válaszolására iránuló, még folamatban lévô (a dekoherencia és a hullámcsomag kollapszusa tárgkörökbe esô) elméleti próbálkozások ismertetésétôl. Ehelett inkább a kísérletek elôfeltételét képezô kvantumhûtés különbözô módszereibe ad betekintést. A kvantummechanika eg szinte szemléletes oldalát ismerjük meg és egszer csak elkezdünk a dolgon önállóan gondolkozni. Heti nég órás kurzust és két óra gakorlatot feltételezve a könv anagának nag része elôadható eg félév alatt. Ahol az egész elméleti fizikára csak két félév jut, ott talán meg lehetne kísérelni, a mechanikáról és elektrodinamikáról a kvantummechanika és a statisztikus fizika javára lemondani (az érdeklôdés és a színvonal növekedésének reménében). Geszti Kvantummechanikája eg gondosan kidolgozott tankönv, amel kibontakoztatja a tárg lebilincselô vonzerejét. A szerzôt megilleti a diákság, az egész hazai fizikustársadalom lelkes köszönete. Reméljük, sikeres példája követôkre talál. Utóirat. Aki teheti, olvassa Geszti könvét párhuzamosan Patkós András Bevezetés a kvantummechanikába: 6 elôadás Fenman modorában címû munkájával (Tpote, Budapest, 22). Fizika ugan csak eg van, de ezt az eget a fizikusok (esetenként nagon is) egéni gondolkodás- és beszédmódja színes sokasággá képezi le. A két mû párhuzamos olvasása elôsegíti mind a teljesebb tárgismeret elsajátítását, mind az önálló gondolkodás kialakulását. Hajdu János (Köln/Budapest) A FIZIKA TANÍTÁSA KÁOSZ EGY TÁLBAN Tóthné Juhász Tünde Karinth Friges Gimnázium (Budapest) Gócz Éva Lónai Utcai Református Gimnázium Ha valamit nem értesz, írj róla tanulmánt! (Buza László) Még mielôtt az olvasó nagon megijedne, szeretnénk leszögezni, hog a fenti idézet nem a szerzôk hozzáértését hivatott minôsíteni, sokkal inkább egfajta módszertani útmutatás kíván lenni. Az ELTE Fizika Doktori Iskolájának elôadásait látogatva meglepetten tapasztaltuk, hog a kaotikus mechanika nevû tantárg vizsgafeltételeként mindenkinek saját szimulációt kellett készítenie eg tetszôlegesen választott kaotikus példából. Eleinte hitetlenkedve fogadtuk, hog mi erre valaha is képesek leszünk, azonban a szimuláció során szerzett tapasztalatok arra sarkalltak minket, hog kollégáinknak is megmutassuk, a káosz megértéséhez egetlen jó út vezet: a kísérletezés, a saját felfedezés élméne. Mindehhez oktatási segédanagot is készítettünk, amel eg nagon hasznos, ingenesen letölthetô program a Dnamic Solver használatának segítségével bemutatja, hog egszerû szimulációval miként vizsgálhatjuk a bonolult tálban mozgó goló kaotikus mozgását. Az oktatási segédanag amel lénegében összefoglalja, hogan írhatunk be különbözô differencálegenleteket a programba, valamint milen grafikus beállításokra van szükség a szimuláció futtatásához letölthetô az ELTE Fizika Tanítása Doktori Iskola honlapjáról []. A kaotikus mozgások elméleti hátterét természetesen nem kívánjuk részletesen tárgalni, erre jó szakirodalom áll rendelkezésre [2] és számos cikk foglalkozik a téma középiskolai tanításával is, azonban a legfontosabb vonásokat bemutatjuk eg konkrét példán, a bonolult tálban mozgó goló esetén. Milen a bonolult tál? Kaotikus mozgás vizsgálatához szabáltalan mozgásra van szükségünk. Szabáltalanságon itt azt értjük, hog a vizsgált mozgás tetszôlegesen hosszú ideig sem ismétli önmagát. Matematikailag nézve minden, legalább három elsôrendû, nemlineáris, közönséges differenciálegenlettel leírható rendszer viselkedése általában kaotikus []. Ez a megfogalmazás persze nagon messze áll attól, amit középiskolás diákoknak akár szakkör keretein belül meg lehet tanítani, de ezt leegszerûsíthetjük számukra úg, hog például az egdimenziós gerjesztett és a kétdimenziós súrlódásmentes mozgások döntô többsége kaotikus. Az általunk bemutatott példa ez utóbbi osztálba tartozik, itt azonban figelni kell arra, hog ha az energián kívül létezik még eg megmaradó menniség, akkor az megakadálozza a kaotikus mozgás kialakulását. Tálban mozgó goló esetén (súrlódásmentes esetben) ahol maga a tál alakja határozza meg a potenciált tehát azt kell megkövetelnünk, hog a tál legen bonolult, azaz ne legen forgásszimmetrikus (. és 2. ábra). Ilenkor uganis a tál alakja centrális A FIZIKA TANÍTÁSA 2
2 8 6 2 v ma = 2 v ma =6 v ma = 2. ábra. A tál -tengel (vag szimmetria miatt -tengel) menti metszete. A vízszintes segédvonalak a V ma =, V ma =6ésV ma = 2 esetekben mutatják a tál peremét. potenciálnak felelne meg, ahol a perdület megmaradása miatt a pálák egszerûek lennének éppen úg, ahog a centrális erôtérben mozgó bolgó példájában is, íg nem alakulhatna ki szabáltalan mozgás []. Az általunk vizsgált (nem forgásszimmetrikus) potenciálfüggvén a következô: v (vag ) V(, ) = 2 2 5 2 5 2. Alkalmasan megválasztott (dimenziótlan) egségekben a V = konstans görbe egben a tál alakja is. A goló mozgásegenletei A goló mozgását leíró differenciálegenletek abban az esetben, ha a tál nem túl meredek egszerûek: ẍ = V V, valamint ÿ =. Súrlódásmentes esetben az energiamegmaradás miatt a goló potenciális és mozgási energiájának 2. ábra. A tál közepének szintvonalai (ekvipotenciális görbéi). A szintvonalakat csak a [ ; ] intervallumon rajzoltuk meg, mert ezen a részen (a tál belsejében) látszik legjobban, hog a tál nem forgásszimmetrikus. 2 2 8 6 6 8 összege állandó. Ezt a szimuláció programozása során paraméterként kezeljük (E -vel jelöljük, ami a dimenziótlan összenergia), íg vizsgálható például az is, hog különbözô energiák esetén miként változik a mozgás jellege (ezt eg késôbbi pontban részletesen bemutatjuk). Most pedig nézzük meg, hogan mutatható be a kaotikus mozgás három fô jellemzôje (szabáltalanság, elôrejelezhetetlenség, fraktálszerkezet a fázistérben) ezen az egszerû példán. A kaotikus mozgás elsô jellemzôje: szabáltalan mozgás A goló mozgásegenleteit az ẋ = u és ẏ = v jelölések bevezetésével können átalakíthatjuk úg, hog nég nemlineáris, elsôrendû differenciálegenletet kapjunk. A korábban említett matematikai definíció szerint íg azt várjuk, hog a kaotikus mozgás megjelenik a rendszerben. Vizsgáljuk a mozgás páláját különbözô kezdôfeltételekbôl kiindulva! Ha azt akarjuk, hog az E összenergia a különbözô kezdôfeltételek esetén uganaz legen, indíthatjuk a golót úg, hog mindig eg adott magasságból, de különbözô helekrôl engedjük el nulla kezdôsebességgel. A V (,) = E egenlet határozza meg az edén alakját az E -nek megfelelô magasságban. Eg másik módszer az E összenergia állandó értéken tartására különbözô kezdôfeltételek esetén az, hog tetszôleges pontból indítjuk a golót úg, hog az iránú sebessége nulla, azaz v =,az iránú u kezdôsebességet viszont a program segítségével számoltatjuk ki úg, hog az összenergia mindig az adott E érték maradjon. Ilenkor tehát a dimenziótlan energia képletébôl kiindulva: E = 2 v 2 2 u 2 V, az iránú sebességre azt kapjuk, hog: Ha a programba ezt a kifejezést írjuk be u értéké- re, elérhetjük, hog az összenergia tetszôleges kezdôfeltétel kiválasztása esetén uganaz maradjon. Ha a golót tehát különbözô kezdôfeltételekkel indítjuk, azt találjuk, hog a fenti elvárásnak megfelelôen az esetek döntô többségében annak mozgása kaotikus, a tál minden pontját bejárja úg, hog közben a mozgása teljesen szabáltalan. Akadnak azonban olan jól megválasztott kezdôfeltételek is, amelekbôl indulva a mozgás kvázi-periodikus lesz. Ez azt jelenti, hog a mozgás közel önmagába visszatérô periodikus mozgás. Mivel a visszatérés nem tökéletes, a pálák nem vékon vonalként, hanem fekete sávokként jelennek meg. Az ilen mozgásokat szabálosaknak tekintjük. A. ábrán láthatjuk a mozgást az síkon eg kaotikus, valamint két kvázi-periodikus esetben. u = 2 E v 2 2 V(, ). 22 FIZIKAI SZEMLE 2 / 2
. ábra. Bonolult tálban mozgó goló mozgása az síkban. Mindhárom esetben E =6ésv =, a további kezdôfeltételek pedig a három különbözô esetben: a) =, =,; b) = 2,, = 2,; c) = 2,, =,. Az a) eset kaotikus, a goló bejárja az egész tálat, a fekete tartomán a goló mozgásának noma íg a tál pereméig terjed az adott összenergia esetén. A b), c) eset kvázi-periodikus, a tál peremét az összehasonlíthatóság kedvéért jelöltük. 2 A kaotikus mozgás második jellemzôje: elôrejelezhetetlenség. ábra. Bonolult tálban, kaotikusan mozgó goló fákladiagramja. A paraméter: E = 6, a kezdôfeltételek: =, {,97;,98;,99; ;,;,2;,}, v =. t 5. ábra. Az Országos Meteorológiai Szolgálat honlapján található, a 2 órás csapadékösszegre vonatkozó valószínûségi elôrejelzés 2. május 9-én [5]. A grafikonok itt másfél napig futnak egütt, az elôrejelzési idô körülbelül,5 nap. A kaotikus mozgás eg másik fontos tulajdonsága, hog a kezdôfeltételekre nagon érzéken. Ennek következméne az a középiskolai diákoknak meglepô tén, hog két, egmáshoz nagon közel indított goló pálája gorsan szétválik, azaz kis kezdeti eltérés nagon nag késôbbi különbséghez vezet. Ez azt is jelenti, hog a goló mozgása hoszszú távon elôrejelezhetetlen, leírása csak valószínûségi fogalmakkal lehetséges. Mindez persze azért olan meglepô a középiskolában, mert ott gakorlatilag csak olan mozgásokat tárgalunk, amelek túl egszerûek ahhoz, hog kaotikussá váljanak. Azaz csak a kivételt tanítjuk, a bonolultabb fizikai rendszerekre jellemzô általános mozgásformát nem. Pedig az egszerû kaotikus rendszerek vizsgálatával könnedén rámutathatnánk arra, hog a valószínûségi leírás nem csak a kvantummechanika jellemzôje (ott persze más okból), hanem a mindenki által jóval egszerûbbnek vélt mechanika sajátja is. A kezdôfeltételekre való érzékenséget legjobban az úgnevezett fákladiagramon szemléltethetjük. Ezen különbözô, de egmáshoz nagon közeli kezdôfeltételekbôl indított mozgások valamilen jellemzôjét (például a helkoordináta egik komponensét) ábrázoljuk az idô függvénében. A tipikus fákladiagram valóban a fákla alakjára emlékeztet: eg bizonos ideig a különbözô mozgások egütt haladnak, késôbb azonban drasztikusan szétválnak, és eg idô után jól látszik, hog teljesen lehetetlen elôrejelezni a goló mozgását. A mozgás t grafikonját 7 különbözô, de egmáshoz nagon közel esô kezdôfeltétellel indítva ábrázoltuk (. ábra). Látszik, hog t = 2 idôpontig a grafikonok egütt mozognak, utána viszont szétválnak. A mozgás tehát csak körülbelül 2 idôegségig jelezhetô elôre. Ennél hosszabb idôkre az adható meg, hog milen valószínûséggel kerül a mozgó test eg adott állapot körnezetébe. Mivel a bonolult tálban mozgó goló konzervatív rendszer, ezért értéke csak az E paraméter által meghatározott értékeken belül mozoghat, íg a fákla nem nílik teljesen szét (az edén iránú mérete az E = 6 magasságban körülbelül,26 egség,. ábra). A diákok számára érdekes lehet, hog a meteorológiai elôrejelzésben is teljesen hasonló fákladiagramokat használnak: az adott idôpontban mért légköri adatokból, valamint több, nagon közeli adatból kiindulva párhuzamosan több szimulációt futtatnak egszerre, és vizsgálják, hog a különbözô adatokból indult elôrejelzések meddig maradnak nagjából egütt. Az Országos Meteorológiai Szolgálat honlapján is találhatók ilen valószínûségi fákladiagramok; az 5. ábra szemléltetésképpen mutatja a 2. május 9-én készült elôrejelzés eg grafikonját. A FIZIKA TANÍTÁSA 2
a) b) c) d) 6. ábra. A goló kaotikus mozgásának Poincaré-metszete az síkon (v =, valamint E = 6). A kaotikusság ebben az ábrázolásban onnét látszik, hog a pontok beszórnak eg kiterjedt tartománt, összhangban az elôrejelezhetetlenséggel. Kezdôfeltétel: =, =, v =. (Az a tén, hog ez jelentôsen eltér a. és a. ábrák kezdôfeltételeitôl, mutatja, hog a rendszerben nagon könnû kaotikus mozgást találni.) A kaotikus mozgás harmadik jellemzôje: fraktálszerkezet a fázistérben 7. ábra. A goló néhán kvázi-periodikus mozgásának Poincaré-metszete (v =, valamint E = 6) kvázi-periodikus részekkel. Kezdôfeltételek: a) =,8, = 2,6 és v =;b) = 2,7, =,7 és v =; c) = 2,, = 2, és v =;d) = 2,, =, és v =. Mindeddig arról volt szó, hog a kaotikus mozgás szabáltalan, elôrejelezhetetlen, íg gakorlatilag derült égbôl villámcsapásként ér minket a harmadik tulajdonság: a rendezettség. Ehhez persze megfelelô módon kell vizsgálnunk a mozgást. A módszer lénege, hog például a bonolult tálban mozgó goló esetében az síkot nézve csak bizonos pillanatokban ábrázoljuk a goló helét. Ez az úgnevezett Poincaré-leképezés. Azt, hog milen pillanatokban ábrázoljuk a goló pozícióját, többféleképpen is megválaszthatjuk, azonban talán a legegszerûbb eset az, amikor a v = feltételt választjuk. Ez azt jelenti, hog azokban a pillanatokban fénképezzük le a goló helzetét, amikor az iránú sebessége éppen lesz, és balról jobbra halad az iránban. A programban beállítjuk, hog a mozgás Poincaréleképezését szeretnénk ábrázolni az imént említett feltétellel. (Ennek részletes leírását lásd a letölthetô oktatási segédanagban [].) Ezek után, ha eg véletlenszerûen választott kezdôfeltétellel elindítjuk a mozgást, rendszerint a kaotikus eset Poincaré-metszetét kapjuk, ami a 6. ábrán látható módon néz ki. A grafikont nézve mindjárt szembetûnik, hog a pontokkal beszórt kaotikus tartománban vannak lukak, azaz fehér foltok. Állítsuk be most úg a kezdôfeltételeket, hog a lukakban lévô mozgásokat vizsgáljuk. A következô, 7. ábra nég olan, különbözô kezdôfeltétellel elindított mozgás Poincaré-metszetét mutatja, amelek a lukakba esnek. Ezek az esetek az úgnevezett kvázi-periodikus esetek, amelekhez hasonlóakat már korábban bemutattunk. A 7. ábra c) és d) része a. ábra b) és c) részében ábrázolt kvázi-periodikus mozgások Poincaré-metszete. A kvázi-periodikus mozgások képe ebben az ábrázolásban tehát zárt görbe, ami arra is utal, hog az ilen mozgások pontosan elôrejelezhetôk, ezért ôket egszerûeknek tekinthetjük. Ezek után nem marad más hátra, mint a grafikonok egesítése, azaz a Poincaré-metszetek több, különbözô kezdôfeltétellel való megrajzolása, ami kiadja a mozgás teljes Poincaré-térképét (8. ábra). Ha valami meglepô és izgalmas a káoszban a diákok számára, akkor ez biztosan az. Eg ilen Poincaré-térkép megrajzolása (a szimuláció beprogramozása után) egáltalán nem bonolult, viszont benne rejlik a saját felfedezés élménének lehetôsége, a kísérletezés szépsége. Ráadásul ez az, ami segít megértetni a diákokkal, hog a káosz nem teljes rendezetlenség (véletlenszerûség), hanem szabálos struktúrával rendelkezô rendszer. 8. ábra. A goló mozgásának teljes Poincaré-térképe (E = 6). A 6. és 7. ábra görbéit közös koordinátarendszerben rajzoltuk fel, néhán további kezdôfeltételhez tartozó görbével kiegészítve. 2 FIZIKAI SZEMLE 2 / 2
A 8. ábrán látható Poincarémetszet fraktálszerkezetû. Korábban is olvashattunk a Fizikai Szemlében a fraktálokról, íg most a teljesség igéne nélkül csak annit jegzünk meg, hog az itt látható fraktálszerkezet az úgnevezett kövér fraktál, ami a konzervatív rendszerek sajátossága. Eg hasonlóan kövérfraktál-típusú kaotikus jelenség, a rugalmas inga tárgalását eg korábbi cikkben olvashatjuk [6]. Érdekes megfigelni azt is akár házi feladatként is kiadható a diákoknak, hog a) E = miként változik a Poincaré-metszet fraktálszerkezete, ha a goló teljes energiáját, mint paramétert változtatjuk. Ezt mutatja be a 9. ábra. A kaotikus (pontozott) tartomán mindkét esetben nag kiterjedésû. Ezeken belül a mozgás elôrejelezhetetlen, hosszú távon valószínûségi szemléletben értelmezhetô. (A zárt görbék elôrejelezhetô, kvázi-periodikus mozgásokhoz tartoznak.) Miért érdemes tanítani a káoszt? Amint azt a most bemutatott példából is látja a tisztelt olvasó, a káosz megértéséhez nem kellenek bonolult fogalmak, középiskolában (sajnos a szûkös kerettantervi számok miatt inkább csak szakkörön) tanítható. b) E = 2 9. ábra. A 8. ábrához hasonlóan megrajzolt Poincaré-térképek E =ése = 2 esetekben. Segít a valószínûségi szemlélet elfogadásában azáltal, hog megmutathatjuk, ez nem csak a kvantummechanika sajátja. Ráadásul megajándékozza a diákokat a felfedezés örömével, és teret ad nekik a kísérletezésre, az önálló munkára, saját eredmének elérésére. Irodalom. http://fiztan.phd.elte.hu/nilt/publokt/tjtunde.zip vag http:// www.karinth.hu/home/tjtunde/~ 2. Tél T., Gruiz M.: Kaotikus Dinamika. Nemzeti Tankönvkiadó, Budapest, 22.. Gruiz M., Tél T.: A káoszról, kicsit bôvebben. Fizikai Szemle 55 (25) 282.. Gruiz M., Tél T.: A káosz. Fizikai Szemle 55 (25) 9 9. 5. http://www.met.hu/idojaras/elorejelzes/valoszinusegi/ a letöltés idôpontja: 2. május 9. 6. Gruiz M., Radnai G., Tél T.: A rugalmas fonalú ingáról mai szemmel. Fizikai Szemle 56 (26) 7. XVII. SZILÁRD LEÓ NUKLEÁRIS TANULMÁNYI VERSENY Beszámoló, III. rész Sükösd Csaba BME Nukleáris Technika Tanszék Számítógépes feladat. ábra. A Millikan-kísérlet szimulációjának képernôje. A számítógépes feladatban eg idegen, távoli világból érkezett Millikan-kísérlet szimulációjával kellett meghatározni az elemi töltés ottani értékét. A kiosztott feladatlap szerint: Eg távoli világból érkezett hozzánk a mellékelt kísérlet (. ábra). A szükséges adatokat a kísérlet leírásában elküldték (nagon sokban hasonlítanak a földi adatokra). Az elemi töltés értéke azonban valószínûleg más. Határozzuk meg az ottani elemi töltés értékét a hozzánk eljutott ottani Millikan-kísérlet segítségével! Általános leírás Millikan kondenzátorlemezek közé porlasztott olajcseppek elektromos töltését mérte meg, és ebbôl a kísérletbôl határozta meg az elemi töltést. A FIZIKA TANÍTÁSA 25