Matematika előadás elméleti kérdéseinél kérdezhető képletek Lineáris Algebra GEMAN 203-B A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok szögét? a) Hogyan számoljuk ki az a vektor b vektorra eső merőleges vetületi vektorát? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok skaláris szorzatát? f) Hogyan számoljuk ki egy v = (v 1, v 2, v 3 ) vektor abszolút értékét? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok vektoriális szorzatát? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok által kifeszített paralelogramma területét? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ) és b = (b 1, b 2, b 3 ) vektorok által kifeszített háromszög területét? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) és c = (c 1, c 2, c 3 ) vektorok által kifeszített hasáb térfogatát? a) Hogyan számítjuk ki az a = (a 1, a 2, a 3 ), b = (b 1, b 2, b 3 ) és c = (c 1, c 2, c 3 ) vektorok vegyes szorzatát?
b) Írja fel az n = (A, B, C) normálvektorú azon sík egyenletét, amelyik illeszkedik a P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) pontra! b) Írja fel a v = (v 1, v 2, v 3 ) irányvektorú azon egyenes egyenletét, amelyik illeszkedik a P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) pontra! Valós vektorterek b) Legyen (V, +, ) egy valós vektortér. Definiálja a b 1,..., b n V vektorrendszer egy lineáris kombinációját! lineárisan független? lineárisan függő? generátorrendszer? bázis? maximálisan független? minimális generátorrendszer? b) Mondja ki a kicserélési tételt!
b) Definiálja egy (V, +, ) valós vektortér dimenzióját! R n vektorai a) Hogyan számítjuk ki az x = (x 1, x 2,..., x n ) R n és az y = (y 1, y 2,..., y n ) R n vektorok összegét? a) Hogyan számítjuk ki egy x = (x 1, x 2,..., x n ) R n vektor λ R valós számmal való szorzatát? a) Definiálja az x = (x 1, x 2,..., x n ) R n vektor normáját! a) Definiálja az x = (x 1, x 2,..., x n ) R n és az y = (y 1, y 2,..., y n ) R n vektorok skaláris szorzatát! b) Mondja ki a Cauchy-Bunyakowszkij-Schwarz egyenlőtlenséget! b) Mondja ki a Minkowski egyenlőtlenséget! Komplex számok e) Hogyan számoljuk ki a z = r(cos φ + i sin φ) komplex szám n-edik hatványát? z n = e) Hogyan számoljuk ki a z = r(cos φ + i sin φ) komplex szám n-edik gyökeit? n z = e) Hogyan számoljuk ki a z 1 = r 1 (cos φ + i sin φ) és a z 2 = r 2 (cos ψ + i sin ψ) komplex számok szorzatát? z 1 z 2 =
e) Hogyan számoljuk ki a z 1 = r 1 (cos φ + i sin φ) és a z 2 = r 2 (cos ψ + i sin ψ) komplex számok alábbi hányadosát? z 1 z 2 = e) Hogyan számoljuk ki a z = a + bi komplex szám abszolút értékét? z = e) Definiálja a z = a + bi komplex szám konjugáltját! z = Polinomok e) Definiálja egy p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 valós együtthatós polinom gyöktényezős alakját! b) Mondja ki az Algebra alaptételét valós együtthatós polinomokra! b) Mondja ki valós együtthatós polinomokra vonatkozóan a maradékos osztás tételét! e) Hogyan számolhatjuk ki egy p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 Z[x] egész együtthatós polinom egész megoldásait? e) Hogyan számolhatjuk ki egy p(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0 Z[x] egész együtthatós polinom racionális x = p q, l.n.k.o(p, q) = 1 megoldásait? Mátrixok e) Hogyan számoljuk ki a A = (a ij ) m i=1,j=1 n és a B = (b ij) m i=1,j=1 n mátrixok összegét? e) Hogyan számoljuk ki a A = (a ij ) m i=1,j=1 n szorzatát? mátrixoknak a λ R valós számmal való e) Hogyan számoljuk ki a A = (a ij ) m i=1,j=1 n és a B = (b ij) n i-edik sorának j-edik elemét? (A B) ij = i=1,j=1 k mátrixokok szorzatának
e) Legyen n N. Definiálja az n-ed rendű egységmátrixot! e) Definiálja egy A M n n mátrix inverzét! Lineáris egyenletrendszerek e) Mikor mondjuk, hogy egy lineáris egyenletrendszer ellentmondásos? e) Mikor mondjuk, hogy egy lineáris egyenletrendszer határozott? e) Mikor mondjuk, hogy egy lineáris egyenletrendszer határozatlan? e) Adja meg egy lineáris egyenletrendszer vektoros alakját! e) Adja meg egy lineáris egyenletrendszer mátrixos alakját! Determinánsok e) Definiálja a det : M n n R determináns függvényt! e) Milyen kapcsolatot ismer egy A M n n mátrix invertálhatósága és determinánsa között? e) Mondja ki a determinánsok sor szerinti kifejtési tételét! e) Mondja ki a determinánsok oszlop szerinti kifejtési tételét! e) Hogyan számoljuk ki egy A M n n nem nulla determinánsú mátrix determinánsát pivotálással?
e) Hogyan számoljuk ki egy A M n n nem nulla determinánsú mátrix A 1 inverz mátrixának i-edik sorának j-edik elemét? (A 1 ) ij = e) Definiálja egy A = (a ij ) n n i=1,j=1 mátrix a ij eleméhez tartozó adjungált algebrai aldeterminánsát!