3. Konzultáció: Kondenzátorok, tekercsek, R és RL tagok, bekapcsolási jelenségek (még nagyon Béta-verzió Zoli 2009. október 28.
1
Tartalomjegyzék 1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek: 4 1.1. Kondenzátorok:............................................. 4 1.2. Tekercsek:................................................ 5 1.3. Nem ideális eszközök:......................................... 6 2. Négypólusok: 6 2.1. Négypólusok általában:......................................... 6 2.2. Soros kapcsolások:........................................... 6 2.2.1. Soros R feszültséggenerátorral:............................... 6 2.2.2. Soros RL feszültséggenerátorral:............................... 12 2.2.3. Soros R áramgenerátorral:.................................. 14 2.2.4. Soros RL áramgenerátorral:.................................. 15 2.3. Párhuzamos kapcsolások:........................................ 15 2.3.1. Párhuzamos R feszültséggenerátorral:............................ 15 2.3.2. Párhuzamos RL feszültséggenerátorral:............................ 15 2.3.3. Párhuzamos R áramgenerátorral:.............................. 15 2.3.4. Párhuzamos RL áramgenerátorral:............................... 16 2
A jegyzetről: Jelen jegyzet a harmadik konzultációm anyagát tartalmazza, egyelőre sajnos még kissé hiányos, de ami ki van dolgozva, az korrektül végig van számolva. A jegyzet tartalmaz olyan levezetéseket, amelyek ismerete nem szükséges a ZH-khoz. Az órákon és ZH-kon általában csak speciális esetekkel foglalkozunk és a megoldások ismerete bőven elég. A levezetések konkrétan differenciálegyenlet-megoldások. A differenciálegyenletek megoldásának készsége nélkülözhetetlen az egyetemen, ezért gondoltam nem árt, ha a jegyzetem ezeket alapból tartalmazza, lehetőleg korrekt végigszámításokkal. A második félévben lévő Differenciálegyenletek (vagy hasonló című tárgy kapcsán elő szoktak fordulni R, illetve RL áramkörök működésének leírása differenciálegyenletek segítségével, ebben sokat segíthet ez a jegyzet. A jegyzet szabadon hozzáférhető a honlapomon, saját felelősségre letölthető és használható, az egyetlen kérésem, hogy senki ne terjessze! Továbbá, hogy tanárok nem tudhatnak róla! A jegyzet esetlegesen hibákat tartalmazhat, ha netán valaki találna, akkor kérem jelezze azt e-mailben! Későbbi verziók várható módosításai, bővitései: a kondenzátorok feszültséggel való töltése külön fejezetbe kerül, továbbá bővül majd periodikus jelek vizsgálatával, állandósult jelalak kiszámításával és egyenáramú leválasztással. Továbbá várható függelékek: határozott integrálok számítása és differenciálegyenletek megoldása (persze szorítkozva a jelen esetben szükséges esetekre. 3
1. Frekvenciafüggő elemek, kondenzátorok és tekercsek: 1.1. Kondenzátorok: A kondenzátor egy töltéstárolásra alkalmas eszköz. Fő jellemző paramétere a kapacitás, mely definíció szerint azt mondja meg, hogy egy kondenzátor hány oulomb töltést tud tárolni 1 Volt feszültség mellett: = Q [] = F F : Farád Egy kondenzátor általános felépítése: van két vezető réteg (ezeket fegyverzeteknek nevezzük, melyeket valamilyen szigetelő választ el (vákuum, levegő, vagy valamilyen dielektrikum. A kapacitás pontos értéke az adott geometriai elrendezéstől függ, így általánosan csupán annyi mondható, hogy a fegyverzetek felületével egyenes, távolságukkal fordítottan arányos a kapacitás 1. Például síkkondenzátor esetén: sik = Q = A ε E E d Ahol A a síkkondenzátor egyik fegyverzetének felülete, d a fegyverzetek távolsága, ε pedig a két fegyverzet közti anyag dielektromos állandója. Most vizsgáljuk olyan tekintetben a kondenzátort, hogy mi történik, ha valamilyen áramot kapcsolunk rá. Ekkor az áramgenerátor által kiadott töltések mind a kondenzátor fegyverzetein halmozódnak fel. Hogyan is kell ezt precízen megfogalmazni? A kondenzátor összegyüjti az időben érkező töltéseket, vagyis nem csinál mást, mint az áramot idő szerint integrálja: Q(t = = ε A d I(t + Q 0 (1 Ahol Q 0 a kondenzátoron a t = 0 időpillanatban lévő töltés (egy konstans paraméter. A kapacitás definíciója alapján ebből megkapható a kondenzátor időfüggő feszültsége: (t = Q(t = 1 I(t + Q 0 = 1 I(t + 0 (2 Ahogy fent is jelölve van, a kezdeti Q 0 töltés egy Q0 = 0 kezdeti feszültséget okoz a kondenzátorban. De mi van abban az esetben, ha nem áramot, hanem feszültséget kapcsolunk a kondenzátorra? Ebben az esetben az áram időfüggése a kérdéses, így az ide vonatkozó összefüggést a (2 egyenlet idő szerinti deriválásával kaphatjuk meg: (t = 1 d(t I(t + Q 0 = 1 I(t + d Q 0 } {{ } =0 I(t = d(t Összefoglalva a számunkra szükséges összefüggések: / d (3 / (4 (5 (t = 1 I(t + Q 0 I(t = d(t (6 1 A pontos számításokhoz a Gauss-törvényt kell alkalmazni (ez egyben az I. Maxwell egyenlet: E( rdf = Q. Továbbá a potenciált is A ε 0 az = E( rdr integrállal kell kiszámítani. 4
Eredő kapacitás: ugyan úgy, ahogy az ellenállásokat, a kondenzátorokat is lehet sorosan, illetve párhuzamosan kapcsolni és ezeknek is van egy eredő kapacitása. Soros kapcsolás esetén: e = 1 2... n (7 Szemléletesen úgy is lehet tekinteni, mintha az egymás utáni kondenzátorok fegyverzetei közti szigetelőrétegek vastagságai összeadódnának (nő a d, csökken a kapacitás. Párhuzamos kapcsolás esetén: e = n k (8 Szemléletesen: mintha a párhuzamosan kapcsolt kondenzátorok felületei összeadódnának. 1.2. Tekercsek: k=1 Egy tekercs jellemző paramétere az induktivitás. Hasonlóan, mint a kondenzátor esetében, itt is a konkrét geometriától függ, hogy ez a paraméter mekkora. Általánosan annyi mondható, hogy minél nagyobb az n menetszám (változatlan N tekercshosszúság mellett, és nagyobb a felület, annál nagyobb az induktivitás. Egy egyszerű henger alakú tekercs esetében: L = µ N 2 A l [L] = H H : Henry Ahol A a henger alapjának felülete, l a tekercs hossza, N a menetszáma, µ a tekercs belsejét kitöltő anyag permeabilitása. Ha valamilyen áramot kapcsolunk a tekercsre, akkor az indukciós törvény alapján: (t = L di(t Ebből integrálással kapható meg az az eset, amikor a feszültség adott, és az áram ismeretlen: (9 (t = L di(t / (10 (t + L I 0 = L I(t /: L (11 I(t = 1 L (t + I 0 (12 Ahol I 0 egy integrációs konstans, jelentése: a t = 0 időpillanatban a folyó áram 2. A számunkra lényeges két fő összefüggés tehát: (t = L di(t I(t = 1 L (t + I 0 (13 Eredő induktivitás: a rizsa hasonló, mint a kondiknál. Soros kapcsolás esetén: Párhuzamos kapcsolás esetén: n L e = L k (14 k=1 L e = L 1 L 2... L n (15 2 Ez a jelentés rögtön meg is kapható, ha az I(t = 1 L t (t + I egyenletbe behelyettesítjük a = t = 0 kezdeti paramétereket, 0 ekkor az integrál értéke 0, és marad az, hogy I(t = 0 = I 0. 5
1.3. Nem ideális eszközök: Természetesen (ahogy forrásoknál és műszereknél is megbeszéltük már, ideális tekercsek és kondenzátorok sincsenek. Sőt, ami azt illeti, sok esetben messze nem tekinthetőek az egyes eszközök pusztán tekercsnek, vagy kondenzátornak (vagy akár ellenállásnak. Tekercs esetében: ha nagy induktivitású tekercset akarunk készíteni, akkor minél nagyobb menetszámot kell feltekercselnünk minél kisebb helyre. Ez így hosszú és vékony vezetékkel érhető el, ami egyértelműen nagy ellenállást jelent. Emellett az egymás mellett lévő huzalok kondenzátornak is felfoghatóak, így részben ellenállások, és kondenzátorok is. De azt hozzá kell tenni, hogy az idealizált esettől való eltérések nem mindíg mutatkoznak meg látványosan. Kapacitások esetében: kapacitásoknál a lényeg a minél nagyobb felölet, és minél közelebbi vezető rétegek. Ahhoz, hogy ezek használhatóak legyenek, minél vékonyabb anyagokat kell minél kisebb helyre összepréselni. A vékony vezetőrétegek ellenállása szintén lehet nagy (bár messze nem olyan nagy, mint a hosszú vékony vezetékeké, továbbá a feltekert vezetőrétegek valamelyest tekercsként is felfoghatóak, így a kapacitás mellett is jelen lehet mind az ohm-os ellenállás, mind az induktivitás. Általában nagyon nehéz jó tekercseket készíteni, kondenzátorokból jobbak vannak, ezért ha egy áramkör megvalósítható tekercses kapcsolások helyett kondenzátorokkal is, akkor inkább a kondenzátorosat választják. 2. Négypólusok: 2.1. Négypólusok általában: Általában négypólusnak nevezünk egy olyan "dobozt", aminek van két bemeneti pontja, és két kimeneti pontja. Előfordulhat, hogy egy négypólus belső felépítése ismeretlen. Ekkor, ha meg szeretnénk tudni, hogy mit is rejt a doboz, akkor valahogy meg kell vizsgálnunk (lehetőleg nem kalapáccsal ;. A vizsgálatnak többféle módja is lehet. Az egyik mód, hogy különböző időfüggésű feszültség és áramjeleket adunk be az egyik oldalon, és megnézzük, hogy miként alakul a "túlvég". Ennek egy speciális esete, ha különböző frekvenciájú szinuszos jeleket adunk be az egyik oldalon, majd megfigyeljük, hogy a kimenet amplitúdója és fázisa hogyan viszonyul a bemenethez képest. Ez utóbbi vizsgálatra később térünk vissza. A következőkben megnézzük, hogy különböző időfüggő jelekre hogyan reagálnak a soros és párhuzamos R és RL kapcsolások. Most először megnézzük, hogy az egyes kapcsolások hogyan reagálnak tetszőleges időfüggésű áramokra és feszültségekre. Ezek egy részét "Bekapcsolási jelenségeknek 3 " is szokás nevezni. Külön kell választanunk az RL és R kapcsolásokat soros-párhuzamos esetekre, valamint ezeken belül is még áramgenerátor és feszültséggenerátor esetére is. 2.2. Soros kapcsolások: 2.2.1. Soros R feszültséggenerátorral: Általánosan: Ekkor az időfüggő feszülség tekinthető "adottnak", és ennek megfelelően alakul majd az áram. Továbbá a huroktörvény itt is teljesül: egy adott pillanatban a kondenzátoron és az ellenáson eső feszültségek összege megegyezik a generátor feszültségéve. Induljunk ki ebből: g (t = R (t + (t (16 g (t = R I(t + 1 I(t + Q 0 3 A bekapcsolási jelenségek konkrétan azt takarják, hogy ha rákapcsolunk egy feszültséget, vagy áramot egy kapcsolásra, akkor abban különböző jelalakok fordulnak elő. Például ha felkattintunk egy kapcsolót, akkor durva közelítéssel az történik, hogy t = 0 idő alatv -ról egy bizonyos feszültségre ugrik fel a potenciál, ekkor nem árt, ha tudjuk, hogy mi törtnik bekapcsoláskor az áramkörben. De ugyanakkor az is előfordulhat, hogy mondjuk lineárisan növeljük az áramot, és így állítjuk be a kívánt értéket (lehet, hogy pont bizonyos bekapcsolási jelenségek kivédése érdekében. (17 6
Ez így egy integrálegyenlet I(t-re. Az integrálegyenleteket "nem szeretjük", a differenciálegyenleteket sokkal inkább, ezért inkább deriváljuk le az integrálegyenletet, és oldjuk meg a kapott differenciálegyenletet! di(t g (t = R I(t + 1 d g (t = R di(t + 1 R I(t = 1 R d g(t I(t + Q 0 / d (18 + 1 I(t /: R (19 Ez így egy inhomogén differenciálegyenlet az I(t áramra. Az ilyen differenciálegyenletek általános megoldása úgy kapható meg, ha összeadjuk a homogén eset általános megoldását és az inhomogén egyenlet egy partikuláris megoldását: I(t = I h (t + I p (t (21 A homogén eset az (20 egyenlet esetéban az, amikor a differenciálegyenlet jobb oldala 0. A homogén egyenletből kapott megoldás alapján írjuk fel először a partikuláris megoldást. Tehát vizsgáljuk először a homogén esetet: di h (t + 1 R I h(t = 0 (22 di h (t = 1 R I h(t (23 1 I h (t di h(t + ln 1 A = 1 (24 R ln I h (t + ln 1 A = t R (25 ln I h(t = t A R (26 I h (t A = e t R (27 I h (t = A e t R (28 Szokásos jelölés az R = τ, ahol τ egy idő dimenziójú mennyiség, karakterisztikus időnek, vagy időállandónak is szokás nevezni, egy adott R kapcsolásra jellemző érték. A homogén egyenlet megoldása így: (20 I h (t = A e t τ (29 Az egyenletekben A egy integrációs konstans, melynek jelentését akkor kapjuk meg, ha a megoldást illesztjük t = 0-ban a kezdeti feltételekhez. Vagyis: I h (t = 0 = A e 0 τ }{{} = A := I 0 (30 =1 Vagyis A az az áram, amely az áramkörben t = 0 időpillanatban folyik. Ezt a megoldást később még részletezzük a lépcsőfüggvényes speciális esetnél. Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldását hasonló alakúnak feltételezzük, mint a (29 homogén megoldást. A különbség az, hogy ebben az esetben az A integrációs konstansnál feltételezzük, hogy van valamilyen időfüggése. Tehát a partikuláris megoldás alakja: I p (t = A(t e t τ (31 Ekkor persze A(t egy ismeretlen függvény. Ahhoz, hogy megkapjuk az A(t függvényt, és ezáltal a teljes partikuláris megoldást, a partikuláris megoldás feltételezett (31 alakját be kell helyettesítenünk az (20 inhomogén differenciálegyenletbe: da(t d ( e t τ + A(t ( 1 τ A(t e t τ di p (t + 1 τ I p(t = 1 R d g(t + 1 τ A(t e t τ = 1 R d g(t e t 1 τ + τ A(t e t τ = 1 R d g(t (32 (33 (34 7
Így a partikuláris megoldás: da(t e t τ = 1 R d / g(t e t τ (35 da(t = 1 R d g(t e t τ (36 A(t = 1 dg (t e t τ (37 R I p (t = 1 R És az inhomogán egyenlet általános megoldása: I(t = I 0 e t τ + 1 R ( dg (t ( dg (t e t τ e t τ (38 Az integrál természetesen nem számítható ki a konkrét feszültségfüggvény ismrete nélkül. Egy speciális megoldás: lépcsőfüggvény esetében e t τ e t τ (39 Vegyük azt az esetet, amikor t = 0-ban rákapcsolunk egy konstans feszültséget a kapcsolásra. Ekkor g (t-t lépcsőfüggvénynek is szokás nevezni, matematikai megfogalmazásban 4 : { 0 ha t < 0s g (t = ha t 0s 1. ábra. (t lépcsőfüggvény Továbbá a kondenzátoron kezdetben ne legyen semennyi töltés (Q 0 = 0. Számunkra csupán a t = 0 utáni időszak érdekes. Ebben a tartományban a feszültésg időben állandó, vagyis deriváltja zérus. Ez nem más, mint a differenciálegyenletünk homogén esete: di(t + 1 R I(t = 1 R d g(t = 1 R d }{{} =0 (40 Ennek megoldását ismerjük: di(t + 1 I(t = 0 (41 R I(t = A e t τ (42 4 A lépcsőfüggvényt szokás Heavyside-függvénynek is nevezni, különböző függvények és függvénysorozatok limeseként is szokás felírni, most mi egy egyszerűbb megfogalmazásnál maradunk. 8
Ahhoz, hogy megkapjuk az A paraméter értékét (azt már tudjuk, hogy kezdeti áram lesz, de hogy mégis mik határozzák meg, azt még csak sejthetjük, vissza kell helyettesítenünk az EREDETI egyenletbe, NEM A DIFFER- ENIÁLEGYENLETBE!!! 5 Azt kell csinálni, hogy az eredeti integrálegyenletbe (17 kell visszaírni a megoldást, mégpedig úgy, hogy az integrál = 0-tól t-ig tart: = R I(t + 1 = R A e t τ + 1 = R A e t A τ + = R A e t A τ + I(t (46 A e t [ τ e t τ [( τ e t τ τ ] t =t t ==0 = R A e t A [ τ + τ e t τ = R A e t τ + A τ ( 1 e t τ = R A e t A ( τ + R 1 e t τ = R A e t τ + R A (1 e t τ ( τ e 0 τ }{{} ] + τ =1 ] (47 (48 (49 (50 (51 (52 (53 = R A e t τ + R A R A e t τ (54 = R A (55 A = R := I (56 Ha belegondolunk, akkor ez egy tökéletesen ésszerű megoldás, ugyanis abban a pillanatban, mikor bekapcsoljuk a feszültséget, a kondenzátor még semmilyen ellenállást nem tanusít. Egyedül az Ohm-os ellenállás korlátozza az elektronok áramlását, vagyis az Ohm-törvénynek megfelelő áram folyik, ami megegyezik a mostani I-vel. Tehát az áram: I(t = R e t τ = I e t τ (57 2. ábra. Az áramkörben folyó I(t áram, fépcsős generátorfeszültség esetén 5 Ha nem az eredeti egyenletbe helyettesítünk vissza, akkor nem kapjuk meg az A paraméter értékét: di(t + 1 I(t = 0 (43 R ( A 1 e τ t τ + 1 τ A e τ t = 0 (44 0 = 0 (45 9
Ennek megfelelően az ellenálláson eső feszültséget rögtön kiszámolhatjuk: R (t = R I(t = R R e t τ = e t τ (58 3. ábra. Az ellenálláson eső R (t feszültség lépcsős generátorfeszültség esetén És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége: (t = g (t R (t = e t τ = (1 e t τ (59 4. ábra. Az kondenzátoron eső (t feszültség lépcsős generátorfeszültség esetén (kondenzátor töltődése Az eredmények összefoglalva: I(t = R e t τ R (t = e t τ (t = 1 e t τ (60 Megjegyzés: jogosan merülhet fel az a kérdés, hogy miért van az, hogy a homogén megoldást az integrálegyenletbe helyettesítettük vissza, hogy megkapjuk az A paramétert, míg a partikuláris megoldás esetében az inhomogén differenciálegyenletbe. Azért az integrálegyenletbe helyettesítettünk vissza a homogén esetben, mert a deriválással elveszítjük a konstanst, amiből az A paramétert megkapjhatjuk. Nem veszítünk el akkor semmit, ha a partikuláris megoldást nem oda írjuk vissza? Nem! Mivel csak olyan információt veszítünk el a deriválással, ami a homogén esethez tartozik, vagyis a partikuláris megoldásnak nem része, mivel az csak olyan megoldásokat tartalmaz, melyek esetében a jobb oldal nem nulla, vagyis konstanstól különbözik. 10
A kondenzátorok töltődése: Most kicsit részletezzük a kondenzátorok töltődését, valamint megbeszéljük a hasonló jellegű görbék pár jellemvonását. A korábbi képletek alapján kiszámítható, hogy tetszőleges idő elteltével mekkora lesz egy kondenzátor feszültsége (és mivel az ellenálláson lévő feszültség (t, ez is hasonlóan egyszerűséggel számítható. Előfotdul, hogy nem az idő adott, hanem azt kell meghatározni, hogy mennyi idő alatt töltődik fel egy kondenzátor valamekkora feszültségre. Ekkor (117 alapján: (t = 1 e t τ (61 (t = 1 e t τ (62 e t τ = 1 (t t ( = ln 1 (t τ ( t = τ ln 1 (t A kondenzátor töltődési idejének azt az időt nevezzük, amennyi idő alatt a kondenzátor 0.1 -ról 0.9 -ig feltöltődik, mint ahogy a 5. ábrán is látható. Legyen t 1 az az időtartam, ameddig a kondenzátor 0.1 -ig feltölt, t 2 pedig az az idő, amíg 0.9 -ra feltőlt, ekkor t tolt = t 2 t 1. Ez az előző összefüggés alapján: ( t tolt = t 2 t 1 = τ ln 1 ( (t 2 + τ ln 1 (t 1 = ( = τ ln 1 0.9 ( + τ ln 1 0.1 = τ ln(1 0.9 + τ ln(1 0.1 = 0.9 = τ ln(0.1 + τ ln(0.9 = τ (ln(0.9 ln(0.1 = τ ln = 0.1 = τ ln(9 = 2.19722 τ 2.2 τ (63 (64 (65 Tehát a töltődési idő: 5. ábra. A kondenzátor töltési ideje t tolt 2.2 τ (66 A töltődési idő egy eléggé önkényes definíció, semmi komoly fizikai alapja nincs. Az 5. ábrán egyértelműen látható, hogy messze sem mondható, hogy ennyi idő alatt feltölt a kondenzátor. Talán a legtöbben azt mondanánk, hogy úgy kb. 5 6 τ idő az, amíg 0-ról közel a maximumig tölt. De ez épp ugyan olyan onkényes definíció volna, mint a 2.2 τ-s definíció... 11
2.2.2. Soros RL feszültséggenerátorral: Általánosan: Most is abból indulunk ki, hogy a feszültségek összeadódnak: g (t = R (t + L (t (67 g (t = R I(t + L di(t (68 Szuper! gyanis rögtön egy differenciálegyenlet adódott. Ráadásul hasonló alakú, mint az imént. Az egyetlen dolgunk, hogy leosszunk az induktivitással, és máris beazonosíthatjuk a megoldásokat. di(t + R L I(t = g(t L Tehát ismét inhomogén a differenciálegyenletünk, a megoldás hasonló képen keresendő, mint az előbb: (69 A homogén esetet vizsgálva: I(t = I h (t + I p (t (70 di h (t + R L I h(t = 0 (71 Ez ugyan az a differenciálegyenlet, mint az R esetében, az egyetlen különbség, hogy most τ = L R. Tehát a homogén eset általános megoldása (29-hez hasonlóan: Ez alapján az inhomogén eset partikuláris megoldásának feltételezett alakja: Visszahelyettesítve az eredeti differenciálegyenletbe: da(t di p (t I h (t = A e t τ (72 I p (t = A(t e t τ (73 + 1 τ I p(t = g(t L ( e t τ + A(t 1 e t 1 τ + τ τ A(t e t τ = g(t L da(t (74 (75 e t τ = g(t (76 L da(t = g(t L e t τ (77 A(t = 1 g (t e t τ (78 L Tehát az általános megoldás: I(t = A e t τ + ( 1 L g (t e t τ e t τ (79 Egy speciális megoldás: lépcsőfüggvény esete Most is vizsgáljuk meg azt a speciális esetet, amikor ugrásfüggvény érkezik a kapcsolásra. { 0 ha t < 0s g (t = ha t 0s Tehát t = 0 után g (t =. Ekkor a differenciálegyenlet: di(t + R L I(t = L (80 12
6. ábra. Az (t lépcsős generátorfeszültség Nézzük meg az inhomogén esetet: A(t = 1 L = τ L Így a partikuláris megoldás: 0 [ g (t e t τ = 1 L ] e t τ e 0 τ }{{} =1 = L R L I p (t = A(t e t τ Ekkor az inhomogén egyenlet általános megoldása: 0 e t τ = L (e t τ 1 = (e t τ 1 R 0 e t τ = L = (e t τ 1 e t τ = 1 e t τ R R I(t = I h (t + I p (t = A e t τ + 1 e t τ R Az A paraméter jelentsének megértéséhez helyettesítsük be a t = 0 időpontot ] t [τ e t =t τ = (81 t =0 I(t = 0 = A e 0 τ }{{} + 1 e 0 τ R }{{} = A + (1 1 = A (85 R } {{ } =1 =1 =0 Tehát A nem más most sem, mint egy I kezdeti áram az áramkörben 6. Jelen esetben nincs ilyen, de ha volna, akkor az exponenciálisan lecsengene, elhalna. Így a mostani áram: I(t = R 1 e t τ (82 (83 (84 (86 7. ábra. Az áramkörben folyó I(t áram lépcsős generátorfeszültség esetén Ennek megfelelően az ellenálláson eső feszültséget rögtön kiszámolhatjuk: R (t = R I(t = R 1 e t τ = 1 e t τ R (87 13
8. ábra. Az ellenálláson eső R (t feszültség lépcsős generátorfeszültség esetén És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a tekercs feszültsége: L (t = g (t R (t = 1 e t τ = e t τ (88 9. ábra. Az induktivitáson eső L (t feszültség lépcsős generátorfeszültség esetén Az eredmények összefoglalva: I(t = R 1 e t τ R (t = 1 e t τ L (t = e t τ (89 2.2.3. Soros R áramgenerátorral: Ez egy nagyon jó kis eset, mert ekkor nincs sok számolni valónk. Soros kapcsolás lévén az összes elemen folyó áram ugyan az kell legyen, és most pont a generátor mondja meg, hogy mi legyen ez az áram: Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát: A kondenzátor meg a korábban megbeszélteknek megfelelően integrál: (t = 1 I g (t = I R (t = I (t (90 R (t = R I g (t (91 I g (t + 0 (92 6 Ezt úgy kéne elképzelni, hogy kezben direkt folyatunk egy áramot (már jó sok ideje, mondjuk áramgenerátorral tápláljuk, majd t = 0 időpillanatban rövidre zárjuk az áramgenerátor helyét. Ekkor az indukció miatt a tekercs még egy ideig folyatja az áramot, de az Ohm-os ellenállás okozta veszteségek miatt leáll az áramlás. 14
2.2.4. Soros RL áramgenerátorral: Ez is egy kedvelt eset hasonló okokból. Az áramok: I g (t = I R (t = I L (t (93 Ekkor az ellenállás feszültsége "leköveti" a generátor áramát: R (t = R I g (t (94 A tekercs pedig "derivál": L (t = L di g(t (95 2.3. Párhuzamos kapcsolások: 2.3.1. Párhuzamos R feszültséggenerátorral: Párhuzamos kapcsolás esetén a feszültségek megegyeznek. Mivel pont feszültséggenerátor van az áramkörre kapcsolva, ezért a generátor mondja meg azt. Így ismét egy egyszerű esettel állunk szemben: g (t = R (t = (t (96 Az ellenálláson folyó áram "leköveti" a feszültséggenerátor jelét: A kondenzátor pedig "derivál": I R (t = g(t R I (t = d g(t (97 (98 2.3.2. Párhuzamos RL feszültséggenerátorral: Ez a másik könnyű eset párhuzamos kapcsolás esetén. A feszültségek itt is megegyeznek, tehát: Az ellenállás hasonló, mint az előbb: g (t = R (t = L (t (99 A tekercs viszont integrál: I R (t = g(t R (100 I L (t = 1 L 2.3.3. Párhuzamos R áramgenerátorral: g (t + I 0 (101 Általánosan: Na ez már nem olyan egyszerű, mint az előző pár eset. Induljunk ki abból, hogy áramgenerátor által leadott áram megoszlik a két alkatrész között, vagyis: Írjuk be az egyes értékek számítási módjait: I g (t = (t R I g (t = I R (t + I (t (102 + d(t Ezen egyenletekben az (t nem más, mint a két elemen ugyan abban a pillanatban eső feszültség. Erre a feszültségre kaptunk tehát egy differenciálegyenletet, ami pont olyan, mint a soros kapcsolás esetében az RL kapcsolásé volt, (103 15
a különbség az, hogy itt L helyett van, R helyett 1 R, valamint az áramok és feszültségek szerepe felcserélődött. Írjuk fel a differenciálegyenletet hasonló alakban, mint a korábbi esetnél: d(t + 1 R (t = 1 I g(t (104 A megoldás számításának módja ugyan az, mint korábban. Az általános megoldás: ( (t = 0 e t 1 τ + I g (t e t τ e t τ (105 Természetesen most τ = L R. 0 jelentése: ha kezdetben van valamekkora töltés a kondenzátoron, akkor ez egy bizonyos potenciálkülönbséget okoz. Ekkor elindul egy áram az ellenálláson keresztül a kondenzátor másik fegyverzete felé, a töltéskiegyenlítődés érdekében. Ha nem lenne ellenállás, akkor 0 idő alatt végbemenne a kiegyenlítődés, de mivel van, így csupán exponenciálisan csökken. Speciális eset: ugrásfüggvény Ebben az esetben a feszültség: Ennek alapján az ellenálláson folyó áram: A kondenzátor árama pedig: { 0 ha t < 0s I g (t = I ha t 0s (t = I R 1 e t τ I R (t = (t R = 1 R I R 1 e t τ = I 1 e t τ (106 (107 I (t = I g (t I R (t = I I 1 e t τ = I e t τ (108 Összefoglalva: (t = I R 1 e t τ I R (t = I 1 e t τ I (t = I e t τ (109 Gondoljunk bele, hogy mit is jelentenek az eredmények: kezdetben a kondenzátor nem jelent semekkora ellenállást, ezért nagy áram folyik. Ahogy kezd feltöltődni, a potenciálkülönbség egyre nagyobb lesz, és elkezdi akadályozni az áramlást. A töltődésből származó potenciál jelenik meg az ellenálláson, és az ennek megfelelő áram folyik azon. A kondenzátor akkora feszültségre tölt fel, mint ami akkor esne a kapcsoláson, ha az ellenálláson folyna az összes generátoráram. 2.3.4. Párhuzamos RL áramgenerátorral: Általánosan: Ez az eset a feszültséggenerátoros soros R esethez lesz hasonló. Persze hasonlóan az előbbi esethez, itt is felcserélődik L és szerepe, valamint a feszültség és áram is. De azért írjuk fel rendesen az áramkört jellemző egyenleteket. Induljunk ki hasonlóan, mint az előző esetben: I g (t = I R (t + I L (t (110 I g (t = (t R + 1 L Ez ugye egy integrálegyenlet, amit nem szeretünk, ezért lederiváljuk: (t + I 0 (111 d(t di g (t = 1 d(t R + R L (t = R di g(t + 1 L (t + di 0 }{{} =0 (112 (113 16
A megoldás: Speciális eset: ugrásfüggvény (t = 0 e t τ ( dig (t + R e t τ e t τ (114 { 0 ha t < 0s I g (t = I ha t 0s A speciális megoldás is hasonló alakú lesz, mint a soros R feszültséggenerátor esetében: (t = e t τ = I R e t τ (115 Ennek megfelelően az ellenálláson eső feszültséget rögtön kiszámolhatjuk: I R (t = I e t τ (116 És mivel a huroktörvénynek teljesülnie kell, így a kondenzátor feszültsége: I (t = I 1 e t τ Az eredmények összefoglalva: (t = I R e t τ I R (t = I e t τ I (t = I 1 e t τ (117 (118 17