Fogalom gyűjtemény Abszcissza: az x tengely Abszolút értékes egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben abszolút érték jel szerepel. Abszolútérték-függvény: egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nem negatív és az ellentettjét, ha a szám negatív. Alakzatok egybevágósága: két alakzat egybevágó, ha van olyan egybevágósági transzformáció, amely az egyiket a másikba viszi át. Alapszerkesztések: szakasz-, szögmásolás; szakasz-, szögfelezés; merőleges- és párhuzamos szerkesztés Algebrai tört: két polinom hányadosa. Behelyettesítő módszer: kifejezzük a megfelelő egyenletből a megfelelő ismeretlent a másik segítségével, és az így kapott kifejezést a másik egyenletben beírjuk a kifejezett ismeretlen helyébe. n Binomiális együttható: amit n alatt a k -nak olvasunk. Megmutatja egy n elemű halmaz k k elemű részhalmazainak számát. Descartes-szorzata (direkt szorzata): Az elempárok halmazát az A és B halmazok Descartes-szorzatának (vagy másképpen: direkt szorzatának) nevezzük, és így jelöljük: A B Diszjunkt halmazok: ha Diszkrimináns: együtthatói. D= b 2 4ac ahol a, b, c R és a 0 az ax 2 + bx + c = 0 másodfokú egyenlet Egész számok (Z): -,, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,, Egybevágósági transzformációnak (röviden egybevágóságnak) nevezzük azt a ponthoz pontot (P P ) rendelő kölcsönösen egyértelmű leképezést, amely a szakaszokat velük egybevágó szakaszokba viszi. Egyenlet: a matematikában két kifejezésnek az egyenlőségi jellel való összekapcsolása. Egyenletrendszer: olyan egyenletek halmaza, amelyeknek egyszerre keressük a megoldását. Egyenlő együtthatók módszere: kiválasztjuk az egyik ismeretlent, melynek egyik együtthatója sem nulla, és ennek együtthatóit mindkét egyenletben egyenlővé tesszük. 1
Egyesítés: Az a halmazt, amelynek minden a elemére teljesül, hogy vagy, és így jelöljük: Eltolás: irányával és nagyságával az eltolásvektorral (nem nullvektor) adjuk meg. Érintőnégyszög: olyan négyszög, melynek van beírt köre. (ilyen a négyzet, a rombusz és a deltoid) Érintősokszög: olyan sokszög, melynek van beírt köre. Értékkészlet: az a számhalmaz, amelyet a fv felvehet, jele:ék Értelmezési tartomány: az a számhalmaz, ahol a fv értelmezve van, jele ÉT Fokszám: a benne előforduló ismeretlen(ek) legnagyobb hatványkitevő értéke (legnagyobb kitevők összegének értéke, amely egy tagban szerepel). Folytonosság: gyakorlati szempontból elég, ha azt mondjuk: az a fv folytonos, amely lerajzolható egy vonallal anélkül, hogy felemelnénk a ceruzát. Függvény fogalma : azaz eljárás, amellyel az A halmaz bármely x elemének megfeleltetünk egy és csak egy y elemet a B halmazból úgy, hogy y = f(x). Gráfnak nevezzük pontoknak(csúcsoknak) és éleknek a halmazát, ahol az élek pontokat kötnek össze, illetve az élekre pontok illeszkednek úgy, hogy minden élre legalább egy, legfeljebb két pont illeszkedik. Gyökök és együtthatók közötti összefüggések (Viete formulák): b x 1 + x 2 = és a x x = 1 2 c a Gyöktényezős alak: a( x x1 )( x x 2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 ) másodfokú egyenlet gyökei. Halmaz a matematika egyik alapfogalma, melyet leginkább úgy tudunk körülírni, mint bizonyos egymástól különböző dolgok összességét, Halmazok egyenlősége: Akkor mondjuk, hogy az A és B halmazok egyenlőek, ha ugyanazok az elemeik, és ezt így jelöljük: A = B Halmazok különbsége: Legyenek A és B tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden a elemére teljesül, hogy és, az A és B halmazok különbségének nevezzük, és így jelöljük: Halmazok számossága: Az A halmaz számosságán értem a benne előforduló elemek számát. Jele: A Háromszög-szabály: az egyik vektor (a) végpontjába eltoljuk a másik vektort (b). Az összegvektor az első vektor kezdőpontjától a második vektor végpontjába mutat. 2
Hatvány: a n, azt az n tényezős szorzatot jelenti (a tetszőleges valós szám, és n 1-nél nagyobb pozitív egész szám), amelynek minden tényezője a. Ha n=1, akkor a definíció szerint a 1 = a Intervallum: azoknak a számoknak a halmaza, amelyek két adott szám közé esnek. Megkülönböztetünk zárt és nyílt intervallumokat aszerint, hogy a határoló számok beletartoznak (zárt) vagy sem (nyílt). Irracionális számok (Q*): a nem periodikus végtelen tizedes törtek. Kombináció: Ha n elem közül minden lehetséges módon kiválasztunk k elemet, de a kiválasztott elemek sorrendje nem számít, akkor megkapjuk n elem k-ad osztályú kombinációit. Kombinatorika egy véges halmaz elemeinek csoportosításával, kiválasztásával, sorrendbe rakásával foglalkozik. Komplementer (kiegészítő) halmaz: Legyen adott valamely U halmaz. Ekkor tetszőleges halmaz esetén az halmaz, jele: A Koordinátarendszer: két egymásra merőleges számegyenes egy Descartes-féle koordinátarendszert alkot. Korlátosság: alulról korlátos egy fv, ha nem vesz fel valaminél kisebb értékeket; felülről korlátos egy fv, ha nem vesz fel valaminél nagyobb értékeket; egyszerűen csak korlátos, ha alulról is, felülről is az. Kölcsönös egyértelműség: egy hozzárendelés akkor egyértelmű, akkor függvény, ha a grafikonjának minden függőleges egyenessel legfeljebb egy metszéspontja van; a kölcsönösen egyértelmű fv. grafikonjára ezen felül még az is teljesül, hogy minden vízszintes egyenessel legfeljebb egy metszéspontja lehet. Kör: a sík azon pontjainak halmaza, amelyek a sík egy meghatározott pontjától (középpont) adott távolságra (sugár) vannak. Középpontos tükrözés: egy rögzített ponttal, az O középponttal adjuk meg. A középpont képe önmaga (fixpont). A középponttól különböző P pont és P' képe egy olyan szakasz két végpontja, amelynek felezőpontja a tükrözés középpontja. Középvonal: a háromszög két oldalának felezőpontját összekötő szakasz. Legkisebb közös többszörös (lkkt): azt a legkisebb pozitív egész számot értjük, amely az adott számok mindegyikével osztható. Jele: [ ; ] Legnagyobb közös osztó (lnko): két nem nulla egész szám közös osztói közül a lehetséges legnagyobb nem nulla pozitív egész, amely mindkét egész számot maradék nélkül osztja. Jele: ( ; ) Magasságvonal: a háromszög egyik csúcsából a szemközti oldalra bocsátott merőleges egyenes. Másodfokú egyenlet általános alakja: ax 2 + bx + c = 0 (a, b, c R és a 0) 3
Másodfokú függvény hozzárendelési szabálya: f: R R, f(x)= ax 2 + bx + c (a, b, c R és a 0) vagy f: R R, f(x)= a(x u) 2 + v (a, u, v R és a 0) Maximum érték: a fv által felvett legnagyobb érték, az ÉK legnagyobb eleme; képszerűen: a grafikon legfelső pontjának y koordinátája. Maximumhelv: az a hely, ahol a fv felveszi a maximumát, a grafikon legfelső pontjának x koordinátája. Megoldóképlet (másodfokú egyenleté): x 1,2 b± = 2 b 4ac 2a Metszet: Az a halmazt pedig, amelynek minden a elemére teljesül, hogy és, és így jelöljük: Minimum érték: a fv által felvett legkisebb érték, az ÉK legkisebb eleme; képszerűen: a grafikon legalsó pontjának y koordinátája. Minimumhely: az a hely, ahol a fv felveszi a minimumát, a grafikon legalsó pontjának x koordinátája. n faktoriális: az első n pozitív egész szám szorzata. Jelölése: n!. Négyszög középvonala: két szemközti oldalának felezőpontját összekötő szakasz. Négyzetgyökvonás: valamely nemnegatív a szám négyzetgyöke (jele: amelynek négyzete az a szám. a ) olyan nemnegatív szám, Nullvektor: kezdő és végpontja egybeesik, nagysága nulla, iránya tetszőleges. Ordináta: az y tengely Oszthatósági szabályok: mikor milyen szám mivel osztható Paralelogramma-módszer: az egyik vektor (a) kezdőpontjába eltoljuk a másik vektort (b) hogy közös legyen a kezdőpontjuk. Az összegvektor a két közös kezdőpontú vektor által kifeszített paralelogramma átlóvektora lesz. (az amelyik a közös kezdőpontból indul ki) Paraméteres egyenletek: azok az egyenletek, amelyekben az ismeretlenen kívül más betű is szerepel. Paritás: páros egy fv akkor, ha ellentett helyen azonos értéket vesz fel, azaz minden x-re: f(-x) = f(x); a grafikon ilyenkor tengelyesen tükrös az y tengelyre; páratlan egy fv akkor, ha ellentett helyen ellentett értéket vesz fel, azaz minden x-re: f(-x) = -f(x); a grafikon ilyenkor középpontosan tükrös az origóra. 4
Periodikusság: egy fv ismétlődő v. periodikus, ha van olyan p valós szám, hogy minden x-re: f(x) = f(x+p); a grafikon ilyenkor p-vel vízszintesen eltolva önmagát fedi; ha van egy ilyen alkalmas szám, p, akkor persze végtelen sok van. Permutáció: n elem egy permutációján az n darab elem egy meghatározott sorrendjét értjük. Jelölése: P n Pitagorasz tétel: a derékszögű háromszög befogóinak négyzet összege egyenlő az átfogó négyzetével. Polinom (vagy többtagú algebrai kifejezés) egy olyan kifejezés, melyben csak számok és változók egész kitevőjű hatványainak szorzatai illetve ilyenek összegei szerepelnek. Pont körüli forgatás: a sík egy rögzített pontjával (a forgatás O középpontjával) és egy irányított szöggel (a forgatás α szögével) adjuk meg. A középpont képe önmaga (fixpont). A középponttól különböző P ponthoz azt a P' képpontot rendeli, amely C-től ugyanolyan távol van, mint a P pont (OP = OP'), és a POP' irányított szög megegyezik a forgatás szögével. Racionális számok (Q): Azok a számok, amelyek a b alakban felírhatók, ahol a és b ( 0) Z. Részhalmaz: ha az A minden eleme a B halmaznak is eleme, és ezt így jelöljük:. Súlyvonal: a háromszög egyik csúcsát és a szemközti oldal felezőpontját összekötő szakasz. Szabályos sokszög: minden oldala egyenlő hosszú, és minden szöge egyenlő nagyságú. Szakaszfelező merőleges: két adott ponttól egyenlő távolságra lévő pontok halmaza. Számok n-edik gyöke ( n egynél nagyobb egész szám) Páratlan gyökkitevő esetén: egy valós a szám n-edik gyöke az a valós szám melynek n-edik hatványa az a szám. Számok n-edik gyöke ( n egynél nagyobb egész szám) Páros gyökkitevő esetén: egy nemnegatív a szám n-edik gyöke az a nemnegatív szám melynek n-edik hatványa az a szám. Számrendszerek: Azoknak a jeleknek és elveknek az összessége, amelyek birtokában bármely számot fel lehet írni. A mindennapi életben a tízes számrendszert használjuk. Szigorúan monoton csökkenő: ha nagyobb helyen kisebb értéket vesz fel, azaz a<b esetén f(a)>f(b)). Szigorúan monoton növekvő: ha nagyobb helyen nagyobb értéket vesz fel, azaz a<b esetén f(a)<f(b) Szögfelező: az a csúcson átmenő egyenes, ami a csúcshoz tartozó szöget kettéosztja. A szögfelező minden pontja a szög melletti oldalaktól egyenlő távolságra van. Szögtartomány: egy pontból kiinduló két félegyenes által határolt sík rész 5
Teljes függvényvizsgálat: ha egy konkrét függvényen mindezen tulajdonságokat megvizsgáljuk. Tengelyes tükrözés: egy rögzített egyenessel, a tükrözés t tengelyével adjuk meg. A tengelyen lévő pont képe önmaga. A tengelyen kívüli pont (P) és annak képpontja (P ) olyan szakasz két végpontja, amelynek a tengely szakaszfelező merőlegese. Természetes számok (N): A pozitív egész számok kiegészítve a 0-val. Pl.: 0, 1, 2, 3, 4,, Thalész-tétel: Ha egy kör átmérőjének két végpontját összekötjük a kör bármely más pontjával, akkor derékszögű háromszöget kapunk. A kör átmérője a derékszögű háromszög átfogója. Törtkitevőjű hatvány: egy a pozitív valós szám a n m hatványán (ahol m, n pozitív egész számok) az n m a pozitív számot értjük. Univerzum: Halmazok halmaza az alaphalmaz, ahol a halmazokkal végzett műveleteket végezzük el. Jele: U; Venn-diagramja: egy téglalap. Üres halmaz Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincs, és így jelöljük:. Valódi részhalmaz: az A halmazt a B halmaz nevezzük, ha, és Valós számok (R): racionális és irracionális számokat együttesen valós számoknak nevezzük. Variáció: Ha n elem közül minden lehetséges módon kiválasztunk k elemet, majd ezeknek az öszszes permutációit képezzük (tehát figyelembe vesszük a sorrendet), akkor megkapjuk n elem k-ad osztályú variációit. Vektorok: az irányított szakaszokat vektoroknak nevezzük. A vektor hosszát a vektor abszolút értékének is mondjuk. Az egységnyi hosszúságú vektor az egységvektor. Zérushely: az a hely, tehát x, amelyben a fv értéke zérus, azaz nulla: f(x) = 0; képszerűen: a grafikon és az x tengely közös pontja, megtalálni az f(x) = 0 egyenlet megoldásával lehet. 6