Budapesti Műszaki és Gazdaságtudoányi Egyete Gépészérnöki Kar Műszaki Mechanikai Tanszék Hiper és hipoelasztikus testek konstitutív egyenleteinek eléleti és nuerikus vizsgálata DIPLOMATERV Készítette: Kossa Attila Tanszéki konzulens: Dr. Szabó László, egyetei tanár 005
vii NYILATKOZAT AZ ÖNÁLLÓ MUNKÁRÓL Alulírott Kossa Attila, a Budapesti Műszaki és Gazdaságtudoányi Egyete hallgatója kijelente, hogy ezt a diploatervet eg ne engedett segítség nélkül, saját aga készítette, és a diploatervben csak a egadott forrásokat használta fel. Minden olyan részt, aelyet szó szerint vagy azonos érteleben, de átfogalazva ás forrásból átvette, egyértelűen a forrás egadásával jelölte. Budapest, 005. ájus 0. ------------------------------
viii
ix TARTALOMJEGYZÉK. BEVEZETÉS..... A DOLGOZAT ÉLKITŰZÉSEI..... A DOLGOZAT TARTALMI ÁTTEKINTÉSE....3. ALKALMAZOTT JELÖLÉSEK.... IRODALMI ÁTTEKINTÉS...6 3. KONTINUUMMEHANIKAI ALAPOK...7 3.. KONTINUUMOK KINEMATIKÁJA... 7 3... Az alakváltozási gradiens poláris felbontása... 9 3... Sebességező... 3 3.. ALAKVÁLTOZÁSI TENZOROK... 4 3... Fajlagos ívhossz... 4 3... Alakváltozási tenzorok a kezdeti konfigurációban... 4 3... Jobboldali auchy-green-féle deforációs tenzor... 4 3... Piola-féle deforációs tenzor... 5 3...3. Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor... 5 3...4. Hencky-féle alakváltozási tenzor... 6 3...5. Általánosított Lagrange-féle alakváltozási tenzorok... 6 3..3. Alakváltozási tenzorok a pillanatnyi konfigurációban... 7 3..3.. Baloldali auchy-green-féle deforációs tenzor... 7 3..3.. auchy-féle deforációs tenzor... 8 3..3.3. Alansi-Euler-féle (Hael-féle) alakváltozási tenzor... 8 3..3.4. Hencky-féle alakváltozási tenzor... 9 3..3.5. Általánosított Euler-féle alakváltozási tenzorok... 9 3.3. FESZÜLTSÉGI TENZOROK... 0 3.3.. auchy-féle feszültségtenzor... 3.3.. Első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor... 3.3.3. Második Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor... 3.3.4. Kirchhoff-féle feszültségtenzor... 3.3.5. A feszültségtenzorok kapcsolata... 3 3.4. OBJEKTÍV FESZÜLTSÉG-SEBESSÉGEK... 4 3.4.. Fizikai objektivitás... 4 3.4.. Objektív deriváltak... 7 3.4... Ne együttforgó objektív deriváltak... 7 3.4... Együttforgó objektív deriváltak... 8 3.4.3. Objektív feszültség-sebességek... 3 4. HIPOELASZTIKUS ANYAGMODELL...34 5. HIPERELASZTIKUS TESTEK...35 6. ANALITIKUS SZÁMÍTÁSOK...37 6.. EGYSZERŰ NYÍRÁS... 37 6... Analitikus egoldás a Truesdell-féle feszültség-sebesség használata esetén... 40 6... Analitikus egoldás az Oldroyd-féle feszültség-sebesség használata esetén... 40 6..3. Analitikus egoldás a otter-rivlin-féle feszültség-sebesség használata esetén. 40 6..4. Analitikus egoldás a Durban-Baruch-féle feszültség-sebesség használata esetén... 4
x 6..5. Analitikus egoldás a Zareba-Jauann-Noll-féle feszültség-sebesség használata esetén... 4 6..6. Analitikus egoldás a Green-McInnis-Naghdi-féle feszültség-sebesség használata esetén... 43 6..7. Analitikus egoldás az Euler-féle triád spintenzorán alapuló feszültségsebesség használata esetén... 45 6..8. Analitikus egoldás a Lagrange-féle triád spintenzorán alapuló feszültségsebesség használata esetén... 46 6..9. Analitikus egoldás a logaritikus feszültség-sebesség használata esetén... 48 6..0. Eredények összehasonlítása... 49 6.. ZÁRT TERHELÉSI IKLUS... 53 6... Analitikus egoldás a Truesdell-féle feszültség-sebesség használata esetén... 6 6... Analitikus egoldás az Oldroyd-féle feszültség-sebesség használata esetén... 6 6..3. Analitikus egoldás a otter-rivlin-féle feszültség-sebesség használata esetén. 63 6..4. Analitikus egoldás a Zareba-Jauann-Noll-féle feszültség-sebesség használata esetén... 64 6..5. Analitikus egoldás a Green-McInnis-Naghdi-féle feszültség-sebesség használata esetén... 65 6..6. Analitikus egoldás a logaritikus feszültség-sebesség használata esetén... 7 6..7. Eredények összehasonlítása... 74 7. NUMERIKUS SZÁMÍTÁSOK...86 7.. NUMERIKUS INTEGRÁLÁSI ALGORITMUS EGYÜTFORGÓ DERIVÁLTAK ESETÉN... 86 7.. ALGORITMUS TESZTELÉSE MAPLE-BEN... 9 7.3. VÉGES ALAKVÁLTOZÁSOK AZ ABAQUS-BAN... 93 7.4. ABAQUS UMAT SZUBRUTIN BEMUTATÁSA... 94 7.5. ABAQUS UMAT SZUBRUTINOK EGYÜTTFORGÓ DERIVÁLTRA ÉPÜLŐ NULLADRENDŰ HIPOELASZTIKUS ANYAGMODELLHEZ... 97 7.5.. Zareba-Jauann-Noll-féle feszültség-sebességre épülő szubrutin... 09 7.5.. Green-McInnis-Naghdi-féle feszültség-sebességre épülő szubrutin... 3 7.5.3. Euler-féle triád spintenzorán alapuló feszültség-sebességre épülő szubrutin... 7 7.5.4. Logaritikus feszültség-sebességre épülő szubrutin... 7.6. EGYSZERŰ NYÍRÁS MODELLJE ABAQUS-BAN... 8 7.7. ZÁRT TERHELÉSI IKLUSÚ PÉLDA MODELLJE ABAQUS-BAN... 30 7.8. A NUMERIKUS ÉS ANALITIKUS EREDMÉNYEK ÖSSZEHASONLÍTÁSA... 37 7.8.. Egyszerű nyírás... 37 7.8.. Zárt terhelési ciklusú példa... 4 8. ÖSSZEFOGLALÁS...48 IRODALOMJEGYZÉK...5
. BEVEZETÉS.. A DOLGOZAT ÉLKITŰZÉSEI A dolgozat fő célkitűzése az ABAQUS/AE prograrendszer száára a logaritikus feszültségsebességen alapuló nulladrendű hipoelasztikus anyagodell elkészítése UMAT szubrutin forájában. A szubrutin egírását FORTRAN 77 környezetben kell elvégezni. él a hipoelasztikus testek konstitutív egyenleteinek részletes vizsgálata, aely főként az isertebb objektív feszültség-sebességek tanulányozásából áll. A hiperelasztikus testek anyagegyenleteinek csak érintőleges isertetése történik, ugyanis a logaritikus feszültség-sebességre épülő hipoelasztikus konstitutív egyenlet egfelelő feltételek ellett átjárást biztosít hiperelasztikus anyagegyenletbe. A szubrutin egírásához a növekényes konstitutív egyenletekre nuerikus integrálási algoritust kell alkalazni. Ezen nuerikus algoritus, illetve az ABAQUS UMAT szubrutin teszteléséhez (ellenőrzéséhez) szükséges a különböző tesztfeladatokra végzett analitikus száítások elvégzése is. A dolgozat fő célkitűzésén kívül egvalósításra kerül a Zareba-Jauann-Noll-féle, Green- McInnis-Naghdi-féle és az Euler-féle triád spintenzorán alapuló objektív feszültség-sebességek felhasználásával kapott nulladrendű hipoelasztikus konstitutív egyenlet ABAQUS UMAT szubrutinjának egírása is. A dolgozatnak ne célja az ABAQUS végeselees szoftver használatának részletes beutatása... A DOLGOZAT TARTALMI ÁTTEKINTÉSE A dolgozat öt fő fejezetre tagolódik: Kontinuuechanikai alapok; Hipoelasztikus anyagodell; Hiperelasztikus testek; Analitikus száítások; Nuerikus száítások. Elsőként a kontinuuechanikai alapok összefoglalása történik. Beutatásra kerülnek a deforációval kapcsolatos ennyiségek száraztatása, a különböző alakváltozási tenzorok száítása. A feszültségi tenzorok isertetése után az objektivitás értelezése következik, ai elengedhetetlen az objektív deriváltak bevezetéséhez, elyek egy lehetséges csoportosítás (ne együttforgó és együttforgó) szerint kerülnek tárgyalásra. Ezt követően az isertebb objektív feszültség-sebességek összefoglalása történik. A következő fejezetben a hipoelasztikus testek tárgyalására kerül sor, ahol főként a nulladrendű hipoelasztikus anyagodell esetén érvényes konstitutív egyenlet isertetése történik. Továbbá beutatásra kerül, hogy iként képezhető a logaritikus feszültség-sebesség esetén érvényes konstitutív egyenletből hiperelasztikus anyagodell. Eiatt a hiperelasztikus testek isertetésére szolgáló fejezet csak érintőlegesen tárgyalja hiperelasztikus anyagodelleket. élja a logaritikus derivált felhasználásával képezhető hiperelasztikus anyagodell beutatása.
Az analitikus száításokat tartalazó fejezetben két tesztpéldán (egyszerű nyírás, zárt terhelési ciklusú példa) a nulladrendű hipoelasztikus anyagodell felhasználásával végzett analitikus száítások kerülnek isertetésre, különböző objektív feszültség-sebességek alkalazása esetén. A zárt terhelési ciklusú példa segítségével képet kaphatunk a aradó feszültségekről a zárt terhelési út végén. Mint ajd látható lesz, a logaritikus feszültég-sebesség kivételével inden esetben arad feszültség a záródó deforáció végén annak ellenére, hogy az alakváltozás tisztán rugalas. Összehasonlításra kerülnek a különböző feszültség-sebességek esetén száított feszültségkoponensek. A nuerikus száításokat tartalazó fejezetben elsőként az együttforgó deriváltakra Sio és Hughes által javasolt [5] nuerikus integrálási algoritus isertetése történik. Ezt követően az egyszerű nyírás példáján az algoritus tesztelése következik szibolikus ateatikai szoftver segítségével (MAPLESOFT MAPLE 9.0). Beutatásra kerül az ABAQUS által alkalazott konstitutív odell véges alakváltozások esetén. Ezt követően az UMAT szubrutin által kínált lehetőségek isertetése következik, ajd a dolgozat fő tartali részét képező ABAQUS UMAT szubrutinok FORTRAN kódjainak isertetése. Ezek után az analitikus száításoknál felhasznált két tesztpéldára érvényes ABAQUS odell input file-jainak isertetésére kerül sor. Legvégül az ABAQUS UMAT szubrutinok segítségével száított nuerikus értékek összehasonlítása következik az analitikus egoldásokkal. A dolgozat során a ateatikai űveletek elvégzéséhez, ellenőrzéséhez MAPLESOFT MAPLE 9.0 szibolikus ateatikai szoftver használata történt..3. ALKALMAZOTT JELÖLÉSEK A dolgozat folyaán az invariáns és indexes jelölésód használata (az összegzési konvenció érvényessége ellett) is történik. Skaláris ennyiségek jelölésére dőlt karaktertípust, a vektorok és ásodrendű tenzorok jelölésére pedig vastag (bold-face) karaktertípust használok. A negyedrendű tenzorokat oercialscript BT betűtípus jelöli (pl: A, B, ). Tenzorok vektoriális, tenzoriális (diadikus) és belső szorzatait rendre,, : jelöli. Skaláris szorzatnál a jelölés elhagyásra kerül. Aennyiben a és b vektorok, és, D ásodrendű tenzorok, valaint H negyedrendű tenzor, akkor a következő szorzások értelezettek: ab = ab i i, = ab, ( a b) ij : D= D, ( D) = ij ( D) ( H ) ij ( H ) ij ijkl ij ik i ij D j kj = D ij ijkl kl, kl : = H, kl : = H. klij,
3 A dolgozatban használt operátorok és fontosabb jelölések a következők: ( ) T transzponálás, ( ) inverz képzés, ( ) s szietrikus rész, ( ) a antiszietrikus rész i ( ) anyagi idő szerinti derivált, ο ( ) objektív derivált, ο ( ) Tr ο ( ) O ο ( ) R ο ( ) DB ο ( ) SZB ο ( ) SZB ο ( ) ZJN ο ( ) GMN ο ( ) E ο ( ) L Truesdell-féle objektív derivált, Oldroyd-féle objektív derivált, otter-rivlin-féle objektív derivált, Durban-Baruch-féle objektív derivált, Szabó-Balla--féle objektív derivált, Szabó-Balla--féle objektív derivált, Zareba-Jauann-Noll-féle objektív derivált, Green-McInnis-Naghdi-féle objektív derivált, Euler-féle triád spintenzorán alapuló objektív derivált, Lagrange-féle triád spintenzorán alapuló objektív derivált, ο ( ) log det ( ) deterináns, tr ( ) első skalár invariáns (trace), ( ) ( ) ( ) ( ) logaritikus objektív derivált, Grad, X, X azonosító konfiguráción értelezett gradiens képzés, grad, x, x pillanatnyi konfiguráción értelezett gradiens képzés,
4 δ I Ω 0 Ω t + Ω Ω Λ 0 P t P P + X x ϕ R E A e a ásodrendű egységtenzor, negyedrendű egységtenzor, azonosító konfiguráció, pillanatnyi konfiguráció, pillanatnyi konfiguráció erevtest-szerű ozgás után, együttforgó konfiguráció, anyagi pont az azonosító konfigurációban, anyagi pont a pillanatnyi konfigurációban, pillanatnyi konfiguráció anyagi pontja erevtest-szerű ozgás után, anyagi pont helyzete az azonosító konfigurációban, anyagi pont helyzete a pillanatnyi konfigurációban, általános leképzés, valós száok halaza, az azonosító konfiguráció ortonorált bázisvektora, a pillanatnyi konfiguráció ortonorált bázisvektora, u F J R U V elozdulásvektor, alakváltozási gradiens tenzor, térfogatváltozás értéke, Jacobi-deterináns, polárfelbontásból szárazó ortogonális forgató tenzor, jobboldali nyújtástenzor, baloldali nyújtástenzor, λ α F, U, V sajátértékei, λ b főnyúlások diagonális tenzora, χ α b, sajátértékei, balodali auchy-green-féle deforációs tenzor, jobboldali auchy-green-féle deforációs tenzor, χ b, sajátértékeiből képzet diagonális tenzor, N α U, egység sajátvektora, n α V, b egység sajátvektora, P α U, bázis tenzora (sajátprojekciója), p α V, b bázis tenzora (sajátprojekciója),
5 R N R n Lagrange-féle egység sajátvektorok ortogonális forgató tenzora, Euler-féle egység sajátvektorok ortogonális forgató tenzora, B E H Piola-féle deforációs tenzor, Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor, azonosító konfiguráción értelezett Hencky-féle alakváltozási tenzor, ( ) E általánosított Lagrange-féle alakváltozási tenzor, c e h auchy-féle deforációs tenzor, Alansi-Euler-féle alakváltozási tenzor, pillanatnyi konfiguráción értelezett Hencky-féle alakváltozási tenzor, ( ) e általánosított Euler-féle alakváltozási tenzor, l d D w A a ρ σ P S T Euler-féle sebességező gradiens tenzor, alakváltozás-sebesség tenzor, visszaforgatott alakváltozás-sebesség tenzor, örvénytenzor, felületele vektor az azonosító konfiguráción, felületele vektor a pillanatnyi konfiguráción, feszültségvektor, auchy-féle feszültségi tenzor, első Piola-Kirchhoff-féle feszültségi tenzor, ásodik Piola-Kirchhoff-féle feszültségi tenzor, Kirchhoff-féle feszültségi tenzor, visszaforgatott Kirchhoff-féle feszültségi tenzor, ZJN Ω Zareba-Jauann-Noll-féle spintenzor, GMN Ω Green-McInnis-Naghdi-féle spintenzor, E Ω L Ω L Ω Euler-féle triád spintenzora, Lagrange-féle triád spintenzora, log Ω logaritikus spintenzor. Lagrange-féle triád spintenzora a pillanatnyi konfigurációba forgatva,
6. IRODALMI ÁTTEKINTÉS A hipoelasztikus anyagodell bevezetésében és általánosításában Truesdell játszotta a döntő szerepet [54]. Attól függően, hogy az általa bevezetett általános hipoelasztikus konstitutív egyenletben ilyen objektív feszültség-sebességet alkalazunk, kapunk eltérő jellegű anyagodelleket. A hipoelasztikus konstitutív egyenletben eredetileg a Zareba-Jauann-Nollféle feszültség-sebesség használata történt [54], de azóta száos ás objektív feszültség-sebesség használatának javaslatára került sor. Az objektív feszültség-sebességeket két csoportra szokás felosztani: ne együttforgó, és együttforgó feszültség-sebességekre [5], [63]. Az utóbbi években az eddig isert objektív feszültség-sebességeken kívül egy új bevezetésére került sor Xiao, Bruhns és Meyers által [55], [56], [59]. Ez a logaritikus feszültség-sebesség. Bevezetését az előzte eg, hogy keresték, vajon elyik alakváltozási jellező elyik objektív deriváltja állítja elő az l Eulerféle sebességező gradiens szietrikus részét képező d alakváltozás-sebesség tenzort? Bizonyították, hogy ez a pillanatnyi konfiguráción értelezett Hencky-féle alakváltozási tenzor logaritikus deriváltja [56]. A logaritikus derivált felhasználásával képzett nulladrendű hipoelasztikus anyagegyenlet kedvező tulajdonsága, hogy integrálható, és az integrálással egy izotrop hiperelasztikus konstitutív egyenletet kapunk [56], [6]. Isertetésre került a jellegzetesebb objektív együttforgó deriváltak bázisfüggetlen leírásódja is [57], [58], [59], [6]. A logaritikus feszültség-sebesség alkalazása esetén a nulladrendű hipoelasztikus konstitutív egyenlet további előnyös tulajdonsága az, hogy ellentétben a többi isert feszültség-sebességgel zárt terhelési ciklusú deforáció esetén nincs aradó feszültség [3], [36], [37]. Ez különböző zárt terhelési ciklusú példák (kör, ellipszis és négyzet entén záródó) esetén is isertetésre került [36], [37], [3]. Bruhns, Xiao és Meyers az általuk bevezettet logaritikus feszültség-sebesség esetén érvényes nulladrendű hipoelasztikus anyagodellből képzett hiperelasztikus konstitutív egyenletre vonatkozólag közöltek analitikus száításokat téglalap keresztetszetű rúd hajlítására is [5]. Kezdetben a nuerikus algoritusok a Zareba-Jauann-Noll-féle és a Green-McInnis-Naghdiféle feszültség-sebesség alkalazása esetén érvényes konstitutív egyenletre vonatkoztak [5], [6], [0], [47], [4], [43]. Sio és Hughes azonban összefoglalóan közölt nuerikus integrálási algoritust ind együttforgó, ind ne együttforgó feszültség-sebességek alkalazása esetén érvényes konstitutív egyenletre [5]. Az együttforgó deriváltakra érvényes nuerikus algoritus felhasználja a ásodrendű, ferdén szietrikus tenzorok exponenciális leképzésének zárt alakban történő előállítását, ezáltal az együttforgó konfigurációhoz tartozó ortogonális forgató tenzorok száítása pontosabb. Ez az algoritus egtalálható Lin unkájában is [3]. Zhou és Taa az egyszerű nyírás példáján közli a különböző objektív feszültség-sebességek esetén a Hughes-Winget, Rubinstein-Atluri és Flanagan-Taylor algoritusok eredényeit, ezenkívül két új száítási algoritust közöl, az egyiket együttforgó feszültség-sebességekre, a ásikat a logaritikus feszültség-sebességre vonatkozólag [66].
7 3. KONTINUUMMEHANIKAI ALAPOK Ebben a fejezetben a dolgozat további fejezeteihez szükséges kontinuuechanikai alapok összefoglalása történik. Részletezésre kerülnek a fontosabb kineatikai ennyiségek száítása, illetve az ezek felhasználásával száítható további ennyiségek eghatározása is. 3.. KONTINUUMOK KINEMATIKÁJA. ábra: Az azonosító és pillanatnyi konfiguráció értelezése. Jelölje a ozgó kontinuu tetszőleges pontját az azonosító (kezdeti) konfigurációban P 0, a t 3 pillanatnyi konfigurációban P. Legyen Ω 0 R a kontinuu azonosító konfigurációja, valaint 0 jelölje X Ω0 P térbeli helyzetét ebben a konfigurációban. Ω 0 leképzését a t időpontban a 3 3 pillanatnyi Ω R t konfigurációra a ϕ : Ω R t 0 végzi. A test tetszőleges pontjának az azonosító és a pillanatnyi konfigurációban elfoglalt helyzete közötti összefüggés: ( X, t) x = ϕ. (3.) t A továbbiakban az azonosító és a vonatkoztatatási koordináta-rendszerek origói, bázisvektorai és tengelyei egybeesők.
8. ábra: Az elozdulásvektor. t 0 A deforáció során P és P között értelezhető az elozdulásvektor (displaceent vector), aely egadható ind az azonosító konfiguráció, ind a pillanatnyi konfiguráció bázisaival. Mindkét esetben az u jelölés használata történik. u= U E u e. (3.) A A a a u= x X. (3.3) Az alakváltozási gradiens tenzor (deforation gradient tensor) száítása: x ϕ ( X, t) a ( X, t) F= Xx= Xϕ t = = EA ea = FAaEA ea, (3.4) X X ahol { E } és { } A A=,,3 e a a=,,3 0 Ω és A Ω t ortonorált bázisait jelentik. Az alakváltozási gradiens tenzor segítségével képezhető a kapcsolat a pillanatnyi és az azonosító vonalele, felületele és térfogatele között: ahol x F X a JF A v J V, (3.5) T d = d, d = d, d = d J = det F a térfogatváltozás értéke (Jacobi-deterináns). Mivel az anyagi kontinuuele leképzése során a tükrözés fizikailag ne valósítható eg, eiatt jogos az a feltételezés, hogy J > 0. Másképpen egfogalazva: a kontinuuele indig pozitívnak vett dv térfogatelee a leképzés során indig pozitív dv térfogatelebe egy át. Aennyiben a tükrözés lehetséges lenne, akkor dv negatív előjelűvé válhatna [9].
Az azonosító konfiguráció bázisaival egadott ennyiségek esetén Lagrange-féle leírásról (Lagrangian (aterial) description), a pillanatnyi konfiguráció bázisaival történő egadáskor Euler-féle leírásról (Eulerian (spatial) description) beszélünk. 9 3... AZ ALAKVÁLTOZÁSI GRADIENS POLÁRIS FELBONTÁSA A deforáció egy speciális esete a forgatás, elynek során a vektorok orientációja változhat, de a hosszuk ne. Ez esetben az alakváltozási gradiens ortogonális tenzor. Teljesen eltérő esete a deforációnak a nyújtás, elynek során a vektorok hossza változhat, de orientációjuk ne. Ez esetben az alakváltozási gradiens szietrikus és pozitív definit. Fontos egjegyezni, hogy aennyiben az alakváltozási gradiens szietrikus, akkor az ne feltétlenül jelent tiszta nyújtást. A szietrikus tulajdonság iatt a nyújtás átrixa a főirányok bázisában diagonális. Az alakváltozási gradiens poláris felbontásának ateatikai alapja az, hogy egy tetszőleges invertálható ásodrendű tenzor felbontható egy ortogonális tenzor és egy szietrikus pozitív definit tenzor kobinációjára. Jelen esetben az ortogonális tenzor szerepét a forgatás tenzora tölti be, íg a szietrikus pozitív definit tenzorét a nyújtás tenzora. Attól függően, hogy a nyújtás a forgatás előtt, vagy után következik két esetet különböztetünk eg. Az egyik szerint először a kontinuu nyújtása történik, ajd a erevtest-szerű elforgatás: F = RU, (3.6) 3 3 3 3 ahol R R R az ortogonális forgató tenzor (rotation tensor) és U R R a pozitív definit jobboldali nyújtástenzor (Lagrangian stretch tensor vagy aterial stretch tensor vagy right stretch tensor). Aennyiben elsőként a forgatás történik, ajd az elforgatott állapotban a nyújtás: F = VR, (3.7) 3 3 ahol V R R a pozitív definit baloldali nyújtástenzor (Eulerian stretch tensor vagy spatial stretch tensor vagy left stretch tensor). A forgató tenzor egy ortogonális kétpont tenzor, elyre teljesül: T T T RR= δ, R = R, R = R, (3.8) ahol δ jelenti a ásodrendű egységtenzort. Legyen Y az azonosító konfiguráción, z pedig a pillanatnyi konfiguráción érteleezett T ásodrendű tenzor. Ekkor az előreforgatott Y alatt az RYR, a visszaforgatott z alatt pedig az T RzR ennyiséget értjük.
0 A. ábra a poláris felbontást szelélteti egy dienziós példán keresztül. A nyújtások az N, N, illetve n, n vektorok által kijelölt irányban történnek. Az N és n vektorok által kijelölt irányban ne történik alakváltozás, íg az N, illetve n vektorok irányában 0,5-szörös az alkalazott nyújtás (kopriálás). 3. ábra: Az alakváltozási gradiens poláris felbontásának szeléltetése dienziós példán keresztül. Legyen N, α= α,,3 és n α, α=,,3 a jobb-, illetve baloldali nyújtástenzorok egység sajátvektorai, valaint λ α, α=,,3 a sajátértékek (főnyúlások). Továbbá Pα = Nα N α és pα = nα n α a sajátértékek bázis-tenzorai (sajátprojekciói). Ez esetben az U és V spektrális felbontása:
3 3 U = λ N N = λ P, (3.9) α α α α α α= α= 3 3 V = λ n n = λ p. (3.0) α α α α α α= α= A ásodrendű szietrikus U és V tenzorok sajátértékei előállíthatók a tenzorok skalár invariánsainak segítségével a következő ódon (az alábbi összefüggés inden ásodrendű szietrikus tenzorra érvényes) [4], [3]: θ απ λ α= + α= 3 I I II 3 U U 3 U cos,,,3, 3 IU 9IUIIU + 7IIIU 3 cos θ =, 3 ( IU IIU) (3.) ahol a skalár invariánsok: I U ( U) ( ( U) ) ( U ) = tr, II tr tr U =, III = det. U ( U) (3.) U és V sajátprojekcióinak zárt alakban történő száítására szolgáló képlet [4], [6]: P = N N =δ δ + α α α α α α p = n n =δ δ + β U λ β=, β α λ α λβ β V λ β=, β α λ α λβ δ, (3.3) δ. (3.4) A sajátvektorok segítségével képezhető a Lagrange-féle egység sajátvektorok ortogonális forgató tenzora ( R ), illetve az Euler-féle egység sajátvektorok ortogonális forgató tenzora ( R ): N n [ RN ] = [ N N N3] [ R ] = [ n, n, n ]. n,,, 3 (3.5) A nyújtástenzorok sajátvektorai, illetve a sajátvektorok koordináta-rendszerébe forgató tenzorok közötti összefüggés: n = RN R = RR. (3.6) α α, n N
4. ábra: A Lagrange- és Euler-féle egység sajátvektorok ortogonális forgatótenzorainak értelezése. R N és R n segítségével képezhetők a Lagrange-, illetve az Euler-féle triád spin tenzorai (Twirl tensor of the Lagrangian triad, Twirl tensor of the Eulerian triad): Ω L R R. (3.7) T = N N Ω E RR. (3.8) T = n n L Ω és E Ω ferdén szietrikus tenzorok: T ( ), ( ) T L L E E Ω = Ω Ω = Ω. (3.9) A sajátvektorok koordináta-rendszerében értelezhető a főnyúlások diagonális tenzora ( λ ), elynek segítségével U és V előállítása: U R λr V R λr, (3.0) T T = N N, = n n
3 ahol [ λ] λ 0 0. (3.) = 0 0 λ 0 0 λ 3 Az alakváltozási gradiens előállítható a nyújtástenzorok egység sajátvektorai és a főnyúlások segítségével: 3 F = λ n N. (3.) α= α α α 3... SEBESSÉGMEZŐ A kontinuu tetszőleges deriválásával nyerjük: t P pontjának sebességét a ozgásfüggvény idő szerinti parciális ( X, t) x (, ) ϕ t v x t = = = ϕ t( X,t). (3.3) t t Az Euler-féle sebességező gradiens tenzor (Eulerian velocity gradient tensor) száítása: v v X l = v= = = FF x X x. (3.4) A ásodrendű l tenzor felbontható egy szietrikus és egy antiszietrikus tenzor összegére: l = () l + () l = d+ w. (3.5) s a A szietrikus részt alakváltozás-sebesség tenzornak (Eulerian rate of deforation tensor vagy stretching tensor vagy Eulerian strain rate vagy velocity strain), az antiszietrikus részt örvénytenzornak (spin tensor vagy vorticity tensor) nevezzük, és a következőképpen száítjuk: T d= () l s = ( l+ l ), (3.6) T w = () l a = ( l l ). (3.7) Az Euler-féle sebességező gradiens tenzor és az alakváltozási gradiens tenzor közötti kapcsolat: l = FF F = lf., (3.8)
4 3.. ALAKVÁLTOZÁSI TENZOROK Az F alakváltozási gradiens segítségével további alakváltozási tenzorok képezhetők az alakváltozási értékek eghatározására. Attól függően, hogy az alakváltozási tenzorokat a pillanatnyi vagy a kezdeti konfigurációban értelezzük, egkülönböztetünk Euler-féle és Lagrange-féle alakváltozási tenzorokat. 3... FAJLAGOS ÍVHOSSZ Jelölje a kezdeti (deforáció előtti) konfiguráción a kontinuu egy tetszőleges vonaleleének hosszát ds, a pillanatnyi konfiguráción pedig ds. A vonaleleek pillanatnyi és kezdeti ívhosszainak hányadosa definiálja a fajlagos ívhosszat (vonalelearány) (axial stretch): λ = ds ds. (3.9) 3... ALAKVÁLTOZÁSI TENZOROK A KEZDETI KONFIGURÁIÓBAN 3... JOBBOLDALI AUHY-GREEN-FÉLE DEFORMÁIÓS TENZOR 3 3 A R R jobboldali auchy-green-féle deforációs tenzor (right auchy-green deforation tensor) száítása: T T = F F, =. (3.30) Előállítható a jobboldali nyújtástenzor segítségével is: valaint T T T = F F= U R RU= U, (3.3) = R λ R = R χr, (3.3) T T N N N N ahol χ a sajátvektorok koordináta-rendszerében értelezett diagonális tenzor (eleei sajátértékei): χ 0 0 λ 0 0 χ = λ, [ χ] = 0 0 χ = 0 λ 0. (3.33) 0 0 χ 3 0 0 λ 3 A jobboldali auchy-green-féle deforációs tenzor spektrális felbontása: 3 3 3 α α α α α α α α α= α= α= = χ N N = λ N N = λ P. (3.34)
5 és U sajátvektorai és sajátprojekció egegyeznek. A sajátprojekció száítása felhasználásával: P = N N =δ δ + α α α β χ δ β=, β α χ α χ β. (3.35) 3... PIOLA-FÉLE DEFORMÁIÓS TENZOR A Piola-féle deforációs tenzor száítása: B= = U, (3.36) B R R R R λ χ Spektrális felbontása: T T = = N N N N α α α α α α= χα α= λ α α= λ α. (3.37) 3 3 3 B= N N = N N = P. (3.38) 3...3. GREEN-LAGRANGE-FÉLE ALAKVÁLTOZÁSI TENZOR 3 3 A E R R Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor (Green-Lagrangian strain tensor vagy Green-St. Venant strain tensor vagy Green strain vagy Lagrangian strain tensor) eghatározása: E = ( ) δ = ( U δ ), (3.39) T T E= RN ( χ δ) RN = RN ( λ δ) R N. (3.40) A Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor spektrális felbontása: 3 3 3 E= χ N N = λ N N = λ P. (3.4) ( ) ( α ) ( α ) α α α α α α α= α= α= A Green-Lagrange-féle alakváltozási sebességtenzor (Green strain rate tensor): E = = ( T T FF + FF. ) (3.4) A Green-Lagrange-féle alakváltozási sebességtenzor és az alakváltozás-sebesség tenzor kapcsolata:. (3.43) T T d= F EF, E= F df
6 J előállítható a Green-Lagrange-féle alakváltozási sebességtenzor és az alakváltozás-sebesség tenzor segítségével is: A térfogatváltozás sebessége ( ) J = Jtr d= J : E = J :. (3.44) 3...4. HENKY-FÉLE ALAKVÁLTOZÁSI TENZOR 3 3 A kezdeti konfigurációban értelezett H R R Hencky-féle (vagy logaritikus) alakváltozási tenzor (Lagrangian Hencky strain tensor vagy Logarithic-Lagrangian strain tensor) száítása: H = ln U= ln, (3.45) T T H = RN ( ln χ) RN = RN( ln λ) R N. (3.46) A kezdeti konfigurációban értelezett Hencky-féle alakváltozási tenzor spektrális felbontása: 3 3 3 3 H = ln χ N N = ln λ N N = ln χ P = ln λ P. (3.47) α α α α α α α α α α α= α= α= α= 3...5. ÁLTALÁNOSÍTOTT LAGRANGE-FÉLE ALAKVÁLTOZÁSI TENZOROK A kezdeti konfigurációban értelezett általánosított Lagrange-féle alakváltozási tenzorok egadása: 3 3 E ( ) = ( U) = ( α ) N α N α = ( α) P α α= α= f f λ f λ, (3.48) ahol f ( λ ) onoton növekvő függvény az alábbi tulajdonsággal: f () = f '() = 0. (3.49) = Aennyiben f ( λ) ( λ ) akkor: ( ) ( ) E = U δ. (3.50) =,, 0,, behelyettesítésével az isert alakváltozási tenzorokat kapjuk, elyeket az.táblázat foglal össze.
7. Táblázat: Általánosított Lagrange-féle alakváltozási tenzorok. ( ) E Megnevezés ( ) E = ( U δ ) Green-Lagrange-féle () E = U δ Biot-féle 0 ( ) 0 E = ln U Hencky-féle a kezdeti konfigurációban ( ) - E = δ U True - E = δ U ( ) ( ) Visszaforgatott Alansi-Euler-féle 3..3. ALAKVÁLTOZÁSI TENZOROK A PILLANATNYI KONFIGURÁIÓBAN 3..3.. BALOLDALI AUHY-GREEN-FÉLE DEFORMÁIÓS TENZOR 3 3 A b R R baloldali auchy-green-féle deforációs tenzor (left auchy-green deforation tensor vagy Finger tensor) száítása: T T b= FF, b= b. (3.5) Előállítható a baloldali nyújtótenzor segítségével is: valaint T T T b= FF = VRR V = V, (3.5) b= R λ R = R χr. (3.53) T T n n n n A baloldali auchy-green-féle deforációs tenzor spektrális felbontása: 3 3 3 α α α α α α α α α= α= α= b= χ n n = λ n n = λ p. (3.54) b és V sajátvektorai és sajátprojekciói azonosak. A sajátprojekció száítása b felhasználásával: p = n n =δ δ + α α α β b χ δ β=, β α α β χ χ. (3.55)
8 3..3.. AUHY-FÉLE DEFORMÁIÓS TENZOR A auchy-féle deforációs tenzor száítása: c= b = V, (3.56) c R R R R λ χ T T = = n n n n (3.57) Spektrális felbontása: 3 3 3 c= n n = n n = p α α α α α α= χα α= λ α α= λ α. (3.58) 3..3.3. ALMANSI-EULER-FÉLE (HAMEL-FÉLE) ALAKVÁLTOZÁSI TENZOR 3 3 Az e R R Alansi-Euler-féle (Hael-féle) alakváltozási tenzor (Alansi-Eulerian strain tensor vagy Alansi strain tensor vagy Eulerian strain tensor) eghatározása: e = ( ) δ b = ( δ V ), (3.59) T T e= Rn ( δ χ ) Rn = Rn ( δ λ ) R n. (3.60) Az Alansi-Euler-féle alakváltozási tenzor spektrális felbontása: 3 3 3 e= n n = n n = p χ λ λ α α α α α α= α α= α α= α. (3.6) A Green-Lagrange-féle alakváltozási tenzor és az Alansi-Euler-féle alakváltozási tenzor kapcsolat: T T e= F EF, E= F ef. (3.6) Az Alansi-Euler-féle alakváltozási tenzorból az alakváltozás-sebesség tenzorig vezető leképzés: vagyis: d T [ ] [ E] T F e F d F E t F e E E d, (3.63) d d= F T ( FeF) d F t T. (3.64)
9 3..3.4. HENKY-FÉLE ALAKVÁLTOZÁSI TENZOR 3 3 A pillanatnyi konfigurációban értelezett h R R Hencky-féle (vagy logaritikus) alakváltozási tenzor (Eulerian Hencky strain tensor vagy Logarithic-Eulerian strain tensor) száítása: h= ln V = ln b, (3.65) T T h= Rn ( ln χ) Rn = Rn( ln λ) R n. (3.66) A pillanatnyi konfigurációban értelezett Hencky-féle alakváltozási tenzor spektrális felbontása: 3 3 3 3 h= ln χ n n = ln λ n n = ln χ p = ln λ p. (3.67) α α α α α α α α α α α= α= α= α= Az azonosító és a pillanatnyi konfigurációban értelezett Hencky-féle alakváltozási tenzorok közötti kapcsolat: T h= RHR. (3.68) 3..3.5. ÁLTALÁNOSÍTOTT EULER-FÉLE ALAKVÁLTOZÁSI TENZOROK A pillanatnyi konfigurációban értelezett általánosított Euler-féle alakváltozási tenzorok egadása: 3 3 e ( ) = ( V) = ( α) n α n α = ( α) p α α= α= f f λ f λ, (3.69) ahol f ( λ ) onoton növekvő függvény az alábbi tulajdonsággal: f () = f '( ) = 0. (3.70) = Aennyiben f ( λ) ( λ ) akkor: ( ) ( ) e = V δ. (3.7) =,,0 behelyettesítésével az isert alakváltozási tenzorokat kapjuk, elyeket a. táblázat foglal össze.
0. Táblázat: Általánosított Euler-féle alakváltozási tenzorok. ( ) e Megnevezés e = ( δ V ) Alansi-Euler-féle ( ) - ( ) - e = δ V Swainger-féle 0 ( ) 0 e = ln V () e = V δ Hencky-féle a pillanatnyi konfigurációban = ( ) ( ) e V δ 3.3. FESZÜLTSÉGI TENZOROK Vágjuk a 5. ábra: A kontinuu felületen egoszló belső erőrendszere. Ω t konfigurációban a kontinuuot a t P ponton átenő felülettel a V I és V II részekre. A V I kontinuurész hatását a V II kontinuurészre a közös felületen átadódó ρ( n ) felületi erőrendszer fejezi ki. A ρ( n ) vektort feszültségvektornak nevezzük és az alábbiak szerint definiáljuk: Δf df = = a Δa da, (3.7) ( ) li Δ 0 ρ n ahol df az elei erővektor, ai a da felületen ébred.
3.3.. AUHY-FÉLE FESZÜLTSÉGTENZOR A pillanatnyi konfiguráción a kontinuu da= da n felületele vektorát és a da felületelehez tartozó df = d ρ( n) a elei erő vektort a σ auchy-féle feszültségi tenzor kapcsolja össze: df = σ da, (3.73) illetve ρ( n)= σ n, (3.74) 3 σ = σabea eb. (3.75) a,b= A auchy-féle feszültségi tenzor spektrális felbontása: 3 σ = σαα α, (3.76) α= ahol α, α=,,3 az egység sajátvektorok, és σ α, α =,,3 a sajátértékek (főfeszültségek). Az alakváltozási gradiens segítségével képezhető egy látszólagos df 0 elei erővektor a kezdeti konfiguráción, ai a deforáció során df -be egy át: d f0 = F df. (3.77) További feszültségi tenzorok képezhetők attól függően, hogy a df, illetve df 0 elei erővektorokat a pillanatnyi konfiguráción érvényes da vagy az azonosító konfiguráción érvényes da felületelehez rendeljük hozzá. 6. ábra: Az azonosító és a pillanatnyi konfiguráció belső erőrendszere.
3.3.. ELSŐ PIOLA-KIRHHOFF-FÉLE FESZÜLTSÉGTENZOR Az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor a df elei erővektor és a da = da N felületele vektor között teret kapcsolatot: df = PdA. (3.78) Behelyettesítve a felületele vektorok között érvényes d J T A= F da transzforációt: f P F a σ a, (3.79) J T d = d = d ahonnan a auchy- és az első Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor közötti összefüggés: σ PF, P JσF J T = = T. (3.80) 3.3.3. MÁSODIK PIOLA-KIRHHOFF-FÉLE FESZÜLTSÉGTENZOR A ásodik Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor a df 0 elei erővektor és a da = da N felületele vektor között teret kapcsolatot: df = SdA. (3.8) 0 Behelyettesítve a df 0 és df közötti, és a da és da közötti kapcsolatot: d J d T F f = S F a T d = d = d, (3.8) f FSF a σ a, (3.83) J ahonnan a auchy- és a ásodik Piola-Kirchhoff-féle feszültségtenzor közötti összefüggés: σ = FSF, S = JF σf J T T. (3.84) 3.3.4. KIRHHOFF-FÉLE FESZÜLTSÉGTENZOR A Kirchhoff-féle feszültségtenzort a auchy-féle feszültségtenzor és az alakváltozási gradiens tenzor deterinánsának (térfogatváltozás értéke) szorzata szolgáltatja: Értelezhető az = J σ. (3.85) T T= R R Ω U konfiguráción a visszaforgatott Kirchhoff-féle feszültségtenzor:. (3.86)
3 3.3.5. A FESZÜLTSÉGTENZOROK KAPSOLATA A 3. Táblázat a feszültségtenzorok közötti összefüggéseket tartalazza. 3. Táblázat: A feszültségtenzorok kapcsolata. σ P S σ PF T J FSF T J J P T J σf FS T F S F σf T J F P F F T T Jσ PF T FSF
4 3.4. OBJEKTÍV FESZÜLTSÉG-SEBESSÉGEK 3.4.. FIZIKAI OBJEKTIVITÁS Fizikailag objektív tenzoroknak nevezzük tágabb érteleben azokat a tenzorokat, aelyek egyáshoz képest tetszőlegesen ozgó koordináta-rendszerek esetén is koordináta-rendszertől függetlenül értelezhetők, vagyis tetszőleges transzforációval szeben invariánsok. A kontinuuechanikai egyenletek fizikai egyenletek, elyeknek nézőponttól függetlennek (objektívnek) kell lenniük (aterial frae indifference, aterial objectivity). Az objektivitásnak döntő szerepe van a kontinuuechanikában, legfőképpen a konstitutív egyenletek egalkotásánál. Az objektivitást kétféleképpen lehet szeléltetni [35]:. A kontinuuot és a rá alkalazott terheléseket változatlanul hagyjuk, és a vonatkoztatási rendszert (observer s reference frae) változtatjuk.. A vonatkoztatási rendszert változatlanul hagyjuk, és egy erevtest-szerű ozgást (rigid body otion) alkalazunk a testre. Ekkor inden egyes anyagi ponthoz egy szuperponálódó ozgás adódik, továbbá a kontinuura alkalazott terhelések a járulékos ozgás szerint transzforálódnak. A erevtest-szerű ozgás alkalazása során a kontinuuelekre vonatkozó relatív távolságok + változatlanok aradnak. A szuperponálódó ozgás után az anyagi pontok a x helyzetet foglalják el a t + = t+ a időpillanatban, ahol a konstans (a + felső index a erevtestszerű ozgás után érvényes ennyiségekre vonatkozik). Jelölje P + a kontinuu tetszőleges anyagi pontját a + erevtest-szerű ozgás után érvényes Ω konfigurációban. P + és 0 P közötti leképzés: x + + t ( X, t) = ϕ. (3.87) Behelyettesítve a P 0 és összefüggést: P t közötti X = t ( x) ϕ inverz leképzést egkapjuk a P + és P t közötti x + + t ( x, t) = ϕ. (3.88) Aennyiben a szuperponálódó ozgás erevtest-szerű forgatás, akkor az x + és x közötti összefüggés: x + = Q() t x, (3.89) ahol Q() t az ortogonális forgástenzor, az alábbi tulajdonságokkal: QQ Q T = δ, = Q T ( Q) det =. (3.90)
5 7. ábra: Járulékos erevtest-szerű forgatás. Az Euler-féle ennyiségek objektívek, ha teljesülnek rájuk az alábbi objektivitási törvények: + + ( t ) = () t ( t) () t + + (, t ) = () t (, t), + + ( x, t ) ( x, t), A x, Q A x, Q, u x Q u x Φ =Φ T (3.9) ahol A, u és Φ ásodrendű tenzort, vektort és skalárt jelentenek. Az alakváltozási gradiens a + Ω konfigurációban: + + x F = ϕ t= [ Q() t x] = Q = Q ϕ t= QF. (3.9) X X X X Az Euler-féle sebességező gradiens tenzor száítása felhasználva az ( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) + Ω -ban: i + + + l = F F = QF QF = QF+ QF QF =, (3.93) T T = QF QF + QF QF = QFF Q + QFF Q FF = FF δ = FF FF azonosságot: ( ) + T T T T l = QFF Q + Q FF FF Q = QFF Q + QδFF Q =. (3.94) T T T T = QQ + QlQ = QQ + Q d + w Q ( ) Mivel ne teljesül rá a ásodrendű tenzorokra vonatkozó (3.9) objektivitási feltétel, eiatt az Euler-féle sebességező gradiens tenzor ne objektív ennyiség.
6 Az alakváltozás-sebesség objektivitásának vizsgálata: d + + + ( ) ( ) T T T T T T = + = + + + l l QQ QlQ QQ Ql Q. (3.95) Elvégezve az alábbi átalakítást: i T + T = d T = d QQ QQ QQ δ = 0 ( ), (3.96) dt dt eiatt (3.95) az alábbi alakra egyszerűsödik: ( ) + T T T d = Q l+ l Q = QdQ, (3.97) tehát az alakváltozás-sebesség objektív ennyiség. Az örvénytenzor objektivitásának vizsgálata: Mivel ( ) + + + T T T T T w = l d = QQ + Q d + w Q QdQ = QQ + QwQ. (3.98) w + T QwQ, eiatt az örvénytenzor ne objektív ennyiség. A 6. ábra szerinti df elei erővektor és da= da n felületele vektor a + Ω konfigurációban: df + = Qdf, (3.99) da + = Qda. (3.00) A auchy-féle feszültség objektivitásának vizsgálata: df = σ da, (3.0) + + + Qdf + = σ Qda, (3.0) T + + T df = Q σ Qda= σd a, σ = Qσ Q, (3.03) tehát a auchy-féle feszültség objektív ennyiség. A Jacobi-deterináns objektivitásának vizsgálata: ( F ) ( QF) ( Q) ( F) J + = det + = det = det det = J = J, (3.04) tehát J objektív skalár ennyiség. A Kirchhoff-féle feszültségi tenzor objektivitásának vizsgálata: σ σ σ + + + T T T = J = JQ Q = QJ Q = Q Q, (3.05) tehát a Kirchhoff-féle feszültség is objektív ennyiség.
7 3.4.. OBJEKTÍV DERIVÁLTAK A következőkben a nevezetes objektív deriváltak (objective rates) beutatása következik. Az objektív deriváltaknak jelentős szerepe van a konstitutív egyenletek egalkotásánál. Legfőképpen abban az esetben, ha a konstitutív egyenlet feszültség-sebesség tagot is tartalaz. Az objektív deriváltak egy lehetséges csoportosítási ódja az együttforgó deriváltakra (corotational rates) és ne együttforgó (non-corotational rates) deriváltakra történő felosztás [63]. 3.4... NEM EGYÜTTFORGÓ OBJEKTÍV DERIVÁLTAK Legyen z egy differenciálható (idő szerint) objektív Euler-féle szietrikus ásodrendű tenzor (int például a auchy-féle feszültségi tenzor). Ez esetben a jellegzetesebb, ne együttforgó objektív deriváltak a következők: Truesdell-féle derivált: ο Tr T = + ( ) z z zl lz tr d z. (3.06) otter-rivlin-féle derivált: ο R T z = z+ zl+ l z Oldroyd-féle derivált:. (3.07) ο O T = z z zl lz. (3.08) Durban-Baruch-féle derivált: ο DB = + + + tr ( ) ( ) ( ) z z z w d w d z d z. (3.09) Szabó-Balla--féle derivált: ( ) T ( ) ο SZB E E z = z z VV + VΩ V VV + VΩ V z. (3.0) Szabó-Balla--féle derivált: ( ) ( ) T ο SZB E E z = z + z VV + VΩ V + VV + VΩ V z. (3.)
8 3.4... EGYÜTTFORGÓ OBJEKTÍV DERIVÁLTAK Az objektív együttforgó deriváltak (objective corotational rates) általános alakja: ahol ο = +, (3.) z * z zω * Ω * z ( ) T * * Ω az együttforgó konfigurációhoz tartozó ferdén szietrikus spin tenzor = * ( ) * A spintenzor előállítása a hozzá tartozó ( ) Ω Ω. * Λ ortogonális forgatótenzor segítségével ( Λ jelölés helyett a továbbiakban Λ jelölés használata történik): Ω = ΛΛ. (3.3) * T A Λ ortogonális forgatótenzor végzi a leképzést az együttforgó konfigurációból ( Ω Λ ) a pillanatnyi konfigurációba ( Ω t ). 8. ábra: Együttforgó konfiguráció értelezése. Az objektív együttforgó deriváltak esetén a pillanatnyi konfiguráción érvényes objektív ennyiséget az együttforgó konfigurációra transzforáljuk (a egfelelő ortogonális forgatótenzor segítségével), ajd ott idő szerint deriváljuk, végül a kapott ennyiséget visszatranszforáljuk a pillanatnyi konfigurációra. Az így száított ennyiség az objektív együttforgó derivált. i i ο T ddt T Λ T T * Λ z Λ zλ Λ zλ Λ Λ zλ Λ = z A spin tenzor felírható a következő alakban: (, ) Ω * = w+ * b d ( ) ( ). (3.4) ϒ, (3.5) * ahol ϒ ( bd, ) az alakváltozás-sebességnek ( d ) és a baloldali auchy-green deforációs tenzornak ( b ) a ferdén szietrikus, izotrop tenzor függvénye. Ebben az alakban felírható spin tenzorok száa korlátlan. Ezek közül csak a jellegzetesebbek kerülnek tárgyalásra.
9 A spintenzor egadásának egy ásik, speciális alakja a következő: * * χ α Ω = w+ f p αdp α=, β=, α β χβ ( ) ( ) f z = f z z R * * +, β, (3.6) * ahol f ( z ) skalár értékű spin-függvény, χ α, illetve p α a baloldali auchy-green deforációs tenzornak ( b ) sajátértékei, illetve bázis tenzorai (sajátprojekciói), valaint a b különböző sajátértékeinek a száa. A spintenzor egadásának egy ásik lehetséges ódja: és ahol * * Ω = w+ N, (3.7) 0, χ = χ = χ, 3 * * T N bd bd ( ) = ν, χ χ = χ3, (3.8) T T T * * * ν bd ( bd) + ν b d ( b d) + ν 3 b db ( b db), χ χ χ3 χ, ν * = ( ) * f χ χ χ χ, (3.9) k ( ) ( ) * 3 k * 3 k * 3 k * νk = χ f3 + χ f3 + χ3 f Δ, k =,,3, * * χi fij = f. χ j (3.0)
30 A jellegzetes spintenzorok, és a hozzájuk tartozó spin-függvények a következők: Zareba-Jauann-Noll-féle spin tenzor: f Ω ZJN ZJN ( z) = w. = 0, (3.) Green-McInnis-Naghdi-féle spin tenzor: f GMN ( z) ZJN β α Ω = w+ pαdpβ α=, β=, α β χα + χβ Λ ZJN = R. = + z, z χ χ, (3.) Euler-féle triád spin tenzora: f E ( z) E α β Ω = w+ pαdpβ α=, β=, α β χβ χα Λ E = R = + z, z n. χ + χ, (3.3) Lagrange-féle triád spin tenzora: f L ( z) L α β ˆ = + α β, α=, β=, α β χβ χα L L Ω Ω w ( ) ( ) L T L T L α β Ω = R Ω R = R Ω w R = Pα DPβ α=, β=, α β χβ χα T T =, α = α, L z =, z χ χ Ω w p dp = ˆ, D R dr P R p R Λ = R N. χ χ ˆ, (3.4) L ahol Ω jelenti az azonosító konfiguráción értelezett Lagrange-féle triád spintenzorának a pillanatnyi konfigurációra történő forgatásával nyert spintenzort. Az (3.) szerinti együttforgó objektív derivált kifejezésben ennek a ennyiségnek a használata történik. Logaritikus spin tenzor: f log ( z) + z = +, z lnz χ + χ log α β Ω = w+ + pαdp β α=, β=, α β χβ χα ln χα ln χ β. (3.5)
A erevtest-szerű forgatás leírásában a spintenzor, a spintenzorhoz rendelhető szögsebesség vektor és a egfelelő ortogonális forgatótenzor játssza a döntő szerepet. A spintenzor száítása az ortogonális forgatótenzor segítségével (3.3) szerint történik. Az ortogonális forgatótenzor száítása a spintenzor segítségével ár ne ennyire egyértelű. Legyen W = Ωdt differenciális forgást képviselő ferdén szietrikus tenzor. W -hez hozzárendelhető egy szögsebesség vektor ( ω ) a következőképpen: 3 v= W r = ω r r R, (3.6) ahol v jelenti az érintő irányú sebességet a tetszőleges r vektor végén. W és ω eleei között a kapcsolat a következő: 0 -ω ω ω = =. (3.7) 3 ω3 -ω ω -ω ω 0 ω 3 [ W] 0, [ ω] W exponenciális leképzése szolgáltatja a egfelelő ortogonális tenzort: q= exp( W) = W n. (3.8) n! n= 0 Ferdén szietrikus tenzorok exponenciális leképzése zárt alakban is előállítható a következő ódon [5], [4]: ( ω ) sin ω sin q = δ + W+ W ω ω ahol ω a szögsebesség vektor hossza: ( ) 3 ω= ω = ω + ω + ω. 3, (3.9) A q ortogonális forgató tenzor egy pillanatnyi differenciális forgatáshoz tartozik. Az időben folytonos spin tenzor függvényhez ( Ω( t )) tartozó ortogonális forgató tenzort egkapjuk a pillanatnyi forgató tenzorok összeszorzásával: Λ = li q q q qδ, n n ahol q = ( W ) = Ω( ) α ( ) exp exp t d t. (3.30) α α α A teljes forgatás eghatározható a következő tenzor differenciálegyenlet segítségével is: Ω ΛΛ Λ ΩΛ Λ δ, (3.3) elynek egoldása: T = =, = t=0 t Λ = exp Ωdt δ. (3.3) 0
3 3.4.3. OBJEKTÍV FESZÜLTSÉG-SEBESSÉGEK Az 3.4. pontban tárgyalt objektív deriváltak segítségével az objektív auchy-féle és Kirchhoff-féle feszültségi tenzorok objektív feszültség-sebességei (objective stress rate) képezhetők. A auchy feszültség Truesdell-féle feszültség-sebessége: illetve ο Tr T σ = σ σl lσ+ tr ( d) σ, (3.33) d F ( JF σf ) d F t ο Tr T T σ = J A Kirchhoff feszültség otter-rivlin-féle feszültség-sebessége:. (3.34) ο R T = + l+ l (3.35) A Kirchhoff feszültség Oldroyd-féle feszültség-sebessége: ο O T = l l, (3.36) ο O ο Tr = J σ. (3.37) A auchy feszültség Durban-Baruch-féle feszültség-sebessége: ο ( ) DB σ = σ+ σ( w d) ( w+ d) σ+ ( d) σ. (3.38) tr A auchy feszültség Szabó-Balla--féle feszültség-sebessége: ( ) T VV VΩ V ( VV VΩ V ) ο SZB E E σ = σ σ + + σ. (3.39) A auchy feszültség Szabó-Balla--féle feszültség-sebessége: ( VV VΩ V ) ( VV VΩ V ) T ο SZB E E σ = σ + σ + + + σ. (3.40) A Kirchhoff feszültség Zareba-Jauann-Noll -féle feszültség-sebessége: ο ZJN = + w w. (3.4) A Kirchhoff feszültség Green-McInnis-Naghdi -féle feszültség-sebessége: ο GMN GMN GMN = + Ω Ω. (3.4) A Kirchhoff feszültség Euler-féle triád spin tenzorán alapuló feszültség-sebessége: ο E E E = + Ω Ω. (3.43)
33 A Kirchhoff feszültség Lagrange-féle triád spin tenzorán alapuló feszültség-sebessége: ο L L L = + Ω Ω. (3.44) A Kirchhoff feszültség Logaritikus feszültség-sebessége: ο log log log = + Ω Ω. (3.45)
34 4. HIPOELASZTIKUS ANYAGMODELL A hipoelasztikus testek eléletének egalapozója Truesdell volt, aki a konstitutív egyenletet az alábbi forában közölte [54]: ο ο σ * = H * : d, (4.) σ a auchy-féle feszültség objektív deriváltja (objektív feszültség-sebesség), ( ) * ahol H * = H * σ feszültségtől függő negyedrendű hipoelasztikus érintő tenzor (hypo-elasticity tensor), d az alakváltozás-sebesség tenzor. A hipoelasztikus konstitutív egyenlet Kirchhoff-féle feszültségre érvényes alakja: ο * = H * : d. (4.) Nulladrendű hipoelasztikus anyagtörvényről beszélünk abban az esetben, ha H * alakja a következő: = = + * H λδ δ μi, (4.3) ahol λ, μ a Laé-állandók és I jelenti a negyedrendű egységtenzort. Ez esetben a (4.) szerinti a konstitutív egyenlet az alábbi forában is felírható: ο * = d δ + ( ) λ tr μ d. (4.4) A (4.) szerinti hipoelasztikus konstitutív egyenlet széles körben alkalazott véges rugalasképlékeny alakváltozásoknál. Objektív feszültség-sebességként leginkább a Zareba-Jauann- Noll-féle feszültség-sebesség volt az alkalazott, indaddig, aíg ki ne utatták az egyszerű nyírás esetén a feszültségekben utatkozó oszcilláló jelleget. Száos ás objektív feszültségsebesség használata került javaslatra, elyek közül az utóbbi években egyre jobban a logaritikus feszültség-sebesség kerül előtérbe a következő előnyös tulajdonsága iatt: az összes isert feszültség-sebesség közül egyedül a logaritikus derivált esetén integrálható a (4.4) szerinti hipoelasztikus konstitutív egyenlet [6]. Feszültségentes kezdeti konfiguráció esetén (4.4) integrálásával nyert izotrop hiperelasztikus konstitutív egyenlet a következő: ( ) = λtr h δ + μ h, (4.5) ahol h a pillanatnyi konfiguráción értelezett Hencky-féle alakváltozási tenzor. (4.5) az alábbi alakban is felírható: = : h. (4.6)
35 5. HIPERELASZTIKUS TESTEK (, ) A hiperelasztikus testek eléletének alapja az, hogy feltételezi egy olyan Ψ F( X) X alakváltozási energia függvény (potenciál) létezését, aely adott időpillanatban csakis az F alakváltozási gradiens és az X hely függvénye, továbbá az alakváltozási energia a deforáció során kizárólag a kiindulási- és a végállapot függvénye [6]. A töegegységre vonatkoztatott energiasűrűség száítása a konjugált feszültségi és alakváltozási tenzorok segítségével [5]: D = σ d= d= h = P F = S E = S (5.) ρ ρ ρ ρ ρ ρ ο log : : : : : : 0 0 0 0 0 alakú, ahol felhasználásra került a logaritikus derivált azon tulajdonsága, hogy a pillanatnyi konfiguráción értelezett h Hencky-féle alakváltozási tenzorra alkalazva a d alakváltozássebesség tenzort adja [55], [56]. Fontos eghegyezni, hogy a Kirchhoff-féle feszültségi tenzor és h Hencky-féle alakváltozási tenzor csak izotrop esetben képez konjugált párt. Az azonosító konfiguráción a térfogategységre vonatkoztatott energiasűrűség (5.) felhasználásával: ο log 0 = = = = = ρ D : d : h P: F S: E S:. (5.) Hiperelasztikus testeknél az útfüggetlenség következényeként az alakváltozási energia az alábbi forában írható: ( F( X) X) Ψ, = ρ Dt d, ( ( ) ) t t0 0 t t ο t t t log Ψ F X, X = : dd t = : h d t = P: Fd t = S: Ed t = S: d t. t0 t0 t0 t0 t0 (5.3) Továbbá: Ψ= ρ D, 0 ο log Ψ= : d= : h = P: F = S: E = S:. (5.4) (5.4) felhasználásával az egyes feszültségtenzorokat egkapjuk az alakváltozási energiának a egfelelő feszültségi tenzorhoz tartozó konjugált alakváltozási tenzorral képzett parciális deriválásával: Ψ Ψ Ψ Ψ =, P=, S=, S=. (5.5) h F E (5.5) felírásában felhasználásra került a (3.9) 3 szerinti objektivitási törvény, iszerint skalár értékű változó idő szerinti deriváltja és tetszőleges együttforgó deriváltja azonos.
36 Aennyiben az alakváltozási energia függvény alakja a következő: : : Ψ= h h, (5.6) akkor a belőle (5.5) szerint képzett Kirchhoff-féle feszültségi tenzorra adódó összefüggés: ( h h) Ψ : : = = = : h, (5.7) h h ai egegyezik a (4.6) szerinti konstitutív egyenlettel.
37 6. ANALITIKUS SZÁMÍTÁSOK Ebben a fejezetben az egyszerű nyírás példáján (siple shear) és egy zárt ciklusú terhelés esetén nyert analitikus eredények isertetése történik a (4.5) szerinti hipoelasztikus anyagodellre vonatkozólag, különböző objektív feszültség-sebességek alkalazása esetén. 6.. EGYSZERŰ NYÍRÁS Az egyszerű nyírás estén vizsgált geoetriát szelélteti a 9. ábra. Az eredetileg H élhosszúságú kocka felső lapját az E irányban elozdítjuk U értékkel úgy, hogy közben az E és E 3 irányú ozgásokat gátoljuk. A deforáció hoogénnek feltételezett. A fajlagos szögtorzulás értéke: 9. ábra: Az egyszerű nyírás példája. γ = UH. (6.) Egyszerű nyírás esetére a ozgásfüggvény: ( ) x = X + γ t X x x = X = X 3 3,., (6.) Mivel az azonosító és a pillanatnyi konfiguráció bázisvektorai egybeesők, így a továbbiakban ind az azonosító, ind a pillanatnyi konfigurációhoz köthető tenzorok leírása az azonosító konfiguráció bázisvektoraival történik.
38 Az alakváltozási gradiens száítása: ( ) γ t 0 x xa F= = ea EA, [ F] = 0 0, (6.3) X X A 0 0 illetve a kezdeti konfiguráció bázisaival kifejezve: () F = δ + γ t E E. (6.4) A térfogatváltozás értéke (Jacobi-deterináns): ( F) J = det =. (6.5) Az alakváltozási gradiens idő szerinti deriváltja, illetve inverze: 0 γ 0 F = γ E E, = 0 0 0 F, (6.6) 0 0 0 -γ 0 F = δ γ E E, = 0 0 F. (6.7) 0 0 Az Euler-féle sebességező gradiens tenzor: 0 γ 0 l FF E E l. (6.8) [] = = γ, = 0 0 0 0 0 0 Az alakváltozás-sebesség tenzor és az örvénytenzor száítása: 0 γ 0 T d= ( l+ l ) = γ ( E E + E E), [ d] = 0 0 γ, 0 0 0 (6.9) 0 γ 0 T w = ( l l ) = γ ( E E E E), [ w] = 0 0 - γ. 0 0 0 (6.0) A baloldali auchy-green féle deforációs tenzor: + γ γ 0 T b= FF = δ + γ E E+ γ( E E + E E), [ b] = γ 0. (6.) 0 0