II. Hipotézisvizsgálat Lényege: A sokaság valamely paraméteréről állítunk valamit, majd az állításunk helyességét vizsgáljuk. A hipotézisvizsgálat eszköze: a statisztikai próba Menete: 1.Hipotézisek matematikai megfogalmazása H 0 : Nullhipotézis; H 1 : Alternatív hipotézis;
Pl.: H 0 : =m 0 (= 40kg) H 1 : m 0 vagy <m 0 vagy m 0 <. Próbafüggvény kiválasztása, aktuális értékének kiszámítása Pl.: x m n 0 z
3. Elfogadási tartomány meghatározása a) kétoldali kritikus tartomány H 1 : m 0 1 z E z 1 E: [z ;z ] 1
b) baloldali kritikus tartomány H 1 : <m 0 z 1 E E: [ z ; [
c) jobboldali kritikus tartomány H 1 : m 0 < 1 E: E ] ;z1 ] z 1 4. Döntés
A hipotézisvizsgálat során elkövethető hibák: Döntés Valóság H 0 igaz H 1 igaz H 0 t elfogadjuk Helyes döntés Másodfajú hiba () H 1 et elfogadjuk Elsőfajú hiba (α=5%) Helyes döntés
Egymintás próba várható értékre Egymintás z-próba A babkávét csomagoló automaták töltik zacskókba. Az előírás szerinti átlagos töltési tömeg 50 g, a szórás 7 g. A csomagolási tömeg ellenőrzésére vett 100 elemű mintában az átlagos töltési tömeg 5 g volt. Ellenőrizze 5 %-os szignifikancia szinten azt a feltevést, hogy a csomagolás megfelel az előírásnak! Megoldás:
1.Hipotézisek matematikai megfogalmazása H 0 : = H 1 : kétoldali kritikus tartomány. Próbafüggvény kiválasztása, aktuális értékének kiszámítása z 0 x m 0 σ n
3. Elfogadási tartomány meghatározása,5% 95% 50 E,5% 1-α 5,86 z z E 1 E : [z ;z 1 ] E: [z ;z ] 1 [ z ;z0,975 0,05 ] 4. Döntés H 0 -t elvetjük, H 1 -t elfogadjuk.
Egymintás t-próba Egy bizonyos típusú személygépkocsi átlagos fogyasztása a gyártó vállalat szerint 8,5 liter/100 km. Egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztott 30 gépkocsi átlagos fogyasztása 9,1 liter/100 km volt, melytől az egyes gépkocsik fogyasztása átlagosan, liter/100 km-rel tért el. Döntse el, hogy megfelelő-e az autók fogyasztása! (=0,05) Megoldás:
1.Hipotézisek matematikai megfogalmazása H 0 : = H 1 : jobboldali kritikus tartomány. Próbafüggvény kiválasztása, aktuális értékének kiszámítása x m0 t 0 s n
3. Elfogadási tartomány meghatározása 95% 5% 1-α 1 E 1,08 0,80 E : E ; t (szf ) t1 1szf ( ) E: ; t 1 (szf ) 4. Döntés H 0 -t elfogadjuk
Egymintás próba sokasági arányra Egy javítószolgálat jelentéseiből ismeretes, hogy a jelenleg gyártott színes TV-k 10 %-a szorul garanciális javításra. Egy új típusból 50 darabos kísérleti sorozatot gyártottak, ezek közül 3 darabot kellett a garanciális időszakban javítani. Ellenőrizze 5 %-os szignifikancia szinten azt a hipotézist, hogy jobb-e az új TV! Megoldás:
1.Hipotézisek matematikai megfogalmazása H 0 : P = H 1 : P baloldali kritikus tartomány. Próbafüggvény kiválasztása, aktuális értékének kiszámítása z 0 p P 0 P Q 0 0 n
3. Elfogadási tartomány meghatározása z α = - z 1-α Z 0,05 = -1,64 5% 95% 10 E 9, -0,4 z E : 1-α E z ; Z 1-α α E: [z ; [ 4. Döntés H 0 -t elfogadjuk.
étmintás statisztikai próbák étmintás t-próba Egy két műszakban dolgozó vállalatnál műszakonként 60, illetve 40 véletlenszerűen kiválasztott dolgozó teljesítményét mérték meg. Az I. műszakból mintába került dolgozók átlagos teljesítménye 3 db volt, 3 db szórással. A II. műszakban az átlagteljesítmény 5db, ettől az egyes dolgozók teljesítménye átlagosan,5 db-bal tért el. ( A szórások közt nincs szignifikáns eltérés.) Állapítsa meg van-e szignifikáns különbség a két műszakban dolgozók átlagos teljesítménye között! (=0,05)
Megoldás: n 1 60 x 1 3 s 1 3 40 x 5 s, 5 n
1. H 0 : 1 - = H 1 : 1 - kétoldali kritikus tartomány. t s x 1 0 d x 0 1 1 n1 n s d 3. E: t (szf ) ;t (szf) 1 4. H 0 -t elvetjük, H 1 -et elfogadjuk.
Többmintás statisztikai próbák: Varianciaanalízis ülönböző vizsganapokon írt dolgozatok közül egyszerű véletlen mintavétellel kiválasztottak 5-5 dolgozatot. (A szórások közt nincs szignifikáns különbség.) Vizsgasor A B C D Pontszámok 65, 55, 84, 80, 50 60, 84, 90, 80, 8 40, 49, 60, 70, 6 38, 50, 70, 55, 60 Ellenőrizze 5 %-os szignifikancia szinten azt a feltevést, hogy a vizsgasorok összességükben azonos nehézségűek voltak-e!
Pontszámok 1.. F A B C D 65, 55, 84, 80, 50 60, 84, 90, 80, 8 40, 49, 60, 70, 6 38, 50, 70, 55, 60 H 0 : μ 1 = μ =μ 3 =μ 4 H 1 : létezik i, melyre S M S 1 B n M x1 s1 x s x3 s3 x4 s4 x Helyes H 0 esetén F 0 az 1-nél egy kicsit lehet nagyobb.
F 0 S M 1 n S B M S = S B =
3. F-eloszlás sűrűségfüggvénye 1-α E F (szf1 ) (szf )1 E: [0;F (M-1) (n-m)1- ] 4. H 0 -t elvetjük, H 1 -et elfogadjuk.