Anyagvizsgálati módszerek Mérési adatok feldolgozása Anyagvizsgálati módszerek Pannon Egyetem Mérnöki Kar Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 1/ 22
Mérési eredmények felhasználása Tulajdonságok hierarchikus kapcsolatrendszere Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 2/ 22
Analitikai bizonytalanság forrásai Véletlen hiba (szórás, precizitás) oldatkészítés bizonytalansága mintabeviteli eltérések sztochasztikus folyamatok detektor zaj... Rendszeres hiba (pontosság) oldatkészítési hiba kiértékelési tévedés módszertani probléma jelek átfedése... Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 3/ 22
Pontosság, precizitás Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 4/ 22
Véletlen hiba jellemzése Mért értékek: normális eloszlás 0.40 0.35 0.30 1 σ 2π e 1 2 ( x µ ) 2 σ Gyakoriság, σ 1 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 µ-3σ µ-2σ µ-σ µ µ+σ µ+2σ µ+3σ Koncentráció várható érték: µ, szórás: σ Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 5/ 22
Analitkai eljárás eredménye Mérések átlaga és szórása x = 1 n s = 1 n 1 n x i, i=1 n i=1 lim x = µ n (x i x) 2, lim n s = σ Átlag szórása s x = s n, lim n s x = σ n = σ x Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 6/ 22
Analitkai eljárás eredménye Átlag statisztikai eloszlása Normális eloszlás x µ σ x Student-féle t-eloszlás x µ s x Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 7/ 22
Analitkai eljárás bizonytalansága Student-féle t-eloszlás Normális eloszlás f (x µ, σ ) = 1 σ 2π e 1 2( x µ σ ) 2 várható érték: µ, szórás: σ t-eloszlás f (x ν, µ, σ ) = Γ ( ) ( ν+1 2 Γ ( ) ν 1 + 1 ( ) ) x µ 2 ν+1 2 2 σ νπ ν σ szabadsági fok: ν, várható érték: µ, szórás: ν ν 2 σ Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 8/ 22
Student-féle t-eloszlás analitikai mérések esetén Gyakoriság 0.40 0.35 0.30 0.25 0.20 0.15 2 4 10 0.10 0.05 0.00 µ-3σ x µ-2σ x µ-σ x µ µ+σ x µ+2σ x µ+3σ x Mérések átlaga ν = n 1, σ x = σ n Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 9/ 22
Student-féle t-eloszlás mérések számának hatása Gyakoriság 40 35 30 25 20 15 2 4 10 100 10 5 0 5.6 5.8 6.0 6.2 6.4 Mérések átlaga ν = n 1, σ x = σ n Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 10/ 22
Student-féle t-eloszlás n = 5 0.40 0.35 0.30 A = 50.0% t = 0.741 Gyakoriság 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 6 4 2 0 2 4 6 t, (x µ)/σ x Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 11/ 22
Student-féle t-eloszlás n = 5 0.40 0.35 0.30 A = 90.0% t = 2.132 Gyakoriság 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 6 4 2 0 2 4 6 t, (x µ)/σ x Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 11/ 22
Student-féle t-eloszlás n = 5 0.40 0.35 0.30 A = 95.0% t = 2.776 Gyakoriság 0.25 0.20 0.15 0.10 0.05 0.00 6 4 2 0 2 4 6 t, (x µ)/σ x Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 11/ 22
Mérési eredmények megbízhatósági intervalluma Konfidencia intervallum Eredmény: s x ± t α,n 1 n Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 12/ 22
Mérési eredmények megkülönböztetése Gyakoriság 4.0 3.5 3.0 2.5 2.0 1.5 1.0 0.5 0.0 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Mérési eredmény Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 13/ 22
Mérési eredmények megkülönböztetése 6 5 n = 3 Gyakoriság 4 3 2 1 0 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Mérési eredmények átlaga Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 13/ 22
Mérési eredmények megkülönböztetése Gyakoriság 8 6 4 n = 5 2 0 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Mérési eredmények átlaga Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 13/ 22
Mérési eredmények megkülönböztetése 12 10 n = 10 Gyakoriság 8 6 4 2 0 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Mérési eredmények átlaga Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 13/ 22
Mérési eredmények megkülönböztetése Gyakoriság 40 35 30 25 20 15 10 5 n = 100 0 5.0 5.5 6.0 6.5 7.0 Mérési eredmények átlaga Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 13/ 22
Mérési eredmények megkülönböztetése Hipotézis vizsgálat Átlag vs. tetszőleges µ Két átlag t n 1 x µ s/ n s = (n 1 1) s 2 1 + (n 2 1) s 2 2 n 1 + n 2 2 t n1 +n 2 2 x 1 x 1 s 1 + 1 n1 n2?? Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 14/ 22
Lineáris regresszió Kalibráció et. al Csúcsterület 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Koncentráció Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 15/ 22
Regressziós egyenes meghatározása y = a x + b a = n (x i x) (y i ȳ) i=1 n (x i x) 2 i=1 b = ȳ a x Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 16/ 22
Regressziós egyenes Csúcsterület 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Koncentráció Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 17/ 22
Regressziós paraméterek bizonytalansága s y/x = (yi ) y i 2 n 2 ( σ k ) s a = s y/x 1 (xi x) 2 1 x 2 s b = s y/x i n (xi x) 2 a ± t n 2 s a és b ± t n 2 s b Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 18/ 22
Mérési adatok bizonytalasága s x0 = s y/x a 1 m + 1 n + (x 0 x) 2 (xi x) 2 m = k (lehetőleg) x = x 0 ± t n 2 s x0 Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 19/ 22
Mérési adatok bizonytalasága Megbízhatósági szint 50.0% 95.0% 99.0% Csúcsterület 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Koncentráció Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 20/ 22
Mérési adatok bizonytalasága Ismétlések száma m = 1 3 Csúcsterület 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Koncentráció Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 21/ 22
Kimutatási határ LoD = 3 s y/x a Csúcsterület 0 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 Koncentráció Anyagvizsgálati módszerek Statisztika 22/ 22