Nemlineáris rendszerek. Verifikálás: nemlin dersz megoldását ü. Vizsgáljuk meg, hogy az x '=y fggvénypár! y '= y x egyenletrendszernek megoldása-e a jhtl := t yhtl := t Először is az egyenletrendszer jobb oldalának értelmezési tartományaként W := ä + ä vehető (miért?). Azután, ha akkor ϕ@t_d := t ; ψ@t_d := t ; :ϕ '@td, ψ@td, ψ '@td, ψ@td ϕ@td > 9 t, t, t, = tehát nem megoldás. Azt majd alább megadjuk.. Belátjuk, h első integrál, amit megadtunk ü. Bizonyítsuk be, hogy a yht, p, ql := arctgj p N-t képlettel megadott függvény első integrálja az q x '= x y y '=- y x egyenletnek! Először is az egyenletrendszer jobb oldalának értelmezési tartományaként W := ä + ä + vehető (miért?). Azután, ha akkor, mivel: ψ@t_, p_, q_d := ArcTanB p p F t; f@p_, q_d := : q q, q p > D@ψ@t, p, qd, 88t, p, q<<d êê Simplify :, q, p p + q p + q > ezért :, q, p p p + q p + q>.:, q, q > êê Simplify p ü. Használjuk fel az első integrált a rendszer megoldásához! arctgj xhtl N-t=c yhtl, tehát xhtl= yhtl tght+c L, amit a másodikba írva kapjuk y'htl=- yhtl, ezt a lineáris egyenletet már tght+c L meg tudjuk oldani.
Gyakanyag.nb. Megoldunk néhányat, sajnos, trükkökkel, de első integrál néha ránézésre adódik ü. Oldjuk meg az x '=y y '= y x egyenletrendszert! Mivel x y'= y és x' y= y, ezért I y x M'=, tehát y x = c, amit az első egyenletbe írva kapjuk, hogy x'=c x, tehát xhtl=c c t. Ezt az első egyenletbe téve kapjuk, hogy yhtl=c c c t. TraditionalFormBColumnBds = DSolveB:x '@td y@td, y'@td y@td >, 8x@tD, y@td<, tfptff x@td yhtløc c c t xhtløc c t Stabilitás 4. Lineáris rendszerek fázizsíkja a különböző esetekben Lásd alább. 5. Stabilitás explicit megoldásból a definíció alapján ü. Vizsgáljuk meg az x 'HtL=sinHxHtLL egyenlet stacionárius pontjainak stabilitását! A stacionárius pontok: x k * = kphk œ L. Mivel a kezdetiérték-problémák megoldása x k HtL=arcctgHctgHx L-tL+kp, ezért minden megoldás korlátos, de látható, hogy a megoldások a H k + Lp értékhez tartnak alulról, a kp értéktől meg távolodnak. ü. Vizsgáljuk meg az x '=y y '= x egyenlet stacionárius pontjainak stabilitását! Az egyetlen stacionárius pont az origó. Mivel az x'= y y'= x xhl= x yhl= y kezdetiérték-probléma megoldása TraditionalForm@Column@ds = DSolve@8x'@tD y@td, y'@td x@td, x@d x, y@d y<, 8x@tD, y@td<, tdptdd xhtløx coshtl-y sinhtl yhtløx sinhtl+y coshtl ez az egész számegyenesen értelmezve van, és minden e-hoz van olyan d, hogy az origóhoz e-nál közelebb induló megoldások nem távolodnak el jobban az origótól, mint d: x coshtl-y sinhtl < x coshtl + y sinhtl < x + y x sinhtl+y coshtl < x sinhtl + y coshtl < x + y
Gyakanyag.nb 6. Stabilitás lin rszeknél, sajátértékekből ü Elmélet In[]:= sp@λ_, µ_, opts D := StreamPlot@8λ x, µ y<, 8x,, <, 8y,, <, optsd In[]:= i = sp@,, PlotLabel "λ>, µ>\ninstabilis csomó"d; s = sp@,, PlotLabel "λ, µ \nsabilis csomó"d; n = sp@,, PlotLabel "λ>, µ \nnyereg"d; In[6]:= GraphicsGrid@88i, s<, 8n<<, ImageSize 4D l>, m> l<, m< Instabilis csomó Sabilis csomó - - - - Out[6]= - - - - l>, m< Nyereg - - - - - - - - - - In[]:= elf@λ_, opts D := StreamPlot@8λ x+y, λ y<, 8x,, <, 8y,, <, optsd In[]:= ie = elf@, PlotLabel "λ>\ninstabilis elfajult csomó"d; se = elf@, PlotLabel "λ \nsabilis elfajult csomó"d;
4 Gyakanyag.nb In[4]:= GraphicsRow@8ie, se<, ImageSize 4D l> Instabilis elfajult csomó l< Sabilis elfajult csomó Out[4]= - - - - - - - - - - - - In[]:= kom@α_, β_, opts D := StreamPlot@8α x β y, β x+α y<, 8x,, <, 8y,, <, optsd
Gyakanyag.nb 5 In[5]:= if = kom@,, PlotLabel "α>\ninstabilis fókusz"d; if = kom@,, PlotLabel "α>\ninstabilis fókusz"d; if = kom@,, PlotLabel "α>\ninstabilis fókusz"d; sf = kom@,, PlotLabel "α \nsabilis fókusz"d; cf = kom@,, PlotLabel "α=\ncentrum"d; GraphicsGrid@88if, if<, 8if, sf<, 8cf<<, ImageSize 4D a> Instabilis fókusz a> Instabilis fókusz - - - - - - - - - - - - a> Instabilis fókusz a< Sabilis fókusz Out[]= - - - - - - - - - - - - a= Centrum - - - - - - In[]:= sp@λ_, µ_, opts D := StreamPlot@8λ x, µ y<, 8x,, <, 8y,, <, optsd In[]:= i = sp@,, PlotLabel "λ=, µ>"d; s = sp@,, PlotLabel "λ=, µ "D; n = sp@,, PlotLabel "λ=, µ="d; masik = StreamPlot@8y, <, 8x,, <, 8y,, <D;
6 Gyakanyag.nb In[6]:= GraphicsGrid@88i, s<, 8n, masik<<, ImageSize 4D l=, m> l=, m< - - - - Out[6]= - - - - - - l=, m= - - - - - - - - - - - - - - ü Első példa, kézzel eq = 8x '@td x@td+y@td, y '@td x@td y@td<; rhs = eqpall, T ê. z_@td z 8 x+y, x y< var = 8x, y< 8x, y< MatrixForm@A = D@rhs, 8var<D ê. 8x, y <D K O Eigenvalues@AD : J 5 N, J + 5 N> N@%D Stablis csomó 8.68,.8966<
Gyakanyag.nb 7 ü Program Thread@8x, y< D 8x, y < stabq@rhs_, var_: 8x, y<d := Eigenvalues@D@rhs, 8var<DD stabq@8 x+y, x y<d : J 5 N, J + 5 N> sokrhs = :8 x+ y, x y<, 8 x+ y, x+y<, 8 x, x+y<, 8x+ y, 6 x 5 y<, : 4 x+ y, x 4 y>, 8 x 5 y, x+ y<, 8x+y, y<, 8x+ y, x+y<>; tipus = 8elfajult, nyereg, "instabilis\ncsomó", "stabilis\nfókusz", "stabilis\ncsomó", "centrum", "intabilis\nelfajult\ncsomó", "intabilis\nfókusz"<; Grid@8sokrhs, stabq ê@ sokrhs, tipus<, Frame AllD 8 x+ y, x y< 8 x+ y, x+y< 8 x, x+y< 8x+ y, 6 x 5 y< 9 4 x+ y, x 4 y= 8 x 5 y, x+ y< 8x+y, y< 8x+ y, x+y< 8, < :, > 8, < 8 +, < 8 5, < : 6, 6 > 8, < 8+, < elfajult nyereg instabil is csomó stabilis fókusz stabilis csomó centrum intabilis elfajult csomó intabilis fókusz GraphicsGrid@ Partition@StreamPlot@, 8x,, <, 8y,, <, ImageSize D &ê@ sokrhs, DD - - - - - -
8 Gyakanyag.nb - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - Megemlíthető, h itt is kereshetünk Ljapunov-függévnyt, kvadratikusat. 7. Stab nemlin rsznél, linearizálással ü Nem megy eq = 9x '@td x@td y@td, y'@td x@td y@td =;
Gyakanyag.nb 9 rhs = eqpall, T ê. z_@td z 9 x y, x y = MatrixForm@A = D@rhs, 88x, y<<d ê. 8x, y <D K O Eigenvalues@AD 8, < Épp nem dönthető el. StreamPlot@rhs, 8x,, <, 8y,, <D - - - - - - StreamPlot@rhs, 8x,.,.<, 8y,.,.<D.... -. -. -. -. -. -.....
Gyakanyag.nb Gyanús! Bendixson mutatja, h az első negyedben nem lehet periodikus megoldás. HF! ü És most? rhs = 9x y+sin@x+yd, x+y + Sin@xD=; Solve@Thread@rhs D, 8x, y<d Solve::tdep: The equations appear to involve the variables to be solved for in an essentially non-algebraic way. à SolveA9x y+sin@x+yd, x+y + Sin@xD =, 8x, y<e FindRoot@Thread@rhs D, 88x, <, 8y, <<D 9x 9.95 5, y.565 8 = FindInstance@Thread@rhs D, 8x, y<d 88x, y << Belátható, h nincs másik stac pont. HF! MatrixForm@A = D@rhs, 88x, y<<d ê. 8x, y <D K O Eigenvalues@AD 8, < Instabilis, mert van pozitív valós részű sajátértéke. StreamPlot@rhs, 8x,, <, 8y,, <D - - - - - - 8. Megadott Ljapunov függvénnyel eq = 9x '@td x@td y@td, y'@td x@td y@td =;
Gyakanyag.nb rhs = eqpall, T ê. z_@td z 9 x y, x y = v@x_, y_d := x + y Expand@D@v@x, yd, 88x, y<<d.rhsd x +α α x +α y α+x y +β β y +β β StreamPlot@rhs, 8x,, <, 8y,, <D - - - - - - 9. Keressünk Ljapunov-függvényt ü. eq = 9x '@td y@td x@td 5, y'@td x@td y@td + y@td 5 =; rhs = eqpall, T ê. z_@td z 9 x 5 + y, x y + y 5 = Select@Union@NSolve@rhs 8, <, 8x, y<dd, FreeQ@ P T, ComplexD &D 88x.55, y.794<, 8x., y.<, 8x.55, y.794<< Csak az origót fogjuk vizsgálni. Legyen v@x_, y_d := x α + y β Expand@D@v@x, yd, 88x, y<<d.rhsd x 4+α α+ x +α y α x y +β β y +β β+y 4+β β Tűnjenek el a vegyes tagok:
Gyakanyag.nb Reduce@8 α β, α, β <, 8α, β<, IntegersD α &&β 4 joparam = 8α, β 4<; Expand@D@v@x, yd, 88x, y<<d.rhsd ê. joparam x 6 4 y 6 + 4 y 8 Azonos ezzel: Ix 6 + y 6 I y MM Ix 6 + y 6 I y MM és ez negatív az origóhoz közel. StreamPlot@rhs, 8x,, <, 8y,, <D - - - - - - És valóban csak lokális a stabilitás! Jól látszik a másik két egyensúlyi helyzet, nyeregpontnak tűnnek, nem? ü. eq = 9x '@td x@td y@td x@td, y'@td x@td+y@td y@td =; rhs = eqpall, T ê. z_@td z 9x x y, x+y y = Legyen v@x_, y_d := x α + y β Expand@D@v@x, yd, 88x, y<<d.rhsd x α α x +α α x +α y α+x y +β β+y β β y +β β Tűnjenek el a vegyes tagok:
Gyakanyag.nb Reduce@8 α β, α, β <, 8α, β<, IntegersD α &&β joparam = 8α, β <; Expand@D@v@x, yd, 88x, y<<d.rhsd ê. joparam x x 4 + y y 4 Azonos ezzel: Ix I x M+y I y MM Ix I x M+y I y MM és ez pozitív az origóhoz közel: 9ContourPlotA Ix I x M+y I y MM, 8x,, <, 8y,, <E, PlotDA Ix I x M+y I y MM, 8x,, <, 8y,, <E= :, >
4 Gyakanyag.nb StreamPlot@rhs, 8x,, <, 8y,, <D - - - - - - És valóban instabilis, de mintha lenne egy periodikus megoldás! A Bendixson-tétel nem is zárja ki: Tr@D@rhs, 88x, y<<dd x y