Kosztolányi József Kovács István Pintér Klára Urbán János Vincze István tankönyv 0 Mozaik Kiadó Szeged, 03
TARTALOMJEGYZÉK Gondolkodási módszerek. Mi következik ebbõl?... 0. A skatulyaelv... 3. Sorba rendezési problémák... 9 4. Kiválasztási problémák... 3 A gyökvonás. Racionális számok, irracionális számok... 36. A négyzetgyökvonás azonosságai... 40 3. A négyzetgyökvonás azonosságainak alkalmazása... 44 4. Számok n-edik gyöke... 50 5. Az n-edik gyökvonás azonosságai... 53 A másodfokú egyenlet. A másodfokú egyenlet és függvény... 60. A másodfokú egyenlet megoldóképlete... 64 3. A gyöktényezõs alak. Gyökök és együtthatók közötti összefüggés... 69 4. Másodfokúra visszavezethetõ magasabb fokszámú egyenletek... 74 5. Másodfokú egyenlõtlenségek... 80 6. Paraméteres másodfokú egyenletek (emelt szintû tananyag)... 84 7. Négyzetgyökös egyenletek... 90 8. Másodfokú egyenletrendszerek... 96 9. A számtani és mértani közép... 0 0. Szélsõérték-feladatok (emelt szintû tananyag)... 06. Másodfokú egyenletre vezetõ problémák... 0 Geometria 6 A körrel kapcsolatos ismeretek bõvítése. Emlékeztetõ... 6. A középponti és kerületi szögek tétele... 7 3. A kerületi szögek tétele; látószögkörív... 4. A húrnégyszögek tétele (emelt szintû tananyag)... 5 A hasonlósági transzformáció és alkalmazásai. Párhuzamos szelõk és szelõszakaszok (emelt szintû tananyag)... 9. A szögfelezõtétel (emelt szintû tananyag)... 35 3. A középpontos hasonlósági transzformáció... 37
TARTALOMJEGYZÉK 4. A hasonlósági transzformáció... 4 5. Alakzatok hasonlósága; a háromszögek hasonlóságának alapesetei... 43 6. A hasonlóság néhány alkalmazása... 47 7. Hasonló síkidomok területének aránya... 54 8. Hasonló testek térfogatának aránya... 58 Hegyesszögek szögfüggvényei. Távolságok meghatározása a hasonlóság segítségével... 6. Hegyesszögek szögfüggvényei... 64 3. Összefüggések a hegyesszögek szögfüggvényei között... 68 4. Nevezetes szögek szögfüggvényei... 7 5. Háromszögek különbözõ adatainak meghatározása szögfüggvények segítségével... 75 6. Síkbeli és térbeli számítások a szögfüggvények segítségével... 80 Vektorok. A vektor fogalma; vektorok összege, különbsége, szorzása számmal (emlékeztetõ)... 84. Vektorok felbontása különbözõ irányú összetevõkre... 88 3. Vektorok alkalmazása a síkban és a térben... 94 4. Vektorok a koordináta-rendszerben, vektor koordinátái, mûveletek koordinátákkal adott vektorokkal... 99 Szögfüggvények. A szinusz- és koszinuszfüggvény definíciója, egyszerû tulajdonságai... 04. A szinuszfüggvény grafikonja... 09 3. A koszinuszfüggvény grafikonja, egyenletek, egyenlõtlenségek... 4 4. A tangens- és kotangensfüggvény... 5. Összetett feladatok és alkalmazások... 8 6. Geometriai alkalmazások... 3 Valószínûség-számítás. Események... 38. Mûveletek eseményekkel... 43 3. Kísérletek, gyakoriság, relatív gyakoriság, valószínûség... 48 4. A valószínûség klasszikus modellje... 5 7
A GYÖKVONÁS. Racionális számok, irracionális számok racionális szám 3 = 4 6 8 6 = 9 = = DEFINÍCIÓ: A két egész szám hányadosaként felírható számokat racionális számoknak nevezzük. Q = { p, q Î Z; q =/ 0} p q Mivel egyszerûsítés és bõvítés során a törtszám nem változik, ezért minden racionális számnak végtelen sok alakja van.. példa Írjuk fel a következõ racionális számok tizedes tört alakját! 5 3 5 57 a) ; b) ; c) ; d). 8 9 6 333 A tizedes törtek mai alakjukban 66-ban jelentek meg JOHN NAPIER [néjpjer] mûvében, amelyben a szerzõ az egész és törtrészeket ponttal választotta el. Késõbb Napier a tizedespont helyett ajánlotta a tizedesvesszõ használatát is. Angliában a pont, de a legtöbb európai országban a vesszõ használata terjedt el. 36 a) b) c) d) 5 : 8 = 0, 65 3 : 9 = 44, 50 040 00 0040 0040 0004 0000 00 5 a) = 5 : 8 = 0, 65 véges tizedes tört. 8 5 : 6 = 0, 833 50 00 000 000 00 57 : 333 = 0, 47 570 0380 000490 00057 0000 3 b) = 3 : 9 =, 444 =,4. végtelen szakaszos tizedes tört. 9 5 c) = 5 : 6 = 0, 8333 = 0,83. végtelen szakaszos tizedes tört. 6 57 d) 0,4. 7. végtelen szakaszos tizedes 333 = 57 : 333 = 0, 47474 = tört. p Általánosítva: Ha p és q pozitív egész számok, a racionális szám q tizedes tört alakja véges, ha a maradékos osztás elvégzése során maradékként a 0 lép fel. Ha a 0 nem fordul elõ a maradékok között, akkor a lehetséges maradékok,,, q. Így legfeljebb q osztás után a skatulyaelv miatt olyan maradékot kapunk, amely már szerepelt. Ettõl kezdve a maradékok ismétlõdnek, tehát a tizedes tört végtelen szakaszos lesz.
. példa Írjuk fel két egész szám hányadosaként a következõ számokat! a) 3,8; b),5; c),3. 87. 38 9 5 43 a) 3,8 = = ; b),5 = = ; 00 50 000 00 c) Jelöljük a számot egy betûvel:,3. 87. =! Mivel három jegy ismétlõdik, írjuk fel a szám 000-szeresét: 000 = 387,3. 87., ebbõl 386 54 kivonva az eredeti számot: 999 = 386, tehát: = =. 999 Ez a módszer n jegybõl álló szakasz esetén úgy alkalmazható, hogy 0 n -nel szorzunk. átírás tört alakba DEFINÍCIÓ: Irracionális számnak nevezzük azokat a számokat, melyek tizedes tört alakja végtelen nem szakaszos. Pl. belátható, hogy irracionális lesz a következõ módon képzett szám:,3333333333, ahol mindig eggyel növeljük a hármasok számát, vagy 5,67890, ahol a pozitív egész számokat írjuk egymás után. A számegyenesen az egység ismeretében az egész számok helye könnyen megadható. (. ábra) A racionális számok helye hasonlóság alkalmazásával szintén megszerkeszthetõ. Az helye a. ábrán látható módon szerkeszthetõ. 5 9. ábra irracionális szám 0 3 4. ábra g e e e e e e e e e g g g 0 5 9 3 4 5 6 Megjegyzés: Az ókori matematikusok összemérhetõnek neveztek két szakaszt, ha azokhoz megadható egy olyan egység, melynek mindkét szakasz többszöröse. 5 3 Például az és hosszúságú szakaszok többszörösei az hosszúságú 9 4 36 szakasznak (az elsõ 0-szorosa, a második 7-szerese). Tehát azt mondhatjuk, hogy a fenti két szakasz összemérhetõ. 37
A GYÖKVONÁS a a Két racionális számmal megadott szakasz mindig összemérhetõ. Egységnek megfelel az a tört, melynek számlálója, nevezõje pedig a nevezõk legkisebb közös többszöröse. Sokáig kérdéses volt, hogy minden szakasz összemérhetõ-e. Körülbelül a Kr. e. 5. században görög matematikusok bebizonyították, hogy a négyzet oldala és átlója nem összemérhetõ. (3. ábra) a 3. ábra A 9. osztályban definiált négyzetgyökvonás segítségével is elõállíthatunk irracionális számokat. a irracionális szám TÉTEL: A irracionális szám. indirekt bizonyítás Bizonyítás Végezzük a bizonyítást indirekt úton. Tegyük fel, hogy = p, ahol p, q Î Z + és relatív prímek: (p; q) =. q»,4435637309 Kr. e. 300-ban Mezopotámiában a közelítésére az 4 5 0 + + + 60 60 603, 44 értéket ismerték. q p =, q ß ha p Þ p Þ 4 p, ha 4 p Þ q Þ q. p =, q = p. Azt kaptuk, hogy p és q is páros. Ez ellentmond annak, hogy relatív prímek, tehát az állítás igaz. Megjegyzés: A fenti módszerekkel belátható, hogy minden olyan pozitív a egész szám esetén, mely nem négyzetszám, a a irracionális szám. 38
DEFINÍCIÓ: A racionális számok halmazának és az irracionális számok halmazának uniója a valós számok halmaza. A valós számok halmazának jele R, az irracionális számok halmazát pedig szokás Q*-gal jelölni. Ezekkel a jelölésekkel: R = Q È Q *. a valós számok halmaza A számegyenesen bizonyos irracionális számok helye is megszerkeszthetõ. Például a a Pitagorasz-tétel felhasználásával a 4. ábrán vázolt módon szerkeszthetõ meg. Ugyanakkor vannak olyan irracionális számok, például a p, amelyek nem szerkeszthetõk meg. 0 4. ábra Feladatok. Írjuk fel a következõ számok tizedes tört alakját! 5 3 0 a) ; b) ; c) ; d). 7 7 7. Írjuk fel két egész szám hányadosaként a következõ számokat! a) 3,4; b) 3,. 4. ; c) 3,4.. ; d) 3,4.. 3. Bizonyítsuk be, hogy a következõ számok irracionálisak! a) 7 ; b) + ; c) 3 ; d) + 7. 4. Az egység ismeretében szerkesszük meg a a) 7 ; b) 0 ; c) 7 ; d) hosszúságú szakaszokat! 956 5. Írjunk fel olyan irracionális számot, amely nagyobb 0,99-nál, de kisebb -nél! Rejtvény Melyik két egész szám hányadosa lehet az,9 végtelen szakaszos tizedes tört? 39
A MÁSODFOKÚ EGYENLET 5. Másodfokú egyenlõtlenségek Bármely valós a és b számról el tudjuk dönteni, hogy milyen relációban állnak egymással. Három eset lehetséges: a < b, vagy a = b, vagy a > b. másodfokú egyenlõtlenség Ha kifejezéseket kapcsolunk össze a <, >,, ³ jelekkel, akkor egyenlõtlenségeket kapunk. Ha ezek a kifejezések másodfokúak, akkor másodfokú egyenlõtlenségekrõl beszélünk. A másodfokú egyenlõtlenségek megoldásában lényeges szerepet játszik az, hogy ezeknek a kifejezéseknek a grafikonja a koordináta-rendszerben parabolát határoz meg. A grafikonok megrajzolása minden esetben sokat segíthet a keresett megoldáshalmaz megkeresésében és szemléltetésében. y. példa Oldjuk meg az 9 < 0 egyenlõtlenséget! 3 3 I. megoldás Készítsük el a bal oldali kifejezés által meghatározott függvény grafikonját! (4. ábra) 5 Azokat az valós számokat keressük, amelyekre a függvény által felvett értékek negatívok. y = 9 A függvény zérushelyei: = 3; = 3, 4. ábra 0 ezért a megfelelõ valós számok a ] 3; 3[ nyitott intervallum elemei. II. megoldás algebrai úton, négyzetgyökvonás alkalmazásával: < 9, a = a < 9, < 3, 3< < 3. III. megoldás szorzattá alakítással: 9 = ( 3) ( + 3) < 0. A szorzat akkor lesz negatív, ha a tényezõi különbözõ elõjelûek: 3 < 0 és + 3 > 0, vagy 3 > 0 és + 3 < 0, < 3 és > 3. > 3 és < 3. Mivel a második esetnek nincs megoldása a valós számok halmazán, a megoldás: 3 < < 3. 80
. példa Mely valós számokra igaz, hogy + 4 5 < 0? Oldjuk meg elsõ lépésben a + 4 5 = 0 egyenletet! Mivel a diszkrimináns értéke D = 6 0 = 4, vagyis negatív szám, ezért ennek nem létezik valós megoldása. Ha ábrázoljuk a bal oldal függvényét, akkor egy olyan lefelé nyíló parabolát kapunk, amelyik nem metszi az tengelyt, hiszen a másodfokú tag együtthatója negatív szám, és a diszkrimináns negatív. A grafikon ábrázolásához alakítsuk a + 4 5 másodfokú kifejezést teljes négyzetté: + 4 5= ( 4) 5 = [( ) 4] 5 = ( ). A függvény grafikonja az 5. ábrán látható. Ebbõl látható, hogy az egyenlõtlenség megoldása az értelmezési tartománnyal egyezik meg, azaz a valós számok halmaza. y 5 y = + 4 5 Az olyan egyenlõtlenségeket, melyek megoldásainak halmaza megegyezik az értelmezési tartománnyal, azonos egyenlõtlenségeknek nevezzük. 5. ábra azonos egyenlõtlenség 3. példa Mely egész számokra igaz, hogy ( ) 7? Végezzük el a kijelölt mûveleteket, majd rendezzük az egyenlõtlenséget úgy, hogy az egyik oldalon nulla álljon! y 4 + 4 7, 3 0. Határozzuk meg a bal oldalon álló másodfokú kifejezés zérushelyeit: 3 = 0., ( ) 4 ( 3), = ± = = = 3. Mivel az R R, 3 függvény grafikonja felfelé nyíló parabola (6. ábra), ezért az egyenlõtlenségünk megoldása a két zérushely közötti tartomány lesz. Tehát 3. y = 3 5 3 6. ábra A megoldásokat az egész számok halmazán keressük, ezért a feladat megoldása a következõ számokból áll: Î{ ; 0; ; ; 3}. 8
A MÁSODFOKÚ EGYENLET 7. ábra z 3 5 y z = y + y 6 4. példa Oldjuk meg a következõ egyenlõtlenséget a valós számok halmazán: 4 + 6 > 0! Vezessünk be új ismeretlent: y =. Így a következõ egyenlõtlenséget kell megoldanunk: y + y 6 > 0. Megkeresve az y + y 6 = 0 egyenlet gyökeit: 4 ( 6) y 3, y, = ± = = y =. Figyelembe véve, hogy a bal oldal függvénye által meghatározott grafikon felfelé nyíló parabola (7. ábra), így az egyenlõtlenség megoldása: y < 3 vagy y >. Az változót visszahelyettesítve két egyenlõtlenség megoldásait kell megkeresnünk. Az < 3 feltételnek egyik valós szám sem tesz eleget, hiszen a valós számok négyzete mindig nemnegatív. Az > egyenlõtlenséget megoldva: >, >. Tehát az egyenlõtlenség megoldása a valós számkörben: < vagy >. 8
A másodfokú egyenlõtlenségek megoldásánál érvényben maradnak azok a szabályok, melyeket korábbi tanulmányaink során az elsõfokú egyenlõtlenségeknél megtaláltunk, vagyis: () Az egyenlõtlenség mindkét oldalához hozzáadhatjuk, illetve mindkét oldalból kivonhatjuk ugyanazt a valós számot, szorozhatjuk, illetve oszthatjuk ugyanazzal a pozitív valós számmal, a reláció továbbra is igaz marad. () A negatív számmal való szorzás és osztás megváltoztatja a reláció irányát. (3) Ha az egyenlõtlenség mindkét oldalát 0-val szorozzuk, akkor megváltozhat a megoldások halmaza. (4) Négyzetre emeléskor, illetve reciprokképzéskor meg kell vizsgálnunk, hogy az eredeti kifejezések milyen elõjelûek, és csak ezek után állíthatunk valamit arról, hogy hogyan változik a reláció iránya. Ha a > b, akkor: a+ c> b+ c, a c> b c, a d > b d, a d b >, d ahol c ÎR és d ÎR +. Feladatok. Oldjuk meg a következõ egyenlõtlenségeket! a) 6 < 0; b) 5 > 0; c) 64 0.. Keressük meg a következõ egyenlõtlenségek megoldásait! a) > 0; b) 3 0; c) 7 4 < 0. 3. Mely egész számokra igazak a következõ egyenlõtlenségek? a) 4 4 > 3 3; b) 4 3 ; c) ( 7) 4 < 0. 4. Oldjuk meg és ábrázoljuk számegyenesen a következõ egyenlõtlenségek megoldásait! a) 4 > 0; b) 4 3 0; c) 6 7 3 4 < 0. 5. Oldjuk meg a következõ egyenlõtlenségeket! a) ; b) ; c). 3 > + 0 < + 3 6. Az m paraméter milyen értékei mellett elégíti ki az bármely értéke a következõ egyenlõtlenségeket? a) + + m > 0; b) + m + 4 0; c) (4 m) 3 + m + 4 > 0. 83
A MÁSODFOKÚ EGYENLET 0. Szélsõérték-feladatok (emelt szintû tananyag) Emlékeztetõ: Az f függvénynek az = a helyen minimuma / maimuma van, ha az értelmezési tartomány minden elemére f() ³ f(a)/f() f(a). Az f: R R, f() = a + b + c alakú másodfokú függvények grafikonjai parabolák. Ha a > 0, akkor a parabola felfelé nyílik (4. ábra), minimuma van. Ha a < 0, akkor a parabola lefelé nyílik (5. ábra), maimuma van. y y y = + + 5 3 y = + 3 3 3 3 3 4. ábra 5. ábra A függvény minimuma, maimuma a függvény szélsõértéke.. példa Határozzuk meg az f() = + 3 függvény szélsõértékeit akkor, ha a) Î R; b) Î[0; ]; c) Î[ 3; ]. 6. ábra y 3 5 y = + 3 06 A függvényt alakítsuk teljes négyzetté! Ez a lépés a késõbbiekben is hatékonynak bizonyul majd akkor, ha másodfokú kifejezések szélsõértékeit keressük. f() = + 3 = ( + ) 3 = ( + ) 4. A függvény grafikonja a 6. ábrán látható. a) A függvény ott veszi fel a legkisebb értékét, ahol a négyzetes kifejezés a legkisebb, azaz 0. Ez = esetén teljesül. Ekkor a függvény minimális értéke: f( ) = 4. b) A [0; ] intervallumon a grafikon szigorúan monoton növekvõ. A minimumát az = 0-nál veszi fel, és ennek az értéke f(0) = 3. A maimuma = -nél lesz, mégpedig f() = 5. c) A [ 3; ] intervallumon a függvény szigorúan monoton csökkenõ, így a maimumát az intervallum bal oldali végpontjában, míg a minimumát a jobb oldali végpontban veszi fel. A maimum hely = 3, értéke f( 3) = 0. A minimum hely =, értéke f( ) = 3.
. példa Egy 0 cm nagyságú szakaszt két részre osztunk, és a részek fölé négyzeteket rajzolunk. Mikor lesz a két négyzet területének az összege a legkisebb? Jelöljük a 7. ábrának megfelelõen az egyik négyzet oldalának a hosszát -szel, ekkor a másik oldal hossza 0 lesz. Ekkor a négyzetek területének összege: t() = + (0 ), amely -re nézve egy másodfokú függvényt határoz meg a [0; 0] intervallumon. Ennek a minimumát keressük. Elsõ lépésben alakítsunk teljes négyzetté: t() = + (0 ) = + 00 0 + = ( 0 + 50) = = [( 5) + 5] = ( 5) + 50. Ez a függvény az = 5 helyen veszi fel a legkisebb értékét, azaz a 0 cm hosszú szakaszt éppen meg kell feleznünk, és két egyenlõ nagyságú, egyenként 5 cm területû négyzetet kell rajzolnunk rá. (0 ) 0 7. ábra 3. példa Két, egymásra merõleges úton a keresztezõdés felé egyenletes sebességgel halad két kerékpáros. Egyszerre indultak, az egyik 30 km/h sebességgel 0 km távolságból, a másik 40 km/h sebességgel 0 km távolságból. Mikor és hol lesznek egymáshoz a legközelebb? Legyen a keresett idõ órában mérve. Ekkor az egyik úton haladó kerékpáros 30 km-t tett meg, míg a másik kerékpáros által megtett út hossza 40 km lesz. (8. ábra) A két kerékpáros aktuális távolságát Pitagorasz tételének alkalmazásával számolhatjuk: d ( ) = ( 0 30) + ( 0 40). Ez a függvény a minimumát akkor veszi fel, amikor a következõ függvény: d () = (0 30) + (0 40). Jelöljük ezt a függvényt f()-szel, és a négyzetre emelések után alakítsuk teljes négyzetté! f( ) = 400 00+ 900 + 00 800+ 600 = 0 = 500 000+ 500 = 50 4 + 5 5 = = 500 500 5 + 5 5 = + 00. 0 30 07 30 d ( ) a két kerékpáros távolsága 0 40 40 8. ábra
A MÁSODFOKÚ EGYENLET A függvénynek = -nél lesz minimuma, azaz a két kerékpáros 5 óra = 4 perc múlva lesz legközelebb egymáshoz. 5 Ez a minimális távolság 00 = 0 km lesz. Ekkor a 40 km/h sebességgel haladó kerékpáros már áthaladt a keresztezõdésen. 4. példa A drágakövek ára egyenesen arányos a tömegük négyzetével. Egy gramm tömegû követ, melynek az ára 00 euró, kettévágunk. Mennyire csökkenhet le így a drágakõ értéke? Legyen a keletkezett két kõ tömege grammban mérve, illetve. Az adatok alapján megállapítható, hogy a két darab együttes értéke: y() = 00 + 00( ). Ennek a kifejezésnek a minimumát keressük. A mûveleteket elvégezve, majd teljes négyzetté alakítva a következõ másodfokú függvény adódik: y ( ) = 00 + 00( ) = = 00 + 00( + ) = 00 00+ 00 = = 00 ( ) + 00 = 00 00 4 + = = 00 + 50. Mivel ennek a függvénynek a képe felfelé nyíló parabola, ezért minimuma van akkor, amikor a négyzetes tag 0, azaz = esetén. Ez azt jelenti, hogy az eredeti drágakõ értéke akkor csökken a legnagyobb mértékben, amikor azt éppen félbevágjuk. Ekkor az összérték 50 euró lesz, azaz az eredeti árának éppen a fele. 08
Összefoglalva: A másodfokú kifejezések szélsõértékeinek meghatározásakor elsõ lépésként teljes négyzetté alakítunk: b b f( ) = a + b + c = a + + c. a 4a b Ez a függvény az = helyen veszi fel a szélsõértékét, a b s ennek értéke + c lesz. 4a Ez a szélsõérték minimum, ha a > 0, és maimum, ha a < 0. Feladatok. Határozzuk meg a következõ függvények szélsõértékeit! a) f() = 4; b) g() = + ; c) h() = ( ) +.. Állapítsuk meg a következõ függvények szélsõértékeit a valós számok halmazán! a) f() = 4; b) g() = + 6 + ; c) h() = 3 +. 3. Határozzuk meg az + 4 6 függvény szélsõértékeit, ha a) Î R; b) Î[ 3; ]; c) Î[ ; ]! 4. Adjunk meg olyan másodfokú függvényeket, amelyeknek minimuma van az a) A(; 0); b) B( ; ); c) C(3; 5) pontban! 5. Adjunk meg olyan másodfokú függvényeket, amelyeknek maimuma van az a) A(0; 0); b) B(; ); c) C(4; 3) pontban! 6. Bontsuk fel a 30-at két szám összegére úgy, hogy a tagok négyzetösszege a lehetõ legkisebb legyen! 7. Egy 0 cm és 5 cm befogójú derékszögû háromszögbe az ábrának megfelelõen téglalapokat írunk. Mekkorák lesznek az így beírt maimális területû téglalap oldalai? 8. Egy 0 cm hosszú szakaszt két részre osztunk, majd az egyes részek mint átmérõk fölé félköröket rajzolunk. Legalább mekkora lesz a két félkör területének az összege? 9. A koordináta-rendszer két különbözõ tengelyén egy-egy bogár mozog az origó irányába. Az egyik az A(40; 0) pontból indul és másodpercenként 4 egységet tesz meg. A másik a B(0; 30) pontból és másodpercenként egységet halad. Ha egyszerre indulnak, hány másodperc múlva lesznek egymáshoz a legközelebb? 0 cm 5 cm Rejtvény Hogyan változik a különbözõ színû vonalak hossza, ha a szakaszokat mindig felezzük, és félköröket rajzolunk rájuk? 09
HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI 6. Síkbeli és térbeli számítások a szögfüggvények segítségével Alábbiakban a szögfüggvények alkalmazására mutatunk néhány további példát.. példa Számítsuk ki a cm sugarú körben a 75º-os középponti szöghöz tartozó körszelet területét! 86. ábra O B r 75º r A A 86. ábráról leolvasható, hogy a körszelet területe a megfelelõ körcikk és középponti háromszög területének különbsége. Emlékeztetünk rá, hogy ha az r sugarú körben a a körcikk középponti szögének radiánban megadott nagysága, akkor a körcikk területe tkc = a r. Mivel 75º = 75º rad rad, ezért 360º = 5p p t kc = 5p 4 5p cm = cm 6. Az ABO háromszög területe: r tabo = sin75º = sin 75º cm. A körszelet területe: 5p t = tkc tabo = cm sin 75 º cm 0, 686 cm. 6 87. ábra Megjegyzés: A fenti gondolatmenethez hasonló módon bizonyítható, hogy az r sugarú kör radiánban mérve a nagyságú 0 < a < p középponti szögéhez tartozó körszelet területe: r t = ( sin ). a a. példa B Mekkora szöget zár be a kocka testátlója a végpontjából induló lapátlókkal? C Ö a A Az egyszerûbb számolás végett legyen a kocka éle egységnyi hosszú. Ekkor Pitagorasz tételébõl adódóan a lapátlók hossza. A 87. ábrán látható ABC derékszögû háromszög a hegyesszögére vagyunk kíváncsiak. 80
Mivel ebben a derékszögû háromszögben a két befogó ismert, ezért tg a = = 0, 707, a 35º 6' 35, 7º. 3. példa Mekkora szöget zárnak be egymással egy szabályos tetraéder lapsíkjai? A kérdés megválaszolása elõtt emlékeztetünk a szabályos tetraéder fogalmára, és definiáljuk, hogy mit értünk két sík hajlásszögén. DEFINÍCIÓ: A szabályos tetraéder olyan háromszög alapú gúla, amelynek lapjai egybevágó szabályos háromszögek. DEFINÍCIÓ: Tekintsük a két sík metszésvonalának egy pontját! Állítsunk merõlegest a metszésvonalra ebben a pontban mindkét síkban! A két sík hajlásszöge ezen merõlegesek által bezárt szög. (88. ábra) szabályos tetraéder két sík hajlásszöge D C A O j F B 88. ábra 89. ábra Az egyszerûbb számolás érdekében legyenek az ABCD szabályos tetraéder élei egységnyi hosszúak. (89. ábra) 90. ábra Ha F a BC él felezõpontja, akkor AF, illetve DF az ABC, illetve DBC szabályos háromszögek magasságai, ezért merõlegesek BC-re, és AF = DF. Így a fenti definíció értelmében az AFD egyenlõ szárú háromszögben a szárak által bezárt j szög nagyságára vagyunk kíváncsiak. Érdemes ezt a háromszöget külön is megrajzolnunk. (90. ábra) F j j 3 Pitagorasz tételét az ABF derékszögû háromszögre alkalmazva AF = DF = 3 = = 4 3. D 8 E A
HEGYESSZÖGEK SZÖGFÜGGVÉNYEI Az AFD háromszögben az alaphoz tartozó magasság felezi j-t és AD-t, így ha E az AD él felezõpontja, akkor j AE sin 3 = = = = 0, 5774, AF 3 3 3 j 35º6', j 70º3' 70,53º. Mivel a tetraéder szabályos, ezért bármely két lapsíkja 70,53º-os szöget zár be egymással. 4. példa Egy 75 m hosszú egyenes lejtõs út aljáról az út felsõ végén levõ emlékmû 4º-os szög alatt látszik. Milyen magas az emlékmû, ha a lejtõ hajlásszöge 0º? A 9. ábrán feltüntettük az adatokat is. h 4º s =75m y 0º 9. ábra Elõször a lejtõ méterben mért y emelkedését határozzuk meg. y sin 0º =, 75 y = 75 sin 0º 75 0, 34 = 5,65 (m). 8 Hasonlóan adódik, hogy a lejtõ aljának az emlékmûtõl vett vízszintes távolsága : = 75 cos 0º» 75 0,9397» 70,48 (m). Így az emlékmû h magasságára nézve y+ h tg 4º =, h = tg 4º y 70, 48 0,445 m 5,65 m 5,73 m. Tehát az emlékmû közelítõen 5 méter 73 centiméter magasságú.
Feladatok. Egy körlapból kivágjuk a lehetõ legnagyobb szabályos a) hatszöget; b) nyolcszöget; c) tízszöget; d) tizenkétszöget. Hány százaléka a hulladék területe a körlap területének az egyes esetekben?. Egy szabályos négyoldalú gúla (alaplapja négyzet, oldallapjai egyenlõ szárú háromszögek) alapéle cm, oldaléle cm hosszú. Számítsuk ki a) a szomszédos odalélek; b) a szemközti oldalélek szögének nagyságát! 3. Egy szabályos hatoldalú gúla (alaplapja szabályos hatszög, oldallapjai egyenlõ szárú háromszögek) alapéle 4 cm, oldaléle 6 cm hosszú. Mekkora a) az alaplap és egy oldallap; b) két szomszédos oldallap által bezárt szög? 4. Számítsuk ki az ábrán látható ötszög AB oldalának hosszát és ismeretlen belsõ szögeinek nagyságát! 5. Mekkora szögben esnek a Nap sugarai a földre, ha egy villanyoszlop árnyéka a) kétszer; b) háromszor; c) ötször akkora, mint az oszlop? B b 5cm C A a 0 cm 5cm E 0º 3cm D 6. Egy hegy C csúcsát a hegy lábánál levõ A pontból a vízszinteshez képest 60º-os szög alatt látjuk. Ha az A pontból a vízszintessel 30º-os szöget bezáró egyenes úton km-t megyünk, akkor olyan B pontba jutunk, amelyre CBA = 35º. Milyen magas a hegy? 7. Egy utcai lámpa két felfüggesztési pontjának távolsága 8 m. A lámpa a távolság felezõpontjában függ, belógása cm. Milyen hosszú a huzal, és mekkora a vízszintessel bezárt szöge? 8m cm 8. Milyen hosszúak a hegyeszögek belsõ szögfelezõinek háromszögbe esõ szakaszai abban a derékszögû háromszögben, amelynek átfogója 4 cm hosszú, és az egyik hegyesszög nagysága a) 45º; b) 60º; c) 75º; d) 40º; e) 7º30 ; f) a? 83