A kvantummechanika általános formalizmusa



Hasonló dokumentumok
Széchenyi István Egyetem, 2005

Lineáris Algebra gyakorlatok

Miskolci Egyetem. Diszkrét matek I. Vizsga-jegyzet. Hegedűs Ádám Imre

5. Előadás. Megyesi László: Lineáris algebra, oldal. 5. előadás Lineáris függetlenség

Vektortér. A vektortér elemeit vektornak, a test elemeit skalárnak nevezzük. Ezért a függvény neve skalárral való szorzás (nem művelet).

Lineáris algebra - jegyzet. Kupán Pál

JANUS PANNONIUS TUDOMÁNYEGYETEM. Schipp Ferenc ANALÍZIS I. Sorozatok és sorok

Lineáris algebra I. Kovács Zoltán. Előadásvázlat (2006. február 22.)

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Sztojka Miroszláv LINEÁRIS ALGEBRA Egyetemi jegyzet Ungvár 2013

Áttekintés a felhasznált lineáris algebrai ismeretekről.

1.1. Vektorok és operátorok mátrix formában

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

MATEMATIKA FELADATGYŰJTEMÉNY

Parciális differenciálegyenletek numerikus módszerei számítógépes alkalmazásokkal Karátson, János Horváth, Róbert Izsák, Ferenc

NUMERIKUS MÓDSZEREK FARAGÓ ISTVÁN HORVÁTH RÓBERT. Ismertető Tartalomjegyzék Pályázati támogatás Gondozó

Középszintű érettségi feladatsorok és megoldásaik Összeállította: Pataki János; dátum: november. I. rész

BUDAPESTI KÖZGAZDASÁGTUDOMÁNYI EGYETEM. Puskás Csaba, Szabó Imre, Tallos Péter LINEÁRIS ALGEBRA JEGYZET

Ismerkedés az Abel-csoportokkal

86 MAM112M előadásjegyzet, 2008/2009

4. előadás. Vektorok

Lineáris algebra I. Vektorok és szorzataik

MATEMATIKA Kiss Árpád Országos Közoktatási Szolgáltató Intézmény Vizsgafejlesztő Központ

A lineáris tér. Készítette: Dr. Ábrahám István

Számítástudomány matematikai alapjai segédlet táv és levelező

Az áprilisi vizsga anyaga a fekete betűkkel írott szöveg! A zölddel írott rész az érettségi vizsgáig még megtanulandó anyag!

Analízis 1. (BSc) vizsgakérdések Programtervez informatikus szak tanév 2. félév

IDEIGLENES PÉLDATÁR. A Kémiai Matematika c. tantárgyhoz. Szabados Ágnes

A kvantummechanika speciális fejezetei

TENZORSZÁMÍTÁS INDEXES JELÖLÉSMÓDBAN

Lineáris programozás. Modellalkotás Grafikus megoldás Feladattípusok Szimplex módszer

1. Lineáris leképezések

Soukup Dániel, Matematikus Bsc III. év cím: Témavezető: Szentmiklóssy Zoltán, egyetemi adjunktus

matematikai statisztika október 24.

5. gyakorlat. Lineáris leképezések. Tekintsük azt a valós függvényt, amely minden számhoz hozzárendeli az ötszörösét!

1.1. Gyökök és hatványozás Hatványozás Gyökök Azonosságok Egyenlőtlenségek... 3

Analízisfeladat-gyűjtemény IV.

Matematika emelt szint a évfolyam számára

Számsorozatok Sorozat fogalma, példák sorozatokra, rekurzív sorozatokra, sorozat megadása Számtani sorozat Mértani sorozat Kamatszámítás

Mátrixaritmetika. Tartalom:

Juhász Tibor. Lineáris algebra

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Differenciaegyenletek

Analízis előadás és gyakorlat vázlat

Geometriai axiómarendszerek és modellek

Bevezetés a számításelméletbe I. feladatgyűjtemény. Szeszlér Dávid, Wiener Gábor

KOVÁCS BÉLA, MATEMATIKA I.

Mátrixok. 3. fejezet Bevezetés: műveletek táblázatokkal

Helyi tanterv Német nyelvű matematika érettségi előkészítő. 11. évfolyam

2) = 0 ahol x 1 és x 2 az ax 2 + bx + c = 0 ( a,b, c R és a 0 )

9. ÉVFOLYAM. Tájékozottság a racionális számkörben. Az azonosságok ismerete és alkalmazásuk. Számok abszolútértéke, normál alakja.

Környezetvédelmi analitika - Rezgési spektroszkópia Billes, Ferenc

2. Interpolációs görbetervezés

Diszkrét Matematika I.

Bevezetés 3. Vizsga tételsor 5. 1 Komplex számok 6. 2 Lineáris algebra Vektorterek 11

Mikrohullámok vizsgálata. x o

Fejezetek a lineáris algebrából PTE-PMMK, Műszaki Informatika Bsc. Dr. Kersner Róbert

Matematikai alapismeretek. Huszti Andrea

TARTALOM. Ismétlő tesztek ÚTMUTATÁSOK ÉS EREDMÉNYEK...255

választással azaz ha c 0 -t választjuk sebesség-egységnek: c 0 :=1, akkor a Topa-féle sebességkör teljes hossza 4 (sebesség-)egységnyi.

Brósch Zoltán (Debreceni Egyetem Kossuth Lajos Gyakorló Gimnáziuma) Számelmélet I.

FELVÉTELI VIZSGA, július 17.

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

Matematika. Specializáció évfolyam

Lineáris algebrai módszerek a kombinatorikában

Lineáris algebra és mátrixok alkalmazása a numerikus analízisben

MATEMATIKA ÍRÁSBELI ÉRETTSÉGI-FELVÉTELI FELADATOK május 19. du. JAVÍTÁSI ÚTMUTATÓ

Matematikai és matematikai statisztikai alapismeretek

Elektromágneses hullámok - Hullámoptika

Képfeldolgozási módszerek a geoinformatikában

FELADATOK A. A feladatsorban használt jelölések: R + = {r R r>0}, R = {r R r < 0}, [a; b] = {r R a r b}, ahol a, b R és a b.

Tartalomjegyzék. Typotex Kiadó III. Tartalomjegyzék

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

2. feladat Legyenek 1 k n rögzített egészek. Mennyi az. x 1 x 2...x k +x 2 x 3...x k x n k+1 x n k+2...x n

Vektorok, mátrixok, lineáris egyenletrendszerek

MATEMATIKA I. RÉSZLETES ÉRETTSÉGI VIZSGAKÖVETELMÉNY A) KOMPETENCIÁK

Nemlineáris optimalizálás

Részecskék hullámtermészete

Lézerspektroszkópia ritkaföldfémekkel adalékolt egykristályokban

Következõ: Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk. Jelfeldolgozás. Lineáris rendszerek jellemzõi és vizsgálatuk

Miskolci Egyetem GÉPÉSZMÉRNÖKI ÉS INFORMATIKAI KAR. Analízis I. példatár. (kidolgozott megoldásokkal) elektronikus feladatgyűjtemény

Lineáris algebra bevezető

Feladatok a koordináta-geometria, egyenesek témaköréhez 11. osztály, középszint

6. modul Egyenesen előre!

Válasz Szőnyi Tamásnak az Optimális térlefedő kódok kutatása című doktori értekezés opponensi bírálatára

Komáromi Éva LINEÁRIS PROGRAMOZÁS

ÉS TESZTEK A DEFINITSÉG

Lineáris leképezések (előadásvázlat, szeptember 28.) Maróti Miklós, Kátai-Urbán Kamilla

15. LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK

LINEÁRIS ALGEBRA PÉLDATÁR MÉRNÖK INFORMATIKUSOKNAK

PRÓBAÉRETTSÉGI MATEMATIKA május-június SZÓBELI EMELT SZINT. Tanulói példány. Vizsgafejlesztő Központ

1. Prefix jelentések. 2. Mi alapján definiáljuk az 1 másodpercet? 3. Mi alapján definiáljuk az 1 métert? 4. Mi a tömegegység definíciója?

MATEMATIKA JAVÍTÁSI-ÉRTÉKELÉSI ÚTMUTATÓ

VÉGES CIKLIKUS CSOPORTOKNAK VÉGES CIKLIKUS CSOPORTOKKAL VALÓ SZÉTES BVÍTÉSEIRL

Halmazok Halmazok, részhalmaz, halmazműveletek, halmazok elemszáma

Vektorterek. =a gyakorlatokon megoldásra ajánlott

Egy emelt szintű érettségi feladat kapcsán Ábrahám Gábor, Szeged

Vektorterek. Több esetben találkozhattunk olyan struktúrával, ahol az. szabadvektorok esetében, vagy a függvények körében, vagy a. vektortér fogalma.

Lineáris Algebra GEMAN 203-B. A három dimenziós tér vektorai, egyenesei, síkjai

MATEMATIKA ÉRETTSÉGI VIZSGA ÁLTALÁNOS KÖVETELMÉNYEI

Átírás:

A kvantummechanika általános formalizmusa October 4, 2006 Jelen fejezetünk célja bevezetni egy általános matematikai formalizmust amelynek segítségével a végtelen dimenziós vektorterek elegánsan tárgyalhatók. Az elemi kvantummechanika kurzus keretében láttuk, hogy egy tetszőlges kvantummechanikai rendszer állapotát egy hullámfüggvénnyel tudtuk jellemezni. Ez a hullámfüggvény egy végtelen dimenziós vektortérnek, az úgynevezett L 2 Hilbert térnek volt eleme. A kvantummechanika általános formalizmusának (másnéven a Dirac formalizmus) keretében a kvantummechanikai rendszer állapotát egy általános, végtelen dimenziós vektorral fogjuk leírni. Ennek a vektornak végtelen sok, különböző reprezentációja lehet melyek közül az egyik speciális reprezentáció fogja megadni a hullamfüggvényt. Feladatunk tehát a kvantummechanikának egy általánosabb megfogalmazása (Dirac formalizmus) amely speciális esetként fogja tartalmazni az elemi kvantummechanikában tanult hullámmechanikát is. 1 Végtelen dimenziós vektorterek általános formalizmusa 1.1 A bra és ket vektorok A lehetséges kvantummechanikai állapotok összesége egy végtelen dimenziós vektorteret definiál. Ezen térben egy vektor egy lehetséges kvantummechanikai állapotnak felel meg. A végtelen dimenziós térben értelmezett vektorokat röviden ket vektoroknak nevezzük. A megnevezés az angol bracket (zárójel) szóból ered, amely szóból két új fogalmat alkotott Dirac, amikor a vektorokat ket - nek, és a hozzájuk rendelt duális vektorokat (később meglátjuk mik is ezek) bra -nak nevezte el. Egy ket vektort a következőképpen írunk: a (1) A vektortér elemei kommutatív (Abel féle) csoportot alkotnak ( a + b ) + c = a + ( b + c ), (2) 0 : 0 + a = a + 0 = a, a (3) a : ( a ) : a + ( a ) = 0 (4) a + b = b + a, (5) 1

és értelmezett egy komplex skalárral (λ C) való szorzás az alábbi módon: λ( a + b ) = λ a + λ b (6) (λ 1 + λ 2 ) a = λ 1 a + λ 2 a (7) (λ 1 λ 2 ) a = λ 1 (λ 2 a ) (8) 1 a = a. (9) A fentiek alapján a következő tulajdonságok bizonyíthatók: 1. 0 a = 0 Bizonyítás: λ a = (λ + 0) a = λ a + 0 a (10) Mindkét oldalhoz most hozzádva a λ a értéket, azonnal következik, hogy 0 = 0 a (11) 2. λ 0 = 0 Bizonyítás: λ a = λ( a + 0 ) = λ a + λ 0 λ 0 = 0 (12) 3. λ a = 0 λ = 0 vagy a = 0 A bizonyítás az előbbiek alapján nyilvánvaló! Definició: A a 1, a 2,..., a n vektorok lineárisan függetlenek, hogyha fennáll köztük a következő ekvivalencia: λ i a i = 0 λ 1 = λ 2 =... = λ N = 0 (13) A ket vektorok sokasága egy lineáris vektorteret értelmez. A vektortér dimenziója a legnagyobb számú lineárisan független ket vektorok száma. Legyen ǫ egy N dimenziós vektortér (minket általában a végtelen dimenziós vektorterek érdekelnek). Ebben a vektortérben értelmezhető egy bázisvektor sokaság amelynek segítségével (például az amelyet az előbb arra használtunk hogy a vektortér dimenzióját definiáljuk) kifejezhetjük a vektortérnek minden vektorát, vagyis: a, λ 1, λ 2,..., λ N, a = λ i a i (14) Hogyha most ebben a vektortérben veszünk egy kisebb számosságú, egymától független vektorokból álló halmazt, akkor ezen halmaz az ǫ vektortéren egy ǫ alteret definiál. Vegyünk egy n < N vektorból álló bázist, ekkor a 1, a 2,... a n vektorok a következő alteret definiálják: 2

a ǫ, λ 1, λ 2,..., λ n, a = n λ i a i (15) Két a és b ket vektor között értelmezünk egy ( a, b ) = λ C egy műveletet a következő axiomák alapján: ( a, b ) = ( b, a ) (16) ( a, b + c ) = ( a, b ) + ( a, c ) (17) λ( a, b ) = ( a, λ b ) (18) ( a, a ) R + ;...( a, a ) = 0 a = 0 (19) A fenti tulajdonságokkal rendelkező műveletet skaláris szorzatnak nevezzük. A skaláris szorzat segítségével értelmezzük az a vektor normáját mint ( a, a ). Azonnal bizonyítható, hogy ( 0, a ) = 0. Bizonyítható ugyanakkor a Schwartz féle egyenlőtlenség ( b, a ) 2 ( b, b )( a, a ), (20) ahol az egyenlőség akkor áll fenn, hogyha a = α b. Definició: Két vektor a és b ortogonális (egymásra merőleges), hogyha ( a, b ) = 0. A merőlegesség definicióját ki lehet terjeszteni alterekre is, ǫ és ǫ egymásra merőleges altér, hogyha minden vektor az egyik altérből merőleges minden vektorra a másik altérből. Ebben az esetben a két altérnek nem lehet egy közös vektora sem (a 0 normájú vektortól eltekintve). Hogyha van egy ǫ 1 -es alterünk akkor definiálhatunk egy komplementáris alteret a következő tulajdonságokkal ǫ 1 ǫ 1 (21) ǫ 1 ǫ 1 (22) ǫ 1 ǫ 1 = ǫ, (23) ahol a művelet a direkt összeget jelőli. Két altér direkt összege azt jelenti, hogy a két altér bázisvektorainak a halmazát egyesítjük, és ezen bázisvektor sokaság generálja a direkt összegként kapott új alteret. Azonnal belátható, hogy az ǫ térnek minden vektora felbontható a két altérből vett komponensek összegére a = a 1 + a 1, (24) ahol a 1 ǫ 1 és a 1 ǫ 1. Bevezetjük most az ǫ vektortér duális terét (ǫ ), melynek elemei a tipusú bra vektorok. Az ǫ és ǫ vektorterek teljesen izomorf, és az ǫ vektortér minden 3

a elemének egyértelműen megfelel az ǫ vektortérnek egy a. A két vektortér elemei között értelmezhető egy művelet, amelyre: a b = ( a, b ). (25) Ezen összefüggés az, amelynek segítségével egyértelmű megfeleltetést létesítünk az ǫ és ǫ vektortér elemei között. A fenti megfeleltetés alapján az összeadás és a skalárral való szorzás során kapott ket vektoroknak az ǫ vektortéren a következő elemek felenek meg: λ a λ a (26) a + b a + b (27) A következőkben a skaláris szorzatot mindig a bra és ket vektorok segítségével fogjuk felírni, vagyis a b a jelőlést fogjuk használni. 1.2 Operátorok Az operátor egy olyan függvény amelynek mind az értelmezési tartománya, mind az értékkészlete a lineáris vektortér  a = b ; a, b ǫ (28) Az operátorokat egy kalappal jelöljük, és a ket vektorok bal oldalán hatnak. A lineáris operátorra igaz, hogy: Â(λ 1 a + λ 2 b ) λ 1  a + λ 2  b (29) A kvantummechanika keretében mi csak lineáris operátorokkal dolgozunk. Értelmezzük az identikus operátort: Î: Î a = a, a ǫ (30) Az operátorok között értelmezzük a szorzás (vagy összetevés) műveletét. Ha  s ˆB két lineáris operátor, akkor Ĉ =  ˆB szintén egy lineáris operátort eredményez, amelyre igaz, hogy: a ǫ, Ĉ a = Â( ˆB a ) (31) Az operátorok szorzása általában nem kommutatív (felcserélhető), vagyis általában:  ˆB ˆB (32) Azon operátorokat amelyekre a szorzás felcserélhető ( ˆB = ˆBÂ) kommutáló operátoroknak nevezzük. Az inverz operátor fogalma: Hogyha  a b és ˆB b a minden a -ra az ǫ-ból, akkor azt mondjuk, hogy ˆB az  inverze. Ekkor 4

 ˆB = ˆB = Î (33) és az  inverzét úgy jelőljük, hogy  1. (tehát ˆB =  1 ). Megjegyzendő, hogy nem minden operátornak van inverze. Hogyha van két operátor,  és ˆB amelyeknek van inverze, akkor igaz a következő egyenlőség: ( ˆB) 1 = ˆB 1  1 (34) Ismerve az  operátor hatását a ket vektorokra, a skaláris szorzat segítségével értelmezhetjük a hatását a bra vektorokra is: b ( a ) = ( b Â) a = b  a ; a ǫ, b ǫ (35) Ahol b  a tehát csak jelőlési konvenció. Az előbb elmondottak alapján a következő néhány azonnali egyenletet lehet felírni. Ha a ǫ és λ C : (λâ) a = λ(â a ) c (λâ) = λ c  (36) Ŝ a = ( + ˆB) a =  a + ˆB a c Ŝ = c ( + ˆB) = c  + c ˆB (37) ˆP a = ( ˆB) a = Â( ˆB a ) c ˆP = c ( ˆB) = ( c Â) ˆB (38) A bra vektorok mindig az operátorok jobb oldalán, a ket vektorok pedig mindig az operátorok bal oldalán találhatóak. Egy lényeges operátor csoport az a b típusú operátorok. Ez az operátor hathat úgy egy bra mint egy ket vektorra a következő módon: 1.2.1 Adjungált operátor ( a b ) v = a ( b v ) = λ a (39) v ( a b ) = ( v a ) b = λ b (40) Egy tetszőleges  operátorhoz hozzárendelhetjük a következő adjungált operátort: úgy, hogy a ǫ:  Â+ (41)  a = b a Â+ = b (42) Az adjungált operátorra a következő tulajdonságokat lehet bebizonyítani: (Â+ ) + =  (43) ( + ˆB) + = Â+ + ˆB + (44) (λâ)+ = λ  + (45) ( ˆB) + = ˆB +  + (46) Az operátorok adjungálása a számok komplex konjugálásával ekvivalens művelet. Összetett mennyiségek konjugálására egy egyszerű törvényünk van: 5

a komplex számokat komplex konjugáltjukkal a ket vektorokat bra -val a bra vektorokat ket -el az operátorokat az adjungáltjukkal helyettesítjük, majd az egész összetett mennyiséget fordított sorrendben írjuk. Példa: ˆL =  ˆB u v Ĉ ˆL + = Ĉ+ v u ˆB +  + (47) a =  ˆB u v Ĉ w a = w Ĉ+ v u ˆB +  + (48) µ = t  ˆB u v Ĉ w µ = w Ĉ+ v u ˆB +  + t (49) 1.2.2 Önadjungált (vagy Hermitikus) operátor Egy önadjungált (vagy hermitikus) operátorra igaz, hogy: (50) ˆQ = ˆQ + (51) Léteznek antihermitikus operátorok is. Egy operátor antihermitikus ha: ˆQ = ˆQ + (52) Néhány fontos tétel a hermitikus operátorokkal kapcsolatban (javasoljuk, hogy ezen tételeket gyakorlatként igazoljuk): Bármely líneáris operátor felírható egy hermitikus és egy antihermitikus operátor összegeként: ˆP, ˆP = L ˆ H + L ˆ A (53) Hermitikus operátorok lineáris kombinációja szintén hermitikus operátor Két hermitikus operátor szorzata ( ˆQ 1 ˆQ2 ) is hermitikus operátor, hogyha a két operátor kommutál ( vagyis hogyha [ ˆQ 1, ˆQ 2 ] = ˆQ 1 ˆQ2 ˆQ 2 ˆQ1 = 0) Hogyha ˆQ hermitikus, b ˆQ a = ( a ˆQ b ), minden a ǫ és b ǫ esetén. Definició: egy Ĥ hermitikus operátor pozitív definit, hogyha a ǫ esetén a Ĥ a 0. Egy pozitív definit Ĥ hermitikus operátorra igaz az általánosított Schwartz féle egyenlőtlenség: b Ĥ a 2 b Ĥ b a Ĥ a (54) Az egyenlőség akkor áll fenn, hogyha Ĥ a = αĥ b, ahol α C. 6

1.2.3 Unitér operátorok Û egy unitér operátor, hogyha: Ebben az esetben: Û 1 = Û+ (55) ÛÛ+ = Û+ Û = Î (56) Egy azonnal bizonyítható tétel értelmében két unitér operátor szorzata is unitér operátor. Az unitér operátor megőrzi a skaláris szorzatot, vagyis: a b = aû+ Û b > (57) Ugyanakkor ha [Â, Û] = 0 azonnal bizonyítható, hogy: 1.3 Sajátvektorok, sajátértékek Tekintsünk egy lineáris operátort (Â) úgy, hogy: ÛÂÛ+ =  (58)  a = a a (59) Ha a fenti egyenlőség igaz akkor a az  operátor sajátvektora, a pedig az ehhez a sajátvektorhoz tartozó sajátérték. Egy sajátvektorhoz mindig csak egy sajátérték tartozhat, azonban egy sajátértékhez több sajátvektor is tartozhat. Hogyha azonos sajátértékhez több sajátvektor tartozik, ezt a sajátértéket elfajult sajátértéknek nevezzük Hogyha  hermitikus operátor, igazak a következő kijelentések (gyakorlatként javasoljuk ezeknek a bizonyítását):  sajátértékei valósak A különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorok merőlegesek egymásra A bra és a ket vektorokban felírt egyenlet sajátvektorai és sajátértékei egymásnak megfelelőek, vagyis ha  a = a a akkor a  = a a. Egy pozitívan definiált hermitikus operátor sajátértékei nem-negatívak (vagyis ezek 0). 1.3.1 Bázisvektorok, reprezentációk Az a 1, a 2, a 3,..., a N vektorok egy ortonormált bázist alkotnak az ǫ vektortéren, hogyha teljesítik az ortonormáltság (ortogonalitás + normáltság) és a teljesség feltételét. Ortonormáltság: a i a j = δ ij (60) 7

Teljesség: a i a i = Î (61) Ezen második feltételhez úgy jutunk, hogy megköveteljük, hogy minden vektort kifejezhessünk a bázisvektorok segítségével (máképp kifejezve meglátjuk, hogy ez a képlet azt jelenti hogy a bázisvektorok terére való vetítés az identikus operátor kell legyen). A teljesség feltételét azonnal beláthatjuk: k ǫ, k = λ i a i (62) Beszorozva a fenti egyenletet balról az a i vektorokkal, azonnal következik, hogy és ezt behelyetesítve a kiinduló egyenletünkbe: k = λ i = a i k, (63) a i k a i = ( a i a i ) k (64) A fenti egyenletből azonnal következik a teljesség feltétele. A választott básizvektorok ismeretében bármely k vektor jellemezhető tehát a λ i koordinátákkal. Azt mondjuk, hogy az a i bázisvektorok egy reprezentációt alkotnak. Néhány fontosabb megjegyzés: Lehet bázisról beszélni egy ǫ altéren is. Az ortogonalitás és ortonormáltság fogalma kiterjeszthető nem normálható vektorokra is (nem normálható bázisvektorokkal találkozunk például amikor a bázisvektorokat jellemző index folytonosan változik). Ebben az esetben az ortonormáltság feltétele: a(r) a(r ) = δ(r r ) (65) Ha egy hermitikus operátor sajátvektorai egy bázist alkotnak a vektorterünkön akkor az operátort megfigyelhetőnek nevezzük. (A hermitikus operátor sajátvektoraiból egy ortonormált sorozat építhető. Ez következik az eddigi tételeinkből, lásd az 1. részben tanult Gramm-Schmidt féle ortogonalizálási eljárást. Ezen sorozat teljessége a vektortérben azonban nem bizonyítható általánosan.) 8

1.4 Vetítő operátorok (Projekciós operátorok) Legyen ǫ R egy altér az ǫ vektortéren. Legyen a R ǫ R és a R ǫ R. Ekkor a ǫ, a = a R + a R. Azt mondjuk, hogy a R az a vetülete (projekciója) az ǫ R -re. Ezt a vetületet egy P ˆ R vetítő operátorral kapjuk meg: Pˆ R a = a R. PR ˆ tehát az ǫ R -re vetítő operátor. Tételként kijelentjük, hogy P ˆ R egy hermitikus operátor. A tétel bizonyítása azonnali. Legyen: Pˆ R a = a R a P ˆ + R = ar (66) A vetítő operátor és a skaláris szorzat tulajdonságait felhasználva: a P ˆ R b = a b R = a R b R = a R b (67) a P ˆ R = a R, a (68) Felhasználva a (66) és (68) egyenleteket azonnal következik, hogy: ˆ P R + = ˆ PR (69) Egy másik fontos tétel is azonnal belátható. Ha egymás után többször vetítünk egy P ˆ R operátorral, ugyanazt az eredményt kapjuk: vagyis: a ǫ, ˆ P R 2 a = ˆ PR a R = a R (70) 2 Pˆ R = PR ˆ (71) Ezen eredményt fel lehet használni arra, hogy definiáljuk a projekciós operátorokat. (általában ezzel az összefüggéssel definiálják a projektorokat) Egy további fontos tétel kijelenti, hogy a projektorok sajátértékei 0 vagy 1. A bizonyítás szintén azonnali, és a következő lépések szerint történik: Pˆ R u = α u ; P ˆ 2 R u = αpr ˆ u = α 2 u (72) 2 Pˆ R = PR ˆ ; α 2 α = 0 α {0, 1} (73) Az α = 1-hez tartozó sajátvektor az ǫ R -ből, az α = 0-hoz tartozó az ǫ R -ből van. Néhány példa projektorokra: 1. Legyen n ǫ, n n = 1. Hogyha a ǫ, akkor a = a n + a n, ahol a n = c n és n a n = 0. Ekkor n a = n a n + n a n = n a n = c n n = c, vagyis a n = n a n = n n a, tehát P ˆ n = n n. Ez egy elementáris egydimenziós térre vetítő projektor. 2. Legyen a 1, a 2,..., a N egy bázis amely az ǫ 1 alteret generálja. A ˆP 1 = N a i a i operátor az ǫ 1 altérre vetítő projektor. 9

3. Legyen  egy hermitikus operátor, melynek sajátvektorai legyenek a i ( a i = a i a i ). Az ǫ vektortér legyen az a i ket -ek által generált tér. Ekkor ˆP = n a i a i az ǫ-ra vetítő operátor. Hogyha  megfigyelhető akkor ǫ = ǫ és ˆP = Î. 4. Legyen az  spektruma részben elfajult:  a ni = a n a ni, i = 1,..., s(n), s(n) s(n) az a n sajátérték elfajulási foka. ˆP = a ni a ni az ǫ n altérre vetítő operátor. (Az ǫ n alteret az a ni vektorok generálják.) Azonnal s(n) belátható, hogy: ˆP = n=1 a ni a ni = Î = ˆ n P n. Ha v ǫ, v = n,i a ni a ni v = n,i λ ni a ni. A λ ni a v koordinátái az  megfigyelhető reprezentációjában (λ ni = a ni v ). Azonnal bizonyíthatjuk a Parseval-féle összefüggést: v v = v ˆP v = n,i v a ni a ni v = n,i v a ni 2. 1.4.1 Az  megfigyelhető operátor spektrális reprezentációja Értelmezhetjük egy tetszőleges  megfigyelhető operátor spektrális reprezentációját. Ha  megfigyelhető operátor akkor felírhatjuk, hogy: ˆP = n,i  a ni = a n a ni (74) a ni a ni = Î (75)  ˆP =  a ni a ni = a n a ni a ni = (76) n,i n,i = a n a ni a ni = a npn ˆ =  ˆP =  (77) n n i A fenti egyenlet alapján definiáljuk az  operátor spektrális reprezentációját, mint:  = n a n ˆ Pn (78) 10