A másod- és harmadfokú egyenletek nomogramjai

Hasonló dokumentumok
Egyenletek, egyenlőtlenségek VII.

Oktatási Hivatal. 1 pont. A feltételek alapján felírhatók az. összevonás után az. 1 pont

Halmazelméleti alapfogalmak

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely április 8. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Bevezetés az elméleti zikába

Ellipszisekr½ol részletesen

Egy tételr½ol, melyet Dürer majdnem megtalált

FÜGGVÉNYEK. A derékszögű koordináta-rendszer

Egyenletek, egyenletrendszerek, egyenlőtlenségek Megoldások

Matematika 10 Másodfokú egyenletek. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

Függvények Megoldások

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Komplex számok. Wettl Ferenc szeptember 14. Wettl Ferenc Komplex számok szeptember / 23

Taylor-polinomok. 1. Alapfeladatok április Feladat: Írjuk fel az f(x) = e 2x függvény másodfokú Maclaurinpolinomját!

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

Másodfokú egyenletek, egyenlőtlenségek

Nagy Gábor compalg.inf.elte.hu/ nagy ősz

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

Koordináta-geometria feladatok (emelt szint)

b) Ábrázolja ugyanabban a koordinátarendszerben a g függvényt! (2 pont) c) Oldja meg az ( x ) 2

Abszolútértékes és gyökös kifejezések Megoldások

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉPSZINT Függvények

8. Egyenletek, egyenlőtlenségek, egyenletrendszerek II.

Vektorterek. Wettl Ferenc február 17. Wettl Ferenc Vektorterek február / 27

9. Tétel Els - és másodfokú egyenl tlenségek. Pozitív számok nevezetes közepei, ezek felhasználása széls érték-feladatok megoldásában

a) A logaritmus értelmezése alapján: x 8 0 ( x 2 2 vagy x 2 2) (1 pont) Egy szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik szorzótényező 0.

Matematika 11 Koordináta geometria. matematika és fizika szakos középiskolai tanár. > o < szeptember 27.

A 2013/2014. tanévi Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny második forduló MATEMATIKA I. KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értékelési útmutató

6. Függvények. 1. Az alábbi függvények közül melyik szigorúan monoton növekvő a 0;1 intervallumban?

Ellipszis átszelése. 1. ábra

10. Koordinátageometria

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI EMELT SZINT Abszolútértékes és Gyökös kifejezések

Gazdasági Matematika I. Megoldások

25 i, = i, z 1. (x y) + 2i xy 6.1

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

Határozott integrál és alkalmazásai

Egyenletek, egyenlőtlenségek V.

3. Vírusmentes e-levelemet a kolléga számítógépe fert½ozte meg érkezéskor.

Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny 2011/2012 Matematika I. kategória (SZAKKÖZÉPISKOLA) 2. forduló - megoldások. 1 pont Ekkor

Magasabbfokú egyenletek

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK KÖZÉP SZINT Függvények

352 Nevezetes egyenlôtlenségek. , az átfogó hossza 81 cm

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉPSZINT Függvények

1. Interpoláció. Egyértelműség (K2.4.10) Ha f és g ilyen polinomok, akkor n helyen megegyeznek, így a polinomok azonossági tétele miatt egyenlők.

Matematika szóbeli érettségi témakörök 2016/2017-es tanév őszi vizsgaidőszak

20. tétel A kör és a parabola a koordinátasíkon, egyenessel való kölcsönös helyzetük. Másodfokú egyenlőtlenségek.

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI TÍPUSFELADATOK MEGOLDÁSAI KÖZÉP SZINT Függvények

egyenletrendszert. Az egyenlő együtthatók módszerét alkalmazhatjuk. sin 2 x = 1 és cosy = 0.

Németh László Matematikaverseny április 16. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

A(a; b) = 2. A(a; b) = a+b. Példák A(37; 49) = x 2x = x = : 2 x = x = x

Függvények július 13. f(x) = 1 x+x 2 f() = 1 ()+() 2 f(f(x)) = 1 (1 x+x 2 )+(1 x+x 2 ) 2 Rendezés után kapjuk, hogy:

Abszolútértékes egyenlôtlenségek

6. Függvények. Legyen függvény és nem üreshalmaz. A függvényt az f K-ra való kiterjesztésének

Irracionális egyenletek, egyenlôtlenségek

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 14

GAZDASÁGMATEMATIKA KÖZÉPHALADÓ SZINTEN

ANALÍZIS II. Példatár

First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit. Komplex számok (2)

Vektorgeometria (2) First Prev Next Last Go Back Full Screen Close Quit

Szendrői Balázs: Algebrai síkgörbék, szerkesztette: Ádám Liliána, Ódor Gergő, Lajos Mátyás

8. előadás. Kúpszeletek

Feladatok megoldásokkal a harmadik gyakorlathoz (érintési paraméterek, L Hospital szabály, elaszticitás) y = 1 + 2(x 1). y = 2x 1.

1.1. Alapfogalmak. Vektor: R 2 beli elemek vektorok. Pl.: (2, 3) egy olyan vektor aminek a kezdo pontja a (0, 0) pont és a végpontja a

Koordináta geometria III.

: s s t 2 s t. m m m. e f e f. a a ab a b c. a c b ac. 5. Végezzük el a kijelölt m veleteket a változók lehetséges értékei mellett!

FELVÉTELI VIZSGA, szeptember 12.

Haladók III. kategória 2. (dönt ) forduló

Javítókulcs, Válogató Nov. 25.

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Descartes-féle, derékszögű koordináta-rendszer

Hódmezővásárhelyi Városi Matematikaverseny április 14. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

TANMENET. a matematika tantárgy tanításához 10. E.osztályok számára

Diszkrét matematika 1.

A brachistochron probléma megoldása

Bevezetés. 1. fejezet. Algebrai feladatok. Feladatok

2. Síkmértani szerkesztések

L'Hospital-szabály március 15. ln(x 2) x 2. ln(x 2) = ln(3 2) = ln 1 = 0. A nevez határértéke: lim. (x 2 9) = = 0.

2015. évi Bolyai János Megyei Matematikaverseny MEGOLDÁSI ÉS ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ 11. évfolyam

Németh László Matematikaverseny, Hódmezővásárhely március 30. A osztályosok feladatainak javítókulcsa

Koordináta-geometria. Fogalom. Jelölés. Tulajdonságok, definíciók

2) Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét! (3pont)

Szá molá si feládáttí pusok á Ko zgázdásá gtán I. (BMEGT30A003) tá rgy zá rthelyi dolgozátá hoz

Tárgy. Forgóasztal. Lézer. Kamera 3D REKONSTRUKCIÓ LÉZERES LETAPOGATÁSSAL

Egészrészes feladatok

Megoldott feladatok november 30. n+3 szigorúan monoton csökken, 5. n+3. lim a n = lim. n+3 = 2n+3 n+4 2n+1

A Cassini - görbékről

Komplex számok. Wettl Ferenc előadása alapján Wettl Ferenc előadása alapján Komplex számok / 18

5 = hiszen és az utóbbi mátrix determinánsa a középs½o oszlop szerint kifejtve: 3 7 ( 2) = (példa vége). 7 5 = 8. det 6.

Komplex számok. Komplex számok és alakjaik, számolás komplex számokkal.

Komplex számok. Wettl Ferenc Wettl Ferenc () Komplex számok / 9

Interaktív geometriai rendszerek használata középiskolában -Pont körre vonatkozó hatványa, hatványvonal-

Függvények határértéke, folytonossága

Arany Dániel Matematikai Tanulóverseny 2017/2018-as tanév 2. forduló Haladók II. kategória

FEGYVERNEKI SÁNDOR, Valószínűség-sZÁMÍTÁs És MATEMATIKAI

A keresett kör középpontja Ku ( ; v, ) a sugara r = 1. Az adott kör középpontjának koordinátái: K1( 4; 2)

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Megoldások

Matematika A2 vizsga mgeoldása június 4.

Vektorok és koordinátageometria

1. Ábrázolja az f(x)= x-4 függvényt a [ 2;10 ] intervallumon! (2 pont) 2. Írja fel az alábbi lineáris függvény grafikonjának egyenletét!

Átírás:

A másod- és harmadfokú egyenletek nomogramjai Bálint Roland és Szalkai István Pannon Egyetem, Veszprém, balint.roland@virt.uni-pannon.hu, szalkai@almos.uni-pannon.hu 07..8. Kivonat A másodfokú egyenletet megoldó számolóábra elemzésekor érdekes összefüggéseket találtunk a másodfokú egyenlet és a koordinátarendszer kapcsolatáról, amik alapján megszerkesztettük a harmadfokú egyenlet nomogramját. Haladvány Kiadvány, http://math.bme.hu/~hujter/78.pdf, 8.0.09,6:05 0. Bevezetés Egy régi középiskolai "Függvénytáblázatok" könyvben ([0]) találtuk az alábbi számolóábrát ("nomogram"): egy vonalzót a vízszintes és függ½oleges tengelyek p -nek és -nak megfelel½o pontokra illesztve azonnal leolvashatjuk a másodfokú egyenlet gyökeit ) a skálázott parabolán. z + pz + 0 () ) Az x és y változókat a tengelyek eredeti elnevezéseinek tartjuk fenn, ezért mi inkább a z + pz + 0 egyenlet z ; z gyökeir½ol beszélünk.

Honlapunkon [] közlünk még néhány üres, megvonalazott, nagyfelbontású számolóábrát az Olvasóknak, használják egészséggel! Használata egyszer½u és gyors, s½ot az analóg számolóeszközök el½onyeit is "élvezhetjük": p és/vagy változtatása esetén azonnal látjuk a gyökök változásának irányát és mértékét. Ez a gyökképletb½ol másodfokú egyenlet esetében [3] még megy csakcsak, de harmad- és negyedfokú egyenletek esetében ((43),[6]) már aligha. A m½uszaki tudományokban és gyakorlatban most is használnak számolóábrákat (például Nyuist diagram [8],[]). De hogyan m½uködik? Miért metszik az egyenesek épp a gyököknél a görbét, ami miért parabola, stb. Ezekre a kérdésekre adott elemzéseket és érdekes felfedezéseket mutatjuk be az Olvasónak (követnie és átugornia is lehet). Az interneten err½ol semmit, még a fenti számolóábrát sem találtuk, csak az [] és [] nomogramokat, amik kicsit más elven m½uködnek. Az alapos elemzések végén felfedeztük és megszerkesztettük a harmadfokú egyenletet megoldó ábrát is! Érdekességképpen kiemeljük, hogy sem a másodfokú sem a harmadfokú számolóábra elemzéséhez és elkészítéséhez egyszer sem volt szükségünk a megoldóképletekre, s½ot a Viète formulákat ((9), (4), (4), [5]) is csak ellen½orzéshez használtuk!. Bevezet½o számítások Ezek a bevezet½o számolások nem a másodfokú egyenlet megoldó nomogramjának konstruálását vagy lényegét tartalmazzák, hanem csak "ellen½orzést", a nomogram "jóságát". Figyelem: A számolóábra használatakor a p; ; x; y; z változók egyike sem lehet 0, pontosabban a 0 esetet külön meg kell vizsgálnunk. p 0 esetén az A pont végtelen távol van, az AB egyenes vízszintes és a parabolát < 0 esetén valóban a p pontokban metszi, míg 0 esetén a B pont végtelen távol van, az AB egyenes függ½oleges és a parabolát tényleg a p és a végtelen távoli 0 pontban metszi. Számolóábráknál (nomogramok) és logarléceknél a tengelyekre és a görbékre felírt számok általában nem egyeznek meg a geometriai (valódi) távolság-értékekkel. Ezeket körültekint½oen meg kell különböztetnünk, ezért az alábbi jelölést vezetjük be: Jelölés: Minden (geometriai) ponthoz írt értékeket, azaz a feliratokat p F ; F ; x F ; y F ; z F ; ::: () 3

-el jelöljük, míg ugyanezen pontok geometriai értékei, azaz a valódi távolságok az origótól p g ; g ; x g ; y g ; z g ; :::. (3) Tehát nagyon gyeljünk az alsó indexekre! A számolóábra (nomogram) nyilván akkor használható könnyen, ha a p F, F, z F és z F értékeket találjuk meg rajta, tehát () precízen az alábbi egyenlet jelenti: z F + p F z F + F 0. (4). Észrevétel: A bemutatott nomogramon a tengelyeken reciprok skálák vannak, vagyis p F p g és F g. (5) A parabola egyenlete y x azaz g p g, vagyis F p F. F p F azaz p F. Észrevétel: a parabolára írt "z" számok éppen az adott (geometriai) P (x; y) pont x koordinátáihoz írt p F értékek, vagyis z F p F ahol P x ; x ; ;. (6) p F z F p F z F ÁLLÍTÁS: a számolóábra jó. (Ellen½orzés.) Tehát azt kell igazolnunk, hogy az egyenes vonalzónk illesztéséhez használt A (p F ) ; 0 és B ( F ) 0 ; p F F (7) pontok, valamint a parabolán jelölt C (z ) ; és C z F zf (z ) ; (8) z F zf! pontok egy egyenesbe esnek. Vagyis: AB k AC!!! i azaz det AB ; ACi 0 (i ; ). Az alábbi bizonyításban elhagyjuk az F alsó indexeket. Fel fogjuk használni a Viète összefüggéseket (ld.pl. [5]): z z és z + z p, (9) 4

azaz p + z z és p + z z : (0) Mivel z és z szerepe szimmetrikus, ezért elég a C pontra bizonyítanunk:! AB ;!, AC p ; p z z p z pz ;, z!! det AB ; AC p z p z pz pz z + p+z pz z pz + z 0.. Készítése z z z + z De hogyan készült, vagyis hogyan találták fel a fenti egyszer½u de hasznos kis segédeszközt? Ebben a fejezetben egy lehetséges szerkesztést elemzünk. Ha a nomogramot a fenti módon szeretnénk használni ("p F és F az x és y tengelyeken, vonalzó ide és metsz a görbén", (5) és z F p F ), akkor a görbe nyilván mértani helye az AB egyenesek és a z és z -nél függ½olegesen húzott egyenesek metszéspontjainak. Az AB egyenes egyenlete (Salmon-féle tengelymetszetes egyenlet és (5) alapján): x + y vagyis y p F x, () p F F F ennek metszete (9) szerint a függ½oleges x z z y + p z ( + pz ) z hiszen z + pz + 0 miatt pz + z. y Tehát a görbe tényleg egy közönséges parabola. Megfordítva: Az AB egyenes és az y px x, ahonnan 0 x p x + x p x + F egyenessel: z x x parabola metszéspontját vizsgáljuk:! x, () melynek x ; gyökei az eredeti x + px + 0 egyenlet gyökeinek negatív reciprokai: x i z i. 5

3. További észrevételek 3. Észrevétel: A parabola és az y tengely által az AB egyenesb½ol kimetszett szakaszok aránya épp a z és z gyökök aránya. Ez szemléletesen belátható a számolóábrán: a vízszintes tengelyen (x ) F és (x ) F van, az AB egyenest és a vízszintes (x) tengelyt egy szögtartománynak tekinthetjük, a parabola és az AB egyenes metszéspontjaiban húzott függ½oleges egyenesek az x tengelyen épp a gyökök értékeit mutatják: z F z g és z F z g, ezek aránya valóban z z, és a szögtartományra a függ½oleges egyenesekkel a párhuzamos szel½ok tételét alkalmazva épp a bizonyítandó állítást kapjuk. Az állítást azonban számolással is megkaphatjuk: (7) és (8) alapján: Ha a D pont az AB és y tengely metszéspontja, akkor nyilván D 0 ; 0 ; z z, és ekkor a keresett arány: C D C D v z u + t z + z z z z z z + z z z + z v u t z z z + z + z z s z z + (z + z ) z z + (z + z ) z z. z +z z z z +z z z v u t z z z 4z z z z z4 + (z +z ) z 4 z + (z +z ) z z4 4. Kérdés: miért kellett a tengelyeken reciprok skálákat felvenni? Talán ekkor már az AB egyenes képe nem lenne egyenes, hanem ennek inverziós képe, egy kör. Erre a "Lineáris léptékkel" fejezetben keresünk választ. 5. Kérdés: D 0 azaz p F 4 F esetében az AB egyenesnek a parabola érint½ojét kell adnia. Ezt is érdekes lenne végigszámolni. 4. Lineáris léptékkel Próbáljunk meg egy nomogramot szerkeszteni úgy, hogy a tengelyeken lineáris lépékeket alkalmazunk, azaz p F p g és F g. El½oször is vizsgáljuk meg az () egyenletet közelebbr½ol. Kis átalakítás után: px + x, tehát a gyökök a következ½o két függvény metszéspontjainak els½o koordinátái: y px + egyenes és y x parabola. 6

Ez egy hagyományos gra kus megoldás lehetne. Az y x parabolát könny½u felrajzolni (csak egyszer kell), az egyenes az y tengelyt a értéknél metszi, és p az egyenes meredeksége, amit "kicsit" nehéz és pontatlan beállítani a gra kus megoldásnál: már derékszög½u háromszöget kellene szerkeszteni, stb. Sajnos, nem túl praktikus, annak ellenére, hogy a tengelyeken a szokásos lineáris skála (millliméterpapír) mellett ésszer½u tartományok ábrázolhatóak. Tehát: a tetsz½oleges A(u; 0) és B (0; v) pontokon átmen½o egyenes egyenlete x + u y vagyis y v x v u v v x, aminek metszete az y u x parabolával: x v v x azaz 0 x v x + v u u vx +, amely másodfokú v u x x egyenlet gyökei z i x i, és az együtthatók p és. u v Ez (is) magyarázza a reciprok lépték szükségességét a tengelyeken! 5. Villamosmérnöki gondolatok Feltesszük, hogy a nomogram használatakor az x, x gyököket az f (x) x parabola és a C, C pontokon átmen½o egyenes metszéspontjaiként kapjuk meg, és a tengelyeken vannak p és értékei. Lineáris skálák esetén: A C (x ; x ), C (x ; x ) pontokon átmen½o egyenes egyenlete f(x) y x (x x ) + y (x x ) (x x ) x (3) x x (x + x ) x + x x amely az x tengelyt az f(x 0 ) 0 vagyis x 0 x x x + x x + x azaz x 0 x + x. (4) Ez mellesleg az elekronikából jól ismert replusz (reciprok plusz) m½uvelet ), ami pl. két párhuzamos ellenállás (R ; R ) ered½o ellenállását adja meg: R e R + R vagyis R e R R R + R. (5) ) ami éppen a harmonikus középérték fele 7

Továbbá a C C egyenes az y tengelyt az f (0) x x (6) pontban metszi. A (9) Viète összefüggéseknek (6) ugyan eleget tesz, de (4) nem, ha a tengelyeken p -t és -t szeretnénk látni. Villamosmérnökként gondolkozva a gyökökre úgy tekinthetünk mint ellenállások, és ha p a kett½o replussza, akkor tudjuk "linearizálni" a feladatot, ha vesszük a reciprokokat, tehát vezetésekkel számolunk ellenállások helyett. Reciprok skálák esetén: Tehát vegyünk mindkét tengelyen reciprok skálákat ((5) és (3) szerint). f (x) függvény marad a x függvény. A két metszéspont C x ; és C x x ;. x A C C egyenes egyenlete: x f (x) x x ( + ) x +, (7) x x x x x x melynek metszéspontja x tengellyel f (x 0 ) 0 ahonnan x x 0 x x + x. (8) Mivel p -re is reciprok skálánk van, ezért (x 0 ) g (x 0 vagyis a metszéspontnál ) F lev½o (x 0 ) F felirat éppen p F! A C C egyenes y tengellyel vett metszéspontja f(0) x x, ami szintén megegyezik F -el! Megfordítva: az x tengelyen lev½o reciprok skála p F -ek értékét adja meg, a gyököknél pedig (x F ) és (x F ) feliratokat kell elhelyeznünk! 6. A felfedezés Már talán eleget tudtunk meg a másodfokú számolóábráról, tehát akár fel is fedezhetjük, minden el½ozetes információ nélkül ("a semmib½ol"). Tehát az () x F + p F x F + F 0 egyenletünk van. Pár ügyes átalakítással: x F + p F x F + F 0 : x F (feltéve, hogy x F 6 0) 8

+ p F + F x F x F 0, HA most (ismét) AKKOR és HA még AKKOR () geometriai jelentése ami pedig az p F p F x F + F x F. (9) y F x F, (0) x F x F y F () + F. () y F x F x g, y F y g, p F p g és F g, (3) x g p g + y g g, (4) A (p g ; 0) és B (0; g ) (5) pontokon áthaladó egyenes "tengelymetszetes" (vagy Salmon-féle) egyenlete, és () pedig geometriailag x g y g (6) a "lefelé álló parabola" egyenlete. Összefoglalva: az () egyenlet nemnulla x ;F (és x ;F ) gyökei éppen az (), azaz (6) lefelé álló parabolának és az AB pontokra (5) fektetett (4) egyenesnek a metszéspontjai, ráadásul ezen metszéspontok pontosan a vízszintes tengelynek az x ;F (és x ;F ) feliratok alatt (függ½olegesen) lev½o pontjai! Ez pedig éppen a bevezet½oben bemutatott számolóábra! 9

7. Harmadfokú egyenletek Minden harmadfokú egyenlet standard módon alakítható át x 3 + px + 0 azaz x 3 F + p F x F + F 0 (7) alakra ([6], [7]). Próbáljuk meg az el½oz½o fejezetben alkalmazott módon átalakítani: x 3 F + p F x F + F 0 : x 3 (feltéve, hogy x F 6 0) + p F x F + F x 3 F 0, Legyen most p F x F + F x 3 F. (8) p F p g és F g (9) és ekkor és és (8) jelentése ami az y g x 3 F pontokon áthaladó egyenes egyenlete. x F x g és x 3 F y g, (30) x F x g (3) p x g 3 ( xg ) 3 (3) x g p g + y g g, (33) A (p g ; 0) és B (0; g ) (34) Tehát megint van az AB egyenesünk és a (3) egyenlet½u görbénk. 0

3 y 3 x 0 Az y ( x g ) 3 egyenlet½u görbék 3 Összefoglalva: A harmadfokú nomogram elkészítése. i) a vízszintes és függ½oleges tengelyeken p és beosztása reciprok skála (9) szerint - mint a másodfokú számolóábránál, ii) megrajzoljuk az y g ( x g ) 3 görbéket (szimmetrikus az x tengelyre), iii) a vízszintes tengelyen (3) alapján x F részére felveszünk egy x F x g (35) beosztást (azaz az origótól x g távolságra x F feliratot írunk), iv) az x F feliratokat függ½olegesen levetítjük és ráírjuk a ii) görbére. A nomogram használata: v) a megfelel½o p F, F pontokra fektetett AB egyenes kimetszi az ii) görbén a gyököket.

Ha nem tudjuk vagy nem akarjuk a görbére közvetlenül ráírni a számokat, akkor az AB egyenes és a görbe kapott metszéspontjait függ½olegesen vetítjük a vízszintes tengelyre és ott olvassuk le x F értékeit. Sajnos (3) miatt már az iii) pontban sem tudtuk az x F értékek el½ojeleit egyértelm½uen felírni. Tehát számolóábránk csak a gyökök abszolút értékeit adja meg, a gyökök el½ojeleit nekünk kell behelyettesítéssel vagy a Viète összefüggések (4) alapján meghatároznunk. Honlapunkon [] közöljük a nagyfelbontású számolóábrákat. Az ábrát biztosan feltalálták már el½ottünk, csak esetleg a négyzetes-reciprok skála miatt nehézkes és pontatlan a használata, ezért nem tartották ½oseink megörökítésre méltónak. 7.. Megjegyzések, kérdések. Megjegyzés: Már az el½oz½o alfejezet végén tárgyaltuk a gyökök el½ojeleinek problémáját. Sajnos erre jobb választ nem tudunk, nyitott kérdés, hogy van-e el½ojelhelyes nomogram a harmadfokú egyenlet megoldásához.. Kérdés: Mit jelent (30), azaz mennyi y F? Tulajdonképpen lényegtelen, vagyis y F skálára nincs szükségünk. Az y g f (x g ) görbét viszont (3) egyértelm½uen meghatározza. 3. Megjegyzés: A nomogram megtervezése sokkal egyszer½ubb lenne az x 3 + px + 0 (36) alakú egyenletekre, de sajnos nem minden harmadfokú egyenlet hozható ilyen alakra. 4. Kérdés: Ha tudtunk nomogramot szerkeszteni másodfokú egyenletre síkban, akkor tudunk-e térbeli nomogramot készíteni az általános z 3 +z +z + 0 alakú harmadfokú egyenletek megoldására? Erre sem tudjuk még a választ. 5. Kérdés: A p; értékekre illesztett AB egyenes hogyan metszi a két görbét három pontban? Az ábrán láthatjuk, hogy a fels½o görbe konvex, az alsó konkáv! A diszkrimináns (44) alapján pedig akkor van három különböz½o valós gyök, ha < 0. Ez pedig ugye akkor van, ha p er½osen negatív, és ebben az esetben az egyenes valóban metszheti az egyik görbét kett½o, a másik görbét pedig egy pontban. Tehát van három gyökünk! Mivel a két görbe együtt szimmetrikus a vízszintes tengelyre, ezért el½ojele (a függ½oleges tengelyen) lényegtelen: a gyökök ugyanazok. Ez összhangban van a Cardano képlettel (43), mert miatt ott sem lényeges el½ojele, és természetesen -ban sem. 6. Kérdés: A három gyök lehet-e egy egyenesen? 3

A három gyök mindegyike kielégíti (7) és (8) -et, amik ekvivalensek (ha egyik gyök sem 0). (9), (3) és (3) esetén a fenti (8) ekvivalens (33) -el, ami egy valóságos geometriai egyenes, méghozzá (34)-beli pontokkal, tehát OK, vagyis a három (vagy amennyi van) gyök mindenképpen egy egyenesre esik! 7. Kérdés: Ha csak az egyik gyököt változtatom meg, a másik két gyökön áthaladó egyenes "mit csinál"? Ez egy fogas kérdés. De ne feledjük: nomogramunk csak a (7) alakú egyenletekre m½uködik, márpedig ha csak az egyik gyököt változtatjuk meg, akkor - a (4) Viète összefüggés alapján ezt a három gyököt megadó egyenlet már nem lesz (7) alakú! 7.. Diszkriminánsok Ebben az alfejezetben néhány hasznos képletet és tudnivalót sorolunk fel a harmadfokú egyenletekr½ol.. Állítás: Minden alakú egyenlet a Z : z + 3 z 3 + z + z + 0 (37) helyettesítéssel ekvivalens módon átalakítható Z 3 + pz + 0 (38) alakú egyenletté. (Bizonyítás: Házi Feladat vagy [6],[7].). Állítás (Viète formulák): Ha a fenti egyenletek (akár komplex akár valós) gyökei z ; z ; z 3 illetve Z ; Z ; Z 3, akkor a és összefüggések alapján és (z z ) (z z ) (z z 3 ) z 3 + z + z + (39) (Z Z ) (Z Z ) (Z Z 3 ) Z 3 + pz + (40) (z + z + z 3 ) z z + z z 3 + z 3 z (4) z z z 3 Z + Z + Z 3 0 Z Z + Z Z 3 + Z 3 Z p (4) Z Z Z 3. 4

3. Tétel (Cardano-Fontana 3) formula, [6]): A (40) egyenlet gyökei r r z i 3 + + p 3 3 3 + + p 3 3. (43) 4. De níció: A harmadfokú egyenlet diszkriminánsa ([8], [9]) : + p 3 3. (44) 5. Tétel ([6]-[9]): HA > 0 akkor a Cardano formulában lev½o négyzetgyökvonás elvégezhet½o és az egyenletnek mindig egy valós és két (igazi) konjugált komplex gyöke van, HA 0 akkor és csak akkor ha legalább két gyök azonos (van többszörös gyök), HA < 0 akkor a négyzetgyök alatt negatív szám van, DE az egyenletnek három valós gyöke van. 7.3. Példák A nomogram kipróbálásához néhány egyenletet el½ore megoldottunk a Cardano- Fontana képlettel. x 3 + 0:3 x + 0:5 x3 3:3333x + 0 (p F azaz p 0:3 g 0:3), Megoldása: (x i ) F :3680, 0:705, :073, (x i ) g (:3680) 0:53435, (0:705) :00 7, ( :073) 0:366, x 3 + 0:4 x + 0:8 x3 :5x + :5 0, Megoldása: (x i ) F :8, 0:57673, :7885, (x i ) g (:8) 0:68099, (0:57673) 3:006 5, ( :7885) 0:36, x 3 + 0: x + 0:3 x3 5x + 3:3333 0, Megoldása: (x i ) F :7635, 0:7557, :55 3 ) A képletet általában Cardano-Tartaglia vagy csak Cardano képletnek hívják. A képletet valójában Tartaglia találta fel, akinek eredeti neve Niccoló Fontana, Tartaglia csak a gúnyneve ("dadogós"). 5

(x i ) g (:7635) 0:355, (0:7557) :7704, ( :55) 0:580, x 3 + 0: x + x3 5x + 0, Megoldása: (x i ) F :84, 0:064, :330 (x i ) g (:84) 0:075, (0:064) 4:595, ( :330) 0:848, x 3 + 0:45 x + :5 0, Megoldása: (x i ) F :3088, 0:339, :6 7 (x i ) g (:3088) 0:58379, (0:339) 0:48, ( :6 7) 0:37977. 8. Hivatkozások [0] Függvénytáblázatok, matematikai és zikai összefüggések, Tankönyvkiadó, 968. [] Martel, P.: Nomograms, http://www.philmartel.com/nomograms.html és http://www.philmartel.com/nomogram/quadratic_line.html [] http://lalashan.mcmaster.ca/theobio/math/index.php/nomogram [3] https://hu.wikipedia.org/wiki/másodfokú_egyenlet [4] https://en.wikipedia.org/wiki/quadratic_euation [5] https://hu.wikipedia.org/wiki/viète-formulák [6] https://hu.wikipedia.org/wiki/harmadfokú_egyenlet [7] https://en.wikipedia.org/wiki/cubic_function (redirected from Cardano formula) [8] https://hu.wikipedia.org/wiki/diszkrimináns [9] http://en.wikipedia.org/wiki/discriminant [0] https://en.wikipedia.org/wiki/nyuist_plot [] Görbe Péter: Villamosságtan jegyzet, Pannon Egyetem, Kézirat, 07. [] http://math.uni-pannon.hu/~szalkai/nomogramok.zip 6