MIKROÖKONÓMIA I. Készült a TÁMOP-4.1.2-08/2/a/KMR-2009-0041 pályázati projekt keretében Tartalomfejlesztés az ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszékén az ELTE Közgazdaságtudományi Tanszék az MTA Közgazdaságtudományi Intézet és a Balassi Kiadó közrem ködésével Készítette: K hegyi Gergely és Horn Dániel Szakmai felel s: K hegyi Gergely 2010. június 1
ELTE TáTK Közgazdaságtudományi Tanszék MIKROÖKONÓMIA I. 6. hét Preferenciák, hasznosság 2. rész K hegyi Gergely, Horn Dániel A tananyagot készítette: K hegyi Gergely Jack Hirshleifer, Amihai Glazer és David Hirshleifer (2009) Mikroökonómia. Budapest, Osiris Kiadó, ELTECONkönyvek (a továbbiakban: HGH), illetve Kertesi Gábor (szerk.) (2004) Mikroökonómia el adásvázlatok. http://econ.core.hu/ kertesi/kertesimikro/ (a továbbiakban: KG) felhasználásával. Speciális esetek Speciális preferenciák A vagyontárgyak átlagos r hozama hasznos, de a hozam s kockázata káros. A preferenciairányok ezért észak és nyugat (felfelé és balra) mutatnak, ennek következtében a közömbösségi görbék növekv k (pozitív a meredekségük). Az 1. zónában az X jószág is, és az Y jószág is hasznos, és a közömbösségi görbék negatív meredekség ek. A 2. zónában az Y már telített, ezen a területen a preferenciairányok észak és nyugat (felfelé és balra), és a közömbösségi görbék pozitív meredekség ek. Itt már a fogyasztónak kellene zetni azért, hogy még egy szelet tortát megegyen. 2
Y hasznos, de X semleges jószág. A fogyasztónak mindegy, hogy több vagy kevesebb jut neki X jószágból. Az egyetlen preferenciairány a felfelé, és így a közömbösségi görbék vízszintesek. Pl.: Arisztid izzókat szeretne venni. Úgy tudja, hogy a hagyományos izzó és az energiatakarékos izzó fényereje ugyanolyan, mindössze az élettartamukban különböznek. Az energiatakarékos izzó háromszor annyi ideig világít, mint a hagyományos. Arisztid a palotáját korlátlan számú izzóval világítaná ki a lehet legtovább. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit? Pl.: Arisztid sonkásszendvicse mindig egy zsemléb l és egy szelet sokából áll. Az üres zsemlét és a sonkát magában nem eszi meg. Viszont minél több sonkát fogyaszt annál jobban érzi magát. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit? Hogyan változna meg a függvény, ha ezentúl mindig két sonkával enné a szendvicset? Pl.: Tasziló salátalevet készít. Víz, cukor stb. korlátlan mennyiségben állnak rendelkezésre, az egyetlen sz kös jószág az ecet. Egy deciliter salátaléhez vagy két kanál 10%-os (x), vagy 1 kanál 20%-os (y) ecetet használna fel. Minél több salátalevet tud készíteni, annál jobban érzi magát. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit? Pl.: Tasziló kerti ünnepséget rendez, amihez bevásárol m anyag kerti bútorokat. Megállapítja, hogy egy 3
asztalnál (x) 6 széken (y) tudnak vendégek helyet foglalni. Minél több vendéget tud fogadni Tasziló, akik (ill en) asztalnál foglalhatnak majd helyet, annál jobban érzi magát. Kellemetlen viszont számára, ha valaki nem tud az asztalhoz ülni. Annál több vendéget semmiképpen sem hív, mint amennyi szék rendelkezésre áll. Milyen függvény reprezentálja a preferenciáit az asztalok és székek vonatkozásában? Nevezetes hasznossági függvények CobbDouglas hasznossági függvény Tökéletes helyettesítés U(x, y) = x a y b U(x, y) = ax + by Tökéletes kiegészítés U(x, y) = min{ax; by} 1. Deníció Az U és U hasznossági függvény által leírt skála ordinálisan ekvivalens, ha U az U pozitív monoton transzformáltja, azaz köztük a következ összefüggés áll fenn: U = F (U), ahol F : R R és df du > 0 1. Állítás Ha U és U hasznossági függvény által leírt skála ordinálisan ekvivalens, akkor MRS = MRS. 1 Bizonyítás Ha U = F (U), akkor és. Emiatt. MU x = df U du x = df du MU x MU y = df U du y = df du MU y MRS = MU x MU y = MU x MU y = MRS Pl.: Legyen U(x, y) = x 3 y 5 egy hasznossági függvény. Melyik esetekben beszélhetünk pozitív monoton transzformációról? F (U) = 10U, F (U(x, y)) = 10x 3 y 5 F (U) = 3U, F (U(x, y)) = 3x 3 y 5 F (U) = U 2, F (U(x, y)) = x 6 y 10 F (U) = 1/U, F (U(x, y)) = 1 x 3 y 5 F (U) = ln U, F (U(x, y)) = 3 ln x + 5 ln y F (U) = 2/U, F (U(x, y)) = 2 x 3 y 5 4
A jótékonyság modellezése Jótékony célú adakozás 1994-ben, néhány kiemelt jövedelemsáv esetében Családi Adakozók Átlagos Átlagos adakozás jövedelem részaránya adakozás a család (dollár) (százalék) (dollár) jövedelmének arányában (százalék) 10 00019 000 64 209 1,36 30 00039 999 80 474 1,37 50 00059 999 84 779 1,44 100 000124 999 92 1846 1,71 150 000199 999 96 3546 2,09 500 000999 999 97 27 491 4,15 1 000 000-nál több 100 244 586 4,88 Átlagosan 75 960 2,14 5
A preferenciarendezés matematikai alapjai Matematikai ismétlés 2. Deníció Egy A alaphalmaz esetén A A tetsz leges részhalmazát bináris (kétváltozós, vagy kéttagú) relációnak nevezzük: (a, b) R A A arb. Pl.: 1. H: a Föld lakosai, R :... magasabb, mint... 2. H: R (valós számok), R : 3. H: R (valós számok), R := 4. H: R (valós számok), R :> 5. H: sík egyenesei, R : párhuzamos 6. H: sík egyenesei, R : mer leges 7. H: R n (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R := 8. H: R n (n-dimenziós (euklideszi) tér vektorai, R : (pl.: def: x y, ha x i y i, i = 1,..., n) 9. H: magyarországi n k, R :... testvére... -nak 10. H: a Föld lakosai, R :... (vér)rokona...-nak 11. H: magyarországi n k, R :... anyja... -nak 12. H: ez a csoport, R :... barátja... -nak 1. Megjegyzés A reláció fogalma több változóra könnyen általánosítható: R A A... A 3. Deníció (Relációk tulajdonságai) Legyen A alaphalmaz és rajta R egy reláció. 1. Teljesség: x, y A esetén xry vagy yrx vagy mindkett. 2. Reexivitás: x A-ra xrx. 3. Tranzitivitás: x, y, z A esetén, ha xry és yrz xrz. 4. Szimmetria: x, y A esetén, ha xry yrx. 4. Deníció Rendezési relációnak nevezünk egy relációt, ha teljes, reexív és tranzitív. 5. Deníció Ekvivalencia relációnak nevezünk egy relációt, ha reexív, tranzitív és szimmetrikus. Pl.: A példaként megadott halmazok és reláció esetében döntsük el, hogy mely tulajdonságok teljesülnek. 6
reláció+halmaz teljes reexív tranzitív szimmetrikus 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Matematikailag kicsit precízebben 6. Deníció A H fogyasztási halmaz felett értelmezett H H bináris relációt preferenciarendezésnek nevezzük, ha teljes, reexív, tranzitív. 1. Feltevés RACIONALITÁSI POSZTULÁTUM: Feltesszük, hogy a fogyasztók ízlése (preferenciái) reprezentálható minden fogyasztó esetében egy preferenciarendezéssel. Ha x, y H a fogyasztási halmaz jószágkosarai, akkor az x y jelölése jelentése: A fogyasztó legalább annyira kedveli az y kosarat, mint az x kosarat. 7. Deníció A H H relációt szigorú preferenciarelációnak nevezzük, ha a következ teljesül x y x y, y x 8. Deníció A H H relációt közömbösségi preferenciarelációnak nevezzük, ha a következ teljesül: x y x y, y x 2. Állítás A preferenciareláció rendezési reláció, a közömbösségi preferenciareláció pedig ekvivalenciareláció. 9. Deníció Az x 0 -hoz képest gyengén preferált halmaz: P (x 0 ) {x x 0 x} Az x 0 -hoz képest közömbös halmaz: K(x 0 ) {x x 0 x} A gyengén preferált halmaz határának képét a jószágtérben közömbösségi görbének nevezzük. Az x 0 -hoz képest gyengén diszpreferált halmaz: 10. Deníció Preferenciák tulajdonságai D(x 0 ) {x x 0 x} 7
Monotonitás: Ha x i y i, i-re de valamely j-re x j < y j, akkor x y Konvexitás: Ha x y esetén x tx + (1 t)y, t [0, 1] Szigorú konvexitás: Ha x y esetén x x + (1 t)y, t [0, 1] (ínyenceknek) Folytonosság: Ha minden x 0 H esetén D(x 0 ) és P (x 0 ) zárt összefügg halmazok. 11. Deníció Az U : H R hasznossági függvény reprezentálja a H H preferenciarendezést akkor, ha U(x) < U(y) x y U(x) = U(y) x y 3. Állítás REPREZENTÁCIÓS TÉTEL (G. Debreu) Ha a H H preferenciarendezés folytonos és monoton, akkor létezik olyan U : H R hasznossági függvény, amely reprezentálja. 4. Állítás Legyen V (z), V : R R egy tetsz leges szigorúan monoton növekv valós függvény és tegyük fel, hogy az U : H R hasznossági függvény reprezentálja a H H preferenciarendezést. Ekkor a V [U(x)] összetett függvény is reprezentálja a H H preferenciarendezést. 5. Állítás Tegyük fel, hogy az U : H R hasznossági függvény reprezentálja a H H preferenciarendezést. Ekkor U(x) szigorúan monoton növekv, ha monoton. Preferenciák eredete evolúciós megközelítésben Pl.: Mostohák Otthoni élelmiszer-fogyasztás, 19721985 és családszerkezet (átlag = 4305 dollár) Változó Az átlagtól való eltérés (dollár) Örökbefogadó anya gyermeke 204 Mostohaanya gyermeke 274 Nevel anya és nevel apa gyermeke 365 Pl.: Örökség Fér N végrendelkez végrendelkez Házastárs javára 69,8 42,4 Gyermekek javára 21,7 47,6 Összesen 91,5 90,0 Preferenciák empirikus meghatározása Statisztikai-ökonometriai módszerekkel, pl.: Lineáris regresszióval Ha a hasznossági függvény pl. CobbDouglas típusú, akkor ordinális hasznosságot feltételezve logaritmikus transzformációval linearizálható: Pl. (Varian): Ingázás hasznossága U(x 1, x 2,..., x n ) = β 1 x 1 + β 2 x 2 +... + β n x n TW: teljes gyaloglási id a buszhoz, vagy az autóhoz 8
TT: teljes utazási id percben C: utazás teljes költsége dollárban A/W: autók/dolgozók aránya a háztartásban R: háztartás fajtája (0, ha fekete, 1, ha fehér) Z: 1, ha fehérgalléros, 0, ha kékgalléros munkás U = 0, 147T W 0, 0411T T 2, 24C + 3, 78(A/W ) 2, 91R 2, 36Z 9