MATEMATIKA ÉRETTSÉGI 015.október 1. EMELT SZINT 1) Egy olajkút meghibásodása miatt a tenger felületén összefüggő olajfolt keletkezett. A szakemberek műholdak segítségével 15 percenként megmérték a folyamatosan növekvő olajfolt területét, és úgy tapasztalták, hogy az minden alkalommal %-kal nagyobb, mint az előző érték volt. I. a) Ha az első megfigyeléskor 400 m volt az olajfolt kiterjedése, akkor mekkora lesz a területe egy nap múlva? (4 pont) A sérült olajkutat végül sikerült elzárni, így az olajfolt területének növekedése megállt. Ekkor kezdték meg az olajszennyezés eltávolítását. A környezetvédelmi hatóság a 1 400 m területű olajfolt megszüntetésére 1 napos határidőt szabott meg. Az első napon még csak 10 m -ről sikerült eltávolítani az olajfoltot (így a területe 1 70 m lett), de a teljesítményt növelni tudták: az egy nap alatt megtisztított terület mérete minden nap ugyanakkora értékkel nőtt. b) Mekkora ez a napi növekedés, ha pontosan az előírt határidőre sikerült a 1 400 m -es olajfolt teljes eltávolítása? (6 pont) a) Óránként 4, egy nap alatt tehát 4 4 96 alkalommal történik meg a %- os növekedés. Az olajfolt területe 15 perc alatt 1,0-szorosára nő, tehát egy nap múlva 400 1,0 96 677 m lett. b) A naponta eltávolított olajfoltterületek (m -ben mérve) egy olyan számtani sorozat szomszédos tagjai, amelynek első tagja 10, az első 1 tagjának összege pedig 1 400 A napi növekedés legyen d (m ). Ekkor szórása 60 0 d 1 1400. Ebből d = 18 (m ). A napi növekedés tehát 18 m volt. Ellenőrzés Összesen: 10 pont
) A fénymásoló gépekhez is használt téglalap alakú papírlapok mindegyikének olyan a méretezése, hogy a hosszabb és a rövidebb oldal aránya (megközelítőleg). Ezt a számot röviden a téglalap alakú papírlap méretarányának is nevezik. a) Mutassa meg, hogy ha egy méretarányú papírlapot félbevágunk úgy, hogy a vágási él merőleges a papírlap hosszabb oldalára, akkor az így keletkező két egybevágó papírlap ugyancsak méretarányú lesz! (4 pont) A szabványos papírlapok méretét egy nagybetűvel és a betű után írt természetes számmal jelölik (például A0, A1, B5). Az A0-s papírlap méretaránya, a területe pedig éppen 1 m. b) Számítsa ki az A0-s papírlap oldalainak hosszát egész milliméterre kerekítve! (4 pont) Ha az A0-s papírlapot hosszabb élére merőlegesen félbevágjuk, akkor két A1-es papírlapot kapunk. Az eljárást tovább folytatva kapjuk az A-as, A4-es, A5-ös papírlapokat. A leggyakrabban használt irodai másolópapír A4-es méretű és 80 g-os. A 80 g-os jelzés azt jelenti, hogy 1 m területű másolópapír tömege 80 gramm. c) Egy csomagban 500 darab A4-es 80 g-os papírlap van. Hány kg egy ilyen csomag tömege, ha a csomagolóanyag tömege 0 g? (5 pont) a) Az eredeti papírlap rövidebb oldala legyen x hosszúságú, ekkor a hosszabb oldala x hosszúságú. A félbevágással kapott papírlap egyik oldalának hossza x, a másik oldalának hossza pedig (Mivel x lesz. 1, ezért) x a rövidebb oldal hosszúsága. A félbevágással kapott papír méretaránya megegyezik az eredetivel. x : x, ez valóban b) (Ha a rövidebb oldal hossza x méter, akkor) a papír területe: x x 1 (m ). A papír rövidebb oldala x 1 0,841 (cm),
azaz 841 (mm), hosszabb oldala x 1189 (mm). c) Egy A4-es lap az 1 m -es A0-s lap négyszeri félbevágásával kapható (A0 A1 A A A4), tehát 16 darab A4-es lap együttes területe 1 m. Az 500 darab A4-es lap területe összesen 1,5 m. Ezért 1 csomag tömege 1,5 80 0 50 gramm, azaz,5 kg. Összesen: 1 pont ) Oldja meg az alábbi egyenletrendszert a rendezett valós számpárok halmazán! x 1 y a) (7 pont) x y b) x y 4 1 0 x y (7 pont) a) x 0 és y 0 esetén A két egyenlet összeadásával: x x 1 x 6 x, amiből (négyzetre emelés és rendezés után) adódik. Az egyenlet gyökei: 4 és 9. x 1x 6 0 A 9 nem megoldása a x 6 x egyenletnek. Tehát x 4, és így y 4. Ellenőrzés b) Értelmezési tartomány: x és y. Az első egyenletből 4x y 19. A második egyenletből: x y 11. Behelyettesítve: y 4 11 y 19. y 7 x 10 Ellenőrzés Összesen: 14 pont
4) Két sportiskola legjobb teniszezői egyéni teniszbajnokság keretében mérték össze tudásukat. A verseny emblémáját parabolaszelet alakúra tervezték (lásd az ábrát). A koordináta-rendszerben készült tervrajzon a teniszlabda röppályáját jelképező y 4 x egyenletű parabola, valamint az x tengely határolja a parabolaszeletet. Az emblémán látható még a teniszlabdát jelképező kör is, ennek egyenlete x y,6y 0. a) Hány százaléka a kör területe a parabolaszelet területének? A választ egészre kerekítve adja meg! (8 pont) A Zöld Iskolából 8, a Piros Iskolából 10 tanuló versenyzett a bajnokságon. Mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszott, az ugyanabba az iskolába járó tanulók is játszottak egymással. A verseny végén kiderült, hogy a Piros Iskola tanulói összesen kétszer annyi mérőzést nyertek meg, mint a Zöld Iskola tanulói. (Teniszben döntetlen nincs.) b) A Zöld Iskola versenyzői összesen hány olyan mérkőzést nyertek meg, amelyet a Piros Iskola valamelyik teniszezőjével játszottak? a) Az y (7 pont) 4 x egyenletű parabola a ( ; 0), illetve a (; 0) pontban metszi az abszcisszatengelyt (és az emblémát határoló parabolaív az x tengely fölött van). A parabolaszelet területe: x 4x 4 x dx 8 8 8 8. A kör egyenletét átalakítva: x y 1, 1,, ebből a kör sugara 1,, területe pedig 1,69 5,1 A kör és a parabolaszelet területének aránya: 1,69 : 0,4977 A kör területe (a kért kerekítéssel) a parabolaszelet területének 50%-a.
b) A lejátszott mérkőzések: 18 15. A Zöld Iskola 8 tanulójának egymás közötti mérkőzései mindig a 8 tanuló valamelyikének győzelmével végződtek. ez 8 8 győzelmet jelent. Ha a Zöld Iskola tanulói x mérkőzést nyertek a Piros Iskola tanulói ellen, akkor megnyert mérkőzéseik száma összesen x + 8, a Piros Iskola tanulói által nyert mérkőzések száma pedig x A szöveg szerint 15 x x 8 15 8 15 x., amiből x A Zöld Iskola tanulói mérkőzést nyertek a Piros Iskola tanulói ellen. 5) Egy automatának 100 gramm tömegű hasábokat kell két egyenlő tömegű részre szétvágnia. A két darab közül az egy az A futószalagra kerül, a másik a B futószalagra. Az utolsó négy darabolásnál az automata hibája miatt az A futószalagra került darabok tömege 51 g, 5 g, 47 g, 46 g. II. a) Igazolja, hogy a két futószalagra került 4-4 darab tömegének átlaga különbözik, a szórása pedig megegyezik! (16 pont) Egy háromoldalú egyenes hasáb alapéleinek hossza: AB 4, AC BC 1, a hasáb magassága hosszúságú. Az AB alapél egyenesére illeszkedő S sík 0 -os szöget zár be a hasáb alaplapjával, és két részre vágja a hasábot. b) Számítsa ki a két rész térfogatának arányát! (11 pont) a) A B futószalagra került darabok tömege 49 g, 48 g, 5 g és 54 g. (Az A futószalagra került darabok tömege csökkenő sorrendben 5 g, 51 g, 47 g és 46 g, a B futószalagra került darabok tömege pedig 54 g, 5 g, 49 g, 48 g, tehát) a B futószalagra került darabok tömege rendre grammal nagyobb, mint a megfelelő, A futószalagra került darabé. Ha egy adatsokaság minden adatához c-t hozzáadunk, akkor a sokaság átlaga c-vel változik, a szórása pedig változatlan marad. Tehát a két futószalagra került darabok tömegének átlaga különböző (a különbség c gramm), szórása pedig egyenlő.
b) A 0 -os szög helyes értelmezése (például a szög A C jelölése az ábrán). Az ABC egyenlőszárú háromszög AB oldalához tartozó magassága B (Pitagorasz-tétellel): TC. H Az S sík a CC élt a H pontban metszi. A TCH derékszögű CH háromszögből: tan0, 1 TC C A 0 ahonnan 1 CH TC tan 0 T Az ABC lapot tartalmazó rész B egy tetraéder, melynek ABC lapjához tartozó magassága CH. T CH ABCH ABC T 6, ezért V,46 ABC A másik rész térfogatát megkapjuk, ha az első rész térfogatát levonjuk az eredeti hasáb térfogatából. VABCA ' B ' C ' TABC CC ' 1 0,78 VABHA ' B ' C ' 1 10 17, V V ABCH ABHA ' B ' C ' 1 10 5 Összesen: 16 pont 6) A H halmaz egy nyolcpontú egyszerű gráfok halmaza. A következő állítás a H elemeire vonatkozik: Ha egy (nyolcpontú egyszerű) gráf minden pontjának fokszáma legalább, akkor a gráf összefüggő. a) Döntse el, hogy az állítás igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! ( pont) b) Fogalmazza meg az állítás megfordítását a H elemeire vonatkozóan, és döntse el a megfordított állításról, hogy igaz vagy hamis! Válaszát indokolja! ( pont)
Az ABCDE konvex ötszög csúcsait piros, kék vagy zöld színűre színezzük úgy, hogy bármely két szomszédos csúcsa különböző színű legyen. c) Hány különböző színezés lehetséges? (Az ötszög csúcsait megkülönböztetjük egymástól.) (5 pont) Egy négypontú teljes gráf élei közül véletlenszerűen kiválasztott négy élt kiszínezünk zöldre (teljes gráf: olyan egyszerű gráf, melynek bármely két pontja között van él.) d) Határozza meg annak a valószínűségét, hogy a zöldre színezett élek a gráf egy négypontú körének élei! (5 pont) a) Az állítás hamis. Ellenpélda: a nyolcpontú egyszerű gráf két négypontú teljes gráf egyesítése. b) A megfordítás: Ha egy (nyolcpontú egyszerű) gráf összefüggő, akkor a gráf minden pontjának fokszáma legalább. A Zöld Iskola 8 tanulójának egymás közötti mérkőzései mindig a 8 tanuló valamelyikének győzelmével végződtek. ez 8 8 győzelmet jelent. b) Rögzítsük A és B színét, például pirosra és kékre. Ekkor C, D és E (ebben a sorrendben) a következőképpen színezhető: pkz, pzk, zpz, zpk, zkz. Mivel A és B színe 6-féleképpen választható meg, ezért összesen 560 különböző színezés lehetséges. c) Egy négypontú teljes gráfnak 4 6 éle van. 6 Ezek közül 4 élt 15-féleképpen lehet kiválasztani. (Ez az összes esetek 4 száma.) Ha a zöld élek kört alkotnak, akkor a nem zöld él a gráf két-két különböző pontját köti össze. A két nem zöld él kiválasztása -féleképpen történhet; ez a kedvező esetek száma. (Ha a gráf csúcsai A, B, C, D, akkor a megfelelő kiválasztások: AB-CD, AC-BD, AD-BC.) A keresett valószínűség: p 0, 15 Összesen: 1 pont
7) Adott az 4 f : ; f x x 8x 70x 75 függvény. a) Igazolja, hogy x 15 ben abszolút minimuma, x 0 -ban lokális maximuma, x 9 -ben lokális minimuma van a függvénynek! (9 pont) b) Igazolja, hogy f konkáv a 9;5 intervallumon! (4 pont) c) A Newton-Leibniz-tétel segítségével határozza meg a f határozott integrál értékét! 5 0 x dx ( pont) a) (Az f egy nyílt intervallumon deriválható függvény, ezért) az f függvénynek ott lehet szélsőérték-helye, ahol az első deriváltfüggvényének zérushelye van. f ' x 4x 4x 540x Mivel x kiemelhető, ezért az egyik zérushelye a 0, további két zérushelyét a 4x 4x 540 0 egyenlet gyökei adják: 9 és 15. (1pont) A (harmadfokú) deriváltfüggvény 15-ben és 9-ben negatívból pozitívba megy át, ezért ezek lokális minimumhelyei, 0-ban pedig pozitívból negatívba megy át, ezért ez lokális maximumhelye a függvénynek. Mivel f 15 6850 f 9 90, továbbá a ; 15 intervallumon szigorúan monoton csökkenő, a 9; intervallumon pedig szigorúan monoton növekedő az f függvény, ezért a 15 valóban abszolút minimumhelye f-nek. b) f '' x 1x 48x 540 x Az f '' x 0 egyenletnek két gyöke van: 9 és 5. Az f grafikonja egy felfelé nyíló parabola, ezért a két zérushely között az f '' negatív. Mivel az f '' függvény a 9;5 intervallumon negatív, ezért az f függvény itt konkáv. c) 0 0 5 5 5 x 4 f x dx x 90x 75x 5 65 150 1150 175 0-8000 Összesen: 16 pont
8) Dani sportlövészedzés jár, ahol koronglövészetet tanul. AZ első félév végén kiderült, hogy még elég bizonytalanul céloz: húsz lövésből átlagosan ötször találja el a repülő agyagkorongot. (Tekintsük ezt úgy, hogy minden lövésnél 5 az esélye annak, hogy Dani találatot ér el.) 0 a) Mekkora annak az esélye az első félév végén, hogy nyolc egymás után leadott lövésből legalább háromszor célba talál? Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg! (5 pont) b) Az első félév végén legalább hány egymás után leadott lövés kell ahhoz, hogy Dani legalább 95%-os eséllyel legalább egyszer eltalálja a repülő korongot? (6 pont) A rendszeres edzéseknek köszönhetően Dani eredményessége javult. A második félév végén már 0,7 volt annak a valószínűsége, hogy három egymás után leadott lövésből pontosan egy vag pontosan két találatot ér el. c) Számítsa ki, hogy a második félév végén mekkora valószínűséggel ér el találatot egy lövésből Dani! (5 pont) a) P(legalább találat) = 1 [P(0 találat) + P(1 találat) + P( találat)] 8 P(0 találat) 0,75 0,1001 8 7 P(1 találat) 0,5 0,75 0,670 1 8 6 P( találat) 0,5 0,76 0,115 P(legalább találat) 0,1 b) P(legalább 1 találat) = 1 P(0 találat) n 1,75 0,95 rendezve 0,75 n 0,05 n lg 0,75 lg 0,05 (Mivel lg 0,75 0, így) Daninak legalább 11 lövésre van szüksége. lg 0,05 n 10,41 lg 0,75 c) (Ha a második félév végén Dani egy lövésből p való- színűséggel ért el találatot, akkor három lövésből a pontosan egy vagy pontosan két találat valószínűsége) P(1 találat) + P( találat) p 1 p p 1 p p 1 p 0,7
0 p p 0,7 Ebből p = 0,4, vagy p = 0,6 A második félév végén tehát egy lövésből Dani 0,4 vagy 0,6 valószínűséggel (azaz 8 1 vagy eséllyel) ért el találatot. 0 0 Összesen: 16 pont 9) Egy kör középpontja egy derékszögű háromszög b hosszúságú befogójára illeszkedik. A kör érinti a c hosszúságú átfogót és az a hosszúságú befogó egyenesét is. Andrea és Petra egymástól függetlenül kifejezték a kör sugarának hosszát a háromszög oldalainak hosszával. Andrea szerint ab a kör sugara RA a c, Petra szerint pedig ac a RP. b a) Igazolja, hogy RA RP! (5 pont) b) Bizonyítsa be, hogy Andrea képlete helyes! (4 pont) Egy derékszögű háromszög oldalai a 8 cm, b 6 cm és c 10 cm. Megrajzoltuk azt a két kört, melyek középpontja a háromszög egyik, illetve másik befogójára illeszkedik, és amelyek érintik a háromszög másik két oldalegyenesét. c) Számítsuk ki, hogy a két körnek a háromszög belsejébe eső M metszéspontja milyen messze van a derékszögű C csúcstól! (5 pont) ab ac a a c b a) Azt állítjuk, hogy igaz a, b, c 0 Mindkét oldalt a-val osztva, majd b(c + a)-val szorozva: b c ac a Átalakítva: a b c, ami a Pitagorasz-tétel miatt minden derékszögű háromszögre igaz. Az alkalmazott átalakítások ekvivalensek voltak, ab ac a ezért az eredeti a c b állítás is igaz (tehát RA = RP ). b) A derékszögű háromszög területét kétféleképpen is ab felírhatjuk: T, illetve ar cr T TKCB TKAB Tehát ab ar cr
ab vagyis. (Ezt kellett bizonyítani.) a c c) Helyezzük el a derékszögű háromszöget és a két kört derékszögű koordinátarendszerben. (Az egység legyen 1 cm hosszú.) A koordinátái A(0;6) B pont koordinátái B(8;0); C(0;0) ab 48 A két kör sugara: R a b c 16 ab 48 8, R b a c 18. A körök egyenlete: x y 6x 0, illetve x y y 0 A két kör egyenletéből alkotott egyenletrendszer megoldása megadja az M 84 4 pontot: M ; 145 145 A CM távolság: 84 4 48 145 145 16,99 (cm) Összesen: 14 pont