(folyamatban lévő munka O. Biquard-ral) Magyar Tudomány Napja Fiatal Kutatói Ülésszak Rényi Alfréd Matematikai Kutatóintézet 2008. november 17.
Deligne kérdése Legyenek C 0,...,C n konjugálási osztályok Gl r (C)-ben. Kérdés (P. Deligne, 1989) Mikor léteznek olyan A j C j mátrixok minden j-re, amelyekre A 0 A 1 A n = I?
Deligne kérdése Legyenek C 0,...,C n konjugálási osztályok Gl r (C)-ben. Kérdés (P. Deligne, 1989) Mikor léteznek olyan A j C j mátrixok minden j-re, amelyekre A 0 A 1 A n = I? Megjegyzés Triviális szükséges feltétel: det(c 0 )det(c 1 ) det(c n ) = 1.
Motiváció Legyenek p 1,...,p n C különböző pontok a síkon, és p 0 = CP 1. Legyen P = {p 0, p 1,...,p n } és x 0 CP 1 \ P. Ekkor π 1 (CP 1 \ P, x 0 ) = F n, az n-elemű szabad csoport. Generátorok: γ j = pozitív irányítású hurok p j körül, minden 1 j n-re.
Motiváció Legyenek p 1,...,p n C különböző pontok a síkon, és p 0 = CP 1. Legyen P = {p 0, p 1,...,p n } és x 0 CP 1 \ P. Ekkor π 1 (CP 1 \ P, x 0 ) = F n, az n-elemű szabad csoport. Generátorok: γ j = pozitív irányítású hurok p j körül, minden 1 j n-re. π 1 (CP 1 \ P, x 0 ) reprezentációi Gl r (C)-ben A 1,...,A n Gl r (C)
Motiváció Legyenek p 1,...,p n C különböző pontok a síkon, és p 0 = CP 1. Legyen P = {p 0, p 1,...,p n } és x 0 CP 1 \ P. Ekkor π 1 (CP 1 \ P, x 0 ) = F n, az n-elemű szabad csoport. Generátorok: γ j = pozitív irányítású hurok p j körül, minden 1 j n-re. π 1 (CP 1 \ P, x 0 ) reprezentációi Gl r (C)-ben A 1,...,A n Gl r (C) A 0, A 1,...,A n Gl r (C) amelyekre A 0 A 1 A n = I.
Simpson eredménye Legyen minden 1 j n-re µ j C olyan, amelyre a C j µ j I rangja minimális. Jelölje ezt a rangot r j. Tétel (C. Simpson, 1992) Tegyük fel, hogy C 0 sajátértékei különbözők és generikusak. Ekkor pontosan akkor létezik A j C j amelyekre A 0 A 1 A n = I, ha a következő két feltétel teljesül: 1. n j=1 r j r; 2. n j=0 dim(c j) 2r 2 2.
Szükségesség Egy megfelelő 1-rangú reprezentációval tenzorizálva feltehető, hogy C j I rangja r j. Ha létezik A 0, A 1,...,A n megoldás, akkor ahol minden j-re Tehát A 1 0 = A 1 A n, A j = I +r j -rangú mátrix. r = rk(c 0 ) r 1 + + r n.
Szükségesség Egy megfelelő 1-rangú reprezentációval tenzorizálva feltehető, hogy C j I rangja r j. Ha létezik A 0, A 1,...,A n megoldás, akkor ahol minden j-re Tehát A 1 0 = A 1 A n, A j = I +r j -rangú mátrix. r = rk(c 0 ) r 1 + + r n. Ha léteznek megoldások, akkor egy n dim(c j ) 2r 2 + 2 j=0 dimenziós teret alkotnak, tehát általános sajátértékekre ennek a dimenziónak nemnegatívnak kell lennie.
Fourier-transzformált Legyen ρ : π 1 (CP 1 \ P, x 0 ) Gl r (C) egy reprezentáció, amelyre ρ(γ j ) C j. Ekkor ρ Fourier-transzformáltja egy ρ : π 1 (C \ {0}) Glˆr (C) reprezentáció, ahol ˆr = n r j. j=1
Fourier-transzformált, folyt. 1. 2. Legyen C j az a Gl rj (C)-beli konjugálási osztály, amelyre C j = C j I. Ismert, hogy ρ értéke a π 1 (C \ {0}) = Z generátorán teljesíti a következőket: alkalmas bázisban valamely Ãj C j mátrixokra az alábbi alakú: Ã 1... Ã 2.......... Ã n konjugálási osztálya C 0 I.
Fourier-transzformált, folyt. Legyen C j az a Gl rj (C)-beli konjugálási osztály, amelyre C j = C j I. Ismert, hogy ρ értéke a π 1 (C \ {0}) = Z generátorán teljesíti a következőket: 1. alkalmas bázisban valamely Ãj C j mátrixokra az alábbi alakú: Ã 1... Ã 2.......... Ã n 2. konjugálási osztálya C 0 I. Megfordítva: minden olyan mátrixnak, amely teljesíti az 1-2 feltételeket, az inverz Fourier-transzformáltja megoldást ad A 0 A 1 A n = I-re.
Elegendőség Feltesszük, hogy minden j-re C j = C j. Legyen A Mˆr (C) az első feltételt teljesítő mátrixok halmaza. Ekkor A egy affin algebrai részsokaság, dimenziója: dim(a) = ˆr 2 n j=1 r 2 j + n dim( C j ). j=1 Hasonlóan, legyen B Glˆr (C) a második feltételt teljesítő mátrixok halmaza; B is algebrai részsokaság, dimenziója: dim(b) = ˆr 2 r (ˆr r) 2.
Elegendőség, folyt. Ezért, dim(a) + dim(b) ˆr 2 = n dim(c j ) + ˆr r 2 r + j=1 ˆr 2 + n dim( C j ) 0 j=1 a n j=0 dim(c j) 2r 2 2 feltevés miatt. n dim( C j ) j=1
Elegendőség, folyt. Ezért, dim(a) + dim(b) ˆr 2 = n dim(c j ) + ˆr r 2 r + j=1 ˆr 2 + n dim( C j ) 0 j=1 n dim( C j ) a n j=0 dim(c j) 2r 2 2 feltevés miatt. Bézout tétele alapján A és B metszi egymást P(Mˆr (C) C)-ben. j=1
Elegendőség, folyt. Ezért, dim(a) + dim(b) ˆr 2 = n dim(c j ) + ˆr r 2 r + j=1 ˆr 2 + n dim( C j ) 0 j=1 n dim( C j ) a n j=0 dim(c j) 2r 2 2 feltevés miatt. Bézout tétele alapján A és B metszi egymást P(Mˆr (C) C)-ben. Ha A B P(Mˆr (C) 0), akkor C 0 sajátértékeit perturbálva már lesz nem-ideális megoldás. j=1
Egy példa: a Lamé-rendszer Legyen P = {0, 1, t, } és minden j {0, 1, 2, 3}-ra C j a diag(i, i) konjugálási osztálya. Tenzorizáljunk azzal az 1-rangú τ reprezentációval, amelyre minden j {1, 2, 3}-ra τ(γ j ) = i C. Ekkor a módosított konjugálási osztályok: C j = diag( 1, 1).
Egy példa: a Lamé-rendszer Legyen P = {0, 1, t, } és minden j {0, 1, 2, 3}-ra C j a diag(i, i) konjugálási osztálya. Tenzorizáljunk azzal az 1-rangú τ reprezentációval, amelyre minden j {1, 2, 3}-ra τ(γ j ) = i C. Ekkor a módosított konjugálási osztályok: C j = diag( 1, 1). Fourier-transzformálás után: kersünk egy olyan 1 a 1 a 2 B = b 3 1 a 3 b 2 b 1 1 mátrixot, amelynek sajátértékei: ( 1, 1, 1). 2 független feltétel 6 változóban.
A Lamé-rendszer, folyt. Legyen például b 3 = b 1 = 0. Ekkor az egyenletek: a 1 a 3 b 2 = 0 a 2 b 2 = 4, amelynek egy megoldása: a 1 = a 3 = 0, a 2 = b 2 = 2.
Kac-Moody gyökrendszerek Legyen G = (V,E) egy véges csillagszerű gráf, n : V Z csúcsainak egy színezése. Minden v V-re jelöljük e v -vel a v karakterisztikus függvényet. Vezessük be a következő szimmetrikus bilineáris formát Z V -n: 2 ha v = v (e v, e w ) = 1 ha (v, v ) E 0 különben
Kac-Moody gyökrendszerek Legyen G = (V,E) egy véges csillagszerű gráf, n : V Z csúcsainak egy színezése. Minden v V-re jelöljük e v -vel a v karakterisztikus függvényet. Vezessük be a következő szimmetrikus bilineáris formát Z V -n: 2 ha v = v (e v, e w ) = 1 ha (v, v ) E 0 különben Rögzített v V-re értelmezzük a t v : Z V Z V v-re való tükrözést a következő képlettel: t v (n) = n (e v, n)e v.
Kac-Moody gyökrendszerek, folyt. Legyen a Weyl-csoport. Az W = t v : v V Aut(Z V ) {e v : v V } halmaz W menti pályaterét valós gyököknek nevezzük. Definiálhatunk továbbá képzetes gyököket is.
Kac-Moody gyökrendszerek, folyt. Legyen W = t v : v V Aut(Z V ) a Weyl-csoport. Az {e v : v V } halmaz W menti pályaterét valós gyököknek nevezzük. Definiálhatunk továbbá képzetes gyököket is. A (C 0,...,C n ) adatokhoz hozzárendelhető egy G véges csillagszerű gráf és egy n Z V. Tétel (W. Crawley-Boevey, 2003) Akkor és csak akkor van megoldása A 0 A 1 A n = I-nek A j C j -ben, ha n valós vagy képzetes gyök.
A Lamé-rendszer gyökrendszere A P = {0, 1, t, }, C j = diag( 1, 1) esetben a hozzárendelt gráf a D 4 affin Dynkin-diagram: 1 1 2 1 1
Fourier-transzformált gyökrendszereken D 4 -nek létezik két különböző olvasata. Fourier-transzformálás előtt: 1 1 2 1 1
Fourier-transzformált gyökrendszereken D 4 -nek létezik két különböző olvasata. Fourier-transzformálás előtt: 1 1 2 1 1 Fourier-transzformálás után: 1 2 1 1 1
Cél 1. Leírni a Fourier-transzformáltat általános Kac-Moody gyökrendszereken. 2. Egyszerűbb bizonyítást adni a Deligne-Simpson problémával kapcsolatos eredményekre.