3. Az ítéletlogika szemantikája (4.2) 3.1 Formula és jelentése minden ítéletváltozó ( V v ) ha A JFF akkor A JFF ha A,B JFF akkor (A B) JFF minden formula előáll az előző három eset véges sokszori alkalmazásával. Egyszerű állítás Összetett állítás interpretáció { i, h } { i, h } Boole-értékelés Formula jelentése mindig igazságérték! 3.2 Formula változószáma Formulában szereplő ítéletváltozók száma 3.3 Formula bázisa Ítéletváltozók halmazának egy rögzített sorrendje. 3.4 Interpretáció I: V v { i, h } 3.5 L0-beli formulák I interpretációbeli Boole-értékelése B I : L0 {i,h} függvény: 1. ha A prímformula, akkor BI(A) legyen I(A) 2. BI( A) legyen BI(A) 3. BI(A B) legyen BI(A) BI(B) stb.
3.6 Egy adott bázishoz tartozó összes interpretáció megadásának módjai a) szemantikus fa b) igazságtábla 3.6.1 Szemantikus fa Legyenek X 1, X 2,, X n logikai változók. Az X 1, X 2,, X n összes interpretációját tartalmazó bináris teljes szemantikus fa, egy olyan n szintű bináris fa, melyben a szintek és a logikai változók közt 1-1 egyértelmű megfeleltetés van. Teljes fa: a fa az összes lehetséges leképezést tartalmazza. Bináris fa: a fa mindig 2-felé ágazik. Az X i -hez rendelt szinten az élpárokban az egyik élhez X i, a másikhoz X i címkét írunk. Egy ág egy interpretáció. Példa: Írjunk az A B C A formulához tartozó szemantikus fát! G A A A 1 A 2 B B B B B 1 B 2 B 3 B 4 C C C C C C C C C 1 C 2 C 3 C 4 C 5 C 6 C 7 C 8 (1) Alaptípus 3.6.2 Igazságtábla Egy n változós formula igazságtáblája egy olyan n+1 oszlopból és 2 n sorból álló táblázat, melynek elemei igazságértékek: 1-n-ig az i. oszlop fejlécében a formula i. bázisváltozója van az (n+1). oszlopban maga a formula van az egyes sorok az összes lehetséges interpretáció szisztematikus felsorolását tartalmazzák az (n+1). oszlop a formula Boole-értékét tartalmazza. (2) Kiterjesztett igazságtábla Olyan igazságtábla, mely ki vannak bővítve az egyes részformuláknak megfelelő oszlopokkal. Példa: A ( B C) A B C B B C A ( B C) i i i h i i i i h h h h
i h i i i i i h h i i i h i i h i i h i h h h i h h i i i i h h h i i i (3) Kiterjesztett egyszerűen A kiterjesztett igazságtábla egy olyan egyszerűsítése, melyben csak az egyes logikai jeleknek ill. ítélet változóknak megfelelő oszlopok vannak, és minden logikai jel alá a hatáskörébe tartozó részformula igazság értéke kerül bejegyzésre (ahol ő a fő logikai összekötő jel). Példa: A ( B C) A ( B C) i i h i i i i i h i i I. MOHÓ kiértékelési mód - mechanikusan II. LUSTA kiértékelési mód - egyes dolgokat felesleges kiértékelni - ha C igaz, akkor B-t nem kell kiértékelni - ha A hamis, akkor az implikáció mindig igaz. ig 2. csoport 3.7 Formula igazságtáblájának értelmezése b: { i, h } n { i, h } b igaz halmaza ( A i ) -{ i, h } n azon részhalmaza, melyhez b az igaz értéket rendeli. b hamis halmaza - { i, h } n azon részhalmaza, melyhez b a hamis értéket rendeli. Példa: A ( B C) A i = { (i,i,i);(i,h,i);(i,h,h);(h,i,i);(h,i,h);(h,h,i);(h,h,h) } A h = { (i,i,h) } A 2 halmaz diszjunkt! Házi feladat: Írd fel a következő formulák igazságtábláját és i/h halmazát! (1) ((A B) B) A (2) (A B) A D
3.8 Az igazságértékelés függvény A i : A A i A h : A A h A i / A h megadása a gyakorlatban az igazságértékelés fával történik. Az igazságérétkelés fát a szerkezeti fa segítségével állítjuk elő: gyökér: a formula maga és i/h halmaz keresése gyerekek: a formula közvetlen részformulái a következő formában. a) ( A) i b) ( A) h a) (A B) i b) (A B) h A h A i A i A h B h a) (A B) i b) (A B) h B i a) (A B) i b) (A B) h A i B i A h A h B i A i B h B h Megjegyzés: léteznek ellentmondásos ágak és fák is! Példa: Határozzuk meg az X Y Z X formula jelentését igazságértékeléssel! (X Y Z X) i (X) h (Y Z X) i A i X Y Z (Y Z) i (Y) i ( X) i (X) h h - - - i i h - -
(Z) i (X Y Z X) h (X) i A h (Y Z X) h (Y Z) h X Y Z i h - i - h ( X) h (Y) h (Z) h (X) i (X) i Házi feladat: Adjuk meg szerkezeti fa (igazságértékelés fa) segítségével ((P Q) (P (Q P))) h (azaz a formula hamis feltételét) ( (P (Q P)) (P R)) h (azaz a formula hamis feltételét)
4. Ítéletlogikai törvények (4.3) 4.1 Tautológia, kielégíthetőség, kielégíthetetlenség Legyen I: L o egy interpretációja, A egy L o beli formula. I kielégíti A-t (I = o A), ha B I (A)=igaz I modellje A-nak, ha B I (A)=igaz A kielégíthető: ha L o -nak van olyan I interpretációja, melyre I = o A. kielégíthetetlen: ha A-nak nincs modellje. tautológia: - ha L o minden I interpretációjára I = o A. - ha A kielégíthetetlen. 1) Kielégíthetőség eldöntése: a. igazságtáblával Ha van olyan sor A igazságtáblájában, ahol a Boole-értéke i. b. igazságértékelés fával Ha A i nem üres, azaz (A) i fában nem minden ág ellentmondásos. 2) Kielégíthetetlenség eldöntése: a. igazságtáblával Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke h. b. igazságértékelés fával Ha (A) i fában minden ág ellentmondásos, tehát A i üres. 3) Tautológia tulajdonság eldöntése: a. igazságtáblával Ha A igazságtáblájában minden sor Boole-értéke i. b. igazságértékelés fával Ha (A) h fa minden ága ellentmondásos, tehát A h üres. Házi feladat: Igazolja, hogy az alábbi formula kielégíthető: A=((P Q) (Q P)) - igazságtáblával - igazságértékelés fával Ha kielégíthető, akkor adjon meg egy a formulát kielégítő interpretációt! 4.2 igazságkiértékelés Jelentése: egy formulában szereplő ítéletváltozók rögzített -igazságkiértékelése mellett keressük a formula helyettesítési értékét. Jelölések: kielégíti A-t: = o A A kielégíthető : = o A A azonosan igaz : = o A A kielégíthetetlen: nem létezik, hogy = o A
Példa: (X Y Z X) i fa alapján döntsük el, hogy a formula helyettesítési értéke a = ( h, i, i ) igazságkiértékelés esetében az ( X, Y, Z ) bázist használva mi lesz. (A) i A i (X) h (Y Z X) i X Y Z h - - (Y Z) i (Y) i (Z) i ( X) i (X) h - i i h - - Mivel A i -ben van illeszkedő ág, így az A formula helyettesítési értéke a megadott helyen: igaz.
4.3 Formulahalmazok Egy = { F 1,..., F n } formulahalmaz kielégíthető: ha van L o -beli I /, hogy I = o { F 1,..., F n }, tehát I = o F 1 és... és I = o F n. I modellje a formulahalmaznak, ha I kielégíti -t. kielégíthetetlen: ha -nak nincs modellje. TÉTEL: Bármely I-re I = o { F 1,..., F n } I = o F 1... F n. Példa: Bizonyítsuk be, hogy a = { A B, A B} formulahalmaz kielégíthető! a) igazságtáblával: van olyan sor, ahol minden formulája igaz. A B A B A B i i i i i h i h h i i i h h h i b) igazságértékeléssel: ((A B) (A B)) i nem minden ága ellentmondásos. ((A B) (A B)) i (A B) i (A B) i (A) i (B) i (A) h (B) i (A) h (B) i Házi feladat: Bizonyítsuk be, hogy = { P Q, P Q } formulahalmaz kielégíthetetlen, és a = { Q Q, R (R Q) } formulahalmaz azonosan igaz.
4.4 Kielégíthetőségi tulajdonságok kapcsolata 4.5 Nevezetes Ítéletlogikai törvények
4.6 Tautológikusan ekvivalens formulák
1. Szemantikus következményfogalom Definíció:Tautológikus következmény ( formula hamaznak a B formula ): = o B, ha I: I = o, akkor I = o B ( vagyis minden modellje B-nek is modellje ). Speciális esetek: - B tautológia: -nak következménye B - kielégíthetetlen: nem beszélünk következmény fogalomról.
Lemma 1: I: I = o { A 1,..., A n } I = o A 1... A n Lemma 2: { A 1,..., A n } = o B A 1... A n B kielégíthetetlen 5.1 Helyes Következtetési formák Def.: Az ( { A 1,..., A n }, B ) helyes következtetési forma, ha { A 1,..., A n } kielégíthető és { A 1,..., A n } tautológikus következménye B.
Példa: Bizonyítsuk be, hogy az ( { A B, A }, B ) helyes következtetési forma! a) igazságtábla: van = (A B) A-t kielégítő sor ( Lemma 1 ). A B A B A - B következmény i i i i i * I i h h i h h h i i h h I h h i h h h b) lusta kiértékelés A feltételformula I(A)=i Mivel A B feltételformula és I(A)=i I(B)=i, tehát van -t kielégítő interpretáció. És B következmény, hiszen minden -t kielégítő I-re: I(B)=i. c) igazságértékelés: van -t kielégítő interpretáció és B következmény, tehát helyes a következtetési forma. ((A B) A) i (A B) i (A) i (A) h x (B) i
5.2 Visszafele következtetés Lemma 2: { A1,..., An } =o B A1... An B kielégíthetetlen
5.3 Előre Következtetés 5.3.1 Legszűkebb következmény:
Hf.: Tk. 85. o. 4.4.2. feladat a), b) MÓDSZER( def. ) - igazságtábla ( Tk. 77. old. ) - lusta kiértékelés ( Tk. 77. old. ) - igazságértékelés ( Tk. 78. old. ) VISSZAKÖVETKEZTETÉS 1) def. szerint a. igazságtábla b. lusta kiértékelés c. igazságértékelés 2) tétel szerint ( Lemma 2 ) a. igazságtábla ( Tk. 83. old. ) b. lusta kiértékelés ( Tk. 83. old. ) c. igazságértékelés ( Tk. 84. old. ) ELŐREKÖVETKEZTETÉS( tétel ) - igazságtábla ( Tk. 85. old. ) - lusta kiértékelés ( Tk. 85. old. ) - igazságértékelés