Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Csordásné Mrton Melind Fiziki példtár 2 FIZ2 modul Fizik feldtgyűjtemény SZÉKESFEHÉRVÁR 2010
Jelen szellemi terméket szerzői jogról szóló 1999 évi LXXVI törvény védi Egészének vgy részeinek másolás, felhsználás kizárólg szerző írásos engedélyével lehetséges Ez modul TÁMOP - 412-08/1/A-2009-0027 Tnnygfejlesztéssel GEO-ért projekt keretében készült A projektet Európi Unió és Mgyr Állm 44 706 488 Ft összegben támogtt Lektor: Mihályi Gyul Projektvezető: Dr hc Dr Szepes András A projekt szkmi vezetője: Dr Mélykúti Gábor dékán Copyright Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr 2010
Trtlom 2 Fizik feldtgyűjtemény 1 21 Bevezetés 1 22 Kinemtik 1 221 Egyenes vonlú egyenletes mozgás 1 222 Változó mozgások kinemtiki leírás 4 223 Szbdesés, hjítások 8 23 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek 14 23 Munk, energi, teljesítmény, htásfok 20 24 Konzervtív erők és energimegmrdás 25 25 Összefogllás 30
2 fejezet - Fizik feldtgyűjtemény 21 Bevezetés A Fizik feldtgyűjtemény második, Mechnik I modulj Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr Fizik tntárgyánk tnnyg lpján készült A modul feldtgyűjtemény jellegűen, földmérő-földrendező nppli és levelező tgoztos hllgtók mechnik tnnygát feldtok segítségével dolgozz fel Ezeknek feldtoknk egy része más feldtgyűjteményekben, esetenként érettségi vgy versenyfeldtok között is megtlálhtó, de olyn speciális feldtokt is közlünk, melyeket kron szerzett több éves okttói tpsztltink lpján megoldásr érdemesnek és hsznosnk tláltunk Jvsoljuk, hogy ok érdeklődő Olvsók, kik még többet szeretnének gykorolni, hsználják irodlomjegyzékben felsorolt könyveket és példtárkt is A feldtgyűjtemény második fejezetének első része mozgások kinemtiki és dinmiki leírásávl fogllkozik Részletesen tárgyljuk Newton törvényeket, pontszerű testek mozgását lejtőn és pontrendszerek mozgását A modul második részében munk, munktétel, energi, potenciál foglmk megértésének és elsjátításánk segítéséhez tlálhtunk feldtokt A megszerzett ismeretek ellenőrzése tesztkérdések megoldásávl történik A feldtgyűjtemény elméleti összefogllást nem trtlm, mert erre külön tnkönyv áll hllgtók rendelkezésére Ugynkkor szinte minden feldt részletes kidolgozás során ismertetjük okt lényeges foglmkt, törvényeket, melyeknek ismerete megoldáshoz nélkülözhetetlenül szükségesek A feldtok válogtás, szerkesztése, megoldás során több szempontot kellett figyelembe venni Elsődlegesen t, hogy hllgtók különböző szintű tudássl rendelkeznek Ugynkkor műszki, szkmi tntárgyk, melyeket sokszor Fizik tntárggyl párhuzmosn tnulnk hllgtóink, gyors előrehldást követelnek tőlünk Ezért egyes fejezetek, lfejezetek egyszerű feldtokkl indulnk, és egyre mgsbb szintű, összetettebb feldtokhoz jutunk el A nehezebb feldtok igénylik felsőfokú mtemtiki ismeretek készségszintű lklmását is 22 Kinemtik 221 Egyenes vonlú egyenletes mozgás 1 Ugynon vonton két uts méri vont sebességét Az egyik kkor indítj óráját, mikor vont kereke sínszálk érintkezésénél csttn, és 156 csttnásnál állítj meg A mért időtrtm 3 perc Abból, hogy sínszálk hossz 10 m, uts vont sebességét 31,2 km/h nk tlálj A másik uts kkor indítj stopperóráját, mikor vont éppen egy telefonoszlop előtt hld el, és 32 telefonoszlopnál állítj meg Ez uts is 3 perc időtrtmot mér Abból, hogy telefonoszlopok távolság 50 m, 32 km/h sebességértéket számít Mennyi ténylegesen vont sebessége, és milyen hibát követtek el utsok? 2 Egy jármű s1 útszkszt v1, után következő s2 útszkszt v2 sebességgel teszi meg mekkor teljes s1+s2 útr számított átlgsebessége? 3 Egyenes pályán vont, sínpályávl párhuzmosn futó műúton személyutó hld Adott pillntbn vont 2,4 km-rel jár utó előtt Mennyi idő múlv éri utol utó vontot, h utó sebessége v1=64,8 km/h, vont sebessége v2=54 km/h? 4 Egymástól 35 km-re lévő A és B állomásról egyszerre indul kettős vágányú pályán egymássl szemben személy és gyorsvont A pály mely pontján tlálkoznk, h személyvont sebessége v1=45 km/h, gyorsvont sebessége v2=60 km/h? b Mennyivel később indult gyorsvont, h két vont éppen távolság felénél tlálkozik?
Fiziki példtár 2 2010 5 Sötétben, vgy ködben egyenes vonlbn állndó sebességgel hldó hjó rövid hngjeleket bocsát ki, mely egyenes meredek prtról visszverődve t1=5 s múlv érkezik vissz hjór t=35 s múlv újbb hngjeleket bocsát ki, mely prtról visszverődve t2=3 s múlv érkezik vissz Milyen messze vn hjó prttól, és mekkor sebességgel közeledik prt felé? A hng terjedési sebességét vegyük c=340 m/s-nk 6 Az előző feldtbn hjó sebessége 54 km/h Mekkor utt tesz meg második hngjel kibocsátásától prthoz érésig? 7 Egyenletes sebességgel hldó gépkocsioszlop mellett egy motoros rendőr hld A rendőr t1=2 perc ltt ér oszlop elejétől végéig Az oszlop végétől oszloppl egy iránybn hldv t2=8 perc ltt jut el oszlop elejéig Milyen hosszú, és mekkor sebességgel hld gépkocsioszlop, h motoros sebessége v1=60 km/h? Megoldások: 1 Mindkét uts t hibát követte el, hogy ór megindításkor számolást csttnásoknál, illetve telefonoszlopoknál egyessel kezdte, holott nullávl kellett voln kezdenie Az első uts így csk 155 csttnást számolt voln, kkor vont áltl megtett út A vont átlgsebessége: A második utsnk helyesen csk 31 telefonoszlopot kellett voln számolni, kkor átlgsebesség ugyncsk 1 A jármű Így -nk dódn útszkszt, útszkszt teljes utt pedig idő ltt teszi meg A teljes úton számított átlgsebesség: 1 H utó idő ltt éri utol, kkor ez ltt vont utó pedig vontot utt tesz meg Az utónk onbn lel hosszbb utt kell megtennie Ez idő ltt utó 1 ) utt, vont H utt tett meg vontok idő múlv történik, kkor tlálkozásig személyvont Az A-tól vló távolság: b) Tegyük fel, utt tesz meg és B-től vló távolság: hogy idő telik el A személyvont FIZ2-2 gyorsvont tlálkozás gyorsvont utt, gyorsvont idővel később indul, és tlálkozásig utt tesz meg Ekkor
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény Mivel tudjuk, hogy vontok pont félúton tlálkoznk, ezért felhsználásávl: 1 A hjó első hngjel kibocsátáskor távolságr volt prttól A hjó olyn egyenes A két egyenlet második hngjel kibocsátáskor mentén közlekedik, mely prttl szöget zár be Sebességének prtr merőleges összetevőjét jelöljük -mel Ekkor: Az (1) és (2) egyenletet kivonjuk egymásból: H így kpott összefüggésbe (3) egyenletet helyettesítjük, kkor: egyenletet kpjuk, melyből A hjó sebességének prtr merőleges összetevője: 10 m/s Az (1) egyenlet felhsználásávl: Az (2) egyenlet felhsználásávl: A hjó első hngjel kibocsátáskor 875 m-re, második hngjel kibocsátáskor 525 m-re volt prttól 1 Ismerjük hjó sebességét, és előző feldt lpján hjó sebességének prtr merőleges összetevőjét Az 1 ábr felhsználásávl: 1 ábr és Ennek felhsználásávl: FIZ2-3
Fiziki példtár 2 2010 A hjó második hngjel kibocsátását követően 787,5 métert tesz meg prthoz érésig 1 H és oszlop hossz motoros sebességgel hld, kkor mely egyenletekből kifejezhető, hogy A kocsisor hossz: 222 Változó mozgások kinemtiki leírás 1 Egy mozgás helyvektoránk komponensei: Htározzuk meg sebesség és gyorsulás vektorokt! Mekkor gyorsulás, sebesség és megtett út ngyság, h 2 Egy szánkón csúszó, ngy gyorsulási htások vizsgáltár szolgáló rkét összefüggés szerint gyorsul Htározzuk meg sebesség és elmozdulás vektorokt! Mekkor gyorsulás, sebesség és megtett út ngyság, h 3 Egy gépkocsi 15 s ltt gyorsult fel 108 km/h sebességre Mekkor volt gépkocsi gyorsulás? b Milyen hosszú úton gyorsult fel gépkocsi? 4 Egy gépkocsi 50 m-es úton 4 s-ig gyorsul és 12,8 m/s sebességet ér el Mekkor volt kezdősebessége és gyorsulás? 5 Egy gépkocsi sebessége 54 km/h-ról 90 km/h-r növekedett, miközben gyorsulás 1,6 gyorsult, és mekkor utt tett meg ezltt? volt Mennyi ideig 6 Egy 54 m/s sebességgel hldó versenyutó 1,8 s-ig fékezett Mekkor sebessége lssulás után? b Mekkor utt tett meg lssítás ltt, h gyorsulás? 7 Gépkocsi fékútj 72 km/h sebességnél 50 m Mekkor gyorsulás? H vezető rekcióideje 1 s, kkor mekkor féktávolság? 8 Egy gépkocsi fékútj hányszoros sebességnövekedés után nő n-szeresére? 9 Egy utóbusz menetideje két megálló között 60 s Induláskor 10 s ltt gyorsul fel 20 m/s sebességre Az elért sebességgel 30 s-ig egyenletesen hld, mjd egyenletesen lssulv megáll Mekkor két megálló közötti távolság? 10Álló helyzetből induló, egyenletesen gyorsuló test mozgásánk nyolcdik másodpercében 60 cm utt tesz meg Mekkor utt tesz meg mozgásánk kilencedik másodpercében? FIZ2-4
Csordásné Mrton Melind 11 Fizik feldtgyűjtemény Egyenes országúton két gépkocsi ugynrról helyről ellenkező irányb indul el illetve állndó gyorsulássl 20 s-ig trtó gyorsítás után mindkettő állndó sebességgel hld tovább Mekkor két gépkocsi egymáshoz viszonyított sebessége gyorsítás után? b Mekkor távolság két gépkocsi között indulástól számított 30 másodperc végén? Megoldások: 1 Anygi pont kinemtiki leírás ltt t értjük, hogy meghtározzuk pont helyét, sebességét és gyorsulását, mint idő függvényét Derékszögű koordinát rendszerben vlmely P pont helyét O pontból ( origóból) P pontb húzott helyvektor segítségével dhtjuk meg A P pont mozgását kinemtikilg összefüggések írják le A fenti összefüggések lényegében egyenes vonlú egyenletes mozgás jól ismert összefüggéseit tkrják Tegyük fel, hogy test állndó gyorsulássl mozog Akkor H testnek nincs kezdősebessége, kkor A test áltl megtett út:, tehát H test origóból indul, kkor H testnek vn kezdősebessége, kkor Ekkor, h test, tehát továbbr is, origóból indul,, tehát kkor Az első feldt megoldásához készítsünk egy tábláztot: Láthtó, tengely mentén dősebessége tengely mentén hogy nygi pont egyenes vonlú egyenletes mozgást végez A időpillntbn test koordinátájú pontbn vn, és sebessége, tehát test keza test gyorsulás állndó:, tehát nygi pont gyorsulássl mozog FIZ2-5
Fiziki példtár 2 H 2010 kkor: Mivel pont nem origóból indult, megtett út ténylegesen A test sebessége: A test gyorsulás: 1 A feldtot előzőhöz hsonlón oldjuk meg: Mivel nincs kezdősebesség, ezért A ltt megtett út: 1 A gépkocsink vn kezdősebessége, ezért Az első egyenletből fejezzük ki gyorsulást: letbe: Adtokkl: 1 2 A gyorsítás ideje: és és megtett út ) A versenyutó sebessége lssítás után: b) A lssítás ltt megtett út: 1 A kpott kifejezést helyettesítsük második egyen- ) A gépkocsi fékezést követően megáll, ezért végsebessége lpján FIZ2-6, ezért lesz Az 4 feldt megoldás
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény A gyorsulás pedig, hol negtív előjel lssulást fejezi ki b) H vezető rekcióideje 1 s, kkor még mielőtt fékezést el tudná kezdeni megálláshoz szükséges távolság ún féktávolság: 70 m utt megtesz Így 1 A fékút sebesség és gyorsulás segítségével gépkocsi lssulás állndó A kifejezésből láthtó, hogy sebesség -szeresével négyzetével Tehát, h sebességet lkbn fejezhető ki, hol fékút egyenesen rányos növeltük, kkor fékút szeresére növekszik Gondolkozzunk úgy, h például sebességünket kétszeresére növeljük, kkor gépkocsink fékútj négyszeresére nő 2 Készítsük el mozgás sebesség-idő grfikonját: 2 ábr A megtett út Megjegyzés: A számítás során htározott integrálnk t mértékelméleti definícióját hsználtuk fel, hogy htározott integrál értéke onos szubgráf (nem precízen foglmv függvény görbe ltti területének) mértékével Mivel itt háromszögeknek, illetve egy tégllpnk területét kell meghtározni, ez nyílván lényegesen gyorsbb és egyszerűbb, mint függvényekkel történő felírás 1 Egyszerűbb feldtot előzőekhez hsonlón grfikusn megoldni: 3 ábr A nyolcdik másodpercben megtett út: ábr): Ennek felhsználásávl fejezzük ki gyorsulást (lásd 3 FIZ2-7
Fiziki példtár 2 2010 A kilencedik másodpercben megtett út: 1 ) Az egyik gépkocsi sebessége: A gépkocsivl ellentétes irányb hldó másik jármű sebessége: Mivel kocsik ellentétes iránybn hldnk egymáshoz viszonyított reltív sebességük b) és A két kocsi távolság: 223 Szbdesés, hjítások A feldtokbn és közegellenállástól eltekintünk 1 Egy lift 8 m/s sebességgel süllyed Abbn pillntbn, mikor elhld mellettünk leejtünk egy követ Mennyi idő múlv lesz egyenlő lift és kő sebessége? b Hol vn ebben pillntbn lift és kő? 2 Egy lift 4,5 m/s sebességgel emelkedik A lift felett 28,6 m mgsról leejtünk egy követ Mennyi idő múlv, és hol tlálkozik lift kővel? 3 Egy 180 m mgsból eső test útját osszuk fel három olyn szkszr, melyet test egyenlő időközök ltt tesz meg! 4 Szbdon eső test esés utolsó másodpercében kétszer kkor utt tesz meg, mint utolsó előtti másodpercben Milyen mgsról esett test? 5 Egy 7,5 m hosszú zsineg egyik végére, és ettől végétől 3 méterre egy követ erősítettünk A zsineg másik végét megfogv, mjd elengedve köveket hídról egy folyób ejtetjük A két kő csobbnás között 0,15 s időt mérünk Milyen mgsn vn híd folyó felett? 6 20 m/s kezdősebességgel függőlegesen lefelé hjított test mennyi idő ltt, és mekkor úton éri el kezdősebességének háromszorosát? 7 Egy követ függőlegesen felfelé hjítunk 50 m/s kezdősebességgel Hol vn kő 8 s múlv, mekkor utt tett meg ezltt, és mekkor sebessége? 8 Egy test sebessége Htározzuk meg pály egyenletét, test gyorsulását, és sebességét első másodperc végén! A test origóból indul 9 Egy testet grvitációs térben vízszintes 5 m/s sebességgel indítunk Htározzuk meg pály egyenletét, és test sebességét 2 s múlv 10Követ vízszintesen elhjítunk 80 m/s kezdősebességgel Hol vn test 5 s múlv? FIZ2-8
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény 11200 m mgsságbn 180 km/h sebességgel hldó repülőgépről cél előtt milyen távolságbn kell kiejteni segélycsomgot hhoz, hogy célb érhessen? (A közegellenállástól eltekintünk) 121 méter mgsságból mekkor sebességgel kell egy testet vízszintesen elhjítnunk hhoz, hogy 8 m/s sebességgel érjen földet? 13Egy testet 60 os szögben 25 m/s kezdősebességgel ferdén elhjítunk Htározzuk meg pály egyenletét! b Mikor ér test pály tetőpontjár? i Milyen mgsn vn tetőpont? Mikor ér újr földre? b Milyen távolr repül? c Ugynilyen kezdősebesség esetén milyen hjítási szög esetén repülne legmesszebbre test? 1 Mekkor szög ltt kell v0=100 m/s kezdősebességgel egy lövedéket kilőni, hogy kilövés helyétől 400 m távolságbn és kilövés helye fölött 160 m mgsságbn lévő célt eltlálj? Mennyi ideig trt lövedék mozgás? 2 Egy 30 os szögben történő ferde hjítás távolság 100 m Mennyi volt kezdősebesség, és emelkedés mgsság? Megoldások: 1 A lift sebessége állndó A kő lift 2 Az kő múlv éri el lift sebességét Ez idő ltt métert süllyedt, kő pedig egyenletes tlálkozásáig métert esett sebességgel emelkedő ugynnnyi idő lift és telik el szbdon Jelöljük eső ezt vel A kő és lift útj együttesen Ennek felhsználásávl következő egyenletet írhtjuk fel: Adtokkl: A másodfokú egyenlet helyes gyöke: A lift tlálkozásig métert hldt felfelé, kő eközben métert zuhnt lefelé 1 A 180 m megtételéhez szükséges idő: Az első szkszt ltt teszi meg test, így A második szkszt ugyncsk 2 s ltt megtett szksz: FIZ2-9
Fiziki példtár 2 2010 A hrmdik szksz 1 Az esés teljes idejét jelöljük -gyel Ekkor esés utolsó előtti másodpercéig megtett út: Az esés utolsó másodpercében megtett út: ezért: feltétele szerint A másodfokú egyenlet helyes gyöke: Mivel feldt, tehát esés ideje: Ez idő ltt test 28 métert tett meg 1 A híd 26,03 m mgsn vn víz felett 2 8 s ltt, és 200 m út megtétele után 3 Függőleges feldt hjításnál elmozdulás és megtett út nem mindig egyezik meg, ezért megoldásánál körültekintően kell eljárnunk A kezdősebességgel feldobott kő, mgsságig emelkedik, után pedig szbdon esik Készítsünk egy részletes tábláztot, és tekintsük 4 ábrát: Sebesség: Elmozdulás: Út: Abbn szkszbn, mikor test emelkedik, út és elmozdulás megegyezik Az esési szkszbn út és elmozdulás nem onos Az utt úgy számoljuk ki, hogy mximális emelkedési mgsság kétszereséből kivonjuk elmozdulás ngyságát FIZ2-10
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény 4 ábr 1 Célszerű feldt dtit és megoldását előzőekhez hsonlón egy táblázt segítségével megdni: 4 táblázt Mivel test origóból indul, ezért A test grvitációs térben mozog mivel A test vízszintes irányú A pály egyenlete: A negtív előjel mozgás lefelé irányulását jelzi kezdősebességgel rendelkezik A mozgás tehát vízszintes hjítás, melyből kifejezhető: Az időre kpott kifejezést helyettesítsük -be, így pály egyenletét kpjuk: H kkor elmozdulásvektor: elmozdulásvektor ngyság: A sebességvektor:, így test sebessége A gyorsulás 1 Célszerű feldt dtit és megoldását előzőekhez hsonlón egy táblázt segítségével megdni Mivel test grvitációs térben mozog, ezért Az integrálás során kpott konstnsokt feldtbn megfoglmott kezdeti feltételekből htározhtjuk meg Mivel testet kezdősebességgel indítjuk, ezért és A feldt szövege nem rendelkezik rról, hogy időpillntbn hol vn test, ezért ezt számunkr legkényelmesebb módon válszthtjuk Legyen test időpillntbn origóbn FIZ2-11
Fiziki példtár 2 2010 Ezért A konstnsok figyelembe vételével táblázt: A mozgás vízszintes hjítás A pály egyenlete: A test sebessége múlv: 1 A kő eldobás helye ltt vn 125 m mélyen, és 400 m távol 2 A cél előtt 316 m-re kell kiejteni segélycsomgot 3 A kezdősebesség: 4 A vízszintes hjítás egy összetett síkmozgás, ezért konkrét feldt megoldását megelőzően foglljuk össze feldt elméleti hátterét A test induljon origóból 5 ábr A pály egyenlete: A kpott kifejezést FIZ2-12 összefüggésbe helyettesítve pály egyenletét kpjuk:
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény Adtokkl: A test bbn időpillntbn ér pály mximális pontjár, mikor sebességének függőleges irányú komponense nullává válik Nevezzük ezt időt emelkedés idejének, és jelöljük -vel Adtokkl: i A test mgsságr emelkedik, mely pályát leíró függvény mximum: Adtokkl: A hjítás teljes időtrtmát jelöljük -vl A test kkor ér kiinduló helyzettel onos mgsságb, ( lásd 5 ábr A pontj), h A megoldás mozgás kezdő pillnt A hjítás ideje:, tehát Adtokkl: A hjítás távolságát úgy tudjuk meghtározni, hogy kifejezésbe, elmozdulásvektor komponensébe hjítás idejét helyettesítjük: Adtokkl: A test kkor repül legmesszebbre h mximális Ez estén teljesül, ekkor FIZ2-13
Fiziki példtár 2 14 és 2010, vgy és 15 A hjítás kezdősebessége:, emelkedés mgsság: 23 Newton törvények, mozgás lejtőn, pontrendszerek 1 Egy repülőgép tömege 60 tonn Induláskor 20 s ltt gyorsul fel 225 km/h sebességre Mekkor eredő erő ht rá? 2 Mekkor erő htásár áll meg 0,15 kg tömegű, 6 m/s sebességű test 20 s ltt? 3 Egy 450 t tömegű vontnk egyenletesen lssulv 25 s ltt csökken sebessége 72 km/h-ról 54 km/h-r Mekkor utt tesz meg ezltt? b Mekkor fékezőerő? 4 Az me=9,1 10-31 kg tömegű elektront elektroncsőben 4 mm hosszú úton 10-14 N erő gyorsítj Mekkor végsebességgel és mennyi idő ltt érkezik nódr? 5 Mekkor testet emelhetünk függőlegesen felfelé 2 m/s2 gyorsulássl, olyn kötéllel, mely 100 N erő htásár elszkd? 6 Mekkor kötélben fellépő húzóerő, h egy 10 kg tömegű testet 2 m/s2 gyorsulássl süllyesztünk? 7 Egy mérlegen álló ember hirtelen gyorsulássl leguggol, mjd feláll Változik-e mérleg kijelzése? 8 Mekkor súrlódási együtthtó, h 100 N súlyú testet vízszintes sztlon vízszintes htásvonlú 50 N erő gyorsít 2 m/s2 gyorsulássl? 9 Egy gépkocsin lád vn A gépkocsi 1 m/s2 gyorsulássl fékez megcsúszik-e lád fékezéskor? 10Teherutó rkfelülete és felületen nyugvó lád között súrlódási együtthtó Az utó induláskor 4,8 s ltt éri el 15 m/s sebességet Mennyivel csúszik hátr lád rkfelületen fékezéskor? 11A 30 -os lejtőn egy test mozog lefelé Mekkor gyorsulás, h súrlódás elhnygolhtó, és mekkor h? 12Mérleg egyik serpenyőjében 1 kg tömegű 45 -os hjlásszögű lejtő tlálhtó, és ennek legfelső pontjábn egy 1 kg tömegű, pillntnyilg helyhez rögzített test A másik serpenyőben 2 kg tömegű mérősúly biztosítj mérleg egyensúlyát h lejtőre helyezett test rögzítését megszüntetjük, súrlódás nélkül lecsúszik lejtőn A test lecsúszás közben mekkor mérősúllyl tudjuk egyensúlybn trtni mérleget? 13Egy 30 -os lejtőn lejtő tetejéről egy test lecsúszik lejtő ljár Fele kkor sebességgel érkezik le, minth súrlódásmentes lejtőn csúszott voln le Mekkor súrlódási együtthtó lejtő és test között? 14Mekkor 6 ábrán láthtó rendszer gyorsulás, és mekkor kötelekben ébredő erő, h súrlódástól eltekintünk, h súrlódási együtthtó FIZ2-14?
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény 1 Mekkor gyorsulássl mozognk egyes testek 7 ábrán láthtó elrendezésben? A súrlódás elhnygolhtó, kötelek és csig tömegét zérusnk tekintjük (m1=4 kg, m2=6 kg, m3=3 kg ) 7 ábr 1 Vízszintes sínen szorosn egymás mellett áll két kiskocsi Az egyik 100 grmm, másik 150 grmm tömegű A kocsik sínen súrlódás nélkül mozoghtnk A kisebb tömegű kocsivl megtoljuk ngyobbt úgy, hogy kisebbikre 0,5 N erőt fejtünk ki vízszintes iránybn ábr szerint 8 ábr Mekkor kiskocsik közös gyorsulás? b Mekkor nyomóerő lép fel kiskocsik között? i Módosul-e fenti kérdésekre dott válsz, h ngyobb kiskocsir fejtünk ki másik felé irányuló, ugyncsk 0,5 N ngyságú vízszintes irányú erőt? 1 Htározz meg ábrán láthtó testek gyorsulását és egyes köteleket feszítő erőket, h lejtőn vn súrlódás, és súrlódási együtthtó μ! (A kötelek nyújthttlnok, csigák és kötelek tömege elhnygolhtó) 9 ábr Megoldások 1 A repülőgép sebessége: A repülőgép gyorsulás: A gyorsító erő: FIZ2-15
Fiziki példtár 2 2 2010 3 A vont sebességváltozás A vont gyorsulás: A lssulás ltt megtett út: b A lssító erő: 4 Az elektron gyorsulás: Mivel így Az elektron végsebessége: 1 A 10 ábr jelölései lpján kötelet feszítő erőt jelöljük vl Ekkor, melyből Mivel kötél csk 100 N erővel terhelhető, ezért 10 ábr 1 A 11 ábr lpján, melyből 11 ábr 1 Az FIZ2-16 ember lefelé gyorsulv súly tehát kevesebb lesz erővel nyomj Szélsőséges esetben, h mérleget, ember
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény gyorsulássl mozogn, például szbdon esne kkor súly null lenne Felfelé gyorsuláskor 1 Mivel test erővel nyomj mérleget, kijelző, tehát most többet mutt vízszintes sztlon mozog, ezért A súrlódási erő: A mozgásegyenlet: 1 A test tömege:, melyből Nem csúszik meg, sőt gépkocsi még jobbn is gyorsulht A lehetséges mximális gyorsulás 2 A lád rkfelületen 1,44 méterrel csúszik hátrébb 3 Először tekintsük t esetet, mikor nincs súrlódás, ekkor csk lejtővel párhuzmos ún mozgtóerő gyorsítj testet A 12 ábr jelöléseinek felhsználásávl lejtőkön mozgó testek fontos mozgásegyenleteit kpjuk: A mozgtóerő, melynek htásár csúszik le test lejtőn: 12 ábr A nyomóerő: A súrlódási erő: Első esetben, h nincs súrlódás, kkor Adtokkl:, így H vn súrlódás, kkor, tehát Adtokkl: 1 Definíció szerint súly erő, mellyel egy test vízszintes látámsztást nyomj, vgy függőleges felfüggesztést húzz A lejtőn lecsúszó test gyorsulás komponense 13 ábr lpján,, ennek gyorsulásnk függőleges A lecsúszó test így ( 7 feldt megoldását figyelembe véve) erővel nyomj látámsztási felületet, súly tehát 5 N Így mérleg serpenyőjébe elég eredeti 2 kg helyett 1,5 kg mérősúlyt helyezni FIZ2-17
Fiziki példtár 2 2010 13 ábr 1 H test súrlódás nélkül csúszik le lejtőn, kkor sebessége lenne Mivel lejtőn súrlódásmentesen lefelé mozgó test gyorsulás, így lejtő lján elért sebesség: H lejtőn vn súrlódás, kkor test gyorsulás: A feldt szövege szerint, tehát lejtő ljár érkező test sebessége: A kpott egyenlet: 1 Mivel testek onos gyorsulássl mozognk, gondoltbn egyetlen 3 kg tömegű testként kezelhetjük őket, melyet közös izolációs htár vesz körbe Ekkor fonálerő nem jelenik meg egyenletekben, mert fonl rendszert kijelölő képzeletbeli felületen belül vn, és vektorábrábn csk okt erőket kell feltüntetni, melyek átmennek rendszert burkoló felületen 14 ábr Alklmzuk Newton II törvényét: A köteleket feszítő erő meghtározásához más rendszert kell válsztnunk Olyn részrendszereket kell vizsgálnunk, hol izolációs htáron kötélerő átmegy: 15 ábr A három izolációs rendszerre külön-külön mozgásegyenleteket írhtunk fel: FIZ2-18
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény Az egyenletekből onnl dódik, hogy és b) H vn súrlódás, kkor gyorsulás: A köteleket feszítő erők meghtározásánál súrlódási erőt is figyelembe kell vegyük: 16 ábr Mivel mozgásegyenletek segítségével kötélerők meghtározhtók: Az egyenletrendszer megoldás: 1 és A rendszer gyorsulás: A köteleket feszítő erő: és 1 ) A kocsik onos ngyságú gyorsulássl mozognk: b) Az tömegű gyorsulássl: c) A gyorsulás testet nyomóerő gyorsítj nem változik, gyorsulássl gyorsítni, ezért de nyomóerőnek most tömegű kocsit kell 17 ábr FIZ2-19
Fiziki példtár 2 2010 A 17 ábr lpján lábbi mozgásegyenletek írhtók fel: A két egyenlet összedásávl : egyenletet kpjuk, melyből gyorsulás kifejezhető: 23 Munk, energi, teljesítmény, htásfok 1 A fűnyírót vízszinteshez képest 60 -os szögben álló nyelénél fogv állndó 150 N ngyságú erővel toljuk Htározzuk meg, hogy mennyi munkát végzünk, míg ház előtti 50 m hosszú szkszon végigtoljuk 2 Egy 80 N súlyú gyerek csúszik le egy 2,5 m mgs játszótéri csúszdán Mekkor munkát végez grvitációs erő gyereken? 3 Egy 200 m hosszú knából méterenként 5 kg tömegű célsodronnyl egy 150 kg tömegű terhet emelünk ki Mennyi munkát végzünk, míg terhet kiemeljük? 4 Az eredetileg sztl mellett lógó hosszúságú, tömegű hjszálvékony láncot állndó sebességgel húzzuk fel sztl szélén A láncot végénél fogv 17 ábrán láthtó módon sztl lpjávl párhuzmosn erővel húzzuk Htározzuk meg, hogy mennyi munkát végzünk, míg teljes lánc fele sztlr kerül? A lánc és sztl közötti súrlódás elhnygolhtó 18 ábr 1 Egy 4 kg tömegű test 2 m/s kezdeti sebességgel mozog egy súrlódásmentes, vízszintes felületen Mekkor munkvégzéssel növelhető test sebessége kétszeresére? b Htározzuk meg ehhez szükséges eredő erőt, h sebességváltozás 6 méter hosszú úton következik be! 2 Kezdetben nyuglombn tömegű tégl pusztán grvitációs erő htásár szbdon esik Mekkor tégl sebessége tétele után? lévő távolság meg- 3 Egy 2 g tömegű vttpmcsot 15 m/s sebességgel feldobunk A vttpmcs 10 méter mgsr emelkedik Mennyi munkát végzett légellenállás? FIZ2-20
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény 4 A 18 ábránk megfelelően egy 500 kg tömegű hullámvsúti kocsi elhnygolhtó súrlódású görbe vonlú pályán mozog Sebessége A pontbn 3 m/s Mekkor sebességgel érkezik kocsi pály C tetőpontjár? 19 ábr 1 Egy medence mellett egy 45 -os hjlásszögű, 5 méter mgs csúszd áll A csúszd vége 19 ábr szerint 2 méterrel vn víz szintje felett A csúszd és lecsúszó test közötti súrlódási együtthtó A lejtő ljától mekkor vízszintes távolságbn cspódik vízbe fürdőző? 20 ábr 1 Egy 2 kg-os tömegpont ábrán láthtó helytől függő erő htásár mozog Mennyi munkát végez erő, míg test helyről b Mekkor munkát végez erő -ig terjedő szkszon? -től -re jut? i A munktétel segítségével htározzuk meg test sebességét pontbn! 21 ábr 1 Egy 4 kg tömegű csillár 50 cm hosszú láncon lóg 3,6 méter mgs mennyezetről Mekkor helyzeti energiáj vn csillárnk pdlóhoz, és 1,2 méter mgs sztl lpjához képest? 2 Fürdőszobi mérleg lpj egy 780 N súlyú ember ltt 8 mm-t süllyed FIZ2-21
Fiziki példtár 2 2010 Mekkor mérleg rugójánk rugóállndój? b Mekkor összenyomott rugóbn tárolt potenciális energi? 3 Egy frmotoros csónk 16 km/h állndó sebességgel mozog A víz ellenállás 70 N Mekkor teljesítményt d le motor? 4 Egy 70 kg tömegű fiú 3 s ltt rohn fel 5 méter mgsn lévő emeletre Mekkor átlgos teljesítményt fejt ki? Megoldások: 1 A munk erő és elmozdulás sklárszorztávl meghtározott fiziki mennyiség Mivel feldtbn és ez áltlábn gykorltbn is így vn, elmozdulás és erő vektorok htásvonli nem párhuzmosk, ezért J Megjegyzések: Speciális esetben, h erő és elmozdulás egymásr merőlegesek, kkor nincs munkvégzés, mert A definícióbn erő ngyság állndó Változó erő munkáját másképp htározzuk meg (lásd továbbikbn) 1 A grvitációs erő, és függőleges elmozdulás ugynbb irányb mutt, ezért munkvégzés: J 2 A természetben fellépő erők között vnnk olynok, melyek időben és térben, vgy mindkettőben változnk A feldtbn nemcsk terhet kell felemelni, hnem teherrel együtt célsodronyt is Nyilván nem hnygolhtó el célsodrony súly, mert ilyen nehéz teher felemelése nem történhet súlytlnnk tekinthető kötéllel, ugynis elszkdn teher emelése során A feldt két részre bonthtó A teher emelése állndó erővel történik, hiszen mgánk tehernek súly nem változik emelés során J Tehát A kötél egyenes felemeléséhez szükséges mentén változik Az erő eredetileg hely függvényében knábn egy lógó hosszúságú, tömegű sodronyt állndó sebességgel húzzuk ki knából A lánc emelés során feltekeredik egy hengerre, így hossz, tehát ezzel együtt súly is változik, egyre kisebb lesz, így egyre kevesebb erőre vn szükség, tehát egyre kevesebb lesz munkvégzés A változó erő munkáját htározott integrál segítségével htározhtjuk meg Szemléletes, (de mtemtiki szempontból nem helytálló), h t mondjuk, hogy munk geometrii jelentése, függvénygörbe ltti terület, melyet és htárokhoz trtozó ordináták htárolnk Így, például, h lineáris függvény munk könnyen meghtározhtó Más, bonyolultbb esetben integrálszámítást kell segítségül hívni Példánkbn kötél teljes súly 200 méteren egyenletesen oszlik el, ezért A kötél kiemelésekor végzett munk: FIZ2-22
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény Adtokkl: J A teher kiemelése során végzett munk: J J A teljes munkvégzés: Megjegyzések: A természetben előforduló erők többsége nem egy egyenes mentén változik, hnem görbe mentén (Most nem térünk ki görbe pontos mtemtiki meghtározásár) Ilyenkor munkvégzés egy görbe menti integrál segítségével htározhtó meg A feldt egyszerű megoldás, h úgy gondolkozunk, hogy kötél felhúzás során súlypont emelkedése így munk: Ez megoldás csk kkor lklmhtó, h kötél egészét kiemeljük H csk kötél felét húzzuk fel, kkor: integrál segítségével oldjuk meg feldtot 1 A lánc felhúzásához szükséges erő hely függvényében változik Az előző feldt meggondolási szerint Nem teljes láncot, csk lánc felét húzzuk fel sztlr, ezért 1 A feldtot munktétellel oldjuk meg: Az eredő erő munkáj Az dtok behelyettesítése után: J Mivel sebességváltozás 6m-es úton következett be: 1 Esés közben csk grvitációs erő ht téglár A munktétel szerint test mozgási energiájánk megváltozás egyenlő eredő erő munkájávl: 1 A feldtot munktétellel megoldv J FIZ2-23
Fiziki példtár 2 2010 2 A kocsin csk grvitációs erő végez munkát A pály áltl kifejtett kényszererő merőleges mozgás irányár, ezért munkát nem végez Alklmzuk munktételt grvitációs erő munkájár: A teljes függőleges elmozdulás, ezért 1 Munktétellel htározzuk meg lejtő ljár érkező test sebességét: A csúszd végén vn egy kis vízszintes szksz, ezért ember vízszintes irányú kezdősebességgel hgyj el csúszdát, és mozgás továbbikbn vízszintes hjítás A hjítás ideje: A vízbe vló csobbnás távolság: 1 ) A test J munkát végez J b) c) Amennyiben esetén test nyuglombn volt, kkor munktétel szerint 1 A pdlóhoz képest 124 J helyzeti energiáj vn Az sztllphoz képest 76 J helyzeti energiáj vn 1 A mérleg rugóállndój: A rugó potenciális energiáj: 1 2 FIZ2-24 J
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény 24 Konzervtív erők és energimegmrdás 1 Tekintsünk egy irányár síkbn olyn párhuzmos merőleges iránybn legyen tehát koordinát tengelytől, ngyságávl, nnál erőrendszert, melyben mért távolságától erő ngyság (tehát, ngyobb erő egyenesen hogy ngyság), függ irány erő ngyság Tehát rányos távolodunk pedig mindig párhuzmos párhuzmos tengely irányáb mutt Bizonyítsuk be, hogy ez erőrendszer nem konzervtív A 21 ábr mgyrázt: Az Az egyenes tengellyel egyenes mentén nincs erőhtás mentén Az egyenes ngyságú erő mentén ht, ngyságú erő htásvonl erő ht, htásvonl tengellyel és így tovább 22 ábr 1 Egy tömegű test kezdősebességgel csúszik le egy görbe vonlú súrlódásmentes pályán sebességgel érkezik test pály ljár Milyen mgsról indítottuk testet 2 Oldjuk meg 23 fejezet 8 feldtát (18 ábr) energimegmrdás tételének felhsználásávl! 3 Egy hosszúságú kötélre felfüggesztett ingtestet oldlr kitérítünk úgy, hogy függőlegessel 60 -os szöget zárjon be Mekkor ingtest sebessége mikor legmélyebben vn? (22 ábr) 23 ábr 1 Legyenek 23 ábr hullámvsútjánk dti: kocsi és utsok tömege 1000 kg, kezdeti sebesség pály tetején 5 m/s pály mgsság 10 m Feltéve, hogy súrlódás elhnygolhtó, htározzuk meg kocsi sebességét pály lján! FIZ2-25
Fiziki példtár 2 2010 H súrlódást is figyelembe vesszük, kkor kocsi sebessége pály lján 12 m/s-nk dódik Htározzuk meg lecsúszás közben fejlődő hőt! 24 ábr 1 Egy 1 htásár, kg tömegű melynek test iránybn potenciális mozoght energiáj egy lkbn olyn írhtó, erő hol origótól mért távolság méterben A test teljes energiáj 20 J Állpítsuk meg, hogy milyen messzire jutht test origótól! b Mekkor test mximális sebessége? 2 Htározzuk meg erőt, h potenciálfüggvény Az és konstnsok segítségével fejezzük ki 1 A 23 ábrán zérushelyét! konzervtív iránybn mozgó részecskére htó erőt ábrázolj Adjuk meg kitérés függvényében Állpítsuk meg erő htásár potenciális energiát intervllumbn Legyen potenciális energi értéke értékét! 25 ábr Megoldások: 1 Annk belátásához, hogy erőtér nem konzervtív számítsuk ki végzett munkát, h test A pontból C pontb jut két különböző úton FIZ2-26
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény Az első lehetőség, h test először A-ból B-be, mjd B-ből C-be jut Ekkor munkvégzés: AB szkszon erő null, így munkvégzés is Tehát, mert, mert erő merőleges elmozdulásr 26 ábr Másodszor úgy jutttjuk el testet C pontb, hogy A-ból D-be, mjd D-ből C-be visszük Ekkor munkvégzés:, mert erő merőleges elmozdulásr, és nem null, és párhuzmos erővel, mert erő, elmozdulás Mivel ugynbb pontb, két különböző úton, nem ugynkkor munkvégzéssel jutott el test, erőtér nem konzervtív Áltlábn elmondhtjuk, hogy sebességtől, helytől, vgy időtől függő erők nem konzervtívk A súrlódási erő, közegellenállásból szármó erő nem konzervtív Fontos, hogy grvitációs erő konzervtív 1 A kényszererő mindig felület normálisávl egyirányú, ezért merőleges elmozdulásr, tehát nem végez munkát A konzervtív grvitációs erő egyetlen htó erő, így érvényesül energimegmrdás tétele: 1 Az előző fejezetben ezt feldtot munktétellel oldottuk meg, most hsználjuk energimegmrdás tételét: 27 ábr A test sebessége C pontbn: 1 Ezt feldtot is előzőekhez hsonlón, energimegmrdás tételével oldjuk meg Először htározzuk meg, hogy 60 -kl kitérített test pály lsó pontjához képest mennyivel vn mgsbbn: FIZ2-27
Fiziki példtár 2 2010 28 ábr Az energimegmrdás tétele szerint: 1 ) b) Az energimegmrdás tételét kiterjeszthetjük nem-konzervtív rendszerekre is A lejtő lján most 12 m/s test sebessége, mely kevesebb, mint ) feldtbn kpott érték A hiányzó kinetikus energi súrlódás mitt bekövetkező hőfejlődésben, illetve belső energi növekedésében jelentkezik Most energimegmrdás tételét belső energiváltozás figyelembe vételével írjuk fel: J Adtokkl: 1 ) Jelöljük vl, potenciális energiát kinetiki energiát vl Mivel test csk potenciális és kinetiki energiávl rendelkezik, és rendszer zárt, ezért: hol állndó A fordulópontbn kinetikus energi zérus, ezért Tehát test origótól egység távolságr jutht b) A sebesség kkor mximális, h potenciális energii null: J, kinetikus energi A két egyenlet felhsználásávl: 1 Mivel Az H FIZ2-28 ezért függvény szélsőérték létezésének szükséges feltétele, hogy egyenletet és legyen, ezért oldjuk meg kkor függvénynek szélsőértéke vn
Csordásné Mrton Melind H Fizik feldtgyűjtemény vgy H kkor vgy tehát függvénynek minimum vn kkor tehát függvénynek mximum vn 1 A grfikonról leolvshtó, hogy A potenciál függvény integrálfüggvénye H kkor H kkor: és Grfikonon: 29 ábr Az szemléletesen t fejezi ki, hogy ltti terület 4 egység H függvénynél intervllumbn görbe kkor: és 30 ábr FIZ2-29
Fiziki példtár 2 2010 Az szemléletesen t fejezi ki, hogy ltti terület 12 egység H függvénynél intervllumbn görbe kkor és 31 ábr Az szemléletesen t fejezi ki, hogy ltti terület 12 egység függvénynél intervllumbn görbe Összefogllv: 25 Összefogllás 1 Arisztid és Tsziló egy sétbot lkú nylókát vesznek közösen, és t ábr szerint felfüggesztik, úgy, hogy nylók felfüggesztve pontosn vízszintesen lesz ezután nylókát felfüggesztési pontnál kettétörik Igságosn osztották-e el nylókát? Igen, mert két nylókdrb pontosn egyenlő tömegű b Nem, mert nylók görbe részének ngyobb tömege i Nem, mert nylók egyenes részének ngyobb tömege 1 Melyik mértékegység lehet gyorsulás mértékegysége? N/kg b W/J i J/kg 2 Melyik nem energi mértékegysége? FIZ2-30
Csordásné Mrton Melind Fizik feldtgyűjtemény J b Nm i W Ws 3 Melyik bolygóhoz ér körülbelül 12 perc ltt Npból fény? (A Földre 8 perc ltt ér fény) A Vénuszhoz b A Mrshoz i A Neptunuszhoz 4 Egy rugó nyújttln állpotból vló 5 cm-rel történő megnyújtásához 20 J energiár vn szükség H rugót ebből 5 cm-re már megnyújtott állpotából ugyncsk 5 cm-rel tovább nyújtjuk, kkor 20 J energiár vn szükségünk b 20 J energiánál többre vn szükségünk i 20 J energiánál kevesebbre vn szükségünk 5 Egy liftben elhelyezett fürdőszobmérlegen egy 60 kg tömegű ember áll A lift mozgásbn vn, és mérleg 70 kg-ot jelez Mire következtethet ebből mérlegen álló ember? A lift felfelé gyorsul b A lift lefelé hld i A lift lefelé gyorsul A lift lefelé hld 1 Egy távoli bolygór leszállv sztronuták rugós erőmérőre felfüggesztenek egy 4 kg tömegű testet, és úgy tlálják, hogy 20 N súlyú H ezen légkörrel nem rendelkező bolygón 10 méter mgsságból leejtenek egy testet, kkor gyorsulás b i 4 lesz 0,25 5 lesz lesz 2 Egy szánkójávl együtt 60 kg tömegű gyerek nyuglomból indulv lecsúszik 10 méter mgs dombról, és domb ljábn éppen megáll Mekkor munkát végzett lecsúszás közben súrlódási erő? -6000 J b -12000 J i A lejtő hjlásszögének ismerete nélkül nem állpíthtó meg 3 Ppírlpot helyezünk két tégl közé A ppírlpot nem tudjuk kihúzni Elejtjük téglákt és esésük közben ismét megpróbáljuk kihúzni ppírlpot Sikerülni fog? Nem, mert két tégl esés közben is szorítj ppírlpot FIZ2-31
Fiziki példtár 2 2010 b Sikerül, mert esés közben nem nyomják téglák ppírlpot i Ez csk ügyességünktől függ 4 Növelheti-e test sebességét testre htó súrlódási erő? Nem, mert súrlósási erő mindig ellentétes elmozdulássl, ezért testek egymáshoz viszonyított sebességét csökkenti b Nem, mert súrlódás mindig fékezi mozgást i Igen, mert h földhöz viszonyítjuk mozgást, kkor például teherutó rkterében lévő ládát súrlódási erő együtt mozgtj utóvl Igen, mert súrlódási erő növeli testre htó erők eredőjét Irodlomjegyzék Hudson Alvin -Nelson Rex Útbn modern fizikához, Gábor Dénes Főiskol, 1982 Bozsoki Ann Mári - Bozsoki Zoltán: 400 érdekes fizik feldt, Mozik Okttási Stúdió, Szeged, 1999 Csiszár Imre Győri István: Színes érettségi feldtsorok fizikából, Szeged Dér János - Rdni Gyul : Fizik feldtok, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 1997 Futó László: Fizik és elektronik példtár, Erdészeti és Fipri Egyetem Futó László: Fizik és elektronik I II, Nyugt-mgyrországi Egyetem Geoinformtiki Kr, Székesfehérvár, 2000 Hlász Tibor - Jurisits József : Fizik- közép és emelt szintű érettségire készülőknek, Mozik Kidó, Szeged, 2004 Krácsonyi Rezső : Orvosi egyetemre készülök fizikából, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 2000 Kovács István - Párkányi László: Mechnik I, Tnkönyvkidó, Budpest, 1981 Kovács István - Párkányi László: Termodinmk, Optik, Elektromosságtn, Atomfizik, Tnkönyvkidó, Budpest, 1981 Kövesdi Ktlin: Írásbeli érettségi felvételi feldtok fizikából 89-93, Mozik Okttási Stúdió, Szeged, 1994 Moór Ágnes: Középiskoli fizikpéldtár, Cser Kidó, Budpest, 1999 Ngy Anett Mező Tmás : Fizik, Szeged 2007 Párkányi László : Fizik példtár, Tnkönyvkidó, Budpest, 1976 Rdni Gyul : Felvételi fizikából, Nemzeti Tnkönyvkidó, Budpest, 1990 Székely György: Fizik példtár II, Pnem-Akkord, Budpest, 2000 Szekretár Attil : Felvételi feldtsorok fizikából (1999 2002), Szeged, 2003 FIZ2-32