MKROÖKONÓMA. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi ntézet és a Balassi Kiadó közrem ködésével Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június 1
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék MKROÖKONÓMA. 9. hét A keresletelmélet alkalmazásai és kiterjesztései K hegyi Gergely, Horn Dániel A tananyagot készítette: K hegyi Gergely Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECONkönyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el adásvázlatok. http://econ.core.hu/ kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával. Jövedelemrugalmasság A kereslet jövedelemrugalmassága Mennyire érzékenyen reagál a termékb l keresett mennyiség a jövedelem változására? Bármely X jószág fogyasztásának a jövedelem változása miatt bekövetkez x változását mérhetjük arányszámmal (Engel görbe meredeksége egy adott tartományban). a x Probléma: A x arányszám dimenziófügg, azaz érzékeny a termék mértékegységének változtatására. Pl.: A jövedelem 100 Ft-tal lenne több és ennek következtében 5 dkg=0,05 kg-mal több vajat fogyasztunk [ ] Akkor x = 0, 05, ha dkg F t -tal számolunk És x = 0, 0005, ha [ kg F t ] -tal számolunk Ez zavart okozhat, különösen akkor, ha különböz termékek (pl. db dinnye és db alma, vagy dkg kávé és lter tea) keresletének jövedelemre való érzékenységét szeretnénk összehasonlítani. 1. Deníció A kereslet jövedelemrugalmassága ε x a vásárolt mennyiség változási arányának és a jövedelem változási arányának a hányadosa. Azaz megmutatja, hogy ha 1%-kal változik a jövedelem, akkor hány százalékkal változik a keresett mennyiség. Diszkrét mennyiségek esetén (ívrugalmasság) Folytonos függvények esetén (pontrugalmasság) ε x = x/x / x x ε x = x x 1. Megjegyzés Az Engel-görbe egységnyi meredeksége NEM azonos az egységnyi jövedelemrugalmassággal. 2
1. Állítás Egy pozitív meredekség Engel-görbe jövedelemrugalmassága attól függ en nagyobb 1-nél, egyenl 1-gyel vagy kisebb 1-nél, hogy a görbe meredeksége nagyobb, egyenl vagy kisebb a görbéhez húzható, origóból kiinduló egyenes meredekségénél. 2. Állítás Ha egy jószág jövedelemrugalmassága pozitív, akkor a jószág normál jószág; ha negatív, akkor inferor jószág: Normál jószág: ε > 0 nferior (alacsonyabbrend ) jószág: ε < 0 2. Deníció Közszükségleti jószág: 1 > ε > 0 Luxus jószág: ε > 1 3. Állítás Ha a súlyok a fogyasztónak az egyes jószágokra költött jövedelemhányadai, akkor a fogyasztó jövedelemrugalmasságainak súlyozott átlaga 1-gyel egyenl. Azaz, ha k 1 p1x1,..., k i pixi,..., k n pnxn, akkor k 1 ε 1 +... + k i ε i +... + k n ε n = k i ε i = 1 Bizonyítás Helyettesítsük a Marshall-féle keresleti függvényeket a költségvetési korlátba i=1 p 1 x 1 (p 1, p 2,..., p n ; ) + p 2 x 2 (p 1, p 2,..., p n ; ) +... + Dierenciáljuk mindkét oldalt a jövedelem szerint: A kereslet jövedelemrugalmassága Bizonyítás B vítsünk minden tagot p 1 x 1 +... + p n x n (p 1, p 2,..., p n ; ) = x 1 p 1 + p x 2 2 +... + p x n n = 1 x 1 x 1 + p 2x 2 x 2 x 2 +... + p nx n k 1 ε 1 +... + k i ε i +... + k n ε n = 1 k i ε i = 1 i=1 x n x n = 1 3
Jövedelemrugalmasság Egységnyi jövedelemrugalamasság Az ADB szakasszal jellemzett Engel-görbe jövedelemrugalmassága 1, mivel meredeksége azonos az origóból akármelyik pontjához húzott egyenes meredekségével. A jövedelem hatása a kiadásokra (jövedelemrugalmasságok) A legalacsonyabb A legmagasabb Kiadási jövedelm jövedelm kategória csoport csoport Élelmiszer 0,63 0,84 Lakás 1,22 1,80 Háztartás-fenntartási kiadások 0,66 0,85 Ruházkodás 1,29 0,98 Közlekedés 1,50 0,90 Dohány és alkohol 2,00 0,85 Árrugalmasság A kereslet árrugalmassága Mennyire érzékenyen reagál a termékb l keresett mennyiség a termék árának változására? Analóg módon deniálhatjuk az árrugalmasság fogalmát. 3. Deníció A kereslet árrugalmassága a vásárolt mennyiség változási arányának és a termék saját árváltozási arányának a hányadosa. Azaz megmutatja, hogy ha 1%-kal változik a termék ára, akkor hány százalékkal változik a keresett mennyiség. Diszkrét mennyiségek esetén Folytonos függvények esetén η x = x/x x P x P x /P x P x x η x = x P x P x x 4. Állítás Gien jószág esetén a kereslet árrugalmassága pozitív, közönséges jószág esetén negatív: Közönséges jószág: η x < 0 Gien jószág: η x > 0 4
Piaci keresletrugalmasság A négy keresleti görbe a vásárolt mennyiségek különböz változtatását tükrözi az árváltozások függvényében. Mivel a keresleti görbéket a szokásnak megfelel en függ leges ártengellyel rajzoltuk fel, a vásárolt mennyiség árváltozásra adott nagyobb reakcióját a laposabb keresleti görbék tükrözik. 5. Állítás Ha a fogyasztó X jószág iránti kereslete rugalmas, akkor a P x ár csökkenése az X-re költött E P x x kiadás növekedéséhez vezet. Ha a kereslet rugalmatlan, akkor az árcsökkenés csökkenti az E x nagyságát. Ha a kereslet egységnyi rugalmasságú, akkor E x nagysága változatlan marad. Bizonyítás Határkiadás (ME x ) Keresztárrugalmasság A kereslet keresztárrugalmassága ME x E x = P x + x P x x = P x ( 1 + x ) ( P x = P x 1 + 1 ) P x x η x A fogyasztók vaj iránti kereslete nemcsak a vaj árától, hanem az olyan kapcsolódó termékek árától is függ, mint a kenyér és a sajt. Most is jól fog jönni, hogy a kereslet érzékenységét egy, a mértékegységekt l független mutatószámmal jellemezzük. 4. Deníció A kereslet keresztárrugalmassága a vásárolt mennyiség változási arányának és egy konkrét másik termék árváltozási arányának a hányadosa. Azaz megmutatja, hogy ha 1%-kal változik a másik termék ára, akkor hány százalékkal változik a keresett mennyiség. Diszkrét mennyiségek esetén Folytonos függvények esetén η xy = x/x x P y P y /P y P y x x P y η xy= P y x 5
A kereslet keresztárrugalmassága A keresztárrugalmasság segítségével megállapítható a vizsgált két termék viszonya, azaz, hogy egymást helyettesít (vaj-margarin), vagy egymást kiegészít (vaj-kenyér) termékekr l van szó. 5. Deníció Az X és Y termékek helyettesít termékek, ha η xy > 0 kiegészít (komplementer) termékek, ha η xy < 0 2. Megjegyzés A keresztárrugalmasság segíthet a releváns piac körülhatárolásában. Két gyógyszer keresletrugalmasságai 1. márka 1. generikus 3. márka 3. generikus 1. márka 0,38 1,01 0,20 0,21 1. generikus 0.79 1,04 0,09 0,10 3. márka 0,52 0,53 1,93 1,12 3. generikus 0,21 0,23 2,00 2,87 Keresleti rugalmasságok összefüggései Matematikai ismétlés 6. Deníció Az f(x) = f(x 1, x 2,..., x n ), f : R n R függvény k-adfokú pozitív homogén függvény, ha f(tx) = f(tx 1, tx 2,..., tx n ) = t k f(x 1, x 2,..., x n ) = t k f(x). 6. Állítás Euler-tétel (k-adfokú pozitív homogén függvényekre) Legyen f(x) R n R deriválható függvény. Legyen S nyílt halmaz olyan, hogy S D f, x S tx S, t R + esetén. Az f(x) függvény pontosan akkor k-ad fokon homogén az S halmazon, ha x S esetén ahol x i az x vektor i-edik koordinátája. i=1 x i f(x) x i = kf(x), Keresleti rugalmasságok (elaszticitások) összefüggései 7. Állítás A keresleti függvények nulladfokú pozitív homogén függvények. Bizonyítás (Kétváltozós eset) célfüggvény: U(x, y) max x,y Korl. felt: x + p y y = célfüggvény: U(x, y) max x,y Korl. felt: t x + tp y y = t Az x(p x, P y, ) és y(p x, P y, ) keresleti függvények mindkét feladatnak megoldásai, mivel nincsen pénzillúzió. 6
Árrugalmassági mátrix és jövedelemrugalmassági vektor η 11 η 1n ε 1.......... η... ij, ε i......... η n1 η nn ε n A kereslet jövedelemrugalmassága 8. Állítás η ij + ε i = 0; i = 1,..., n j=1 Bizonyítás (Kétváltozós eset) Alkalmazzuk az Euler-tételt a nulladfokú pozitív homogén keresleti függvényekre x + p y x + x = 0 y + p y y + y = 0 Bizonyítás Osszuk végig az egyyenleteket az x, illetve y változókkal: x y Felhasználva a rugalmasságok denícióját: x + p y x + x x x = 0 y + p y y y + y y = 0 η x x + η x y + ε x = 0 η y x + η y y + ε y = 0 3. Megjegyzés Egy (normál) jószág kereslete annál árrugalmasabb, minél több közeli helyettesít je van, illetve minél nagyobb a jövedelemrugalmassága. 7. Deníció Hicks-féle kompenzált árrugalmasság Hicks-féle kompenzált rugalmassági mátrix: η ij xh i p j p j x H i η11 η1n........ η ij........ ηn1 ηnn 7
9. Állítás η ij = η ij k j ε i, (i, j = 1,..., n) Bizonyítás (Kétváltozós eset) Alkalmazzuk a Szluckij-tételt: x M x M y M y M = xh = xh = yh = yh xm e xh xm e yh ym e xh ym e yh Bizonyítás (Kétváltozós eset) Szorozzuk meg az egyenleteket a /x, p y /x, /y és p y /y törtekkel és használjuk fel a dualitási összefüggéseket x M x M y M x M = xh p y x M = xh y M = yh x H xm p xm x x M p y x H xm p ym y x M y M ym xm y M 8. Deníció Nettó helyettesít k: η ij > 0 y M p y y M = yh p y y M ym p e ym y y M Nettó kiegészít k (komplementerek): η ij < 0 10. Állítás Minden esetben ηii 0, (i = 1,..., n) Normál jószág esetén η ii 0, (i = 1,..., n) 11. Állítás ηij = 0 Bizonyítás Összegezzük j szerint a Szluckij-tételb l származó η ij = η ij k jε i egyenleteket η ij = j=1 j=1 ηij j=1 k j ε i. j=1 8
Mivel n j=1 k j = 1, ezért η ij = j=1 ηij ε i. j=1 Az egyenlet jobb oldaláról már beláttuk, hogy nulla. 1. Következmény Minden terméknek kell, hogy legyen legalább egy nettó helyettesít je. 12. Állítás A Hicks-féle kompenzált árrugalmasságok NEM szimmetrikusak 9. Deníció Hicks-Allen féle helyettesítési rugalmasság η ij η ji σ ij η ij, k j = p jx j k j 13. Állítás A Hicks-Allen féle helyettesítési rugalmasságok szimmetrikusak Bizonyítás σ ij = σ ji σ ij η ij k j σ ji η ji k i xh i p j xh j p i p j x H i p i x H j p j x j xh i p j p i x i xh j p i x H i x j x H j x i Rugalmassági összefüggések k 1 ε 1 +... + k i ε i +... + k n ε n = 1 n j=1 η ij + ε i = 0; i = 1,..., n η ij = η ij k jε i, i, j = 1,..., n n j=1 η ij = 0 σ ij = σ ji, i, j = 1,..., n Keresleti görbék illesztése A piaci kereslet rugalmasságai: ε X = X M M X, illetve ε X = X M M X, ahol M a vizsgált társadalmi csoport összjövedelme M = n i=1 i, vagy súlyozott átlagjövedelme. η X = X P x P x X, illetve η X = X P x P x X η XY = X P YX X P P Y, illetve η YX XY = P Y 9
A rugalmasság grakus értelmezése A rugalmasság geometriája A lineáris DD keresleti görbe rugalmassága a T pontban az origóból húzott OT sugár meredekségének és a keresleti görbe meredekségének a hányadosa. Egy olyan keresleti görbe esetében, mint F F a T pontban vett rugalmasság azonos a T-beli érint nek megfelel DD lineáris keresleti görbe rugalmasságával. A rugalmasságot meghatározó tényez k alkalmazások Általános keresleti függvények X = A + BP X, ahol A és B konstans paraméterek (állandó meredekség ). 1. Példa X = A + BP X + C + DP Y + EP Z +... X = apx b, vagy log X = log a + b log P X (álandó rugalmasságú). 2. Példa X = apx b c PY d PZ e... log X = log a + b log P X + c log + d log P Y + e log P Z +... η X = b; ε X = c; η XY = d; η XZ = e;... Pl.: Kávékereslet log C = 0, 16 log P C + 0, 51 log b + 0, 15 log P t 0, 009 log T + konstans 10
11
A kereslet érzékenységét meghatározó tényez k Helyettesít k elérhet sége. Egy áru kereslete annál rugalmasabb, minél több és minél közelibb helyettesít áll rendelkezésre. Luxus- versus létszükségleti javak: A luxusjavak kereslete általában rugalmasabb, mint a létszükségleti javaké. Magasan versus alacsonyan árazott javak. Adagolás jegyrendszerrel P x x + P y jövedelemkorlát x + p y y N pontkorlát Kényszerít erej korlátok A pontkorlát a GM szakaszon fogyasztást korlátozó (ez a GH szakasz folytonos vonallal rajzolt része), a jövedelemkorlát pedig az M L szakaszon (a KL szakasz folytonos vonallal rajzolt része). 12
13
14
Heti átlagos vásárlás a városi háztartás-fenntartó családonként (font) Jövedelem 1000 dollár 10002000 20003000 30004000 4000 dollár vagy kevesebb dollár dollár dollár feletti 1942 Sajt 0,26 0,57 0,64 0,81 1,03 Halkonzerv 0.21 0,36 0,56 0,44 0,37 1944 0,24 0,33 0,44 0,49 0,52 Sajt Halkonzerv 0,06 0,12 0,17 0,22 0,28 1 font 1 gramm Jövedelmi korlát szerepében az id Egyes változók átlagos értékei Chevron Mobil vagy Union Vásárolt gallonmennyiség 11,6 8,8 Hétvégi vásárlók százalékos aránya 31,2 26,2 Utasokkal tankolók százalékos aránya 7,3 18,0 Teljes állásban dolgozók százalékos aránya 67,9 83,6 Háziasszonyok százalékos aránya 5,5 3,3 15