Bevezetés. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai

Bevezetés Az ábrázoló geometria célja a háromdimenziós térben elhelyezkedő alakzatok helyzeti és metrikus viszonyainak egyértelműen és egyértelműen visszaállítható (rekonstruálható) módon történő való ábrázolása egy előre rögzített képsíkon. Ez a képsík szokott lenni a rajzunk síkra is. Bizonyos esetekben elvárás az is, hogy a kép szemléletes legyen. Ezeknek az elvárásoknak eleget tevő ábrázolási módszer nem létezik. Ha a már eddig (főként rajz órán) használt eljárásokat figyeljük, akkor sajnos az egyik feltétel teljesítése esetén egy másiknak bizony sérülnie kell. Gondoljuk arra, hogy egy kockát felülről elég könnyű lerajzolni, mert csak egy négyzetnek fog látszani. Ez a kép nem túl szemléletes, de könnyen meg tudjuk mondani, hogy mekkora a kocka egy élének a hossza. De a rajzunk lehet egy négyzet alapú hasáb képe is (és még lehet gondolkodni, hogy mi minden képe lehet!), vagyis nem egyértelmű. A mérhetőségért az egyértelműséget és a szemléletességet kellett most feladni. A perspektív kép szemléletes, sőt azt mondhatjuk, hogy ez áll a legközelebb a mindennapi élethez, de a mérés, vagyis a valódi metrikus viszonyok megállapítása, már nehezebben megy ezeken a képeken. Az axonometrikus képen valamennyivel könnyebben tudunk a főirányok mentén mérni. Általában a feladat célja dönti el, hogy milyen ábrázolási módszert választunk. Az előbb említett eljárások mindegyike a vetítésen alapul. Vagyis azt lehet mondani, hogy a kép úgy áll majd elő, hogy az alakzatot a képsíkra vetítjük. A vetítés kétféle lehet: párhuzamos, vagy centrális. Az előbbinél a vetítéshez egymással párhuzamos fénysugarakat használunk, míg az utóbbinál a fénysugarak egy vetítési centrumból indulnak. Párhuzamos vetítés és tulajdonságai Egy térbeli alakzatot egy rögzített képsíkra egy adott iránnyal párhuzamos fénysugarakkal vetítjük. Az alakzat egy pontjának a képét úgy kapjuk, hogy a pontra ráillesztünk sugarat, és a képsíkon az a pont lesz a kép, ahol a vetítősugár (vetítő egyenes) elmetszi a képsíkot. De ez a kép nem lesz egyértelmű minden esetben, ha egy vetítősugár az alakzatnak több pontját is vetíti, akkor több pontnak a képsíkon ugyanaz a pont lesz a képe. Ha azonban választanánk egy másik vetítési irányt is és azzal is elkészítenénk a képet, akkor a két képből már egyértelműen visszaállítható minden pont. 1

(Meg kell jegyezni, hogy vannak olyan vetítősugarak, amelyek nem metszik át az adott alakzatot, de mégis vetítenek az alakzatról pontot. Ezek a sugarak érintik a felületet, vagyis csak egy közös pontjuk van vele, síklapú test esetén egy térbeli törött vonal, görbe vonalú felület esetén valamilyen görbe rajzolódik ki a felületen az ilyen pontokból. Ezt hívjuk a vetítési irányhoz tartozó kontúrnak. A kontúr képe a képsíkon határolni fogja az alakzat képét, ezért képkontúrnak fogjuk nevezni.) Monge-projekció A háromdimenziós térben tekintsünk két egymásra merőleges síkot, ezek lesznek a képsíkjaink. A szemlélet szerint az egyiket (ezt fogjuk első képsíknak nevezni, jelölésben K 1 ) vízszintesnek, a másikat (második képsík, K 2 ) függőlegesnek vesszük. Mindkét képsíkra az adott térbeli alakzatot merőlegesen fogjuk vetíteni. Így mindkét képsíkon ki fog rajzolódni egy kép, ezeket az alakzat első, illetve második képének fogjuk nevezni. Ezekből a képekből a térbeli alakzat bármely pontja egyértelműen visszaállítható lesz. A K 1 és a K 2 metszésvonalát képsíktengelynek nevezzük és x 1,2 -vel jelöljük. Az x 1,2 mindkét képsíkot két félsíkra bontja, szemlélet szerint a K 1 -nek a hozzánk közelebb és a K 2 -nek a felső félsíkja kapja a + jelet, míg a nem említettek a jelet. A képsíkok a teret négy térnegyedre bontják, melyeket mindig két félsík határol. Térnegyed Határoló félsíkok Szemlélet szerint I. +K 1 és +K 2 Felső és hozzánk közelebbi II. -K 1 és +K 2 Felső és tőlünk távolabbi III. -K 1 és -K 2 Alsó és tőlünk távolabbi IV. +K 1 és -K 2 Alsó és hozzánk közelebbi A térben ez alapján egy jól működő rendszert tudtunk kiépíteni, már csak az a gond, hogy ez így elég nehezen szállítható. Hogy ezzel sem legyen gondunk, ha az alakzatot mindkét képsíkra rávetítettük, akkor a két képsíkot egyesíteni fogjuk, méghozzá úgy, hogy az ellentétes előjelű félsíkok kerüljenek fedésbe, vagyis a +K 1 és -K 2 valamint a -K 1 és +K 2. Ezek után a rajzunk szállítható lett, és bármikor vissza tudjuk állítani az eredeti viszonyukat. 2

Különlegesebb síkok a képsíkokhoz képest a szögfelező síkok. Ezek közül S 1 a szimmetriasík, amely az I. és III. térnegyedeken halad keresztül. Az S 2 az egybeesési sík, (vagy koincidencia sík), amely a II. és IV. térnegyedeken halad keresztül. A rájuk illeszkedő alakzatokat a képeik alapján azonnal fel fogjuk ismerni. A szimmetriasíkra illeszkedő alakzatok első és második képei az x 1,2 -re szimmetrikusan helyezkednek el, míg a koincidencia síkra illeszkedő alakzatoké mindig egybeesik. Az S 1 és S 2 síkok elnevezése nagyon szemléletes. Egy adott térbeli P pont P és P képeit úgy kapjuk, hogy a pontot merőlegesen vetítjük mindkét képsíkra. Az első képsíkra merőleges v 1 vetítősugár előállítja a P -t, míg a második képsíkra merőleges v 2 vetítősugár a P -t. A vetítősugarakon a PP távolság a P pont K 1 -től mért, a PP távolság a K 2 -től mért távolságával egyenlő. A vetítések után a képsíkokat egyesítjük oly módon, hogy a K 1 pozitív fele és a K 2 negatív fele fedje egymást. Pont ábrázolása Az egyesített képsíkrendszerben a P P egyenes merőleges az x 1;2 tengelyre. Ezt az egyenest az adott pont rendezőjének nevezzük. A P P szakaszt az x 1;2 két részre bontja. A P -től az x 1;2 -ig tartó szakasza a pont első rendezője (és a K 2 -től mért távolsággal egyenlő) és a P -től az x 1;2 -ig tartó szakasza a pont második rendezője (és a K 1 -től mért távolsággal egyenlő). 3

A pontot a Monge-rendszerben mindig két képpel fogjuk ábrázolni. Ez alapján fogunk következtetni a pont térbeli elhelyezkedésére. Például, ha két pont azonos vetítő egyenesen van, akkor a vetítőegyenes által előállított képük egybeesik. Ezeket a pontokat fedőpontoknak nevezzük. A pont képei alapján tudjuk azt is eldönteni, hogy egy pont melyik térnegyedbe esik vagy illeszkedik-e valamelyik képsíkra. A Q pont a II. térnegyedben található. A vetítéseket elvégezve a képsíkokon megkapjuk a Q és Q pontokat. Mivel most a K 2 képsík mögött vagyunk, ezért a Q a K 1 negatív felén keletkezik, a képsíkok egyesítése után az x 1,2 fölé kerül. Egyenes ábrázolása Egy egyenest a térben két pontja egyértelműen meghatározza. Ennek felhasználásával fogjuk az egyenest ábrázolni. Ha az egyenes két pontját vesszük, akkor a pontok első képeinek összekötő egyenese lesz az egyenes első képe és a pontok második képeinek egyenese lesz az egyenes második képe. (Mindezeket egy általános helyzetű egyenesre mondhatjuk.) 4

Másként is eljuthatunk ezekhez a képekhez. Ha vesszünk a képsíkokhoz képest egy általános helyzetű egyenest, akkor azt vetítjük a képsíkokra. Az egyenes pontjainak vetítése során a vetítősugarak vetítősíkot fognak felfeszíteni és ennek a képsíkkal alkotott metszésvonala lesz az egyenes képe. Egészen pontosan az egyenes pontjaira illeszkedő első vetítőegyenesek az egyenes első vetítősíkját határozzák meg. Ezt V 1 -gyel szokás jelölni. Az egyenes pontjaira illeszkedő második vetítőegyenesek az egyenes második vetítősíkját határozzák meg. Ezt V 2 -vel szokás jelölni. Általános helyzetű egyenes esetén azt mondhatjuk, hogy az egyenes első képe az egyenesre illeszkedő pontok első képeinek a halmaza és hasonló állítás mondható a második képre is. 5

Fontos, hogy most az egyenes képei fognak beszélni arról, hogy milyen helyzetű maga az egyenes a képsíkokhoz képest. Teljesen tetszőleges helyzetben nem adhatóak meg a képek. Ha két egyenesnek közös valamelyik vetítősíkja, akkor az egyeneseket fedőegyeneseknek fogjuk hívni. A képeket tekintve ez azt fogja jelenteni, hogy a két egyenesnek egybeeső a közös vetítősík által előállított képe. Az ábrán az a és b egyeneseknek közös a V 1 első vetítősíkja, ezért a két egyenes első képe egybeesik. 6

A képsíkokhoz képest speciálisan elhelyezkedő egyenesek: Vetítőegyenes: merőleges valamelyik képsíkra, ez a tulajdonság magában hordozza azt, hogy a másik képsíkkal párhuzamos. Azon a képsíkon, amelyre merőleges, a vetülete egyetlen pont, a másik képe pedig az x 1;2 -re merőleges egyenes. A vetítőegyenes csupa egymáshoz képest fedőpontból áll. A vetítőegyenesek azért is különlegesek, mert csak egy vetítősíkjuk van. A v 1 első vetítőegyenesnek csak a második vetítősíkja adható meg. Ha a v 1 pontjaira első vetítőegyeneseket illesztünk, akkor ezek egybeesnek, és nem tudnak síkot meghatározni. A v 1 kép emiatt egy pont lesz. Hasonlóan látható, hogy v 2 is egy pont lesz a megfelelő képsíkon. 7

Főegyenes: Olyan egyenes, amely párhuzamos valamelyik képsíkkal. Az egyik képe párhuzamos az x 1;2 vel, a másik tetszőleges helyzetű lehet, csak az x 1;2 re merőleges nem. Van olyan egyenes is, amely egyszerre első és második főegyenes, ennek mindkét képe párhuzamos az x 1;2 -vel. Az f 1 mindig K 1 -gyel párhuzamos egyenest jelent. Ennek az egyenesnek minden pontja egyenlő távolságra van a K 1 -től, emiatt az f 1 az x 1,2 -vel párhuzamos lesz. 8

Az f 2 mindig K 2 -vel párhuzamos egyenest jelent. Ennek az egyenesnek minden pontja egyenlő távolságra van a K 2 -től, emiatt az f 2 az x 1,2 -vel párhuzamos lesz. Profilegyenes: Olyan egyenes, melynek az első és második vetítősíkja egybeesik, vagyis a vetítősík merőleges mindkét képsíkra. Ennek az a következménye, hogy az egyenes első és második képe egybe fog esni a képsíkegyesítés után és így nem határozzák meg egyértelműen az egyenest. Ezért a profilegyenest mindig két pontjával, pontosabban azok képeivel fogjuk megadni. 9

A képsíkokhoz képest általános helyzetű egyenesnek mindig van metszéspontja mindkét képsíkkal. Ezeket a metszéspontokat az egyenes nyompontjainak nevezzük. Az ábrázolásukhoz azt kell megjegyezni, hogy a K 1 -re illeszkedő pontok második képei az x 1,2 -re illeszkednek. De most az egyenesre is illeszkedik a keresett pont, ezért a nyompont második képe éppen az x 1,2 és az egyenes második képének metszéspontja. A hiányzó első képet rendező segítségével lehet megszerkeszteni. Amikor a második nyompontot keressük, akkor a K 2 -re illeszkedő pontként az első képe az x 1,2 -re illeszkedik. És természetesen az egyenes első képére is. Ezért az N 2 első képe az x 1,2 és az egyenes első képének a metszéspontja. A második képet rendezővel határozzuk meg. Mivel a térben N 1 =N 1 és N 2 =N 2, ezért a rajzainkon a vesszőket el szoktuk hagyni, de szükség esetén azért tudjuk, hogy milyen vetületről van szó. 10

Sík ábrázolása A sík ábrázolásakor figyelembe kell vennünk, hogy a térben milyen térelemekkel lehet megadni egy síkot. Egy sík egyértelműen megadható 1. Három általános helyzetű pontjával (ez azt jelenti, hogy közülük bármely pont nem illeszkedik a másik kettő által meghatározott egyenesre) 2. Metsző egyenespárral 3. Párhuzamos egyenespárral 4. Egy ponttal és egy rá nem illeszkedő egyenessel 1. Három általános helyzetű pont által adott sík: Ebben az esetben biztosítani kell, hogy az AB egyenesre ne illeszkedjen a C pont. Ha az illeszkedést mindkét képen elrontjuk, akkor a képsíkokhoz képest egy általános helyzetű síkot ábrázoltunk. 2. Ha csak metsző egyenesekkel szeretnénk megadni a síkot, akkor arra kell figyelni, hogy az egyenesek első és második képei egy rendezőn messék el egymást. Ha a megfelelő képek metszik egymást, de nem egy rendezőegyenesen, akkor kitérő egyenespárt kapunk, melyek nem határoznak meg síkot. (Olyan egyeneseket nevezünk kitérőeknek, melyek nem párhuzamosak és nem metszőek.) 11

3. A párhuzamos egyeneseknél arra kell figyelni, hogy a párhuzamos vetítés megtartja a párhuzamosságot, és ezt mindkét képen látnunk kell! 4. Ha pedig egy egyenest és egy rá nem illeszkedő pontot ábrázolunk, akkor az a biztos, ha a pont képeit úgy vesszük fel, hogy ne illeszkedjen az egyenes egyik képére sem. Az eddig ábrázolt síkok a képsíkokhoz képest általános helyzetűek voltak. Ez azt jelenti, hogy nem voltak egyik képsíkkal sem párhuzamosak vagy arra merőlegesek. A fenti megadási lehetőségeket nem szabad külön kategóriaként kezelni, mert a sík bármilyen megadása esetén a síknak újabb pontját, egyenesét lehet kijelölni és ezáltal az esetek között szabad lesz az átjárás. Például ezen az ábrán az A, B, C pontokkal megadott síkon azonnal fel lehet venni az a, b metsző egyenespárt. 12

Speciális helyzetű síkok: Fősíkok: Olyan síkok, melyek vagy az első, vagy a második képsíkkal párhuzamos helyzetűek. Vetítő síkok: A képsíkokra merőleges helyzetű síkok. Profilsíkok: Mindkét képsíkra merőleges síkok. Néhány fontos dolgot itt meg kell jegyezni. A fősíkok és a profilsíkok egyben vetítősíkok is, de az újabb tulajdonságaik miatt szoktuk kiemelni. A megadásoknál az adatok elhelyezkedésére kell figyelni. Tekintsünk egy első vetítősíkot. Ezt a síkot az jellemzi, hogy bármely rá illeszkedő pont első képe egy egyenesre esik, amely nem más, mint a síknak az első képsíkkal alkotott metszésvonala. A sík egyenesei kivéve a vetítőegyeneseket első fedőegyenesek, vagyis az első képeik egybeesnek. Példaként első vetítősíkot ábrázoltam különféle adatokkal: Metsző egyenespárral Egy ponttal és rá nem illeszkedő egyenessel 13

Párhuzamos egyenespárral Egy főegyenessel és egy vetítőegyenessel Egy vetítőegyenessel és egy rá nem illeszkedő ponttal Három ponttal 14

Illeszkedési feladatok A térelemek megadása mellett az is fontos, hogy egy adott síkon vagy egyenesen újabb egyenest vagy pontot tudjunk felvenni. Egy pontnak egy egyenesre való illesztésére már eddig láttunk példát. A párhuzamos vetítésre jellemző, hogy illeszkedéstartó. Egy pont pontosan akkor fog illeszkedni egy megadott egyenesre, ha a pont képei illeszkednek az egyenes megfelelő képeire. Egy egyenesnek egy síkra való illesztése már nem ennyire egyszerű. A legkellemesebb, ha a síkról ismerünk két egyenest, ha nem, akkor is el lehet érni ezt a helyzetet. Például egy B ponttal és egy a egyenessel megadott síkon újabb egyenest úgy tudunk kijelölni, hogy az a egyenesen tetszőlegesen felvett pontot a B ponttal összekötjük. Ekkor kapjuk az e egyenest. Adott az a és b egyenesekkel egy sík. Ezen a síkon párhuzamos egyenespárt fogunk felvenni. Ehhez az egyik képen, mondjuk az elsőn a c és d egymással párhuzamos képeket fel tudjuk venni, ezután az az a -vel és b -vel adódó metszéspontoknak a második képen megkeressük a megfelelőjét. Ezek összekötésével a második képek is megrajzolhatóak. 15

Az a, b egyenesek által megadott síkban egy pontot szeretnénk felvenni, ekkor a pont egyik, mondjuk az első képét tetszőlegesen fel lehet venni. Erre fogunk illeszteni egy egyenest, pontosabban először az első képét. Ez az a és b egyeneseket az 1 és 2 pontokban metszi, melyeket rendezőkkel a második képen is jelölni tudunk, és ezzel c adott lesz és ezen a pont második képét is felvehetjük. Egy sík első képsíkkal párhuzamos egyeneseit első fővonalaknak nevezzük. Ezek nemcsak az első képsíkkal, hanem egymással is párhuzamosak. Az első fővonalra jellemző, hogy a második képe párhuzamos az x 1;2 -vel, az első képet illesztéssel szerkeszthetjük meg. Az ábrán az a, b egyenesekkel adott sík egy első fővonalát adjuk meg, amely az a egyenest az 1 és a b egyenest a 2 pontban metszi. Hasonló meggondolással egy sík második képsíkkal párhuzamos egyeneseit második fővonalaknak nevezzük. Ezek az első képei párhuzamosak az x 1;2 vel, és a második képeket illesztéssel lehet meghatározni. Az ábrán az a, b egyenesekkel adott sík egy második fővonalát adjuk meg, amely az a egyenest a 4 és a b egyenest a 3 pontban metszi. 16

Egy síknak az első képsíkkal alkotott metszésvonala is első fővonal, de külön nevet is kapott: első nyomvonal. Fontos az ábrázolásnál, hogy az első nyomvonal második képe éppen az x 1;2 vel esik egybe. Egy síknak a második képsíkkal alkotott metszésvonala a második nyomvonal, és ez olyan második fővonal, melynek az első képe illeszkedik a x 1;2 -re. A nyomvonal nem más, mint a síkra illeszkedő egyenesek nyompontjaiból álló egyenes. Ez alapján fogjuk megszerkeszteni egy metsző egyenespárral adott sík nyomvonalait. Ebben az esetben mindkét megadott egyenesnek meg kell határozni a nyompontjait. az első nyompontokat összekötő egyenes a sík első nyomvonala, a második nyompontokat összekötő egyenes a sík második nyomvonala. Az n 1 és n 2 egyenesek az x 1,2 tengelyt ugyanabban a pontban metszi. (Három egymáshoz képest általános helyzetű síknak egy közös pontja van, melyen a síkok páronként vett metszésvonalai áthaladnak. Most a három sík: az általunk megadott sík, a K 1 és K 2. A páronként vett metszésvonalak: x 1,2, n 1 és n 2.) 17

Legyen a feladatunk az, hogy egy nyomvonalakkal adott síkon első és második fővonalat ábrázolunk. Az első fővonal és az első nyomvonal egymással párhuzamos, ezenkívül az első fővonalnak csak második nyompontja van (ez illeszkedik a második nyomvonalra). Hasonlóan a második fővonal és a második nyomvonal egymással párhuzamos, ezenkívül a fővonalnak csak első nyompontja van (ez illeszkedik az első nyomvonalra). A megadott síkon újabb metsző egyenespárt vettünk fel ezzel, melyek egymást az M pontban metszik. A nyomvonalak helyzetéből a sík állására lehet következtetni. A rajzainkon általában a nyomvonalaknak csak a pozitív fél-képsíkokra eső részét rajzoljuk meg. Ez azt fogja jelenteni, hogy az n 1 -nek az x 1;2 alatti, az n 2 -nek az x 1;2 feletti részét. Dőlt síknak olyan síkot fogunk nevezni, amelynél ha az x 1;2 -re merőlegest állítunk a nyomvonalakkal alkotott metszéspontjában, akkor a nyomvonalak a merőleges egyenesnek ugyanazon oldalán vannak. Ha a nyomvonalak az előbb említett merőleges egyenes különböző oldalán vannak, akkor feszített síkról beszélünk. 18

A nyomvonalak nem mindig érhetőek el, ezért más jellemző tulajdonságot is lehet találni az előbbi síkállások megkülönböztetésére. Ha egy síkbeli alakzat vetületeinek körüljárási iránya megegyezik, akkor az alakzat dőlt síkon van. Ha a körüljárási irány a két képen különbözik, akkor feszített síkon van az alakzat. A dőlt sík mindkét képen ugyanazt az oldalát mutatja, míg a feszített sík különböző oldalát. 19

Metszési feladatok Egyenes és sík metszéspontjának meghatározása (döféspont szerkesztés) Egyszerűbb esetek: Abban az esetben, amikor vagy az egyenes, vagy a sík vetítőhelyzetű, a közös pontjuk egyszerűen határozható meg. A keresett pont egyik képe azonnal leolvasható, a másikat rendező egyenessel lehet kijelölni. Lássunk néhány példát! 1. Adott az a, b párhuzamos egyenespár által egy általános helyzetű sík és egy e első vetítőegyenes. Határozzuk meg a döféspontot! Az első vetítőegyenesre illeszkedő bármely pont első képe az e -vel esik egybe, ezért M ismert. A feladat most már az, hogy az a, b síkon azt a pontot ábrázoljuk, melynek az első képe éppen M. Ehhez egy s segédegyenest kell a síkra illeszteni, amely az M pontot is tartalmazza. 2. Adott az a, b metsző egyenespárral egy második vetítősík és egy g általános helyzetű egyenes. Határozzuk meg a döféspontot! A második vetítősíkot a második képen éppen élben látjuk, vagyis azt is látni lehet, ha egy egyenes elmetszi azt. (Másként fogalmazva a sík bármely pontjának a második képe az a, b egyenesek közös második képére esik. Köztük a keresett metszéspont második képe is, melynek természetesen a g -re is illeszkednie kell.) M ismert és az M -t rendezővel határozhatjuk meg. 20

További egyszerűbb esetek: Második vetítőegyenes és egy általános helyzetű sík döféspontja Első vetítősík és egy általános helyzetű egyenes döféspontja Második vetítőegyenes és egy első vetítősík döféspontja Első vetítőegyenes és egy második vetítősík döféspontja Általában nem ilyen egyszerű a helyzet, ezért tekintsük az általános megoldást. Térgeometriai ismereteket felhasználva keressük a megoldást. Adott az S sík és az e egyenes, metszéspontjukat jelölje M. Az e egyenesre egy tetszőleges segédsíkot illesztünk, ennek az S síkkal alkotott metszésvonala legyen m. Bárhogy választjuk a segédsíkot, az m egyenes mindig át fog haladni az egyenes és az S sík közös M pontján. Az ábrázolás során a segédsíkot mindig vetítősíknak szokás választani. Ha első vetítősíkot alkalmazunk, akkor az e és m egyenesek első vetítőegyenesek. Természetesen második vetítősíkot is választhatunk, ekkor az e és m egyenesek második vetítőegyenesek. Ezek alapján két módszert alkalmazhatunk, az előbbi neve első fedőegyenes-módszer, míg az utóbbié második fedőegyenesmódszer. 21

Adott az A, B, C pontok által egy általános helyzetű sík és egy e egyenes. Határozzuk meg a döféspontot első fedőegyenes alkalmazásával! Adott az A, B, C pontok által egy általános helyzetű sík és egy e egyenes. Határozzuk meg a döféspontot második fedőegyenes alkalmazásával! Az e egyenes második vetítősíkjában van egy olyan s egyenes, amely az ABC síkban is benne van. Az e és az s egyenes második fedőegyenesek, ezért e =s. De az első képeik már szétválnak, és megmutatják e két egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét. Az ábránk alapján az s meghatározásához felhasználtuk azt, hogy a második kép alapján az s az AB és AC egyenesekkel metsző egyenespárt alkot. Az első képen e és s metszőek (emiatt e és s is metszőek), metszéspontjuk M (olyan pont első képe, amely az e-re és az s-re való illeszkedés miatt az ABC síkra is illeszkedik). M -t rendezővel határozzuk meg. 22 Az e egyenes első vetítősíkjában van egy olyan u egyenes, amely az ABC síkban is benne van. Az e és az u egyenes első fedőegyenesek, ezért e =u. De a második képeik már szétválnak, és megmutatják e két egyenes egymáshoz viszonyított helyzetét. Az ábránk alapján az u meghatározásához felhasználtuk azt, hogy az első kép alapján az u az AC és BC egyenesekkel metsző egyenespárt alkot. A második képen e és u metszőek (emiatt e és u is metszőek), metszéspontjuk M (olyan pont második képe, amely az e-re és az u-ra való illeszkedés miatt az ABC síkra is illeszkedik). M -t rendezővel határozzuk meg. Megjegyzés: Előfordulhat olyan eset is, amikor e és u egymással párhuzamos. Ekkor nem szerkeszthető az M közös pont, vagyis az e egyenes és a megadott sík egymással párhuzamos.

Megjegyzés: Előfordulhat olyan eset is, amikor e és s egymással párhuzamos. Ekkor nem szerkeszthető az M közös pont, vagyis az e egyenes és a megadott sík egymással párhuzamos. Természetesen teljesen mindegy, hogy melyik fenti módszerrel oldjuk meg a feladatot, nem kaphatunk különböző megoldásokat. Láthatóság Már egy ilyen egyszerű feladat esetében is szemléletesebbé tehető az ábra, ha a láthatóságot feltüntetjük. Ez azt fogja jelenteni, hogy minden olyan vonalat, amelyet nem takar el más test vagy síkidom, folyamatos vonallal rajzoljuk át, amely pedig takart helyzetben van szaggatott vonallal. Azt látjuk az ábránkon, e és az A C egyeneseknek van közös pontja. De ez nem igazi értelemben vett metszéspont, mert akkor annak a segítségével az e egyenest ráilleszthetnénk az ABC síkra. Minden ilyen esetben arra kell gondolnunk, hogy az egyik egyenes elhalad a másik alatt. Ahhoz, hogy ezt eldöntsük, egy első vetítőegyenest veszünk ebben a látszólagos metszéspontban, és megkeressük az egyenesekkel a metszéspontját. Az az egyenes látszik majd az első képen, amellyel alkotott metszéspont magasabban, azaz a K 1 -től távolabb van. A segédábra alapján látható, hogy a v 1 vetítőegyenes az e egyenes 1 pontját és az f egyenes 2 pontját egyszerre vetíti a K 1 -re, az 1 távolabb van a K 1 -től, ezért az azt tartalmazó e egyenes látható az első képen. Az a pont van távolabb a K 1 -től, amelynek a második rendezője nagyobb. Ez alapján nézzük meg az előbbi feladat láthatóság szerinti kihúzását! (Az előbbi szerkesztő vonalak nem tüntetem fel.) Két vetítőegyenest lehet használni az első kép kihúzásához: az egyik az e és A C, a másik az e és B C metszéspontjában. Az első esetben a rendezőszakaszokat figyelve láthatjuk, hogy az e egyenes halad az AC fölött (itt az A C 23

szakaszt ezen a környéken megszakítjuk), a második esetben a BC halad az e fölött. Az M pont választja el egymástól az e egyenes ABC sík fölötti és alatti pontjait, ezért nem látható az egyenes azon szakasza, amely a síklap alatt van. A második képen hasonlóan lehet elvégezni a kihúzást. Két második vetítőegyenest használunk: az egyik az e és A B, a másik az e és A C metszéspontjában. Az első esetben a rendezőszakaszokat figyelve láthatjuk, hogy az e egyenes halad az AB előtt (itt az A C szakaszt ezen a környéken megszakítjuk), a második esetben az AC halad az e előtt. Az M pont választja el egymástól az e egyenes ABC sík előtti és mögötti pontjait, ezért nem látható az egyenes azon szakasza, amely a síklap mögött van. Adott egy sík nyomvonalakkal és egy a egyenes. határozzuk meg a sík és egyenes döféspontját! Először első fedőegyenest alkalmazunk, vagyis megkeressük a sík azon m egyenesét, amely az a egyenes első vetítősíkjában van. Ekkor a =m, az m -t a nyompontok illesztésével határozzuk meg. A második képen látható, hogy az a és m metsző egyenespárt alkot és a D közös pont második képe éppen az a és m metszéspontja. Az első kép rendezővel határozható meg. Oldjuk meg a feladatot második fedő egyenes alkalmazásával! Megkeressük a sík azon m egyenesét, amely az a egyenes második vetítősíkjában van. Ekkor a =m, az m -t a nyompontok illesztésével határozzuk meg. Az első képen látható, hogy az a és m metsző egyenespárt alkot és a D közös pont első képe éppen az a és m metszéspontja. A második kép rendezővel határozható meg. 24

Két sík metszésvonala Ha találunk két olyan pontot, melyek mindkét síkra illeszkednek, akkor az azokat összekötő egyenes a két sík metszésvonala. Ehhez az egyik síkon kiválasztunk egy egyenest, és azzal el kell metszetnünk a másik síkot. Ezt az eljárást kétszer kell alkalmazni. De vannak olyan egyszerűbb esetek, amikor két közös pont egyszerűen állítható elő. Egyszerűbb esetek: az egyik sík vetítősík, vagy mindkét sík vetítősík. a síkok nyomvonalakkal vannak megadva. Példák: 1. Adott két második vetítősík az a, b és az e, f metsző egyenespárokkal. Szerkesztendő a két sík metszésvonala. Mindkét sík merőleges a K 2 -re, ezért a metszésvonaluk is merőleges lesz rá. A második képen mindkét sík élben látszik, ezért a metszésvonaluk egy pontként. Az m képet x 1,2 -re merőlegesen ábrázoljuk. Fontos megjegyezni, hogy az m egyenes az a, b, e, f egyenesek mindegyikével metsző egyenespárt alkot. 2. Adott egy második vetítősík az e, f metsző egyenespárral és egy általános helyzetű sík az a, b párhuzamos egyenespárral. Szerkesztendő a két sík metszésvonala. A második vetítősík a második képen az e =f egyenesben látszik, pontosabban a síkjukra illeszkedő bármely egyenes második képe ez az egyenes lesz. Ekkor az m ismert. A feladat most már az, hogy az általános helyzetű síkon azt az egyenest ábrázoljuk, melynek a második képe adott. Az m egyenes az a, b, e, f egyenesek mindegyikével metsző egyenespárt alkot. 25

3. Adott két sík nyomvonalakkal. Szerkesztendő a két sík metszésvonala. Mindkét első nyomvonal a K 1 -re illeszkedik, ezért a metszéspontjuk is. Ez a pont nem más, mint a két sík metszésvonalának első nyompontja. Mindkét második nyomvonal a K 2 -re illeszkedik, ezért a metszéspontjuk is. Ez a pont nem más, mint a két sík metszésvonalának második nyompontja. A metszésvonal az N 1 és N 2 összekötő egyenese. 4. Adott az ABC és 123 háromszöglap. Határozzuk meg a két síklap metszésvonalát és az ábrát húzzuk ki láthatóság szerint! A felvétel szerint az ABC sík egy dőlt sík, míg az 123 sík feszített sík. Mivel mindkét sík általános helyzetű, a metszésvonalnak két pontját kell meghatároznunk. Egy közös pontot úgy tudunk megszerkeszteni, ha az egyik síkról kiválasztunk egy egyenest, és azzal eldöfjük a másik síkot. Az így kapott pont természetesen mindkét sík közös pontja. Elsőként válasszuk ki az 13 egyenest, és meghatározzuk az ABC síkkal alkotott metszéspontját. Az ABC sík e egyenese és az 13 egyenes második fedőegyenesek, ezért 1 3 =e, de az e és 1 3 már nem esik egybe. Az e-t az X és Y pontok segítségével ábrázoljuk. Az e és 1 3 metszéspontja a keresett döféspont első képe: M, az M rendezővel határozható meg. 26

Most válasszuk ki a 23 egyenest, és meghatározzuk az ABC síkkal alkotott metszéspontját. Az ABC sík f egyenese és a 23 egyenes második fedőegyenesek, ezért 2 3 =f, de az f és 2 3 már nem esik egybe. Az f-t az U és V pontok segítségével ábrázoljuk. Az f és 2 3 metszéspontja a keresett döféspont első képe: N, az N rendezővel határozható meg. Ezzel a síkok két közös pontját előállítottuk. A metszésvonal az MN egyenes lesz. 27

A láthatóság eldöntésekor figyelembe kell vennünk, hogy síklapokkal dolgoztunk. Ekkor a két síklap nem egy teljes egyenesben, hanem csak egy szakaszban metszi egymást és ez a szakasz mindkét képen látszani fog. Most éppen ennek a szakasznak a végpontjait szerkesztettük meg, tehát az NM szakasz látszik. Első képen: A lapokat határoló szakaszok közül azok, amelyek a körvonalra esnek, természetesen látszanak. A metszésvonal egyik oldalán mindig az egyik síkot, a másik oldalán a másik síkot kell látnunk. Ennek az eldöntéséhez használhatunk első fedőegyenest. Az ábrában azt döntöttünk el, hogy az AB szakasz az 13 fölött halad el. Természetesen mindkét sík takar egy-egy részletet a másikból. Második képen: A lapokat határoló szakaszok közül azok, amelyek a körvonalra esnek, természetesen látszanak. A metszésvonal egyik oldalán mindig az egyik síkot, a másik oldalán a másik síkot kell látnunk. Ennek az eldöntéséhez használhatunk második fedőegyenest. Az ábrában azt döntöttünk el, hogy a 23 szakasz az AC wlőtt halad el. Természetesen mindkét sík takar egy-egy részletet a másikból. 28

5. Legyenek adottak az előző feladatban megadott síklapok, de most az 123 lapból kivágunk egy 456 háromszöget. Határozzuk meg a két síklap metszésvonalát, és a láthatóságnál vegyük figyelembe, hogy a lyukat eltávolítottuk! A kivágandó lyuk egyik képe, most a második, megadható. A második kép alapján látható, hogy a 46 szakasz meghosszabbítása elmetszi az 12 és 23 oldalakat. Ezeket a metszéspontokat felhasználva az egyenes az első képen megadható, melyen rendező egyenesek jelölik ki a 4 és 6 pontokat. Miután a 6 pontot már megadtuk, fel lehet használni a további szerkesztésekben. Az 56 szakasz 5- n túli meghosszabbítása az 12 oldalt metszi el. Ezt a metszéspontot felhasználva az 56 egyenes első képen megadható, melyen rendező egyenes jelöli ki az 5 -t. 29

Mivel a két sík megegyezett a 4. feladatban szereplő síkokkal ezért a metszésvonalat az ott leírtak szerint határozzuk meg. A segédvonalakat most nem tüntettem fel, de innentől kezdve figyelnünk kell az ABC lap az 123 lyukas lap határvonalait és az m egyenest. A két síklap metszésvonala az MN szakasz 456 háromszögön kívüli része. Láthatóság az első képen: A lapok metszésvonalát alkotó két szakasz mindkét képen látható lesz. Ami újdonság, hogy a 456 háromszög körvonalát is át kell húzni. A körvonal azon része, amely az 123 lap nem látható részén van, szaggatott vonallal rajzolandó. A látható részen lévő részek folyamatos vonallal húzhatók át és itt a lyukon átlátunk. A 6 közelében a B C középső része látható lett. 30

Láthatóság a második képen: Hasonló szabályokat alkalmazunk, mint az első képnél. A 456 háromszög körvonalának azon része, amely az 123 lap nem látható részén van, szaggatott vonallal rajzolandó. A látható részen lévő részek folyamatos vonallal húzhatók át és itt a lyukon átlátunk. A 6 közelében az A C középső része látható lett. 31

Síklapú testek Az olyan testeket, melyeket csak sokszöglapok határolnak, síklapú testeknek nevezzük. Mi a következő típusokkal foglalkozunk: Gúla: Egy síkbeli sokszög csúcsait egy olyan ponttal kötjük össze, amely nem illeszkedik a sokszög síkjára. Az így keletkezett gúlának az említett sokszög az alapsokszöge, a többi lapjai az oldallapok. Hasáb: Egy síkbeli sokszöget a térben eltolva hasábot kapunk. A sokszög kiinduló helyzete az alaplap, a végső helyzete a fedőlap, melyeket az oldallapok kötnek össze. Az oldalélek közös kezdőpontjának az alapsíktól mért távolsága a gúla magassága. Ha a magasság talppontja éppen az alaplap középpontja, akkor a gúla egyenes, különben ferde gúláról beszélünk. Az alap- és fedőlap távolságát a hasáb magasságának nevezzük. Ha az alap- és fedőlapokat összekötő oldalélek merőlegesek az alapsíkra, akkor a hasáb egyenes, különben ferde hasábról beszélünk. 32

Síklapú testek ábrázolása Az ábrázolás során általában a testek alaplapja a K 1 képsíkon van. Néhány példa: Négyzet alapú egyenes gúla Négyzet alapú egyenes hasáb Négyzet alapú ferde gúla Nézet alapú ferde hasáb 33

Síklapú testek metszése egyenessel A feladatok megoldása esetén az egyenesre vetítősíkot illesztünk (általában második vetítősíkot), majd meghatározzuk a testnek a vetítősíkkal való metszetét. A metszet és az egyenes ugyanabban a síkban vannak, így a közös pontjaik meghatározhatóak. a módszert gúláknál és ferde hasáboknál használjuk. Most az ABCD négyzet alapú gúla a K 1 képsíkon áll és az e egyenessel metsszük el. Az egyenes második vetítősíkjával vett metszete az 1 és 2 pontokban metszik az egyenest. Az 1 pont az ABM síkon, a 2 pont a CDM síkon van. Az első képen a gúla minden oldallapja látható. Ezért az 1 és 2 pontok látszanak, de az egyenes két pont közötti szakasza a testben van, ezért nem látjuk, de a két félegyenest már igen. A második képen az ABM és BCM lapok látszanak, ezért az 1 pontig látjuk az egyenest, az 1 és 2 között nem látjuk, mert a testben halad. A 2 ponttól kezdve az egyenes a testen kívül halad, de csak akkor látható, ha már nincs a gúla mögött. Nem kell az előbbi eljárást alkalmazni, ha egyenes hasábot metszünk egyenessel. Ha a hasábot a K 1 -re állítottuk, akkor a metszéspontok az első képen láthatóak, a második képeik rendezővel szerkeszthetőek. Az 1 pont az ABFE lapon van, a 2 pont a BCGF lapon. Ezek a lapok a második képen látszanak, ezért az egyenes testen kívüli része látható. 34

Síklapú testek metszése vetítősíkkal Egy síklapú test vetítősíkkal való metszetét már alkalmaztuk az egyenessel való metszet szerkesztése során. Most a vetítősíkot síklapként véve a metszet egy töröttvonal lesz és a láthatóság eldöntése is a feladat része. Tekintsük az ABCDM négyzet alapú ferde gúlát, amely a K 1 képsíkon áll és egy olyan téglalapot, amely egy második vetítősík (a csúcsai nincsenek elnevezve). A gúla oldaléleinek a vetítősíkkal alkotott metszéspontjai 1, 2, 3, 4 a második képen láthatóak, melyek első képei rendezőkkel határozhatók meg a megfelelő oldaléleken. A kapott pontokat összekötve kapjuk a metszet-négyszöget. Az első kép alapján mondhatjuk, hogy a 4 pont nincs a síklapon, ezért nem keletkezik a teljes négyszög, csak az a részlete, amely a síklapon van. Az ábra jelöléseit alkalmazva, az 1234 négyszöget a síklap egyik éle az X és az Y pontokban metszi, az X123Y töröttvonal lesz a keletkezett metszésvonal. Mindez a második képen nem szemléletes, ezért csak az első képet húzzuk ki láthatóság szerint. Az X123Y töröttvonal 3Y szakasza a gúla egyik nem látható lapján van, ezért csak szaggatott vonallal húzzuk át, míg az X1, 12 és 23 láthatóak. A gúla oldaléleit fentről, azaz az M pontból indítva rajzoljuk, az MA él M1 szakasza a síklap fölött helyezkedik el, ezt a részt folyamatos vonallal rajzoljuk, 1-től kezdve nem látszik addig, míg a lap alatt van. Hasonló mondható az MB élről is. Az MC azonban csak a 3 pontig látszik, mert a C pont a téglalap alatt helyezkedik el. 35

Egyenes (vagy csak nagyon kicsit dőlt) gúla esetén az első képen az egész keletkező metszésvonal látszani fog. Adott egy ABCDM négyzetalapú gúla, melyet az XYZ második vetítősík helyzetű lappal metszünk. Az 1, 2, 3, 4 pontok a gúla oldaléleinek a lap síkjával alkotott metszéspontjai, melyeket a második képen láthatunk, az első képeik rendezővel szerkeszthetők. Az 1, 3, 4 pontok már nincsenek a lapon, ezért a lehetséges négyszögmetszetnek csak az a része keletkezik, amely a lapon van. Ezt a rész vastagabb vonallal jelöltem. A második kép most sem lesz szemléletes, ezért csak az első kép láthatóságával foglalkozunk. Az első képen a gúla minden oldallapja látszik és tekinthetjük úgy, hogy a metszésvonaldarabok ezekre vannak rajzolva. Ezért látjuk mindhárom szakaszt, és azt is, hogy az YZ és XZ szakaszok hol metszik át a gúla lapjait. 36

Áthatás vetítő helyzetű hasábbal Adott az ABCDM gúla ás az 1, 2, 3 vetítőegyenes oldalélekkel rendelkező hasáb. Szerkesztendő az áthatásuk. A felvétel alapján a második kép sokat fog mesélni a teendőkről. Ha a hasáb éleit tekintjük, akkor azt lehet mondani, hogy az 1 egyenes nem metszi a gúlát, mert az 1 nincs a hasáb vetületében. A 2 és 3 egyenesek azonban belemetszenek. A gúla élei közül az MA és MB élek metszenek a hasábba, az MD éppen súrolja a hasáb 3 élét, az MC nem metsz bele a hasábba. A gúla MD éle és a hasáb 3 éle metsző egyenespárt alkot, ez egy különleges helyzet és nagyon ritkán fordul elő. Ha meghatározzuk az előbb felsorolt metszéseket, akkor megfelelő sorrendben össze kell kötni a kapott pontokat. A megfelelő sorrend eldöntése aszerint történik meg, hogy mindkét felületen figyeljük a lapok egymáshoz csatlakozását. Kezdjük a legegyszerűbb pontok meghatározásával. Az MA és MB élek elmetszik a hasáb 13 és 12 lapjait, melyek második vetítősíkok. Ezeket a metszéspontokat a második képen láthatjuk. Az első képeket rendezővel határozhatjuk meg. E: MA él és az 13 lap metszéspontja F: MA él és az 12 lap metszéspontja G: MB él és az 13 lap metszéspontja H: MB él és az 12 lap metszéspontja 37

Az MD él éppen súrolja a hasábot, a 3 éllel vett metszéspontja legyen J. Ezt a pontot nem kell szerkeszteni, de a 3 él a J-n kívül még egy pontban metszi a gúlát. Legyen ez a pont a K! Ahhoz, hogy a K pontot meghatározzuk, egy ferde metszetet készítünk a gúlából. A metszet síkja a hasáb 13 lapja (második vetítősík). A metszet három pontja már megvan, ezek az E, G, J pontok és még az MC-vel való metszés hiányzik. Ez a pont a második képen látható (nincs neve a pontnak), az első képe rendezővel határozható meg. Az első képen a pontokat a lapok sorrendjében összekötve kapjuk a metszetet (pontozott vonal). A metszet és a 3 él az első képen nemcsak a J pontban, hanem egy másik pontban is metszi egymást, ez lesz a K. A második képen J =K =3, mert ugyanazon a vetítőegyenesen vannak rajta. K: 3 él és az MBC lap metszéspontja, mert az MB és MC oldalak közötti pontozott vonal metszi ki. A 2 egyenessel a gúlának két metszéspontja lesz, ezeket L és N jelöli majd. A második képek már adottak, L =N =2. Most egy szabályos metszetet készítünk az alapsíkkal párhuzamos Σ síkkal. Ekkor a kapott metszet az alapsokszöghöz hasonló lesz. Az oldalélek Σ-val való metszéspontjai a második képen láthatóak, az első képre rendezővel szerkeszthetők. A metszet első képe és a 2 közös pontjai: L és N. L: 2 él és az MAD lap metszéspontja N: 2 él és az MBC lap metszéspontja 38

Az összekötéshez egy olyan segédábrát készítünk, amely egy vázlat lehetne a kiterített palástokról. A gúlának négy oldallapja van, ezért négy függőleges sávval szemléltetjük azokat. A hasábnak három oldallapja van, ezért három vízszintes sávval szemléltetjük azokat. Az egyenesek betűzése (számozása) a lapok egymáshoz csatlakozásának megfelelően történik, lehetőleg olyan egyenessel kezdve, amely nem metsz bele a másik testbe. Most mindkét testen van ilyen, ezért kezdhetünk az MC és egyenessel. Ebbe fogjuk a most említett pontokat feltűntetni. E: MA él és az 13 lap metszéspontja MA élen 1 és 3 egyenesek között F: MA él és az 12 lap metszéspontja MA élen 1 és 2 egyenesek között G: MB él és az 13 lap metszéspontja MB élen 1 és 3 egyenesek között H: MB él és az 12 lap metszéspontja MB élen 1 és 2 egyenesek között J: MC és 3 élek metszéspontja MC és 3 élek metszéspontja K: 3 él és az MBC lap metszéspontja 3 élen MB és MC egyenesek között L: 2 él és az MAD lap metszéspontja 2 élen MA és MD egyenesek között N: 2 él és az MBC lap metszéspontja 2 élen MB és MC egyenesek között Minden kis téglalap a hasáb és a gúla egy-egy lapját szemlélteti, és megmutatja, hogy mely lapok vesznek részt az egész áthatásban. Azok a lapok metsződhetnek össze, melyek határán pontot jelöltünk be. Az összekötés szabálya: mindig ugyanannak a téglalapnak a határán lévő pontok köthetők össze, eközben nem lehet átlépni függőleges és vízszintes vonalakat. (Akkor ugyanis a testek belsejében rajzolnánk.) Ha egy pontból elindulunk, akkor oda az összekötés mentén vissza kell jutni. Egyetlen pont sem maradhat ki a körből (most), de ha mégis, akkor azokat össze lehet kötni egy másik körrel (erre később lesz példa). Az összekötés sorrendje E G K N H F L J E. Ebben a sorrendben lehet az ábra pontjait is összekötni, de most még csak halványan, mert a láthatóság szerinti kihúzás még hátra van. 39

Először a hasábot eltávolítva a gúla maradékát húzzuk ki láthatóság szerint. Az E G K N H F L J E töröttvonal gúla oldallapjain van, és mivel az oldallapok mindegyike látszik az első képen, ezért látszik töröttvonal is. Ezeket a szakaszokat az elő képen meg lehet erősíteni. A gúla oldaléleinek EF és GH szakaszai a hasáb belsejében vannak, ezért azokat is eltávolítjuk a hasábbal együtt. Ezeket most nem vesszük figyelembe. A gúla 2 és 3 élei nyomot hagytak a gúla belsejében, ezek élekként jelennek most meg, a JK és LN szakaszokban. A JK nem látható, de az LN szakasznak két részlete látható. A csonkolt test lapjai: ABCD alaplap AFHB és EMG az MAB lap maradéka MGKNHBC az MBC lap maradéka MCD lap MEJLFAD a MAD lap maradéka és a hasáb lapjainak nyomaként: HFLN az 12 lap maradéka LNKJ a 23 lap maradéka EGKJ az 13 lap maradéka (Ez utóbbi három lap második vetítősík.) A második képen az új lapok élben látszanak, az MD él nem látszik. Végül csak a látható vonalakat feltüntetve is áthúzhatjuk a vonalakat. (Egy másik, vékony lapon.) 40

Ennél nehezebb a láthatóság eldöntése, ha mindkét testet meghagyjuk és úgy tekintjük, mintha összeolvadtak volna. Ekkor az éleken keletkezett EF, GH JK és LN szakaszok beleolvadnak az egyesített test belsejébe, ezeket nem húzzuk át. Az E G K N H F L J E töröttvonal most nem látszik teljesen, mert azok a szakaszok, melyek a hasáb első képen nem látható lapján vannak, most biztos takarásban vannak. A fenti nyolc szakaszból csak azok látszanak, melyek mindkét test látható lapján vannak. A gúla oldallapjai látszanak az első képen, a hasábnak csak az 13 lapja. Ezek összemetszéseként születtek a JE, EG és GK szakaszok. Ezt a három szakaszt erősítjük meg az ábrában is. A hasáb élei közül az 1 teljes egészében látszik, mivel nem metsz bele a gúlába és végig fölötte halad. A 2 és 3 belemetsz, de a 2 hasáb nem látható éle, ezért az LN szakasz kivételével végig szaggatott vonallal húzandó. A 3 él a JK szakasz kivételével végig folyamatos. A gúla élei közül az MD, MC és DC látszik, illetve az ME és MG látszik. Az alapsokszög hasáb alatti része, a HB szakasz és az AF egy része nem látszik. A második képen az MD kivételével minden szakasz látszik, az EF és GH szakaszok beleolvadtak a hasábba, ezért nem kell kihúzni azokat. 41

Végül csak a látható vonalakat tekintve egy másik lapon át lehet rajzolni az áthatást. Tekintsünk egy másik feladatot: Adott egy ABCM szabályos háromszög alapú egyenes gúla és egy második vetítőegyenes oldalélű hasáb. Szerkesztendő az áthatásuk. A felvételt vizsgálva láthatjuk, hogy a gúla MA éle nem metsz bele a hasábba és a hasáb 3 és 4 éle nem metsz bele a gúlába. Egyedüli nehézség, hogy az MC él profilegyenes, ezért a rajta lévő pontokat nem lehet rendezővel ábrázolni. Először ezzel az egyenessel kezdjük a szerkesztést. 42

A második kép alapján láthatjuk, hogy az MC él elmetszi az 14 és 12 lapokat a D és E pontokban. Készítsünk egy oldalnézetet az MC élről! Az M pont az első képsík fölött van M x 1,2 távolságra. A C pont éppen a képsíkon van, az M merőleges vetülete a képsíkon M, amely a C-től C M távolságra van. Ezen adatok alapján egy derékszögű háromszöget tudunk szerkeszteni, melynek a befogói a C M és M x 1,2 távolságok, az átfogó valódi méretben mutatja a CM szakaszt. A magasságokat tekintve a C és M között a D és E pontokat be tudjuk jelölni (nyilak!). Majd ezeket a pontokat a vízszintes befogóra vetítve láthatjuk, hogy milyen messze lesz D és E az M -től (vagy akár C -től). Ezeket a távolságokat átmérjük az első képre. D: MC él és az 14 lap metszéspontja E: MC él és az 12 lap metszéspontja A MB él elmetszi az 14 és 23 lapokat, ezek a metszéspontok a második képen láthatóak, az első képek rendezővel határozhatók meg. F: MB él és az 14 lap metszéspontja G: MB él és a 23 lap metszéspontja 43

Az 1 és 2 egyenesek belemetszenek a gúlába, a második képen azonnal el lehet nevezni azokat. Az 1 egyenesen lesznek az I és H pontok, a 2 egyenesen pedig a J és K. Az első képen ezeket egyszerre fogjuk meghatározni. Tekintsük a hasáb 12 lapját. Ez a lap második vetítősík, az MA-val való metszéspontja látszik a második képen, az MC-vel való éppen az előbbi E és az x 1,2 -ig megrajzolva a második képen a síkot megrajzolható az a rendező, melyen az alapháromszöggel vett metszéspontok lesznek. Így most a metszet egy négyszög (pontozott vonal), amely a keresett négy pont első képét kimetszi az 1 és 2 egyenesekből. Attól függően, hogy a pontozott szakaszok melyikével metszünk, leolvasható az is, hogy melyik metszéspont melyik síkon van. H: 1 él és MAB lap metszéspontja I: 1 él és MAC lap metszéspontja J: 2 él és MAB lap metszéspontja K: 2 él és MBC lap metszéspontja Lássuk az összekötés sorrendjét! Elkészítjük a segédábrát, melyet a szerkesztéssel párhuzamosan érdemes rajzolni, és benne a már megszerkesztett pontokat berajzolva. Most a gúla háromoldalú, ezért három függőleges sáv jelzi a lapokat, a hasáb négyoldalú, ezért négy vízszintes sáv jelzi azokat. A gúla MA éle nem metsz bele a hasábba, illetve a hasáb 3 és 4 éle nem metsz bele a gúlába, ezért velük lehet kezdeni az egyenesek betűzését. Most is azok a pontok köthetők össze, melyek ugyanannak a kis téglalapnak az oldalán vannak. Az összekötés sorrendje ezek alapján: D I E K G J H F D. Ebben a sorrendben kell a pontokat összekötni, egyelőre halvány vonalakkal, mivel a láthatóság szerinti kihúzás ezután következik. 44

Most úgy húzzuk ki láthatóság szerint az ábrát, hogy a hasábot nem távolítjuk el, így a két test összeolvad. Ekkor a DE, FG KJ és IH szakaszok beolvadnak, ezért ezeket a szakaszokat nem húzzuk át. Az áthatási töröttvonal szakaszai közül kell kiválasztani azokat, melyek látszanak az első képen. Mindkét test látható lapjait kell figyelni. A segédábrába bejelölve a látható lapokat ki lehet választani a keresett szakaszokat. A gúla minden oldallapja látszik, a hasábnak csak két lapja, az 14 és 34. Ezen lapok metszéseként állt elő a HF, FD és DI szakasz. Ezek biztosan látszanak, ezért a vonalakat meg lehet erősíteni az ábrában. A hasáb 3 és 4 éle a gúla fölött halad, ezért ezek folyamatos vonallal húzandók át, az 1 él a HI szakasz kivételével szintén látható. A 2 nem látható él, a KJ kivételével szaggatott vonallal húzható. A gúla jelentős része a hasáb alatt van, az MA, MD, MF végig látható, az AB és AC szakaszok csak részben láthatók. 45

Ha a hasábot kivesszük a gúlából, akkor a DE és FG szakaszokat is eltávolítjuk. A töröttvonal minden szakasza látszani fog, mert a gúla látható lapjain keletkeztek. Ezek után a többi szakaszt egyenként végignézve az első képen az alapháromszög, az MA, MD, MF, EC, GB látható. A hasáb 1 és 2 élei nyomot hagynak a gúla belsejében, ezek az IH és KJ szakaszok. Ezek közül a KJ látható, az IH nem. A csonkolt test lapjai: ABC alaplap MABGJHF az MAB maradéka MDF és CBEKG az MBC maradéka MACEID az MAC lap maradéka És a hasáb nyomaként: IDHF az 14 lap maradéka IHJKE az 12 lap maradéka KJG a 23 lap maradéka. Az utóbbi három lap második vetítősík. 46

Adott az 1, 2, 3, 4 élekkel rendelkező, K 1 -en álló egyenes hasáb és az a, b, c élekkel rendelkező fekvő hasáb. Szerkesztendő az áthatásuk. Most az első kép lesz beszédesebb. Itt látható az, hogy a fekvő hasáb b és c éle belemetsz az álló hasábba és az álló hasáb 1 és 2 éle metsz bele a fekvő hasábba. Ebben az áthatásban is 8 pontot fogunk megszerkeszteni. A b és c egyenesek elmetszik az álló hasáb oldallapjait, melyek első vetítősíkok. A metszéspontok az első képen kijelölhetők, a második képeik rendezővel határozhatók meg. A: b él és 14 lap metszéspontja B: b él és 12 lap metszéspontja C: c él és 14 lap metszéspontja D: c él és 23 lap metszéspontja 47

Az 1 és 2 élekkel egyszerre fogunk metszeni, a síkjuk első vetítősík, melyet az ábrában Σ-val jelölünk. A Σ síkot elmetszi az a és b egyenes (B-ben) és a fekvő hasáb jobboldali alapsíkja. Az a-val való metszéspontot és a B-t a második képen rendezővel határozzuk meg, míg az alapsíkkal való metszésvonal egy vetítőegyenes lesz. Így a Σ egy négyszöget (pontozott vonal) metsz ki a fekvő hasábból. Ennek a négyszögnek és az 1 és 2 egyeneseknek a metszéspontjai a második képen kijelölhetők, az első képen az E =F =1 és G =H =2, mert a két-két pont egy vetítő egyenesre illeszkednek. E: 1 él és ab lap metszéspontja F: 1 él és ac lap metszéspontja G: 2 él és bc lap metszéspontja H: 2 él és ac lap metszéspontja A pontok összekötésének sorrendjét a segédábra alapján lehet eldönteni. Az összekötés sorrendje: A E B G D H F C A. Az első képen az összekötés nem látszik, csak a második képen. 48

A fekvő hasáb ac és ab lapjai, az álló hasáb 12 és 23 lapjai láthatóak a második képen, ezek a lapok az FH, HD és EB szakaszokban metsződnek. Ezért a második képen az előbbi szakaszok látszanak, a töröttvonal többi része szaggatott vonallal rajzolható. A fekvő hasáb 3 éle végig látszik, a c és b élek jobbról indulva a D és B pontig látszanak, a CD és AB között beolvadnak a testbe. Azt, hogy hol jönnek ki, nem lehet látni, csak az élek legvégét. A jobb oldali alaplap látszik. Az álló hasáb élei közül a 4 nem látható. Az 1 az EF között beolvadt a testbe, a többi része látszik, a 2 HG között olvadt be, fentről indulva a H-ig látszik, a G nem látszik, ezért az él vége lesz csak látható. A 3 él a fekvő hasáb mögött helyezkedik el. 49

Ha a fekvő hasábot eltávolítjuk, akkor a töröttvonal azon részei biztosan látszanak, melyek látható lapon keletkeztek. Ezek az FH, HD, DG, GB, BE szakaszok. Az FC, CA, AE szakaszok nem látható lapon vannak, ezek alapban szaggatott vonallal rajzolhatók. A CA szakasz középső része a körvonalra került, ezért ez most mégis látható. A 3 él végig látszik, a 4 pedig nem. A másik két él az EF és HG szakaszok kivételével látható. A fekvő hasáb nyomaként az AB és CD szakaszok újabb élek, de ezek egyik képen sem láthatók. Végül a két láthatóság szerinti kihúzást magában is meg lehet figyelni. 50