MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 007. május 8. EMELT SZINT 1) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! x x 4 log 9 10 sin x x 6 I. (11 pont) sin 1 lg1 0 log 9 9 x x 4 Így az 10 10 egyenletet kell megoldani, ebből x 4 x x 6 x 1 x Ellenőrzés: x jó megoldás 1 x nem jó megoldás Összesen: 11 pont ) Az ABC derékszögű háromszög BC befogójának hossza 18 cm, a CA befogójának hossza 6 cm. a) Mekkorák a háromszög hegyesszögei? ( pont) A BC befogó egy P belső pontját összekötjük az A csúccsal. Tudjuk még, hogy PB PA. b) Milyen hosszú a PB szakasz? (6 pont) Állítsunk merőleges egyenest az ABC háromszög síkjára C pontban! A merőeleges egyenes D pontjára teljesül, hogy CD 15 cm. c) Mekkora az ABCD tetraéder térfogata? a) A 6 C 18 B 6 1 A szokásos jelölésekkel: tg 18 18,4 Ekkor 90 71,57
b) Jelöljük a derékszögű háromszögben a PB szakasz hosszát x-szel! ( pont) A 6 C 18 x x P x B A PCA háromszögben 6 18 x x ( pont) 6 4 6x x x x 10 Tehát PB =10 ( pont) c) Tekintsük a tetraéder alapjának az ABC háromszöget, ekkor a testmagasság CD lesz. m 15 cm ( pont) Az ABC háromszög területe 54 cm T m V 54 15 V Így a keresett térfogat: 70 cm ( pont) Összesen: 1 pont ) Egy pozitív tagokból álló mértani sorozat első három tagjának összege 6. Ha az első taghoz egyet, a másodikhoz hatot, a harmadikhoz hármat adunk, akkor ebben a sorrendben egy számtani sorozat első három tagját kapjuk. Adja meg ennek a számtani sorozatnak az első három tagját! (14 pont) A számtani sorozat első három tagjának összege: 6 1 6 6 Számtani közép miatt a második tagja 1. ( pont) jelöljük a számtani sorozat különbségét d-vel, ekkor a sorozat első három tagja 1 d; 1; 1 d A mértani sorozat tagjai: 11 d; 6; 1 d ( pont) Mértani közép miatt 6 11 d 9 d ( pont) ahonnan d d 6 0 d 9 vagy d 7
4) Tehát a keresett számtani sorozat első három tagja ;1;1 illetve 19;1;5 Ezek megfelelnek a feladat feltételeinek, a mértani sorozat megfelelő tagjai: ;6;18 illetve 18;6; ( pont) Összesen: 14 pont a) Ábrázolja a 0;6 intervallumon értelmezett hozzárendeléssel megadott függvényt b) Adja meg a y x 8x 11 pontjában húzott érintőjének egyenletét. x x x 8 11 ( pont) P 5; 4 egyenlettel megadott alakzat (11 pont) a) A helyes parabola ábrázolása az adott intervallumon ( pont) b) A parabola egy adott pontjába húzott érintő meredekségét itt az első derivált segítségével kaphatjuk meg. y x 8 Az érintési pont első koordinátájának behelyettesítésével: y mx b P 5; 4 4 10 b y 5 m ( pont) ( pont) b 14 Az érintő egyenlete: y x -14 ( pont) Összesen: 1 pont
5) II. a) Határozza meg a valós számoknak azt a legbővebb részhalmazát, amelyen a x 6x 9 kifejezés értelmezhető! ( pont) b) Ábrázolja a 5;8 intervallumon értelmezett f : x x 6x 9 függvény! (5 pont) c) Melyik állítás igaz és melyik hamis a fenti függvényre vonatkozóan? Válaszát írja a sor végén lévő téglalapba! (Az indoklást nem kell leírnia.) A: Az f értékkészlete: 0;5. B: Az f függvény minimumát az x helyen veszi fel. 4;8 intervallumon. C: Az f függvény szigorúan monoton nő a A B C d) Határozza meg az 6 9 a) x 6x 9 x ( pont) x x dx értékét! (6 pont) Mivel ez minden valós x értékre nem negatív, ezért a legbővebb részhalmaz az. x x ( pont) b) ( pont) c) A: Hamis B: Hamis C: Igaz d) x x 6x 9 dx x 9x ( pont) 9 7 7 9 7 7 ( pont) 7
6) Az érett szilva tömegének kb. 5%-a mag közepe. A kimagozott szilva átlagosan 90% vizet és ún. szárazanyagot tartalmaz. A szilva aszalásakor a szárítási technológia során addig vonunk el vizet a kimagozott szilvából, amíg a megmaradt tömegének csak az 5%-a lesz víz, a többi a változatlan szárazanyag-tartalom. Az így kapott terméket nevezzük aszalt szilvának. a) A fentiek figyelembevételével mutassa meg, hogy 10 kg leszedett szilvából 1 kg aszalt szilva állítható elő! (6 pont) Az asztalt szilva kilóját 1400 Ft-ért, a nyers szilvát pedig 10 Ft-ért lehet értékesíteni. b) Kovács úr szilvatermésének felét nyersen, másik felét pedig aszalt szilvaként adta el. Hány kg volt Kovács úr szilvatermése, ha a nyers és az aszalt szilvából összesen 86000 Ft bevételhez jutott? ( pont) A piacon egy pénteki napon összesen 70 kg szilvát adtak el. Ez a mennyiség az alábbi kördiagram szerint oszlik meg az A, B, C és D fajták között. c) Átlagosan mennyit fizettek a vevők egy kilogrammért az adott napon, ha az egyes fajták ára: A- 10 Ft/kg B- 00 Ft/kg C- 0 Ft/kg D- 60 Ft/kg (7 pont) a) 10 kg leszedett szilvából kimagozás után 9,5 kg szilva lesz A 9,5 kg kimagozott szilvából 90% víz, míg 10%, azaz 0,95 kg a szárazanyagtartalom A 10 kg nyers szilvából készült aszalt szilvában ez a 0,95 kg a feltétel szerint a tömeg 95%-a, hiszen csak 5%-a víz. ( pont) Tehát keressük, hogy hány kg-nak a 95%-a lesz 0,95 kg. Így adódik a 100%- ra 1 kg. Azaz 10 kg szilvából valóban mindössze 1 kg aszalt szilva lesz. x x b) Ha x kg volt a termése, akkor a feltétel szerint: 10 0,1 1400 86000 ( pont) x 00 kg
c) A: 150 150 5 rész (00 kg) 60 1 B: 90 90 1 rész (180 kg) 60 4 C: 18 18 1 60 0 rész (6 kg) D: 10 10 17 60 60 rész (04 kg) Az átlagár súlyozott közép: 5 70 70 70 17 70 10 00 0 60 1 4 0 60 70 ( pont) 1111 185,17 6 Tehát az átlagár kb. 185 Ft. 7) Adott az A 0;1;;; 4;5 halmaz. a) Adja meg az A halmaz háromelemű részhalmazainak száma! ( pont) b) Az A halmaz elemeiből hány olyan öttel osztható hatjegyű szám írható fel, amelyben a számjegyek nem ismétlődnek? (6 pont) c) Az A halmaz elemeiből hány olyan hatjegyű szám írható fel, amely legalább egy egyest tartalmaz? (7 pont) a) A 6-elemű halmaz -elemű részhalmazainak száma 6 ( pont) azaz 0 ilyen szám van b) Egy szám 5-tel osztható,ha nullára vagy ötre végződik Nullára végződő hatjegyű számból 5! van Ötre végződő hatjegyű számból 4 4! van ( pont) Összesen 5! 4 4! 16 ilyen szám van c) Komplementer halmaz segítségével számolható ki. 5 Az összes hatjegyű szám 5 6 ( pont) 5 Azok a hatjegyű számok, amelyekben nincs egyes: 4 5 ( pont) 5 5 Tehát 5 6 45 =680 ilyen hatjegyű szám van
8) Két közvélemény-kutató cég mérte fel a felnőttek dohányzási szokásait. Az egyik cég véletlenszerűen választott 800 fős mintában 55 rendszeres dohányost talált, a másik egy hasonlóan véletlenszerűen választott 000 fős mintában 680-at. a) Adja meg mindkét mintában a dohányosok relatív gyakoriságát! b) Számítsa ki annak a valószínűségét, hogy ha a fenti 000 fős mintából véletlenszerűen kiválasztunk főt, akkor éppen 1 dohányos van közöttük? (7 pont) c) Tegyük fel, hogy a lakosság 4%-a dohányos. Számolja ki annak a valószínűségét, hogy az országban 10 találomra kiválasztott felnőtt közül egy sem dohányos! (5 pont) a) A dohányosok relatív gyakorisága az első cégnél 5 0, 800 ( pont) A második cégnél 680 0,4 000 ( pont) b) Bármelyik személy kiválasztása a 000-es mintából egyformán lehetséges, ezért az összes esetek száma: 000 114000 680 dohányosból kell kiválasztani egy személyt, ami 680-féleképpen tehető meg 10 nem dohányzóból kell kettőt kiválasztani, ez összesen 10 870540 - féleképpen tehető meg 10 A kedvező esetek száma 680 10 680 A keresett valószínűség P 000 ( pont) Ennek közelítő értéke 0,44 c) 1 nem dohányos kiválasztásának valószínűsége 10,4 0,66 ( pont) 10 nem dohányos kiválasztásának valószínűsége ami megközelítőleg 0,016 vagy 16% 10 0,66 ( pont)
9) Az 1. ábra szerinti padlástér egy 6x6 méteres négyzetes alapú gúla, ahol a tető csúcsa a négyzet középpontja felett 5 méter magasan van a) Milyen szöget zárnak be a tetősíkok a vízszintessel (padlássíkkal)? Hasznos alapterületnek számít a tetőtérben a terület, amely fölött a (bel)magasság legalább 1,9 liter. b) Mennyi lenne a tetőtér beépítésekor a hasznos terület? (6 pont) A tető cseréjekor a hasznos alapterület növelésének érdekében a ház oldalfalait egy ún. koszorúval kívánják magasítani. A ház teljes magassága- építészeti előírások miatt- nem növelhető, ezért a falak magasítása csak úgy lehetséges, ha a tető síkjának meredekségét csökkentik (. ábra). Jelölje x a koszorú magasságát és T a hasznos alapterületet. c) Írja fel a T(x) függvény hozzárendelési szabályát! (6 pont) a) A padlássíkra és a tetősíkra egyaránt merőleges síkmetszetből lehet a keresett szöget meghatározni. ( pont) A keresztmetszeti ábrán a keresett szöget -val 5 jelölve, felírható, hogy tg ahonnan 59 b) Keressük az ábrán s-sel jelölt szakasz hosszát. ( pont) Hasonlóság alapján: 1,9 5 s ( pont) Ebből s 1,86 A hasznos alapterület 4s 1,84 m
c) Az ábra jelöléseit használva használjuk, ahol 0 x 1,9. Az ábra alapján T 4y -et (ami a hasznos alapterület) kell kifejeznünk x segítségével. A két kisebb háromszög megfelelő szögei egyenlők, tehát hasonlóak.,1 1,9 x Így y y 9, Innen y 5 x 18,6 Tehát a keresett összefüggés: 4y 5 x Ha x 1,9, akkor 6 m a hasznos alapterület. Összefoglalva: T x 18,6, ha 0 x 1,9 5 - x, ha 6 1, 9 x 5