része? Deltoidot. 65

66 III. EGYENLETEK, FÜGGVÉNYEK 1. AZ ARÁNY FOGALMA 1 Írd fel más alakban is a következő arányokat! Egyszerűsíts! a) 10 : 15 = 10 = b) 4 : 7 = 4 = 1 c) 48 : 16 = 48 = = A következő arányokat írd fel egész számok segítségével! 0, 10 a) 0, : 0,7 = = b),5 : 4,75 =,5 4 = 9 0, , c) 1, :,8 = 1, 5 = 6 =, Adj meg három olyan számpárt, amelyek aránya : 5, és három olyat, melyek aránya 7 :! : 5 = = = = = = 7 : = Adj meg három olyan számhármast, amelyek aránya 1 : : 5! a) A számhármas első tagja legyen 4! 1 : : 5 = 4 : 8 : 0 b) A számhármas középső tagja legyen 14! 1 : : 5 = 7 : 14 : 5 c) A számhármas utolsó tagja legyen 80! 1 : : 5 =16 : : májusában olvashattuk az interneten: = = = = = A Central America gőz hajó 1857-ben süllyedt el egy hurrikánban Dél-Karolina partjainál, 1,6 ton na arannyal a fedélzetén. Maradványait 1988-ban találták meg. A hajó 00 méter mélyen van az Atlanti-óceánban. Szakértők szerint a hajóroncsban lehet az a kereskedelmi aranyszállítmány, amely 1857-ben kb. 90 ezer dollárt ért. Az elsüllyedt hajóban lehet még az utasok által birtokolt arany is, melynek értéke akkoriban kb. 70 ezer dollár volt. A hajókincs felszínre hozatala megkezdődött. Az első feltáró merülést víz alatti robot segítségével hajtották végre. A roncsban található arany mai áron kb. kilencvenmillió dollárt ér. Válaszolj a kérdésekre! Milyen mélyen van a hajó? A hajó 00 méter mélyen van. Hogyan hozzák felszínre a kincseket? A kincseket víz alatti robotokkal hozzák felszínre. Mennyi a kincs becsült értéke 014-ben? A kincs becsült értéke kilencvenmillió dollár. Mekkora a kereskedők és az utasok kincsének aránya? A kereskedők és utasok kincseinek aránya 90 : 70 = 1 : 8. Mennyi arannyal indult útnak a gőzhajó 1857-ben? 1,6 tonna arany volt a hajón. Mekkora a kincs mai értékének aránya a korabeli értékéhez képest? A régi és az új érték aránya : = 1 : 9. 6 A spanyol zászló színeit viselő téglalap vízszintes mérete 6 cm, függőleges mérete 4 cm. A zászló területe: 4 6 = 4 cm. A piros sávok függőleges mérete egyenként 1 cm. A piros sávok együttes területe: = 1 cm. A sárga sáv függőleges mérete: cm. A sárga sáv területe: 6 = 1 cm. A piros sávok együttes területének és a zászló területének aránya törta lak ban: 1 = 1 4 A sárga sáv területének és a zászló területének aránya törtalakban: 1 = 1 4 A két tört összege: = 1

67 . ARÁNYOS OSZTÁS 1 Oszd fel a képeken látható tárgyakat a megadott arányban! 1 : 1 : 1 : : 5 a) Egy 180 m -es telket ketten örökölnek : 1 arányban. Mekkora rész jut az egyes örökösöknek? 1 Az egyik örökösnek jut: 180 = 60 m A másik örökösnek jut: 180 = 10 m b) Egy 00 m -es telket hárman örökölnek meg, : 1 : 1 arányban. Készíts ábrát a füzetedbe, ügyesen oszd fel! 1 Mekkora rész jut az egyes örökösöknek? 00 = 100 m ; 00 = 50 m. Azaz 100, 50 és 50 m jut az 4 4 egyes örökösöknek. Egy kert két oldalának aránya 4 : 5. A rövidebb oldal hossza 0 m. a) Készíts rajzot a füzetedbe, oszd fel megfelelően az oldalait! b) Mekkora a hosszabbik oldal? A 0 métert 4 részre osztjuk: 0 : 4 = 5 méter. A hosszabb oldal 5 rész, ezért 5 5 = 5 méter. c) Mekkora a kert kerülete? = 90 méter hosszú. d) Mekkora a kert területe? 5 5 = 5 m. 4 Az iskolai kosárlabda-bajnokságban a 6/a és az 5/b osztály csapatai mérkőztek. A magasságkülönbség az eredményben is megmutatkozott: a mérkőzés összesen 45 pontjából a 6-osok kétszer annyit értek el, mint ellenfelük. a) Milyen arányban értek el pontokat a csapatok? A csapatok : 1 arányban értek el pontokat. b) Hány pontot értek el az ötödikesek, illetve a hatodikosok? A 45 pontot három részre kell felosztani. Egy rész 45 : = 15 pont. Az ötödikesek 15 pontot, a hatodikosok 15 = 0 pontot szereztek. c) Az összes pont hányad részét érték el a hatodikosok, illetve az ötödikesek? Az összes pont részét szerezték meg a hatodikosok, és 1 részét az ötödikesek. 5 Ágoston 7 éves, Domonkos pedig 9. A zsebpénzük aránya 7 : 9. Mennyi pénzt kapnak külön-külön, ha összesen 1600 Ft jut nekik? 700 illetve 900 Ft-ot kaptak. A pénzt = 16 részre kell felosztani. Egy rész 1600 : 16 = 100 forint. Ágoston = 700 forintot, Domonkos = 900 forintot kapott. 67

68 . SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS 1 Számítsd ki a hiányzó értékeket, és töltsd ki a táblázatot az első sornak megfelelően! Feladat Kiszámítása (I.) Kiszámítása (II.) Alap Százalékláb Százalékérték 180-nak = 54 a 0%-a , = nak 5 0 = 55 a 5%-a ,5 = nek a 75%-a 1600-nak a 85%-a = 44 0,75 = = ,85 = Színezd ki a téglalapok megadott százalékát! 10% 5% 50% 75% 80% Bálint meg akarja határozni 10-nak a 0%-át. A kiszámítás módjára különböző ötletei vannak. Van olyan, amelyik jó eredményt ad, van, amelyik nem. Keretezd be a helyeseket! Húzd át a helyteleneket! : 0 10: , 10 : 0, 4 A megadott törtrészeket add meg százalékalakban, a megadott százalékot pedig tizedes törtben, majd közönséges törtben, a minta szerint! 5 60% 4 75% % 8 7,5% % 80% 0,8 = 4 5 % 0,0 = 1 = = % 1,5 = 15 7 = = % 0,9 = % 5 A százalékszámításból írt dolgozat kiosztása után Dani közölte Ágival, hogy a 6 fős osztálynak csak 10%-a kapott ötöst. Ági válasza: Úgy látom, te nem voltál közöttük. Miért gondolhatta ezt Ági? A 6-nak a 10%-a 6 0,1 =,6. Az emberek száma csak egész szám lehet, így mivel Dani rossz választ adott, a dolgozata valószínűleg nem volt ötös. 68

69 . SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS 6 Gergő kerékpárra gyűjt, ezért havi 000 Ft-os zsebpénzének 60%-át 10 hónapon keresztül félretette. Az összegyűlt pénzt év végén a jó bizonyítvány jutalmaként édesapja megduplázta. Gergő így éppen meg tudta venni a kiválasztott biciklit. Mennyiért? a) Mennyi pénzt tett félre havonta? 000 0,6 = 1800 forintot. b) 10 hónap alatt mennyi pénze gyűlt össze? = Ft. c) Mennyit kapott édesapjától év végén? forintot kapott édesapjától. d) Mennyibe került a bicikli? = forintba került. 7 Egy millió Ft-ért vásárolt autó értéke két év múlva az eredeti érték 70%-a lesz. a) Hány forint az értéke két év után? ,7 = Ft az értéke két év után. b) Hány forintot veszített az értékéből? = forintot veszített az értékéből. c) Az eredeti árának hány százaléka a használt autó ára? 70%-a az eredeti árának a használt autó értéke. d) Hány százalékot veszített az értékéből az autó két év alatt? 100% 70% = 0%-ot veszített az értékéből az autó két év alatt. 4. A 100 SZÁZALÉK KISZÁMÍTÁSA 1 Számítsd ki, melyik számnak 1% 100% a 0%-a 657! a 10%-a 90! a 6%-a 416! = 1,9 1,9 100 = 190 = 0,75 0, = 75 = = 1600 Egy hat évfolyamos iskolában mind a négy hatodik osztályba 4 tanuló jár. Az iskola diákjainak 15%- át teszik ki a hatodikosok. Hányan járnak az iskolába? A hatodik évfolyam tanulóinak száma: 4 4 = 96, ez az iskolai tanulószámnak a 15%-a. 1% 96 = 6,4 6,4 100 = Egy laptop képernyőjén az akkumulátor állapotát jelző felirat: 1 óra 1 perc (40%) van hátra. Mennyi ideig működik hálózati kapcsolat nélkül a 100%-os töltöttségű akkumulátorral a laptop? Számolj percekben! 1 óra 1 perc = 7 perc. 40% 7 perc; 1% 7 1,8 40 = perc; 100% 180 perc = óra 0 perc. 69

70 4. A 100 SZÁZALÉK KISZÁMÍTÁSA 4 Az egészségre káros élelmiszerekre kivetett adó miatt a 50 grammos Maxi Mix ára 0%-kal emelkedett. Most 40 Ft-tal többe kerül. Mennyi az ára? Az eredeti árat tekintjük 100 %-nak. 0% 40 Ft 1% 40 : 0 = 8 Ft 100% = 800 Ft Az új ár: = 1040 Ft. 5 Káin anyukája a tükör előtt állva megállapította, hogy egy kicsit túlsúlyos, mert az ajánlottnál 8%- kal nehezebb. Elhatározta, hogy több testmozgással és a cukros üdítőitalok fogyasztásának elhagyásával 4 kg-ot lead, és így eléri az egészséges állapotot. Hány kg lenne Káin anyukája egészségesen? A testtömeg 8%-a 4 kg. Az 1% 4 8 = 0,5 kg. A 100% 0,5 100 = 50 kg lenne az egészséges tömege. 5. HÁNY SZÁZALÉK? 1 Testünk körülbelül 70%-a víz. Számítsd ki, hogy egy 56 kg-os ember testében hány kg víz van! 56 0,7 = 9, kg. Az ember testének víztartalma 56 0,7 = 9, kg. Számítsd ki, hogy a 8400-nak hány százaléka a 940! Százalékérték: 940, alap: A 8400-nak a 940 a 5%-a. Egy doboz 00 gramm tömegű tejfölben 4 gramm a zsír súlya. Hány százalékos zsírtartalmú ez a tejföl? A tejföl 1%-os , % 8400 = = % 00 = 70

71 5. HÁNY SZÁZALÉK? 4 Hány százaléka a a) 15 perc az 1 órának: % 60 = -a. b) 15 perc a órának: ,5% 10 = -a. c) 0 perc az 1 órának: % 60 = -a. d) 0 perc a órának: % 10 = -a. 5 Egy téglalap oldalai 10 cm és 5 cm hosszúak. A téglalap minden oldalát 0%-kal növeljük. a) Határozd meg a meg növelt téglalap oldalait! A két oldal 10 1, = 1 cm és 5 1, = 6 cm lesz. b) Számítsd ki az eredeti és a megnövelt téglalap kerületét! Az eredeti kerület: 0 cm. Az új kerület: 6 cm. c) Hány százalékkal nőtt a téglalap kerülete? A kerület 0%-kal növekedett. d) Számítsd ki az eredeti és a megnövelt téglalap területét! Az eredeti terület: 50 cm. Az új terület: 7 cm. e) Hány százalékkal nőtt a téglalap területe? A terület 44%-kal növekedett. b) (10 + 5) = 0 cm ; (1 + 6) = 6 cm c) 6 1, 0 = 10% d) 10 5 = 50 cm ; 1 6 = 7 cm e) 7 1,44 50 = 144% 6 Egy derékszögű háromszög egyik hegyesszöge 7. A derékszögű háromszög hegyesszögeinek összege: 90 A háromszög másik hegyesszögének nagysága: 90 7 = 6 A 7 -os szög a derékszögnek 0%-a. A 7 -os szög a másik hegyesszögnek 4,86%-a. 7 0, 90 = 0% 7 0, ,86% 6. VEGYES SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSOS FELADATOK 1 a) Egy 5600 Ft-os termék árát 4760 Ft-ra csökkentették. Hány százalékos volt az árengedmény? Az engedmény mértéke Ft-ban: = 840 Ft; 840 Az engedmény az eredeti árnak % 5600 = b) Egy 00 Ft-os könyv árát 400 Ft-tal csökkentették. 400 Hány százalékos az árengedmény? 100 = 1,5% -os az árengedmény. 00 c) Egy autó árát 0%-kal emelték, így most millió Ft-ba kerül. Mennyi volt az emelés előtt? Az új ár az eredeti ár 100% +0% = 10%-a. A hárommillió forint 1%-a = Ft. 10 A 100% a régi ár: = Ft. d) Egy hamarosan lejáró szavatosságú 700 Ft-os sajtot 5%-kal olcsóbban adnak. Mennyibe kerül? Ha 5%-kal olcsóbban adják, akkor eredeti ár 100% 5% = 75%-ába kerül. 75 Az új ár tehát 700 = 700 0,75 = 55 Ft 10 71

72 6. VEGYES SZÁZALÉKSZÁMÍTÁSOS FELADATOK A napsütéses órák száma évszakonként változik. Magyarországon havi bontásban, decemberben a legalacsonyabb, körülbelül 50 óra, júliusban a legnagyobb, körülbelül 00 óra. A napsütéses órák száma egy év alatt átlagosan 000 óra körüli érték. Számítsd ki, hogy decemberben, júliusban, illetve az egész év folyamán az órák hány százaléka volt napos! A napok száma decemberben: 1 nap; Az órák száma decemberben: 1 4 = 744 óra A napsütéses és az összes óra hányadosa decemberben: = ; Százalékosan: 100 6,7% A napok száma júliusban: 1 nap ; Az órák száma júliusban: 1 4 = 744 óra 00 5 A napsütéses és az összes óra hányadosa júliusban: = ; Százalékosan: ,% A napok száma egész évben: 65 nap Az órák száma egész évben: 65 4 = A napsütéses és az összes óra hányadosa egész évben: = ; Százalékosan: ,8% A 01/14-es spanyol labdarúgó-bajnokságban (Primera Division) az FC Barcelona csapata a 4 forduló után összeállított statisztikák szerint a mérkőzések 76,47%-át megnyerte, 14,71%-át elveszítette. (Megnyert mérkőzésért pont, döntetlenért 1 pont jár. Vereségért nem adnak pontot.) Hány pontja van a csapatnak? A megnyert mérkőzések száma: 6 A megnyert mérkőzésekért kapott pontok: 6 = 78 pont A döntetlenek száma: 4 (6 + 5) = mérkőzés. A döntetlen mérkőzésekért kapott pontok: pont A pontok száma összesen: 81 pont 76,47 4 = 4 0,7647 = ,71 4 = 4 0,1471 = = 81 pont 4 A 80 pontos százalékszámítás témazáró ponthatárai százalékban: 80% 100% jeles, 60% 79% jó, 40% 59% közepes, 5% 9% elégséges, 0% 4% elégtelen. A gyerekek pontszámai mellé írd be a dolgozatuk osztályzatát! Te hányasra tudod a százalékszámítást? Az utolsó rovatba írd be a neved, és osztályozd a tudásodat! Név Cili Dóri Gábor Ági András Pontszám Százalék ,5% 80 = % 80 = % 80 = 100 8,75% 80 = ,75% 80 = Osztályzat

73 7. SZÁZALÉKSZÁMÍTÁS GYAKORLÁSA 1 Írd fel az arányokat más számokkal, az a) feladatban megadott mintához hasonlóan! a) 60 : 45 = 0 : 15 = 4 : = 8 : 6 = 4 : = 8 : b) 5 : 75 = 1:= :6 = 5:15 = : = 7: c) 1,5 : 4,5 = 15 : 45 = 1 : = 10 : 0 = : = 40 : d) 4 : = 4 : = 8 : 6 = 0 : 15 = 60 : 45 = 8 : Határozd meg a következő arányok hiányzó tagjait! a) 18 : 5 = 6 : 50 = 7 : 100 = 1,8 :,5 = 54 : 75 = 5,4 : 7,5. b) 0,4 : 1,8 = : 9 = 16 : 7 = 0 : 90 = 1 : 54 = 18 : 81. c),5 : 4 = 10 : 16 = :, = 75 : 10 = 0,4 : 0,64 = 45 : 7. Két szám aránya 5 : 9. a) Mekkora a nagyobbik, ha a kisebbik 45? = a nagyobbik. b) Mekkora a kisebbik, ha a nagyobbik 70? = a kisebbik. c) Mekkorák a számok, ha a különbségük 48? A két szám különbsége 9 5 = 4 rész. Egy rész =. A kisebb szám 5 1 = 60. A nagyobb szám 9 1 = 108. d) Mekkorák a számok, ha az összegük 0,7? A két szám összege = 14 rész. Egy rész 0,7 0,05 14 =. A kisebb szám 5 0,005 = 0,5. A nagyobb szám 9 0,005 = 0,45. 4 Három szám aránya : 5 : 11. A két kisebbik összege. Mekkorák a számok? + 5 = 8 rész, tehát a -t kell 8 felé osztani. : 8 = 4. A számok 4 = 1, 5 4 = 0 és 11 4 = Egy Ft-os termék árát kétszer változtatják, mindig 40%-kal. Számítsd ki, hogy az alábbiak szerint történő árváltoztatások esetén, milyen irányú és hány százalékos egyszeri változtatással érnék el a végső árat! a) mindkétszer emelés 1,4 1,4 = 1,96. Tehát 96%-os az emelés. b) mindkétszer csökkentés 0,6 0,6 = 0,6 és 1 0,6 = 0,64, tehát 64%-os a csökkentés. c) először emelés, azután csökkentés 1,4 0,6 = 0,84 és 1 0,84 = 0,16, tehát 16%-os a csökkentés. d) először csökkentés, azután emelés 0,6 1,4 = 0,84 és 1 0,84 = 0,16, tehát 16%-os a csökkentés. 6 Számítsd ki, hogy ha az egymillió forintos megtakarításunkat bankban helyezzük el évi 4,5%-os kamatra, akkor év alatt mennyivel nő a megtakarításunk? Egy év múlva megkapjuk a betétünk 100%-át és még 4,5%-ot. Vagyis 1 év múlva a betét 104,5%-át vehetjük fel, ez a betét 1,045-szeresét jelenti. Egy év elteltével ,045 = Ft lett a betétünk. A következő évben ez az összeg nő tovább: ,045 = Ft lesz két év után a betétünk. Tehát a megtakarítás két év alatt 9 05 Ft-tal nő. 7

74 8. EGYENLETEK, LEBONTOGATÁS 1 Az alábbi folyamatábrában töltsd ki az üres mezőket! Oldd meg lebontogatással és folyamatábra segítségével az egyenleteket! a) 1 1 x + 6 = b) a = 5 Oldd meg lebontogatással folyamatábra nélkül az egyenleteket! a = 5 ( a ) = 1 a 7 6 = 16 5 ( a 7) 6 5 = 15 5 a 7 = a = 87 : a = 9 5 (a 7) = 75 : a 7 = a = 4 a) Két szomszédos szám összege 015. Melyek ezek a számok? A kisebbik számot jelöljük x-szel, a nagyobbik 1-gyel nagyobb, tehát x + 1. Így az összegük: x + (x + 1) = x + 1 = 015. Oldd meg lebontogatással! x + 1 = 015 / 1 x = 014 /: x = A két szám 1007 és b) Három szomszédos szám összege 144. Melyek ezek a számok? Jelölje a legkisebb számot x, a másodikat x + 1, a harmadikat x +. Ekkor x + = 144 / x = 141 /: x = 47. A három szám 47, 48 és 49. c) Találj ki hasonló feladatot! Négy szomszédos szám összege 10. Melyek ezek a számok? Jelölje a számokat x, x + 1, x + és x +. Összegük 4x + 6 = 10 / 6 4x = 96 /: 4 x = 4. A négy szám 4, 5, 6 és 7. 74

75 9. A MÉRLEGELV 1 A mérlegeken ismeretlen és ismert súlyok vannak. Az azonos színű kockák azonos súlyúak. Írd fel az egyes mérlegek egyensúlyát leíró egyenletet, és oldd meg azokat a mérlegelv alkalmazásával! Mindkét oldalról vegyünk le egy fekete kockát. Az 5 kg egyenlő 4 kg-mal és egy fekete kockával. Mindkét oldalról vegyünk el 4 kg-ot, marad 1 fekete kocka, ami 1 kg. Vegyünk el egy-egy kg-os súlyt és egy-egy kék kockát. Négy kék kocka kg. Egy kocka tehát 0,5 kg. Vegyünk el egy-egy piros kockát és 1 kg-ot. A három piros kocka éppen 9 kg. Egy piros kocka tehát kg. Oldd meg a a 5 = 11 egyenletet lebontogatással és a mérlegelv alkalmazásával is! Az egymásnak megfelelő lépéseket azonos színnel jelezd, a megadott minta szerint! a 5 = 11 / a 5 = / + 5 a = 8 / : a = 19 Egy tégla súlya egy kiló és egy fél tégla. Hány kiló egy tégla? Töltsd fel a mérleg serpenyőit a feladatnak megfelelően! Írd fel a feladat egyenletét, és oldd meg! 1 tégla = 1 kg + 1 tégla / 1 tégla 1 tégla = 1 kg / 1 tégla = kg / 4 Megoldottunk egy egyenletet, de az ellenőrzéskor kiderült, hogy hibásan. Keresd meg a hibát, és a javítás után oldd meg az egyenletet! Ellenőrizd a megoldást! Javítás: 4x 6 + x = 8 x / + x 4x 6 + x = 8 x / + x 7x 6 = 8 / 6 7x 6 = 8 / +6 x = 14 /: 7 x = 7x = /: 7 x = 7 75

76 10. ÖSSZEVONÁS, ZÁRÓJELFELBONTÁS 1 Végezd el a lehetséges összevonásokat! x x+ 7 x = ( 5 + 7) x + (15 1 ) = 5 x 8 x 1 9 x+ 11 x = ( ) x + ( 1 ) = 14 5 x x + x = ( ) x + ( 10 ) = 101 x 1 1 x+ 10 x+ 15 x = ( ) x + ( ) =17 x A könyvben lévő mintapéldához hasonló rajzon szemléltesd az 5 ( x + ) szorzás elvégzését! Végezd el a következő műveleteket kétféleképpen, a megadott minta szerint! 5 ( 8 ) = 5 6= 0 5 ( 8 ) = = 40 10= 0 5 ( 8 ) = ( 1 ) 9 6 = = ( ) ( 1 ) = 1 = = 8 = = 4 1 = = ( ) = = ( ) ( ) ( 4 1) = 4 ( 1) 4 Bontsd fel a zárójeleket a következő kifejezésekben, ezután végezd el a lehetséges összevonásokat: a) 1 ( a 6) 115 ( + a ) = 1 a a = 1 a 11 a 7 55 = a 17 1 b b b = b 14 6 b 5 5 b = + + = b) ( b ) 1 1 c 16 c c 44 c 4 c 1 c c 10 c + = + = c) c = ( ) 5 Oldd meg az alábbi egyenleteket! a) 15( x 9) = 5 15 x 15 9 = 5; 15 x 15 = 5; 15 x = 60; x =4. b) x = x + 1 ; 6 x 5 = x + 1; 5 x 5 = 1; 5 x = 18; 5 18 x =. 5 76

77 11. SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA EGYENLETTEL 1 Egy napig tartó kerékpáros versenyen a teljes útvonal hossza 540 km. Az első napi távolság a leghoszszabb, a továbbiak 15 km-rel, illetve 0 km-rel rövidebbek. Mekkora utat tesznek meg az egyes napokon? Válasszuk ismeretlennek az első nap megtett utat: x A második napi ennél 15 km-rel rövidebb, tehát: x 15 A harmadik az első napinál 0 km-rel rövidebb, tehát: x 0 A feladathoz tartozó egyenlet és megoldása: x + (x 15) + (x 0) = 540 x 45 = 540 /+45 x = 585 /: x = 195 Az első napon 195 km-t, második napon 180 km-t, a harmadik napon 165 km-t tesznek meg. Andrea, Boróka és Cili páronként ráállva egy mérlegre, három mérést végeztek el. Andrea és Boróka tömege együtt 76 kg, Andrea és Cili együtt 8 kg-ot tesz ki, Boróka és Cili pedig 78 kg együtt. Mekkora a tömegük külön-külön? Egyenlet nélkül: Hányszor állt a mérlegre egy-egy gyerek? Minden gyerek kétszer állt a mérlegre. A három mérés eredményének összegében hányszor szerepel egy-egy gyerek tömege? Kétszer. A három mérés eredményének összege: 76 kg + 8 kg + 78 kg = 6 kg. Mit mutatna a mérleg, ha hárman állnának rá? 6 kg : = 118 kg-ot. Andrea és Boróka páros mérésének eredményéből és a hármas mérés eredményéből kinek a tömege határozható meg, és hogyan? Andrea tömege: = 40 kg Boróka tömege: = 6 kg Cili tömege: = 4 kg Egyenlettel is megoldjuk: Jelöljük Andrea tömegét a-val! Vegyük a három mérést! Andrea és Boróka együttes tömegéből vonjuk ki Andrea tömegét! Mit kapunk? ❶ Andrea + Boróka Andrea = Boróka 76 a = 76 a Kifejeztük Boróka tömegét a segítségével. ❷ Boróka + Cili Boróka = Cili 78 (76 a) = 78 (76 a) = 78 (76 a) = a = + a Kifejeztük Cili tömegét a segítségével. ❸ Andrea + Cili = Andrea + Cili 8 a + + a a = 40 kg Az egyenlet megoldását önállóan végezd! A füzetedben oldd meg a feladatot úgy is, hogy Boróka tömegét választod ismeretlennek! 77

78 11. SZÖVEGES FELADATOK MEGOLDÁSA EGYENLETTEL Andris most háromszor annyi idős, mint a húga, Ági. Kiszámította, hogy év múlva már csak kétszer olyan idős lesz, mint a húga. Hány évesek most? Készítsünk táblázatot, a következő adatokat írjuk a megfelelő helyre: Legyen Ági életkora x! Andrisé -szor ennyi, tehát: x év múlva Ági évvel idősebb lesz, tehát: x + év múlva Andris évvel idősebb lesz, tehát: x + Ági Andris Most x x év múlva x + x + A feladat szerint, ha Ági évvel későbbi életkorát -vel megszorozzuk, megkapjuk Andris évvel későbbi életkorát. Írd le az egyenletet, és oldd meg! Ellenőrizd a megoldást! (x + ) = x + /Zárójel felbontása x + 4 = x + / x 4 = x + / x = Ági éves, Andris 6 éves. 1. EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA MÉRLEGELVVEL 1 Oldd meg az egyenlőtlenséget! Végezd el a jelölt műveleteket! Figyelj az egyenlőtlenség irányára! x+ 5> x 10 / 5 x > x 15 / x x > 15 / : ( ) 7 x+ 5 x 4> 5+ x 10 5 x /összevonás 4x + 1 > 5 4x /+4 x 8x + 1 > 5 / 1 x < 5 8x > 6 /: 8 6 x > 8 Jelöld, hogy a következő megoldásokban hogyan változtattuk az egyenlőtlenség két oldalát! 7 x+ 4 x + 6 x + / összevonás x x / x + 6 x / 6x x / : ( ) Ellenőrzés: x Egy -nál nagyobb szám, például az x = 0, és egy -nál kisebb szám, például az x = 1 behelyettesítésével. x+ 1 4 x> x + 1 / összevonás 6 x+ 1> 15 x / 1 6 x> 14 x / +x 4 x < 14 / : ( 4) 14 7 x > = 4 Ellenőrzés: 7 Egy -nél nagyobb szám például az x = 0 behelyettesítésével: hamis. Egy-nél kisebb szám például az x = 4 behelyettesítésével. 5 >, igaz. 78

79 1. EGYENLŐTLENSÉGEK MEGOLDÁSA MÉRLEGELVVEL Add meg az összes pozitív egész számot, ami igazzá teszi a következő egyenlőtlenséget! 6 x 10< 1+ x a) Próbálkozással: a legkisebb pozitív egésztől, x = 1-től kezdve: x = 1 x = x = x = 4 x = 5 x = 6 x = 7 bal: 6 x jobb: 1 + x b) A mérlegelvet alkalmazva: 6 x 10 < 1 + x / x 4 x 10 < 1 /+10 4 x < /: 4 11 x = = = 5,5 4 4 Oldd meg a következő egyenlőtlenségeket! a) x < + x / 0 b) 7(x 5) 4 > 6 x 9 /zárójel felbontása x < x /+ 18x 7 x 5 4 > 6 x 9 /egyneműek összevonása 15 < x / 10 7x 9 > 6 x 9 / 6x 105 < 8 x /: 8 x 9 > 9 / < x 8 x > 0 1. EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1 Írj a négyzetbe olyan számot, hogy a a) ( x ) + 1= x 5 egyenlet azonosság legyen; b) ( x ) + 1= x egyenlet ellentmondás legyen. Például. Ha a négyszögbe nem az 5 kerül, akkor a kifejezés ellentmondás. c) ( x ) + 1 = x 5. A négyzetbe -t, -at, végül 4-et írunk. Oldd meg a kapott egyenleteket! ( x ) + 1= x 5 ( x ) + 1= x 5 ( x ) + 1= 4 x 5 (x ) + 1 = x 5 x = x 5 x 8 = x 5 / x x 8 = 5 /+ 8 x = (x ) + 1 = x 5 x = x 5 x 8 = x 5 / x 8 = 5 Nincs megoldás. (x ) + 1 = 4 x 5 x = 4 x 5 x 8 = 4 x 5 / x 8 = x 5 /+ 5 x = d) 4 ( x + 1) = 4 x + 1 Írj a téglalapokba egy-egy olyan számot, hogy az egyenlet azonosság legyen! A két téglalapba az 4-et és 1-et kell írni. 79

80 1. EGYENLETTEL MEGOLDHATÓ FELADATOK a) Add meg az x x 64 egyenlőtlenség igazsághalmazát, ha az alaphalmaz az egész számok halmaza. Töltsd ki a táblázat üres helyeit! x x x Vigyázz, a táblázatot x = 4 utáni értékekre gondolatban folytatnod kell! Add meg az egyenlőtlenség megoldásait a megadott alaphalmaz esetén! x = 8; 7; 6; 5; 4; ; ; 1; 0; 1; ; ; 4; 5, 6; 7; 8 Az egyenlőtlenség igazsághalmaza: I = { 8; 7; 6; 5; 4; ; ; 1; 0; 1; ; ; 4; 5, 6; 7; 8} b) Add meg az x x 64 egyenlőtlenség igazsághalmazát, ha az alaphalmaz az egyjegyű pozitív összetett számok halmaza! Használd az előző egyenlőtlenség megoldását! I = {4; 5, 6; 7; 8} Az alábbi két, azonos szerkezetű egyenletet ugyanolyan lépésekben oldjuk meg. A bal oldali egyenlet megoldását folytasd, és fejezd be! A jobb oldali egyenletet önállóan oldd meg! 4 x 5 + = x / x 5+ 1 = 1 x 4 x + 7 = 1 x 7 = 8 x 7 8 = x A nevezővel megszorozzuk mindkét oldalt törttelenítünk. Figyelj! A bal oldal mindkét tagját szorozzuk a nevezővel! Összevonás után, a mérlegelv szerint, azonosan változatjuk a két oldalt. x = 4 x x = 8 x x 10 = 8 x 10 = 5 x = x 4 Mekkorák az ábrákon szereplő α, β és γ szögek? α = 60 0 α = 70 0 α = 50 0 β = 15 0 γ = Ismert és ismeretlen hosszúságú szakaszokat jelöltünk az alábbi ábrákon. 5 a) A háromszög kerülete 60 cm. Mekkora a területe? K = a+ 8 = a = 1; t = = 150 cm 80 8 a a a b b) A téglalap területe 60 cm Mekkora a kerülete? T = b = 60 b = 10; k = 4b + 6 = 46 b

81 14. EGYENLETEK GYAKORLÁSA 1 Írd le a megfelelő egyenletet, és oldd meg! a) Egy szám felénél 5-tel nagyobb szám a 100. b) Egy számnál 5-tel nagyobb szám fele a 100. Egy szám felénél 5-tel nagyobb szám 100 Egy számnál 5-tel nagyobb szám fele 100 x x = 100 / 5 = 100 / x = 95 / x + 5 = 00 / 5 x = 190 x = 195 c) Egy számnál 5-tel nagyobb a 100 fele. d) Egy szám az 5 felével nagyobb 100-nál. Egy számnál 5-tel nagyobb a 100 fele Egy szám az 5 felével nagyobb 100-nál x + 5 = 100 x = x + 5 = 50 / 5 x = 10,5 x = 45 A táblázat üres rovatainak kitöltése után, oldd meg az egyenleteket és egyenlőtlenségeket a megadott alaphalmazok esetén! x x x (x 4) Alaphalmaz: Megoldás: Igazsághalmaz: a) x ( x 4) = 0 pozitív egész számok x = 4 {4} b) x ( x 4) = 0 nemnegatív egész számok x = 0; 4 {0; 4} c) x ( x 4) = 0 pozitív kétjegyű egész számok Nincs megoldás { } d) x ( x 4) 0 pozitív egész számok x = 1; ; ; 4 {1; ; ; 4} e) x ( x 4) 0 nemnegatív egész számok x = 0; 1; ; ; 4 {0; 1; ; ; 4} Három szomszédos egész szám összege 54. Melyek ezek a számok? a) Jelöljük a legkisebbet x-szel! b) Jelöljük a középsőt x-szel! c) Jelöljük... A középső: x + 1 A legkisebb: x 1 A középső: x 1 A legnagyobb: x + A legnagyobb: x + 1 A legkisebb: x Az egyenlet: x + x x + = 54 Megoldása: x + = 54 x = 17 A három szám: 17, 18, 19 Az egyenlet: x 1 + x + x + 1 = 54 Megoldása: x = 54 x = 18 A három szám: 17, 18, 19 4 Három szomszédos páratlan szám összege 99. Melyek ezek a számok? A középső szám a 99 : =. A három szám a 1,, 5. Az egyenlet: x + x 1 + x = 54 Megoldása: x = 54 x = 19 A három szám: 17, 18, 19 81

82 15. EGYENES ARÁNYOSSÁG 1 Egy rövidáru üzletben a gombokat négyes csomagolásban árusítják. Egy csomag ára 50 forint. a) Ábrázold koordináta-rendszerben a gombok és az árak viszonyát! b) Mennyi gomb vásárolható 950 forintért? 76 gomb c) Mennyibe kerül 48 gomb? 600 forint 950 : 50 = = : 4 = = 600 Egy táborban bundáskenyér a reggeli, 10 darab elkészítéséhez 4 tojást használt fel a szakács. A gyerekek 15 bundáskenyeret ettek meg. Mennyi tojásra volt szükség az elkészítéséhez? A tojások száma: = db Egészítsd ki a táblázatot! A két mennyiség közt egyenes arányosság van. a gép munkaideje (perc) 5, a legyártott alkat részek száma (db) Ha egy futószalag egy óra alatt 500 terméket továbbít, akkor mennyi idő alatt juttat célba 50, 50, 750, 800 terméket? Készíts táblázatot! a futószalag munkaideje (perc) a továbbitott termékek száma (db) Válaszd ki az alábbiak közül azokat az értékpárokat, amelyek között egyenes arányosság van! Egyenes arányosság esetén válaszolj a feltett kérdésre! a) Lili 00 grammal született. Mennyi lesz a tömege éves korában? b) Másfél kg burgonya 0 Ft-ba kerül. Mennyibe kerül 4 kg burgonya? c) Ha egy csésze teába kockacukrot teszünk, akkor 6 csésze teába mennyi kell? d) Reggel 6-kor 1 C volt a hőmérséklet. Mennyi lesz a hőmérséklet ugyanezen a napon 18 órakor? e) Egy csövön keresztül 4 óra alatt lehet megtölteni egy medencét vízzel. Mennyi idő alatt lenne tele a medence, ha három ilyen csövön folyna bele a víz? Egyenes arányosság: b), c) Válaszok: b) Fél kg burgonya 110 forintba kerül, 4 kg pedig ennek a nyolcszorosába, azaz 880 forintba kerül. c) 6 csésze teába 1 kockacukor kell. 8

83 16. EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL MEGOLDHATÓ FELADATOK 1 Döntsd el, hogy a következő összetartozó mennyiségek közül melyek egyenesen arányosak! Indokold a döntésedet! Az egyenesen arányos mennyiségek esetén folytasd a táblázat kitöltését öt összetartozó számpárral! a) x y b) x y 4 1 Nem egyenes arányosság, mert míg az x kétszeresére nő, az y értéke felére csökken. c) x 1 y Nem egyenes az arányosság, mert 1 : 1 : 4. d) x 1, 4 5,1 y,6 9 15, Nem egyenesen arányos mennyiségek, az első pár hányadosa, a másodiké pedig 4 9. A tankönyv 4. feladatában olvashattál a gyertyaóráról. Nézd meg, és olvasd el a működését! Este 10 órakor meggyújtották a gyertyaórát. Rajzold be az ábrába, hogy mekkora lesz a gyertya a megadott időpontokban! Az alábbi ábrák közül melyik lehet egyenes arányosság ábrája? b) a) b) y y x x c) d) y y x x 8

84 16. EGYENES ARÁNYOSSÁGGAL MEGOLDHATÓ FELADATOK 4 Egyenes arányos-e a négyzet egyik oldalának hossza és a négyzet kerülete? Igen Nem. Készíts táblázatot! négyzet oldala (cm) négyzet kerülete (cm) Indoklás: a négyzet kerülete mindig négyszerese az oldalnak. Tehát az összetartozó párok hányadosa mindig 4. 5 Egyenes arányos-e a négyzet egyik oldalának hossza és a négyzet területe? Igen Nem. Készíts táblázatot! négyzet oldala (cm) négyzet területe (cm ) Indoklás: az összetartozó párok hányadosa nem állandó: 1, /4, /9, 4/16 6 A meteorológiai előrejelzés szerint a vihar megérkezett az ország nyugati határához. Tudjuk a hírekből, hogy 40 perc alatt 0 km-t halad keletre. Hány óra múlva várható Budapesten? Nézz utána, hogy Budapest kb. hány kilométerre van a nyugati határtól! Válasz: Válasz, Budapest a nyugati határtól megközelítőleg 10 m-re van, ezért kb. 4-5 óra múlva várható Budapesten. 10 : 0 = perc = 80 perc = 4 óra és 40 perc 7 Az InterCityn az utasokat tájékoztató kijelző adatai szerint a vonat 1 óra alatt 96 km-t tesz meg. Ha ez maradna a sebessége, akkor mennyit tenne meg 10 perc; 45 perc; 1, óra; 1,5 óra alatt? Válasz: 10 perc 16 km; 45 perc 7 km; 1, óra 115, km; 1,5 óra 144 km 96 : 6 = : 4 = 14 4 : = : 5 = 19, 96 : 19, = 115, 96 : = =

85 17. GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK 1 Az osztályfőnök összesítette a 6/b szeptemberi és októberi érdemjegyeit. Ezt láthatjuk az alábbi oszlopdiagramon, ahol mindig a bal oldali oszlop a szeptemberi, a jobb oldali pedig az októberi adatokat mutatja. a) Melyik hónapban kapott az osztály több érdemjegyet, és mennyivel? Októberben, 60-nal. b) Hány darab közepes érdemjegyet gyűjtöttek a két hónap alatt összesen? 170-et. 0 c) Melyik hónapban van a megszerzett jegyek darabszámához viszonyítva több jeles? érdemjegy Szeptemberben. ( 60 0, > 60 0,1714, de az eltérés nagyon kicsi. A jelesek aránya gyakorlatilag 50 állandó.) d) Az átlag alapján melyik hónap mondható eredményesebbnek? Az iskolai használtelem-gyűjtés eredményét mutatja a táblázat a 6. évfolyam négy osztályára. db 100 szeptemberi: = 90, októberi: = 110 =, A október volt az átlag alapján az eredményesebb (de nagyon kicsi eltéréssel), az átlag gyakorlatilag állandó. 50 a) Ábrázold oszlopdiagramon az osztályok teljesítményét! b) Melyik két osztályhoz tartozó oszlopok együttes magassága egyenlő a c osztályhoz tartozó oszlop magasságával? Az a és a b osztály vagy az a és a d osztály. 85

86 17. GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK a) A pékség kirakatában nagy tábla hirdeti, hogy 1 db zsömle ára 1 Ft. Tudjuk, hogy a pénztárnál öt forintra kerekített összeget kell fizetnünk. Ennek megfelelően töltsd ki a következő táblázat hiányzó részeit! Darab Kiírás szerinti ár (Ft) Fizetendő összeg (Ft) db zsömléért fizetett összeg (ezred Ft pontossággal) 4 5 1, , , , , , , b) Ha egynél több, de 10-nél nem több zsömlét vásárolunk, akkor hány darab vásárlásánál lesz a zsömle ára a legkedvezőbb? Három vagy hat zsömle vásárlása esetén. c) Ha egynél több, de 10-nél nem több zsömlét vásárolunk, akkor hány darab vásárlásánál lesz a zsömle ára a legkedvezőtlenebb? Kettő, vagy négy zsemle vásárlása esetén. d) Fejezd be az oszlopdiagram megrajzolását, amely a zsömlék darabszámhoz kapcsolódó egységárat mutatja! Használd az a) feladatban kapott eredményeidet! A függőleges tengelyből azért törtünk ki egy darabot, mert az egységárak minden esetben várhatóan 10 Ft és 1 Ft között lesznek. 86

87 17. GRAFIKONOK, DIAGRAMOK, ÖSSZEFÜGGÉSEK e) A vásárolt darabszámok alapján alakíts ki két kategóriát: rossz vétel, jó vétel! Válaszodat röviden indokold is! Rossz vétel:, 4, 7, 9 Jó vétel: 1,, 5, 6, 8, 10 Indoklás: Rossz vételnél többet fizetünk darabjáért, mint 1 forint. f) Ábrázold koordináta-rendszerben a zsömlék darabszámához tartózó árat! A bal oldali ábrán a számított ár, a jobb oldali ábrán a fizetendő összeg szerepeljen! g) A fenti két ábra közül melyik mutat egyenes arányosságot? A bal oldali. h) Guszti szereti, ha neki kell a pékségben a családnak meg vá sárolnia a zsömlét. Általában és 9 darab közötti mennyiség beszerzését bízzák rá. A ravasz Guszti általában egyesével veszi meg a zsömléket, mert így egy kis haszonra tesz szert. Készítsd el Guszti hasznának táblázatát! A vásárolt zsömlék száma (db) Guszti haszna (Ft) Szerinted Guszti hány darab zsömlét szeret vásárolni? Kilencet, mert akkor a legnagyobb a haszna = = = = = = = = 0 87

88 18. ÖSSZEFOGLALÁS 1 Tekintsünk el az elválasztó fekete és fehér csíkok vastagságától! A piros háromszög csúcsa a zászló középpontjában van, a sárgáé pedig a jobb oldal felezőpontjában. Határozd meg a méretek pontos ismerete nélkül, a különböző színű részek és az egész zászló területének arányát, tört alakban! piros: 1 4 sárga: 1 4 zöld: 1 a három tört összege: 1 Nézz utána, melyik ország zászlója ez! Keresd meg a térképen! Guyana Határozd meg, hogy a három látható lapon lévő kis négyzetek hányad része piros! Bal oldali lap: 1 9 Jobb oldali lap: 9 Felső lap: 9 4 A három nem látható lap hányad része piros? 7 A nem látható lapokon lévő piros négyzetek közül darab van a kocka valamelyik csúcsában, 1 db van oldalél közepén, és 0 db lap lapközépen. Gergőék családja nagy, havi villanyszámlájuk ezért elég magas; átlagosan 16 ezer Ft. Az elekt romos áram árának 10%-kal történt csökkentése miatt, mennyi a család megtakarítása? a) havonta: 1600 Ft b) évenként: Ft : 10 = = Az emelkedő utat egy derékszögű háromszögben ábrázoljuk: az átfogó az emelkedő út; a vízszintes befogó az útnak a térképen ábrázolt hossza; a függőleges befogó az emelkedés mértéke, 0%-os emelkedő esetén a függőleges befogó a vízszintesnek 0%-a. a) Mennyit emelkedik a 1%-os emelkedésű út, ha a térképen ábrázolt hossza 1 km? 10 métert. 88

89 18. ÖSSZEFOGLALÁS b) Hány százalékos emelkedése van annak az útnak, amely 400 m-en métert emelkedik? 8%-os. Az emelkedő út Az emelkedés mértéke Az út térképen jelölt hossza c) Hegymászók számára nem jelzik az emelkedő meredekségét. Ha mégis megtennék, akkor egy 45 -os szögben emelkedő hegyi ösvény elejére milyen táblát kellene kitenni? 100%-os emelkedő. 0%-os emelkedőre figyelmezető tábla 1000 : 100 = = 10 : 400 = 0,08 5 A Föld 7, milliárd fős népességéből 1, milliárd Kínában, 9,9 millió Magyarországon él. a) Számítsd ki, hogy a Föld népességének hány százaléka él Kínában, illetve Magyarországon! Kínában: kb. 18% Magyarországon: 0,18% b) Ha a Föld különböző országaiban élőket egyenletesen osztanánk el az országok és vá ro sok között, akkor a milliós Budapesten hány kínai, és hány magyar élne? Kínai: , magyar: , : 7, = 0, ,0099 : 7, = 0, ,18 = ,0018 =

90 18. ÖSSZEFOGLALÁS 6 Két állásajánlatot hasonlítunk össze: mindkettő 4 hónapos idénymunkára szól, mindkettőnél 100 ezer Ft a kezdő kereset, ami megfelelő munkavégzés esetén állandóan növekszik. Az egyik ajánlat esetében a növekmény havi 10 ezer Ft, a másik esetben a bér havonta 10%-kal nő. A táblázat kitöltésével könnyen össze tudod hasonlítani a két ajánlatot. Első hónapban Második hónapban Harmadik hónapban Negyedik hónapban Összes kereset Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft ,1 = ,1 = = Egy jelenleg 4 millió Ft-ot érő autó értékének csökke nését kétféle módszerrel is kiszámolhatjuk. Az egyik módszer szerint minden évben 400 ezer Ft, a másik szerint évente 10%-os az értékcsökkenés. A táblázat kitöltésével hasonlítsd össze az autó értékének alakulását az első három évben a kétféle számítás szerint! Jelenlegi ár 1 év múlva év múlva év múlva Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft Ft ,9 = ,9 =

91 18. ÖSSZEFOGLALÁS 8 Az adózó állampolgárok befizetett adójának 99%-ról az állam, 1%-ról az adózó dönthet. Egy adófizető adójának 1%-át a gyermekkórház javára ajánlotta fel. Egy év alatt mekkora összeggel segíti a kórházat, ha havi 00 ezer Ft után fizet 16% adót? ,16 = ,01 = = Balázs százalékszámításból írt dolgozata 54 pontos lett, pont hiányzott az ötöshöz. Jeles osztályzat 80%-tól kapható. Mekkora volt a dolgozat maximális pontszáma? 70 pont a maximum. 56 : 80 = 0,7 0,7 100 = Egy zöldséges árukészletét mutatja a táblázat: zöldségek mennyiség (kg) paradicsom 50 paprika 175 uborka 00 hagyma 15 a) Készíts az adatok alapján oszlopdiagramot! b) Elemezd az ábrádat! Írj két összehasonlító állítást a diagram alapján! I. A paprikához és a hagymához tartozó oszlopok együttes magassága egyenlő az uborkához tartozó oszlop magasságával. II. Uborkából van a legtöbb és hagymából a legkevesebb. III. A paradicsomhoz tartozó oszlop kétszer olyan magas, mint a hagymához tartozó oszlop. 91

92 18. ÖSSZEFOGLALÁS 11 A következő összetartozó értékek közül melyek egyenes arányosságok? Húzd alá az Igen vagy a Nem szót! a) A rovarok száma a rovarok lábainak száma. Igen Nem b) Az évek száma az évszakok száma. Igen Nem c) A meghallgatott dalok száma az eltelt idő. Igen Nem d) Az iskolában eltöltött idő a megszerzett érdemjegyek száma. Igen Nem e) A téglalap egyik oldalának hossza a téglalap kerülete. Igen Nem f) A dobókockák száma a dobókockákon lévő pöttyök száma. Igen Nem g) A dobások száma a dobott hatosok száma. Igen Nem h) Az éveid száma a magasságod centiméterben. Igen Nem i) A tojások darabszáma a tojások összértéke. Igen Nem j) A bicikli kerekének fordulatszáma a megtett út hossza. Igen Nem 1 A táblázat adatai alapján elkezdtünk egy oszlopdiagramot rajzolni. Fejezd be az ábrát! Szerinted mihez hasonlít a kialakult kép? Az Országházra. 9

93 18. ÖSSZEFOGLALÁS 1 A táblázat egy egyenes arányosság összetartozó értékeit tartalmazza, de néhány szám hiányzik. a) Pótold ezeket! b) A táblázat adatait felhasználva készíts egy grafikont, amely a nemnegatív x értékekhez mutatja az y értéket! x y,5,75 6,5 11,5 16,5, Rendezd táblázatba az oszlopdiagramról leolvasható párokat! a b c d e f Melyik grafikon mutat egyenes arányosságot? a) y b) y c) y d) y x x x x Egyenes arányosság grafikonja: a), c) 16 A fős osztályból 16-an a csokoládé-, 4-en az eper,- 1-en a mogyorófagylaltot szeretik a legjobban. Készíts az adatok alapján diagramot a füzetedbe! 9

94 IV. KERÜLET, TERÜLET, FELSZÍN, TÉRFOGAT 1. A SOKSZÖGEK KERÜLETE 1 Számítsd ki a c oldalú rombusz kerületét! a) c = 405 mm: K = 160 mm b) c = 5, cm: K = 0,8 cm = 160 5, 4 = 0,8 Számítsd ki a deltoid kerületét, ha egyik oldala a, másik oldala b hosszúságú! a) a = 1 cm, b =,5 cm; b) a = 5,6 dm, b = 40 mm. K = 1 cm K = 160 cm 1 +,5 = 15,5 15,5 = = = 160 Egy paralelogramma két különböző hosszúságú oldalának összege 17, cm. a) Mekkora a paralelogramma kerülete? K = 4,4 cm b) A paralelogramma két azonos hosszúságú oldalát megnöveltük, s így egy 4 cm kerületű rombuszt kaptunk. Mennyivel kellett megnövelni egy oldalt?,8 cm-rel 17, = 4,4 4 4,4 = 7,6 7,6 : =,8 4 Melyik igaz? a) Egy négyszög kerülete kisebb, mint a leghosszabb oldal hosszának négyszerese. H b) Egy háromszögben bármely két oldal hosszának összege nagyobb, mint a kerület fele. I c) A téglalap kerülete kisebb a két átló hosszának összegénél. H d) A trapéznak lehet négy különböző hosszúságú oldala. I e) Ha egy paralelogramma oldalainak hossza méterben mérve egész szám, akkor a kerülete páros. I 94

95 1. A SOKSZÖGEK KERÜLETE 5 Mérj és számolj! Mekkora kerületű sokszögeket látsz az ábrán? A tizenkétszög egy oldala: 5 mm. A tizenkétszög kerülete: 60 mm. A tizenhatszög egy oldala: 4 mm. A tizenhatszög kerülete: 64 mm. TESZTKÉRDÉSEK 1 Rajzoltunk egy sokszöget a koordináta-rendszer kezdőpontjából indulva, a rácsvonalak mentén. Mennyi lehet a kerülete? A: 5 B: 9 C: 10 D: 11 E: 1111 Egy sokszög szomszédos oldalai merőlegesek egymásra. Mekkora a kerülete? A: 17 B: 0 C: D: 4 E: Kevés adatot ismerünk. Egy sokszög szomszédos oldalai merőlegesek egymásra, és mindegyik hossza méterben mérve egész szám. Melyik lehet a sokszög kerülete méterben megadva? A: 17 B: 0 C: D: 4 E: Kevés adatot ismerünk. 4 Egy négyzet két szemközti oldalának hosszát megnöveljük, dm-rel, a másik két szemközti oldalának hosszát pedig 16 mm-rel. Hány centiméterrel lesz nagyobb az így kapott téglalap kerülete a négyzet kerületénél? A: 5,6 B: 71 C: 71, D: 18, E: Az előzőek egyikével sem. 5 Gazsi egy 168 cm kerületű szabályos hétszöget rajzolt. Mekkora a hétszög egyik oldalának a hossza? A: 8 cm B: 40 mm C: 4 cm D: 0,4 m E: Az előzőek egyike sem. 6 Attila egy-egy 50 mm kerületű szabályos háromszöget, négyszöget, ötszöget, hatszöget, hétszöget, nyolcszöget, kilencszöget és tízszöget rajzolt. Mennyi a sokszögek egy-egy oldalának összege? A: 6,01 m B: 6,1 dm C: 60,1 cm D: 840 mm E: Az előzőek egyike sem 7 Az ábrán látható sokszöget egy hosszú papírcsíkra rajzoltuk. Minden oldalának hossza 1 cm. Most csak a papírcsík elejét és végét láthatod. Hány centiméter lehet a sokszög kerülete? A: 006 B: 1956 C: 190 D: 1848 E:

96 . A SOKSZÖGEK TERÜLETE 1 Számítsd ki a téglalap területét, ha oldalainak hossza: a) 7 cm és 1 cm; b) 5 m és 4,84 m! a) t = 876 cm ; b) t = 4, cm 7 1 = ,84 = 4, Mekkora a négyzet területe, ha oldalának hossza: a) 17 cm; b) cm? a) t = 89 cm ; b) t = 104 cm = 89 = 104 Mekkora a derékszögű háromszög területe, ha két befogójának hossza: a) 14 cm és 70 cm; b) 48 mm és 1, dm? a) t = 440 cm ; b) t = 8,8 cm = : = 440 4,8 1 = 57,6 57,6 : = 8,8 4 Mekkora a deltoid területe, ha két átlójának hossza: a) 44 cm és 76 cm; b) 1, m és 7 cm. a) t = 167 cm ; b) t = 40 cm = : = = : = 40 5 Ábrázold a következő pontokat a koordináta-rendszerben: A( 1; ), B(; 4), C(5; ), D(; )! a) Milyen négyszöget kaptál? Deltoidot b) Mekkora az ABCD négyszög területe? T = = = 1 négyzetegység 96

97 . A SOKSZÖGEK TERÜLETE 6 Ábrázold a következő pontokat a koordináta-rendszerben: A( ; ), B(; 1), C(5; ), D( 1; )! a) Milyen négyszöget kaptál? Paralelogrammát b) Mekkora az ABCD négyszög területe? T = 5 8 ( + + 4) = négyzetegység 7 Egy 10 méter széles épület tűzfala egy 4 méter magas téglalapra és 4 méter magas háromszögre bontható. Hány m ez a fal? A téglalap területe: 4 10 = 40 m A háromszög területe: 4 10 : = 0 m Összesen: = 60 m 8 Mekkora a képen látható síkidom területe, ha a beszínezett része 4 m²? a) A nagy síkidom területe: b) A nagy síkidom területe: c) A nagy síkidom területe: T = 6 4 = 144 m T = 4 4 = 96 m T = 5 4 = 10 m 9 Mekkora a területe? A négyzetrács egységét 1 cm-nek vedd! Területe: 5 4 = 0 cm 10 Mekkora a rácsra rajzolt sokszög területe, ha a rácsvonalak távolsága 5 mm? a) T = ( 4 : ) 5 = 4 5 = 100 mm = 1 cm b) T = ( ) 5 = 11 5 = 75 mm =,75 cm a) b) 97

98 . ALAKZATOK A TÉRBEN 1 Rajzolj az AC lapátlóval a) párhuzamos; b) kitérő; c) metsző lapátlókat a kockán! A képen látható testet 11 darab kockából építettük. Rajzold le szemből, oldalról és felülről! Egy kocka csúcsait kezdd el zöldre festeni! Ha egy csúcs már zöld, akkor a vele szomszédos (vele éllel összekötött) csúcsot nem festheted be. Hány csúcsot tudtál befesteni? A befestett csúcsok száma: legfeljebb 4 db. 4 Egy kocka lapjainak középpontjai meghatároznak egy testet. Rajzold be a többi lapközéppontot is! Ha két lapnak van közös éle, akkor kösd öszsze a középpontokat! a) Milyen lapok határolják ezt a testet? Szabályos háromszögek. b) Hány csúcsa van az így kapott testnek? 6 csúcsa van. c) Hány éle van az így kapott testnek? 1 éle van. 5 Egyforma kockákból oszlopokat építünk. Az ábrán látható kockák egy-egy oszlop legfelső darabját mutatják. Minimum hány kockából hozható létre ez az építmény? Segítségként megadtuk az alaprajzot is. A kockák száma: = 15 db 98

99 . ALAKZATOK A TÉRBEN 6 Egy téglatest alakú doboz három különböző élének hossza: 8 cm, 5 cm és cm. Az egyik legrövidebb éltől hány csúcsnak tudnád mérés nélkül is megmondani a távolságát? Mekkorák ezek a távolságok? Készíts egy rajzot, és írd rá! A csúcsok száma: 4, plusz az él végpontja, amelyek 0 távol vannak az éltől. Rajz: 7 Hány csúcsa, éle, lapja van ezeknek a testeknek? a) b) a) A csúcsok száma: 14. b) A csúcsok száma: 0. Az élek száma: 1. Az élek száma: 0. A lapok száma: 9. A lapok száma: TESTEK FELSZÍNE 1 Add meg az a, b és c élű téglatest felszínképletét! A = (ab + ac + bc) Add meg az a élű kocka felszínképletét! A = 6a Számítsd ki a téglatest felszínét, ha az élei a, b és c hosszúságúak! a) a = 15 cm, b = 4 cm, c = 1 cm; b) a = 4 mm, b = 1 mm, c = 8 mm. a) A = 74 cm b) A = 08 mm 15 4 = = = = = = = = = =

100 4. TESTEK FELSZÍNE 4 Számítsd ki a kocka felszínét, ha az élei a hosszúságúak! a) a = 6 cm; b) a = 4 mm. a) A = 4056 cm ; b) A = 696 mm. 6 6 = = = = Kockát építünk 7 darab egybevágó cm élű kiskockából. Hogyan változik az építmény felszíne, ha elvesszük a sarkokban lévő kiskockákat? Válasz: a felszín nem változik, mert egy sarokkocka elvételével négyzetlappal kevesebb lesz, de a belső kockák felszínéből még három négyzetlapnyi hozzáadódik a felszínhez. 6 Egy téglatest éleinek aránya: : : 7. A különböző élek hosszának összege 40 cm. Mekkora a téglatest felszíne? Az élek hossza: a = 40 cm = 4 dm b = 60 cm = 6 dm c = 140 cm = 14 dm A téglatest felszíne: A = 8 dm = 1 40 : 1 = 0 a = 0 = 40 b = 0 = 60 c = 7 0 = = = = = = 8 7 Egy pingponglabda átmérője 40 mm. Egy négyzet alapú papírdobozba öt labda fér egymás mellé. Készíts rajzot a labdákról, amint a dobozban vannak, és számold ki a doboz felületét! Rajz: A doboz felszíne: 5 cm 4 4 = = = + 0 = 5 100

101 5. FELSZÍNSZÁMÍTÁSSAL KAPCSOLATOS GYAKORLATI FELADATOK 1 A képen látható dobozba egy nyakláncot csomagoltak. A doboz magassága 14 mm, az alja és a teteje olyan deltoid, amelynek átlói 6, cm és 4 cm, a kerülete pedig 15,4 cm. A doboz minden lapját öntapadós, színes lappal fedték be. Mennyi öntapadós, színes papírral lehet beburkolni a dobozt? A deltoid területe: 6, 4 = 1,6 cm A téglalapok területe: 15,4 1,4 = 1,56 cm A felszíne: 1,6 + 1,6 + 1,56 = 46,76 cm Mekkora az irattartó külső részének a felszíne? A legfontosabb adatokat az ábra tartalmazza! A síkidomok területe: T alja = 5 1 = 00 cm ; T eleje = 1 0 = 40 cm ; T hátulja = 1 = 84 cm ; T oldala = : = 650 cm. cm 0 cm A felszín: = 4 cm 5 cm 1 cm Egy test hálózata négy egybevágó négyzetből és két egybevágó rombuszból áll. A négyzetek oldalai 1 cm, a rombusz félátlói pedig 5 cm és 1 cm hosszúak. a) Tervezd meg a test hálózatát! b) Mekkora felületű test készíthető ebből a hálózatból? a) A test hálózata: b) A test felszíne: = 916 cm 1 1 = = : = 40 4 Az ábrán látható doboz egy sajt csomagolása. a) Készítsd el a doboz hálózatát! b) Az adatok alapján számold ki a sajtosdoboz felszínét! a) A test hálózata: b) A test felszíne: 64 cm 4cm 10 cm 1 cm 1 cm = = : = =

102 6. ÁTDARABOLÁSSAL MEGADHATÓ TESTEK TÉRFOGATA 1 Mekkora a két test térfogata? a) b) 150 cm 150 cm 1 cm 1 cm 4cm 4cm a) V 1 = = = 700 cm b) V = V 1 : = 700 : = 600 cm Egy sajtdarab adatait leolvashatod az ábráról. Mekkora a térfogata? V = 4 7,5 7 = 10 cm Egy téglatest élei centiméterben mérve egész számok. Mekkora lehet a téglatest hiányzó éleinek hoszsza, ha V = 64 cm, a = 1? Lehet, hogy a táblázat több oszlopot tartalmaz, mint amennyire szükséged lesz! 64 : 1 = 8 c b A téglatest hiányzó éleinek a hossza 1 és 8, és 14, illetve 4 és 7 cm lehet. 4 Egy négyzetes oszlop élei centiméterben mérve egész számok. Mekkorák az oszlop élei, ha a felszíne a lehető legkisebb, és a térfogata 61 cm? A szóba jöhető lehetséges élhosszok: a 1 6 m A Lehet, hogy a táblázat több oszlopot tartalmaz, mint amennyire szükséged lesz! Minden lehetséges párhoz a felszín: Válasz: 6, 6 és 17 cm a a m 61 = : 4 = : 9 = : 6 = = = = =

103 6. ÁTDARABOLÁSSAL MEGADHATÓ TESTEK TÉRFOGATA 5 Számítsd ki a kocka térfogatát, ha az élei a hosszúságúak! a) a =,1 dm; b) a = 4, m. a) V = 9,791 dm b) V = 75, m,1,1 = 9,61 9,61,1 = 9,791 4, 4, = 17, ,8084 4, = 75, Az 1,5 méter hosszú, 10 cm keresztmetszetű fagerendából le kell fűrészelni egy 18 cmes darabot. Mekkora lesz az így kapott gerenda térfogata? = = = cm A maradék térfogata: 160 cm 7 A képen látható V betűt egy 1,5 cm vastag, 8 cm széles és 9 cm hosszú téglatestből fűrészelték ki. Mekkora a térfogata? A térfogata: 49,5 cm 4 9 = 6 = 1,5 = 49,5 8 Az előző feladathoz hasonlóan tervezz olyan betűt, amelyik szakaszokból áll, kivágható téglatestből, és meg tudod határozni a térfogatát! Terv: Térfogat: 54 cm = 6 6 1,5 = 54 10

104 7. ÖSSZEFOGLALÁS 1 Egy négyzet alakú telek körül 140 m kerítés készült. Az autóbejáró kapuja 7 méter széles, a kiskapu pedig 1 méter széles. Mekkora a telek területe? Válasz: 169 m = : 4 = = 169 A megfelelő téglalapok és derékszögű háromszögek területeinek meghatározásával add meg a következő sokszögek területét! A rácsvonalak távolságát vedd 1 cm-nek! a) b) c) d) T = 8 : : = 4 4,5 = 16,5 cm T = 9 6 : 4 : = = 1 cm T = 8 1 = 4 4 = 18 cm T = 8 5 : : = 4 5 4,5 = 14,5 cm Egy kockákból épített testet lerajzoltunk három irányból. Minimum hány kocka kell a felépítéséhez? Mekkora a test felszíne, ha a kockák élei cm hosszúak? A kockák száma: 7 db 4 A rajz 1 cm magas testek alaprajzát mutatja. a) Számítás nélkül találsz-e közöttük egyenlő térfogatúakat? b) Rakd a térfogatuk alapján növekvő sorrendbe ezeket a testeket! A test felszíne: 9 ( ) = 9 0 = 70 cm I. II. III. IV. V. a) Egyenlő térfogatúak: M, N b) A sorrend: T < F < E < M = N 104

105 V. STATISZTIKA 1. JÁTÉK Játék Egyszámjáték Minden tanuló írjon fel magának egy pozitív egész számot! A tanár elkezdi sorolni a számokat 1-től, és aki az adott számot írta, felteszi a kezét. Az nyer, aki a legkisebb olyan számot írta, amelynél egyedül ő jelentkezett. A nyertes jutalmat kap. Például: 1 három kéz a magasban, két jelentkező, egyedül Lulu jelentkezik, ő nyert. Játék Négyet egy sorba Alkossatok párokat, és készítsetek elő három dobókockát! Válasszatok magatoknak egy-egy színt, mondjuk a pirosat és a kéket! Dobjatok felváltva a három kockával, majd mindhárom dobott szám egyszeri felhasználásával és tetszőleges művelettel vagy műveletekkel, képezzetek egy egész számot 1 és 6 között, amit beszínezhettek a saját szinetekre! Akinek előbb sikerül 4 számot egy sorban, egy oszlopban vagy átlósan beszíneznie, az nyer. Például ha az első dobás:, akkor a játékos kiszínezheti a = 10, vagy a = 19, vagy a 6 : 1 = 1 stb. számok közül az egyiket. Itt találtok négy játéknak való táblát, de ha betelik, folytathatjátok a füzetetekben is. Jó játékot!

106 . ADATOK ÁBRÁZOLÁSA 1 A grafikon négy adat alapján mutatja az óriáspandák körülbelüli számának változását. a) Melyik időszakban csökkent a pandák száma? között b) A feltüntett évek közül melyikben volt a legnagyobb a pandák száma? 006-ban c) Meg lehet-e állapítani, hogy az 1976 és 006 közötti időszakban mikor élt a legkevesebb panda? A feltüntett évek közül 1986-ban, de a köztes évekről nincs adat. d) Hány százalékkal nőtt a pandák száma 1996 és 006 között? ( ) : 1000 = 600 : 1000 = 0,6, azaz 60%-kal nőtt a pandák száma. e) Mit sugall a grafikon a pandák 016-os számáról? Azt sugallja, hogy tovább nő, de bármi történhet. Megkérdeztünk néhány gyereket, hogy hány barátjuk van az osztályban. A következő válaszokat kaptuk: Panni: Nyolc barátom van. Szofi: Hat barátom van. Lulu: Öt barátom van. Berta: Hat barátom van. Ági: Öt barátom van. Mia: Három barátom van. Ábrázoljátok az adatokat oszlopdiagramon! 106

107 . ADATOK ÁBRÁZOLÁSA 100 gyereket kérdeztünk meg édességfogyasztási szoká saikról. Az adatokat táblázatba foglaltuk. ritkán hetente 1 -szer hetente 6-szor minden nap naponta többször a) A gyerekek hány százaléka eszik minden nap édességet? ( ) : 100 = 60 : 100 = 0,6, azaz a gyerekek 60%-a eszik minden nap édességet. b) A gyerekek hány százaléka eszik hetente legfeljebb hat napon édességet? ( ) : 100 = 40 : 100 = 0,4, azaz a gyerekek 40%-a eszik legfeljebb hat napon édességet. Vegyük észre, hogy ez éppen 100% 60%! c) Készíts az adatok alapján oszlopdiagramot! d) Te hányszor eszel édességet hetente? Saját adat perc tanulók 4 A 6/z osztály tanulói a táblázatban megadott időt töltik hetente internetezéssel. száma Készíts oszlopdiagramot az adatok alapján! Te hány percet internetezel hetente? több, mint

108 . KÖRDIAGRAM 1 Az iskolában az órák és a szünetek a táblázat szerint kezdődnek és fejeződnek be. Számold össze, hogy hány perc tanítás, és hány perc szünet van reggel 8-tól délután 14 óráig! a) Az adott időtartam hány százaléka szünet? 60 percből 90 perc szünet, azaz 90 : 60 = 0,5. Az idő 5%-a szünet. b) Az adott időtartam hány százaléka tanítás? 60 percből 70 perc tanítás, azaz 70 : 60 = 0,75. Az idő 75%-a tanítás. c) Készíts kördiagramot a szünetek és a tanítási idő arányáról! kezdődik vége 1. óra 8:00 8:45. óra 8:55 9:40. óra 9:55 10:40 4. óra 10:50 11:5 5. óra 11:50 1:5 6. óra 1:15 14:00 Csoportmunka Gyűjtsétek össze az osztályban, hogy anyukátoknak hány gyereke van! Készítsetek az adatok alapján kördiagramot! Segítségül rajzoltunk egy kört, amit 10 fokonként megjelöltünk. az osztályban gyűjtött adatok gyerekek száma 1 4 vagy több A Központi Statisztikai Hivatal országos adatai alapján készítettünk egy táblázatot. Készítsetek el ez alapján is a kördiagramot! a nők százalékos megoszlása a gyermekek száma szerint gyerekek száma vagy több százalék 6,7,4 5,4 11,0 4,5 Beszéljétek meg, hogy a két kördiagram hasonló, vagy nem! Mi okozhatja az eltéréseket? 108

109 . KÖRDIAGRAM Készíts kördiagramot a fejezet. leckéjének -es, -as és 4-es feladatához!. feladat. feladat 4. feladat A levegő 78% nitrogént, 1% oxigént és 1% argont tartalmaz (ezek százalékra kerekített értékek, ezeken kívül még számos összetevője van, de elhanyagolható mennyiségben). Ábrázold a levegő összetételét oszlop- és kördiagramon is! Szerinted melyik mutatja az összetételt szemléletesebben? 4 Az iskolában 86 tanuló szavazhatott arról, hogy legyen-e iskolarádió. 6 gyerek szavazott igennel, 50 nemmel, a többiek nem szavaztak. Ábrázold az eredményeket oszlop- és kördiagramon is! 109

110 4. SORBARENDEZÉSEK 1 A sarki étteremben te magad állíthatod össze az ebédedet. Háromféle leves, háromféle főétel és háromféle desszert közül választhatsz. Mindegyiknek van egy száma. Ha a pincér a konyhában a 1 es rendelést adja le, akkor ez azt jelenti, hogy az 1-es számú levest, a -as számú főételt és a -es számú deszszertet kérted. A te rendelésednek mi lenne a száma? sorszám leves főétel desszert 1 erőleves cérnametélttel spenót tükörtojással túrógombóc erőleves zöldségekkel tökfőzelék tükörtojással szilvásgombóc paradicsomleves sült virsli rizzsel csokis mignon a) Rajzolj fadiagramot a szemléltetéshez! b) Sorold fel az összes lehetséges háromfogásos ebéd sorszámát! 111, 11, 11, 11, 1, 1, 11, 1, 1, 11, 1, 1, 1,,, 1,,, 11, 1, 1, 1,,, 1,, c) Hányféle ebédet rendelhetsz? 7 félét d) Mekkora az esélye annak, hogy a rendelt ebéd kódja -ra végződik? 1 -ad az esélye e) Mekkora az esélye annak, hogy a rendelt ebéd kódja osztható -mal? 1 -ad az esélye f) Mekkora az esélye annak, hogy a rendelt ebéd kódja osztható -vel? 1 -ad az esélye Panninak 4 szoknyája és 9 felsője van. a) Hányféleképpen válogathatja össze a szoknyát és a felsőt, ha mindegyiket felveheti mindegyikkel? 4 9 = 6 b) A nagynénjétől kapott szoknyájában a világ minden pénzéért sem menne ki az utcára. Ha édesapja véletlenszerűen készít ki neki hajnalban egy szoknyát, akkor mennyi az esélye, hogy reggel gond nélkül felveszi? 4 = 0,75 c) Az egyik felsőjét az osztálytársai nagyon megdicsérték, ezért hétfőn, szerdán és pénteken abban megy suliba. Hányféleképpen tud felöltözni kedden, amikor koszos a kedvenc felsője, és a nagynénitől kapott szoknyát sem hajlandó felvenni? 8 = 4 110

111 5. ÖSSZEFOGLALÁS Csoportmunka A krétai labirintus hat elágazása látható az ábrán. Thészeusz elhatározta, hogy minden elágazásnál feldobja az Ariadnétól kapott érmét. Ha azon fej lesz, balra fordul, ha írás, akkor jobbra. a) Tippeld meg milyen eséllyel ér el Thészeusz a bikához, a kardhoz, a kendőhöz vagy a szoknyához! Saját eredmények. b) Játszd el, hogy te vagy Thészeusz! Indulj el, és az elágazásoknál dobj fel egy pénzérmét! Jegyezd fel, hová jutottál! Ismételd meg 16-szor! Egyeznek a tippjeid az eredményeiddel? az én eredményeim Dolgozzatok csoportokban! c) Összesítsétek a kapott eredményeket négyesével! Hányszor jutottatok el az egyes célokhoz? Készítsetek az adatok alapján oszlop- és kördiagramot is! a csoportom eredményei Saját eredmények. d) Hasonlítsátok össze a csoportok eredményeit! Találtok lényeges különbségeket? 111

112 5. ÖSSZEFOGLALÁS 1 Zsombi most 15 cm, de egy évvel fiatalabban, 11 éves korában 146 cm, 10 évesen 18 cm, 9 évesen pedig 10 cm volt. Milyen grafikonon érdemes ábrázolnod az adatokat? Készítsd is el! Az iskolai futóversenyre minden osztálynak egy lányt és egy fiút kellett küldenie. A 6/a-ba 1 fiú és 1 lány jár, a 6/b-be pedig 9 fiú és 15 lány. a) Hányféle párt indíthat a 6/a osztály? 1 1 = 144 b) Hányféle párt indíthat a 6/b osztály? 9 15 = 15 Minden állítás után írd be, hogy igaz (I), vagy hamis (H) az állítás! a) Az oszlopdiagram elsősorban az adatok nagyságát szemlélteti. b) A kördiagram elsősorban az adatok arányait szemlélteti. c) Mindig van értelme annak, hogy az adatokból kördiagramot készítsünk. d) Mindig van értelme annak, hogy az adatokból oszlopdiagramot készítsünk. I I H H TESZTKÉRDÉSEK 1 Négy szám átlaga 6. Ha az egyik számot 1-gyel csökkentem, akkor az átlag mennyivel csökken? A: 1 B: 4 C: 0,5 D: 0,5 Négy szám átlaga 6. Ha az egyik számot 4-gyel csökkentem, akkor az átlag mennyivel csökken? A: 1 B: 4 C: 0,5 D: 0,5 A kör 7 -os körcikke hány százalékot szemléltet? A: 5% B: 0% C: 7% D: 40% 4 Ha 14%-ot szemléltet az α szögű körcikk, akkor α A: 50,4 B: 8 C: 54 D: 8,8 11