Otatási Hivatal A 015/016 tanévi Országos Középisolai Tanulmányi Verseny másodi forduló MATEMATIKA I KATEGÓRIA (SZAKKÖZÉPISKOLA) Javítási-értéelési útmutató 1 Egy adott földterület felásását három munás végzi Éppen elészülne a munával, ha az első 5 napot, a másodi 7 napot, a harmadi 4 napot dolgozi Aor is éppen elészülnéne a munával, ha az első munás 7 napot, a másodi 9 napot és a harmadi napot dolgozna Hány napot ellene a muna elvégzéséhez a harmadi munásna dolgoznia, ha az első csa napot, a másodi pedig csa 4 napot dolgozna? Megoldás: Tegyü fel, hogy az első munás x nap alatt, a másodi y nap alatt, a harmadi z nap alatt végezné el egyedül a munát Ha az első 5 napot, a másodi 7 napot, a harmadi 4 napot dolgozi, aor rendre 5 7 4 elvégzi a muna ; illetve -ed részét Azt is tudju, hogy hárman együtt így az egész munát elvégzi: 5 7 4 (1) 1 Hasonlóan apju, hogy ha az első 7 napot, a másodi 9 napot és a harmadi napot 7 9 dolgozna, aor rendre elvégezné a muna ; illetve -ed részét Ebből azt apju, hogy 7 9 () 1 A ét egyenlet bal oldalait egyenlővé téve: 5 7 4 7 9 (3) A (3) egyenletből rendezés és -vel való egyszerűsítés után adódi, hogy 1 1 1 (4) 015/016 OKTV forduló
7 9 7 7 A () egyenlet 1 alaban is írható, ez pedig (4) alapján x y y z azt jelenti, hogy 9 (5) 1 y z Ha az első munás napig, a másodi 4 napig dolgozna, aor tegyü fel, hogy a harmadi munásna d napra lenne szüsége a teljes muna elvégzéséhez Eor (4) ismételt felhasználásával 4 x y d z x y y d z z y d z, azaz d (6) 1 y z Az (5) és (6) összevetése után azt apju, hogy d 9, ahonnan d 7 A harmadi munásna tehát 7 napot ellene dolgoznia a teljes muna elvégzéséhez, ha az első munás napot, a másodi munás 4 napot dolgozna Az (1) és () egyenleteet ielégítő x ; y; z valós számo létezne, például az x y 0 és z 10 számhármas mindét egyenletne megoldása Megjegyzés: Az (1) és () egyenlete felírása után az (1) egyenlet mindét oldalána 5-tel való szorzása, és a () egyenlet mindét oldalána 3-mal való szorzása után a apott egyenleteet ivonhatju egymásból 4 8 14 4 7 Eor, innen -vel egyszerűsítve 1 Ebből pedig leolvasható, hogy a harmadi munásna 7 napot ellene dolgoznia a teljes muna elvégzéséhez, ha az első munás napot, a másodi munás 4 napot dolgozna Ez lehetséges is, mert például x y 0 és z 10 esetén a felírt egyenlete teljesülne Ha a versenyző ezt a megoldási utat választja, aor helyes megoldás esetén teljes pontszámot ap 015/016 OKTV forduló
Húzzon egy vízszintes egyenest, majd egy erre merőleges függőleges egyenest, ezután az utóbbira merőleges vízszintes egyenest, és így tovább Minden újabb egyenes legyen merőleges a özvetlen előtte húzott egyenesre és ülönbözzön az összes előző egyenestől! Bizonyítsa be, hogy az eljárást bármior abbahagyva a eletező metszésponto száma vagy ét egymást övető természetes szám szorzatával vagy egy négyzetszámmal egyenlő! Megoldás: A lehetséges metszésponto számát aszerint csoportosítju, hogy az eljárást függőleges, vagy vízszintes egyenes megrajzolása után hagyju abba A vízszintes egyenese párhuzamosa egymással, a függőleges egyenese is párhuzamosa egymással, ezért metszésponto csa vízszintes és függőleges egyenese találozásánál jönne létre Amennyiben függőleges egyenes behúzása után hagyju abba az eljárást, aor nyilvánvaló, hogy ugyanannyi vízszintes és függőleges egyenes lesz Ha pedig az eljárást vízszintes egyenes behúzása után hagyju abba, aor pedig 1-gyel több vízszintes egyenes lesz, mint függőleges Az első esetben n darab vízszintes és n darab függőleges egyenes megrajzolása után abbahagyva az eljárást, mindegyi vízszintes egyenest n darab függőleges egyenes metsz Ezért n n n metszéspontot apun, tehát a apott metszésponto száma négyzetszám A másodi esetben, amior az eljárást vízszintes egyenes rajzolása után hagyju abba, aor n függőleges egyenes esetén n 1 vízszintes egyenest rajzoltun meg Eor az n 1 vízszintes egyenes mindegyién n darab metszéspont van, ez pedig azt jelenti, hogy a metszésponto száma n n 1, vagyis ét egymást övető pozitív egész szám szorzata Ezzel beláttu, hogy az eljárást bármior abbahagyva a eletezett metszésponto száma valóban vagy négyzetszám, vagy ét egymást övető pozitív egész szám szorzata 015/016 3 OKTV forduló
3 Bizonyítsa be, hogy minden x valós szám esetén! Mior áll fenn egyenlőség? 1 Megoldás: Az f x sin x függvény tulajdonságai alapján minden x valós számra teljesül, hogy 1 sin x 1, és ezért (1) 0 sin x 1 Az (1) összefüggés alapján azt apju, hogy ezért () sin x sin x Hasonlóéppen a gx 1 1, és így sin x sin x, és mivel sin x sin x, függvény tulajdonságai alapján minden x valós számra (3) 0 1 Ebből pedig az övetezi, hogy (4) cos x A () és (4) összefüggése összevetésével adódi, hogy, és mivel cos x, ezért (5) cos sin x 3cos x Az (5) egyenlőtlenség jobb oldalán cos x sin x cos x cos x, ebből pedig a sin x cos x 1 trigonometrius azonosság alapján az övetezi, hogy (6) cos cos x Mivel cos x 0, ezért (6)-ból a bizonyítandó állítás azonnal adódi Egyenlőség pontosan aor áll fenn, ha 0, eor sin x 1, azaz sin x 1 Az egyenlőtlenségben az egyenlőség esete tehát az x Z számora áll fenn valós 015/016 4 OKTV forduló
Megoldás: Mivel sin x 0 és 0, ezért a bizonyítandó egyenlőtlenség mindét oldalána négyzetre emelése evivalens átalaítás A négyzetre emelés után azt apju, hogy (1) 4 sin x 1 sin x 9 4 Nyilvánvaló, hogy sin x sin x és cos x, ezért az (1) összefüggésből előbb 4sin x 1 sin x cos 9cos x 4, illetve () 4sin x cos x1 sin x 5cos x 4 övetezi A sin x cos x 1 trigonometrius azonosság alapján ()-ből azt apju, hogy (3) 1 sin x 5cos x 0 A (3) egyenlőtlenség pedig nyilvánvalóan teljesül, hiszen sin x 0 és 0, továbbá cos x 0 Egyenlőség esetén 1 sin x 5 0, azaz (4) cos 1 sin x 5 0 x Mivel sin x 0 és 0, ezért 1 sin x 5 0 csa aor állhatna fenn, ha sin x 0 és 0 egyszerre lenne igaz, de ez nem teljesül egyetlen x valós számra sem Ezért csa 0 lehetséges, eor 0, és így sin x 1, azaz sin x 1 Az egyenlőtlenségben az egyenlőség esete tehát az x Z számora áll fenn valós 015/016 5 OKTV forduló
3 Megoldás: A derészögű oordinátarendszerben megrajzolt, origó özéppontú, egységnyi sugarú örben cos x és sin x rendre az i 1;0 egységvetortól x radián szöggel elforgatott egységvetor oordinátái Ha sin x 0, aor 1 Eor a bizonyítandó egyenlőtlenség nyilvánvalóan teljesül Egyenlőség azonban nem állhat fenn, mert 0 31 Ha pedig 0, aor sin x 1 A bizonyítandó egyenlőtlenségben eor az egyenlőség esete áll fenn Végül, ha sin x 0 és 0 egyszerre igaz, aor sin x és cos x az egységnyi átfogójú derészögű háromszög befogói Erre a háromszögre teljesül a háromszög-egyenlőtlenség, azaz (1) sin x 1 Az (1) összefüggésből apju, hogy sin x, innen pedig 0 miatt adódi a bizonyítandó sin x 3 egyenlőtlenség Minden lehetséges esetet megvizsgáltun, azt aptu, hogy az egyenlőtlenség minden x R számra igaz Egyenlőség aor és csa aor van, ha 0, eor sin x 1, vagyis sin x 1 Az egyenlőség esete tehát az x Z valós számora áll fenn 015/016 6 OKTV forduló
4 Határozza meg a számjegyét! 1 log log 3log 014log 3 015 4 3 4 015 szorzat utolsó Megoldás: Teintsü a szorzat egyi tényezőjét, ebben a hatványalap legyen ;3;4;; 015 esetben a hatványitevő rendre Eor a hatványozás azonossága alapján: log 1, ez (1) log 1 log 1 Az (1) jobb oldalán alalmazva a hatványozás azonosságát, azt apju, hogy () 1 log A logaritmus definíciója szerint (3) 1 log log, ezért (1) és () felhasználásával 1 log 1 1 A (3) alapján a szorzat minden tényezője azonosan átalaítható úgy, hogy -ne a hatványalapnál éppen 1-gyel isebb hatványát apju Eszerint a szorzat felírható a övetező formában is: (4) 1 013 014 1 013 014 (4) jobb oldalán a itevőben látható összeg egy olyan számtani sorozat első 014 tagjána összege, amelyben az első tag a 1 1 és a differencia d 1 A számtani sorozat összegépletével felírva (5) 014015 1 013 014 1007015 Felhasználju, hogy a hatványaina utolsó számjegyei ;4;8; 6 négyes cilussal ismétlődne Ezért a hatványitevőjéne 4 -es maradéa meghatározza a szorzat utolsó számjegyét Az 1007 és a 015 számo 4 -es maradéa egyaránt 3, ezért szorzatu 4 -es maradéa 1 1007015 Emiatt a, tehát a számjegye a 1 log log 3log 014log 3 015 4 3 4 015 szorzat utolsó Megjegyzés: A versenyző az 1007 015 09105 szorzat 4 -es maradéát számológéppel is iszámolhatja 015/016 7 OKTV forduló
5 Az ABC háromszögben a szoásos jelölése mellett 60 és 40 Legyen a P pont a BC oldal egy belső pontja Bizonyítsa be, hogy az ABP háromszög örülírt öréne özéppontját az AP egyenesre türözve a PCA háromszög örülírt öréne egy pontját apju! Megoldás: A feltételene megfelelő ábrát észítün (1 ábra) 1 ábra Az 1 ábrán az ABP háromszög öré írt p öréne özéppontja az O pont A p örben az ABP 40 erületi szög, ez a szög ahhoz az AP ívhez tartozi, amelyen az A pontból a P pontba negatív irányban haladva juthatun el Az AOP pedig a p örben ugyanehhez az ívhez tartozó özépponti szög Így a erületi és özépponti szöge tétele alapján AOP ABP 80 Legyen az O pontna az AP egyenesre vonatozó tüörépe a K pont A tengelyes türözés a szöge nagyságát nem változtatja meg, ezért (1) AOP AKP 80 Ugyanaor az ABC háromszög C csúcsánál fevő belső szögére ACB 80 Nyilvánvaló, hogy a K és C ponto az AP egyenesne ugyanazon oldalán vanna, hiszen P pont a BC oldal belső pontja Eszerint az AP egyenesne ugyanazon oldalán levő K és C pontoból az AP szaasz egyenlő nagyságú szögeben látszi, ezért a K és C pont is rajta van az AP szaasz fölé rajzolt 80 -os látószögöríven Ez azt jelenti, hogy a K pont rajta van a PCA háromszög örülírt örén, és éppen ezt aartu bizonyítani 015/016 8 OKTV forduló
Megjegyzés: Megmutatható, hogy a feladat állítása általánosabb esetben is igaz Megoldásun során ugyanis lényegében csa azt használtu i, hogy az ABC és az ACB jelöléssel, valamint azt a fontos feltételt, hogy az O és B ponto az AP egyenes által határolt ét félsí özül ugyanabba a félsíba esne Ezt i ell egészítenün azzal, hogy mivel 3 és 180, ezért 3 180, azaz 60 Eszerint az állítás teljesül minden olyan háromszögre, amelyben 0 60, továbbá, és az O és B ponto az AP egyenes által határolt ét félsí özül ugyanabba a félsíba esne 015/016 9 OKTV forduló