MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 01. május 8. EMELT SZINT I. 1) Egy 011-ben készült statisztikai összehasonlításban az alábbiakat olvashatjuk: Ha New York-ban az átlagfizetést és az átlagos árszínvonalat egyaránt 100%-nak vesszük, akkor Budapesten az átlagfizetés,6%, az átlagos árszínvonal pedig 70,9%. (Az árszínvonal számításához 1 áru és szolgáltatás árát hasonlították össze.) Feltételezve, hogy az idézet megállapításai igazak, válaszoljon az alábbi kérdésekre! a) Ha Budapesten az átlagfizetés 150 ezer forint, akkor hány dollár ($) a havi átlagfizetés New York-ban, 190 forint/dollár ($) árfolyammal számolva? Válaszát egész dollárra kerekítve adja meg! (4 pont) b) Ha a New York-i havi átlagfizetésből egy bizonyos termékből 100 kgot vásárolhatunk New York-ban, akkor körülbelül hány kg-ot vásárolhatunk ugyanebből a termékből a budapesti havi átlagfizetésből Budapesten? (Feltehetjük, hogy a termék egységára 70,9%-a a termék New York-i egységárának.) (7 pont) a) első megoldás: A New York-i átlagfizetés ( 6559) forint, ami 0,6 190 0,6 ( pont) 45 $-nak felel meg. második megoldás röviden: Ft megfelel 190 átlagfizetésnek, amely így 789,5 0,6 190 45 $. dollárnak. Ez,6%-a a New York-is b) New Yorkban 45$-ért 100 kg vehető, tehát 1kg ára,45$ Budapesten 1 kg árut ennek 70,9%-áért lehet vásárolni, azaz $-ért. ( pont),45 0,709,7 Ez megfelel,45 0,709 190 4506 Ft-nak. A budapesti átlagfizetésből ennyi pénzért, kg terméket lehet vásárolni.,45 0,709 190 Összesen: 11 pont
) A főiskolások műveltségi vetélkedője a következő eredménnyel zárult. A versenyen induló négy csapatból a győztes csapat pontszáma 4 -szorosa a második helyen végzett csapat pontszámának. A negyedik, harmadik és második helyezett pontjainak száma egy mértani sorozat három egymást követő tagja, és a negyedik helyezettnek 5 pontja van. A négy csapat között kiosztott pontszámok összege 19. a) Határozza meg az egyes csapatok által elért pontszámot! (8 pont) Mind a négy csapatnak öt-öt tagja van. A vetélkedő után az induló csapatok tagjai között három egyforma értékű könyvutalványt sorsolnak ki(mindenki legfeljebb egy utalványt nyerhet). b) Mekkora a valószínűsége annak, hogy az utalványokat három olyan főiskolás nyeri, akik mindhárman más-más csapat tagjai? (5 pont) a) első megoldás: második helyezett x, az első x 4 x pontot ért el. A második, a negyedik 5 pontot ért el, így a mértani sorozat miatt a harmadik helyezett pontszáma. A szöveg szerint: Rendezve Két gyöke 5x 4 5 5 19 x x x x -re másodfokú: x 6 és 57 x 7 x 7 15 x 4 0, ebből a negatív gyök nem lehetséges így Tehát a. helyezett pontszáma 6, a harmadiké 0, az első helyezetté pedig 48. Ellenőrzés második megoldás: (Legyen q a mértani sorozat hányadosa.) A negyedik helyezett 5, a harmadik 5q, a második pontot ért el. x 6 5q 4 100q Az első helyezett pontszáma 5q 75q 100q Szöveg szerint 5q 5q 5 19 Rendezés után: 6 Két megoldása: q és 5 Ebből az utóbbi nem felel meg a szövegnek tehát a harmadik helyezett pontszáma 0, másodiké 6, az első helyezetté pedig 48. Ellenőrzés 175q 75q 4 0 57 q 5
b) Lehetséges (egyenlő valószínű) kimenetelek száma 0 1140 ( pont) Kedvező kimenetelek száma: A kérdezett valószínűség: 4 5 500 ( pont) 500 1140 0,49 Összesen: 1 pont ) Egy forgáskúp nyílásszöge 90, magassága 6 cm. a) Számítsa ki a kúp térfogatát (cm -ben) és a felszínét (cm -ben)! (4 pont) b) A kúp alaplapjával párhuzamos síkkal kettévágjuk a kúpot. Mekkora a keletkező csonkakúp térfogata (cm -ben), ha a metsző sík átmegy a kúp beírt gömbének középpontján? (9 pont) Válaszát egészre kerekítve adja meg! a) A kúp alapkörének sugara 6cm, alkotójának hossza 6 8,49 cm térfogata felszíne T m 6 6 V 7 6 (cm ) A r r a 6 6 6 6 1 7 cm b) Jó ábra, tartalmazza a gömb sugarát (p), a 45 -os szöget és a síkmetszet sugarát (r) ( pont) p 6 tg,5 amiből A KCE egyenlőszárú derékszögű háromszögből r 6 p azaz r,51 cm A csonkakúp magassága (egyenlő a gömb sugarával) m,49 cm m A csonkakúp térfogata V R Rr r 181 cm Összesen 1 pont p,49cm,49 6 6,51,51
4) Legyen p valós paraméter. Tekintsük a valós számok halmazán értelmezett f függvényt, amelynek hozzárendelési szabálya. f x x p x p x 6 0 a) Számítsa ki a f x dx határozott integrált, ha p (4 pont) b) Határozza meg p értékét úgy, hogy az zérushelye legyen az f függvénynek! ( pont) c) Határozza meg p értékét úgy, hogy az f függvény deriváltja az x 1 helyen pozitív legyen! (7 pont) a) Ha b) p, akkor f x x 9x 6 4 x 9x 6 dx 0,75x 4,5x 6x 0 0 x 1 ( pont) 6 p p 6 0 Rendezve: p p1 0 Ennek a megoldásából adódik, hogy vagy esetén lesz a megadott függvénynek zérushelye az 1. c) Deriváltfüggvény: ( pont) 9 p f x x p x p x 1-hez tartozó helyettesítési érték: p p p15 0 p15 0 egyenlőtlenség megoldható egyenlet megoldásai és -5 p p15 p 4 mivel bal oldalának főegyütthatója pozitív ezért az egyenlőtlenség teljesül, ha vagy p Összesen: 14 pont p p15 0 p 5
5) Két egyenes hasábot építünk, H1-et és H-t. Az építéshez használt négyzetes oszlopok (négyzet alapú egyenes hasábok) egybevágok, magasságuk kétszer akkora, mint az alapélük. A H1 hasáb építésekor a szomszédos négyzetes oszlopokat az oldallapjukkal illesztjük össze, a H hasáb építésekor pedig a négyzet alaplapjukkal- az ábra szerint. II. a) A H1 és H egyenes hasábok felszínének hányadosa A A H1 H 08,. Hány négyzetes oszlopot használtunk az egyes hasábok építéséhez, ha H1- et és H-t ugyanannyi négyzetes oszlopból építettük fel? (8 pont) n n sorozat szigorú monoton növekvő és 4n 1 korlátos! (8 pont) b) Igazolja, hogy a) Ha a jelöli a négyzetes oszlop alapélének hosszát, és k darabból készítjük a hasábokat, akkor H1 felszíne: ( pont) b) A a k a k a a k H1 H felszíne: Az A A H1 H 0,8 A a k a a k H 4 4 1 feltételből k 0,8 4k 1 Az egyenlet megoldása tehát 6-6 négyzetes oszlopot használtunk fel az építéshez n n 4 5 a 5 4 1 n 1 a n n n 1n n 5 5 1 1n n 10 1n n 10 ( pont) ( pont) k 6 A fenti hányados minden pozitív egész n esetén 1-nél kisebb a sorozat minden tagja pozitív ezért a sorozat szigorú monoton csökkenő Ebből következik, hogy a sorozat felülről korlátos Mivel a sorozat minden tagja pozitív, így alulról is korlátos tehát a sorozat korlátos. Összesen 16 pont
6) Egy középiskolai évfolyam kézilabda házibajnokságán az A, B, C, D, E és F osztály egy-egy csapattal vett részt. a) Hányféle sorrendben végezhettek az osztályok a bajnokságon, ha tudjuk, hogy holtverseny nem volt, és valamilyen sorrendben az A és a B osztály végzett az első két helyen, a D osztály pedig nem lett utolsó? (4 pont) b) Hányféle sorrendben végezhettek az osztályok a bajnokságon, ha tudjuk, hogy holtverseny nem volt, és az E osztály megelőzte az F osztályt? A bajnokságon mindenki mindenkivel egyszer játszott, a győzelemért, a döntetlenért 1, a vereségért 0 pont járt. Végül az osztályok sorrendje A, B, C, D, E, F lett, az elért pontszámaik pedig rendre 8, 7, 6, 5, 4 és 0. Tudjuk, hogy a mérkőzéseknek éppen a harmada végződött döntetlenre, és a második helyezett B osztály legyőzte a bajnok A osztályt. (4 pont) c) Mutassa meg, hogy a B és a D osztály közötti mérkőzés döntetlenre végződött! (8 pont) a) Az A,B sorrendje az első két helyen kétféleképp alakulhatott A D osztály a.,4. és 5. helyeken végezhetett, ez lehetőség A C,E,F osztályok a fennmaradó három helyen!-féle sorrendben végezhettek A különböző lehetőségek száma tehát! b) Az összes eset felében az E osztály megelőzi F-et, a másik felében pedig F előzi meg E-t. ( pont) A megfelelő esetek száma tehát 6! 60 6 ( pont) c) Az A csapat a B ellen veszített, a többi mértkőzését megnyerte (nincs döntetlenje) Az F-nek nincs egyetlen pontja, így ők nem érhettek el döntetlent A, B, C, D, E csapatok egymás ellen összesen 6 mérkőzést játszottak ebből 5 mérkőzés végződött döntetlenre A B csapat a C, D, E elleni mérkőzésből pontot szerzett, tehát vagy 1 győzelme 1 döntetlenje és 1 veresége, vagy döntetlenje van ( pont) Ha 1 győzelme és 1 veresége lenne B-nek, akkor a B, C, D, E csapatok egymás elleni 6 mérkőzéséből legfeljebb 4 végződhetett volna döntetlennel Ez nem lehetséges, tehát B minden mérkőzése, így a D elleni is döntetlennel zárult Összesen: 16 pont
7) Az a 0 y ax b ;6 egyenletű egyenes illeszkedik a pontra. Tudjuk, hogy. Jelölje az x tengely és az egyenes metszéspontját P, az y tengely és az egyenes metszéspontját pedig Q. Írja fel annak az egyenesnek az egyenletét, amelyre az OPQ háromszög területe a legkisebb, és számítsa ki a területét (O a koordináta-rendszer origóját jelöli)! (16 pont) ;6 Mivel a Ezzel az egyenes egyenlete: Ez az egyenest a pont rajta van az egyenesen, ezért 6 a b 6 P ;0 a az y tengelyt a Q0;6 a Mivel a 0, ezért 6 a y ax 6 a pontban, és b 6a pontban metszi és 6 a A levágott háromszög területe: Ebből: T a 18 1 a a is pozitív 1 6 6 a a T a Ennek a minimuma ott van, ahol a T a a 0 függvény deriváltja nulla 18 Ta a ez 0, ha a vagy a Mivel a 0, ezért Ez valóban minimumhely, mert Ha A keresett egyenes egyenlete: a, akkor A legkisebb terület 4 egység ( pont) a T 0 b 1 y x 1 Összesen: 16 pont
8) Egy rendezvényre készülődve 50 poharat tesznek ki az asztalra. A poharak között 5 olyan van, amelyik hibás, mert csorba a széle. a) Az egyik felhasználó az asztalról elvesz 10 poharat, és ezekbe üdítőitalt tölt. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy legfeljebb egy csorba szélű lesz a 10 pohár között! (5 pont) b) A poharakat előállító gyárban két gépsoron készülnek a poharak, amelyek külsőre mind egyformák. Az első gépsoron gyártott poharak 10%-a selejtes. Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy az első gépsoron gyártott poharak közül 15-öt véletlenszerűen, visszatevéssel kiválasztva közülük pontosan lesz selejtes! (4 pont) c) A második gépsoron készült poharak 4%-a selejtes. Az összes pohár 60%-át az első gépsoron, 40%-át a második gépsoron gyártják, az elkészült poharakat összekeverik. Az elkészült poharak közül véletlenszerűen kiválasztunk egyet és azt tapasztaljuk, hogy selejtes. Mekkora annak a valószínűsége, hogy ez a pohár az első gépsoron készült? (7 pont) a) Az egyenlően valószínű kimenetelek száma: 45 455 A kedvező kimenetelek száma: 10 9 1 45 45 5 10 9 1 A kérdezett valószínűség 50 10 50 10 ( pont) 0,74 b) 0,9 annak a valószínűsége, hogy az első gépsoron készült A kérdezett valószínűség 15 0,1 0,9 1 ( pont) 0,67 c) Jelölje A azt az eseményt, hogy az első gépsoron készült a pohár, B pedig azt az eseményt, hogy selejtes a pohár P AB P A B P B P AB 0,6 0,1 0,06 Ha összesen n pohár van, akkor selejtes van köztük Egy selejtes választásának valószínűsége PB Tehát 0,6 n 0,1 0,4 n 0,04 0,076 n darab (pont) 0,076n 0,076 n 0,06 P A B 0,789 0,076 Összesen: 16 pont
9) a) Egy derékszögű háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Számítsa ki a háromszög másik két oldalának hosszát! (5 pont) b) Egy háromszög oldalhosszai egy számtani sorozat egymást követő tagjai, a legrövidebb oldala 4 egység hosszú. Tudjuk, hogy a háromszög nem szabályos. Igazolja, hogy a háromszögnek nincs 60 os szöge! (11 pont) a) Ha d a számtani sorozat differenciája, akkor a háromszög oldalhosszai 4,, 4 d (és 0 d ) 4 d A háromszög derékszögű, így 4 4 d 4 d Négyzetre emelve, rendezve: A gyökök d1 4 és d 4 d 8d 16 0 A negatív gyök nem megoldás, a háromszög oldalai tehát 16 0 4,, egység hosszúak b) Indirekt módon bizonyítunk. Tegyük fel, hogy van 60 -os szöge a háromszögnek. Mivel az oldalak páronként különböző hosszúságúak, és a nagyobb oldallal szemben nagyobb szög van, ezért ha van 60 -os szöge, akkor az a 4 d hosszúságú oldallal szemben van ( pont) Erre az oldalra felírva a koszinusztételt: 4 d 4 4 d 4 4 d cos 60 ( pont) Ebből Ebből d 0, tehát d 0 Ez viszont ellentmond annak, hogy a háromszög nem szabályos ( pont) Az eredeti feltételezésünk tehát hamis, azaz a háromszögnek valóban nincs 60 -os szöge. Összesen 16 pont 16 8d d 16 8d 4d