lhek vksj vodyt (Limits and Derivatives)

vè;k; 3 lek vksj vodyt (Limits ad Derivatives) Wit te Calculus as a key, Matematics ca be successfully applied to te eplaatio of te course of Nature WHITEHEAD 3. Hwkfedk (Itroductio) ;g vè;k; dyu d,d Hkwfedk gsa dyu f.kr d og 'kk[kk gs ftlesa eq[;r% izkar esa fcaqvksa osq ifjorzu ls iqyu osq eku esa gksus okys ifjorzu dk vè;;u fd;k tkrk gsa igys ge vodyt dk (oklrfod :i ls ifjhkkf"kr fd, fcuk) lgtkuqhkwr cks/ (Ituitive idea) djkrs gsaa r~ksijkar ge lek d lgt ifjhkk"kk sas vksj lek osq ctf.kr dk oqqn vè;;u djsasa blosq ck ge vodyt d ifjhkk"kk djus osq fy, okil vk, s vksj vodyt osq ctf.kr dk oqqn vè;;u djsasa ge oqqn fo'ks"k ekud iqyuksa osq vodyt Hk izkir djsasa 3. vodytksa dk lgtkuqhkwr cks/ (Ituitive Idea of Derivatives) Sir Issac Newto (64-77) HkkSfrd iz;ksksa us vuqeksfr fd;k gs fd fiam,d [km+@å p pv~vku ls fjdj t lsoaqmksa esa 4.9t evj wj r; djrk gs vfkkzr~ fiam }kjk evj esa r; d bz wj (s) lsoaqmksa esa ekis, le; (t) osq,d iqyu osq :i esa s 4.9t ls bz gsa layxu lkj.k 3- esa,d [km+@å p pv~vku ls fjk,,,d fiam osq lsoaqmksa esa fofhkuu le; (t) ij evj esa r; d wj (s) bz gsa bu vk dm+ksa ls le; t lsoaqm ij fiam dk os Kkr djuk g mís'; gsa bl lel;k rd igq pus osq fy, t lsoaqm ij lekir gksus ckys fofo/ le;karjkyksa ij ekè; os Kkr djuk,d <a gs vksj vk'kk djrs gsa fd blls t lsoaqm ij os osq ckjs esa oqqn izdk'k im+ska

t t vksj t t osq cp ekè; os t t vksj t t lsdamksa osq cp r; d bz wj dks (t t ) ls Hkk sus ij izkir gksrk gsa vr% izfke lsdamksa esa ekè; os vksj t 0 t osq cp r; d bz jw le;kra jky t t ( 9.6 0 ) e ( 0) ls 9.8 / e ls bl izdkj] t vksj t osq cp ekè; os ( 9.6 4.9 ) e ( ) ls e 4.7 / ls bl izdkj fofo/ osq fy, t t vksj t osq cp ge ekè; os dk ifjdyu djrs gs aa fueufyf[kr lkj.k 3-] t t lsoaqmksa vksj t lsoaqmksa osq cp evj izfr lsoaqm esa ekè; os (v) sr gsa lkj.k 3. lek vksj vodyt 99 lkj.k 3. t s 0 0 4.9.5.05.8 5.876.9 7.689.95 8.635 9.6.05 0.595..609. 3.76.5 30.65 3 44. 4 78.4 t 0.5.8.9.95.99 v 9.8 4.7 7.5 8.6 9. 9.355 9.55 bl lkj.k ls ge voyksdu djrs gsa fd ekè; os /js&/js c<+ jgk gsa tsls&tsls t ij lekir gksus okys le;karjkyksadks y?kqùkj cukrs tkrs gsa ge s[krs gsa fd t ij ge os dk,d cgqr vpnk cks/ dj ikrs gsaa vk'kk djrs gsa fd -99 lsoaqm vksj lsoaqm osq cp oqqn vizr;kf'kr?kvuk u?kvs rks ge fu"d"kz fudkyrs gsa fd t lsoaqm ij ekè; os 9.55 e@ls ls FkksM+k vf/ d gsa bl fu"d"kz dks fueufyf[kr vfhkdyuksa osq leqpp; ls fdafpr cy feyrk gsa t lsoaqm ls izkjahk djrs gq, fofo/ le;karjkyksa ij ekè; os dk ifjdyu dft,a iwoz d Hkk fr t lsoaqm vksj t t lsoaqm osq cp ekè; os (v) lsoaqm vksj t los aqmoqs cpr; d jw t

300 f.kr t los QaMeas r; d wj losaqmeas r; d wj t t los QaMksaeas r; d wj t 9.6 fueufyf[kr lkj.k 3.3, t lsoaqmksa vksj t lsoaqm osq cp evj izfr lsoaqm esa ekè; os v sr gs% lkj.k 3.3 t 4 3.5...05.0 v 9.4 4.5.05 0.58 0.09 9.845 9.649 ;gk iqu% ge è;ku srs gsa fd ;f ge t, ls izkjahk djrs gq, y?kqùkj le;kurjkyksa dks ysrs tkrs gsa rks gesa t ij os dk vf/d vpnk cks/ gksrk gsa vfhkdyuksa osq izfke leqpp; esa geus t ij lekir gksus okys c<+rs le;kurjkyksa esa ekè; os Kkr fd;k gs vksj rc vk'kk d gs fd t ls fdafpr iwoz dqn vizr;kf'kr?kvuk u?kvsa vfhkdyuksa osq f}r; leqpp; esa t ij var gksus okys?kvrs le;karjkyksasa esa ekè; os Kkr fd;k gs vksj rc vk'kk d gs fd t osq fdafpr ck dqn vizr;kf'kr?kvuk u?kvsa fo'kq¼ :i ls HkkSfrd; vk/kj ij ekè; os osq ;s ksuksa vuqøe,d leku lek ij igq pus pkfg, ge fuf'pr :i ls fu"d"kz fudkyrs gsa fd t ij fiam dk os 9.55 e@ls vksj 9.649 e@ls osq cp gsa rdud :i ls ge dg ldrs gsa fd t ij rkrdkfyd os 9.55 e@ls- vksj 9.649 e@ls- osq cp gsa tslk fd Hky izdkj Kkr gs fd os wj osq ifjorzu d j gsa vr% geus tks fu"ikfr fd;k] og fueufyf[kr gsa fofo/ {k.k ij wj esa ifjorzu d j dk vuqeku yk;k gsa ge dgrs gsa fd wj iqyu s 4.9t dk t ij vodyt 9.55 vksj 9.649 osq cp esa gsa bl lek d izfø;k d,d fodyi fof/ vko`qfr 3. esa 'kkzbz bz vko`qfr 3.

lek vksj vodyt 30 gsa ;g crs le; (t) vksj pv~vku osq f'k[kj ls fiam d wj (s) dk vkys[k gsa tsls&tsls le;karjkyksa osq vuqøe,,..., d lek 'kwu; d vksj vzlj gksr gs osls g ekè; osksa osq vzlj gksus d og lek gksr gs tks CB C B CB 3 3,, AC AC AC,... 3 osq vuqikrksa osq vuqøe d gksr gs] tgk C B s s 0 og wj gs tks fiam le;karjkyksa AC esa r; djrk gs] br;kfa vko`qfr 3. ls ;g fu"d"kz fudyuk lqfuf'pr gs fd ;g ck d vuqøe oø osq fcaq A ij Li'kZjs[kk osq <ky d vksj vzlj gksr gsa wljs 'kcksa esa] t le; ij fiam dk rkrdkfyd os oø s 4.9t osq t ij Li'kZ osq <ky osq leku gsa 3.3 lek, (Limits) mi;qzdr foospu bl rf; d vksj Li"Vr;k fufz"v djrk gs fd gesa lek d izfø;k vksj vf/d Li"V :i ls le>us d vko';drk gsa ge lek d ladyiuk ls ifjfpr gksus osq fy, oqqn `"Vkarksa (illustratios) dk vè;;u djrs gsaa iqyu f() ij fopkj dft,a voyksdu dft, fd tsls&tsls dks 'kwu; osq vf/d fudv eku srs gsa] f() dk eku Hk 0 d vksj vzlj gksrk tkrk gsa (s[ksa vko`qfr -0 vè;k; ) ge dgrs gs f ( ) 0 (bls f () d lek 'kwu; gs] tc 'kwu; d vksj vzlj gksrk gs] i<+k tkrk gs) f () d lek] tc 'kwu; d vksj vzlj gksrk gs] dks,sls le>k tk, tsls 0 ij f () dk eku gksuk pkfg,a O;kid :i ls tc a, f () l, rc l dks iqyu f () d lek dgk tkrk gs vksj bls bl izdkj fy[kk tkrk gs f a ( ) l. iqyu g(), 0 ij fopkj dft,a è;ku ft, fd g(0) ifjhkkf"kr uga gsa osq 0 osq vr;f/d fudv ekuksa osq fy, g() osq eku dk ifjdyu djus osq fy, ge s[krs gsa fd g() dk eku 0 d vksj vzlj djrk gsa blfy, g() 0. 0 0 osq fy, y osq vkys[k ls ;g lgtrk ls Li"V gksrk gsa (s[ksa vko`qfr -3 vè;k; ) fueufyf[kr iqyu ij fopkj dft,% ( ) 4,. osq osq vr;f/d fudv ekuksa (ysfdu uga) osq fy, () osq eku dk ifjdyu

30 f.kr dft,a vki Lo;a dks Lodkj djkb, fd lhk eku 4 osq fudv gsaa ;gk (vko`qfr 3-) esa f, iqyu y () osq vkys[k ij fopkj djus ls bldks fdafpr cy feyrk gsa bu lhk `"Vkarksa ls,d f, eku a ij iqyu osq tks eku zg.k dj us pkfg, os oklro esa bl ij vk/kfjr uga gsa fd osqls a d vksj vzlj gksrk gsa è;ku ft, fd osq la[;k a d vksj vzlj gksus osq fy, ;k rks ckb± vksj ;k kb± vksj gs] vfkkzr~ osq fudv lhk eku ;k rks a ls de gks ldrs gsa ;k a ls vf/d gks ldrs gsaa blls LokHkkfod :i ls ks lek, & ck, i{k d lek vksj k, i{k d lek izsfjr gksr vko`qfr 3. gsa iqyu f() osq k, i{k d lek f() dk og eku gs tks f() osq eku ls vksf'kr gksrk gs tc, a osq kb± vksj vzlj gksrk gsa bl izdkj ck, i{k d leka blosq `"Vkar osq fy,] iqyu ij fopkj dft, f ( ), 0, > 0 vko`qfr 3.3 esa bl iqyu dk vkys[k 'kkz;k ;k gs ;g Li"V gs fd 0 ij f dk eku 0 osq fy, f () osq eku ls ij fuhkzj djrk gs tks fd osq leku gs vfkkzr~ 'kwu; ij f () osq ck, i{k d lek f( ) gsa bl izdkj 0 ij f dk eku > 0 osq fy, f () osq eku ij fuhkzj djrk gs] gs vfkkzr~ 0 osq k, i{k d lek f ( ) + gsa bl flfkfr esa ck, vksj vko`qfr 3.3 k, i{k d lek, fhkuu&fhkuu gsa vksj vr% ge dg ldrs gsa fd tc 'kwu; d vksj vzlj gksrk gs rc f () d lek vflrrogu gsa (Hkys g iqyu 0 ij ifjhkkf"kr gsa) lkjka'k ge dgrs gsa fd f(), a ij f () dk visf{kr (epected) eku gsa] ftlus osq a ckb± vksj fudv ekuksa osq fy, f () dks eku f, gsaa bl eku dks a ij f () d ck, i{k d lek dgrs gsaa

lek vksj vodyt 303 ge dgrs gsa fd f( ) +, a ij f () dk visf{kr eku gs ftlesa osq a osq kb± vksj osq fudv ekuksa osq fy, f() osq eku f, gsaa bl eku dks a ij f () d k, i{k d lek dgrs gsaa ;f k, vksj ck, i{k d lek, laikr gksa rks ge bl mhk;fu"b eku dks a ij f() d lek dgrs gsa vksj bls f() ls fu:fir djrs gsaa a ;f k, vksj ck, i{k d lek, laikr uga gksa rks ;g dgk tkrk gs fd a ij f() d lek vflrrogu gsa `"Vkar (Illustratio ) iqyu f() + 0 ij fopkj dft,a ge 5 ij iqyu d lek Kkr djuk pkgsasa vkb,] ge 5 osq vr;ar fudv osq ekuksa osq fy, f() osq eku dk ifjdyu djsaa 5 osq vr;ar fudv ckb± vksj oqqn fcaq 4-9] 4-95] 4-994] 4-995--- br;kf gsaaa bu fcaqvksa ij f() osq eku ups lkj.kc¼ gsaa bl izdkj] 5 osq vr;ar fudv vksj kb± vksj oklrfod la[;k, 5-00] 5-0] 5- Hk gsaa bu fcaqvksa ij Hk iqyu osq eku lkj.k 3-4 esa f, gsaa lkj.k 3.4 4.9 4.95 4.99 4.995 5.00 5.0 5. f() 4.9 4.95 4.99 4.995 5.00 5.0 5. lkj.k 3.4 ls ge fufer djrs gsa fd f() dk eku 4-995 ls cm+k vksj 5-00 ls NksVk gs] ;g dyiuk djrs gq, fd 4.995 vksj 5-00 osq cp oqqn vizr;kf'kr?kvuk?kfvr u gksa ;g dyiuk djuk rozqlar gs fd 5 osq ckb± vksj d la[;kvksa osq fy, 5 ij f () dk eku 5 gs vfkkzr~ f ( ) 5 5 bl izdkj] tc ] 5 osq kb± vksj vzlj gksrk gs] f () dk eku 5 gksuk pkfg, vfkkzr~ 5 ( ) f 5 + vr% ;g lahkko; gs fd f () osq ck, i{k d lek vksj k, i{k d lek] ksuksa 5 osq cjkcj gasa bl izdkj f ( ) f ( ) f ( ) 5 + 5 5 lek 5 osq cjkcj gksus osq ckjs esa ;g fu"d"kz iqyu osq vkys[k tks vko`qfr -9(ii) vè;k; esa f;k gs] dks s[kdj fdafpr cy srk gsa bl vko`qfr esa ge è;ku srs gsa fd tsls&tsls ] 5 5

304 f.kr osq ;k rks kb± vksj ;k ckb± vksj vzlj gks] iqyu f () + 0 dk vkys[k fcaq (5] 5) d vksj vzlj gksrk tkrk gsaa ge s[krs gsa fd ij Hk iqyu dk eku osq cjkcj gksrk gsa `"Vkar iqyu f() 3 ij fopkj dft,a vkb, ge ij bl iqyu d lek Kkr djus dk iz;kl djsaa iwozorz flfkfr d rjg c<+rs gq, ge osq osq fudv ekuksa osq fy, f() osq ekuksa dks lkj.kc¼ djrs gsaa bls lkj.k 3-5 esa f;k ;k gs% lkj.k 3.5 0.9 0.99 0.999.00.0. f() 0.79 0.97099 0.99700999.00300300.03030.33 bl lkj.k ls ge fueu djrs gsa fd ij f() dk eku 0.99700999 ls vf/d vksj.00300300 ls de gs] ;g dyiuk djrs gq, fd 0.999 vksj.00. osq cp oqqn vizr;kf'kr?kvuk?kfvr u gksa ;g ekuuk rozqlar gs fd dk eku osq ckb± vksj d la[;kvksa ij fuhkzj djrk gs vfkkzr~ f ( ) bl izdkj] tc ] osq kb± vksj vzlj gksrk gs] rks f() dk eku gksuk pkfg, vfkkzr~ ( ). f +. vr%] ;g lahkko; gs fd ck, i{k d lek vksj k, i{k d lek ksuksa osq cjkcj gksaa bl izdkj. f ( ) f ( ) f ( ) + lek osq cjkcj gksus dk ;g fu"d"kz iqyu osq vkys[k tks vko`qfr., vè;k; esa f;k gs] dks s[kdj fdafpr cy srk gsa bl vko`qfr esa ge è;ku srs gsa fd tsls&tsls ] osq ;k rks kb± vksj ;k ckb± vksj vzlj gks] iqyu f() 3 dk vkys[k fcaq (] ) d vksj vzlj gksrk tkrk gsa ge iqu% voyksdu djrs gsa fd ij iqyu dk eku Hk osq cjkcj gsa `"Vkar 3 iqyu f() 3 ij fopkj dft,a vkb,] ij bl iqyu d lek Kkr djus dk iz;kl djsaa fueufyf[kr lkj.k 3.6 Lor% Li"V djr gsa

lkj.k 3.6 lek vksj vodyt 305.9.95.99.999.00.0. f() 5.7 5.85 5.97 5.997 6.003 6.03 6.3 iwozor ge voyksdu djrs gsa fd ;k rks ck, ;k k, d vksj vzlj gksrk gs] f() dk eku 6 d vksj vzlj gksrk gqvk izrr gksrk gsa ge bls] bl izdkj vfhkysf[kr dj ldrs gsa fd f ( ) f ( ) f ( ) 6 + vko`qfr 3-4 esa izf'kzr bldk vkys[k bl rf; dks cy srk gsa ;gk iqu% ge è;ku srs gsa fd ij iqyu dk eku ij lek osq laikr gsa `"Vkar 4 vpj iqyu f() 3 ij fopkj dft,a vkb, ge ij bld lek Kkr djus dk iz;kl djsaa ;g iqyu vpj iqyu gksus ds dkj.k lozk,d g eku (bl flfkfr esa 3) izkir djrk gs vfkkzr~ osq vr;ar fudv fcaqvksa osq fy, bldk eku 3 gsa vr% f ( ) f ( ) f ( ) 3 + f() 3 dk vkys[k gj gkyr esa (0] 3) ls tkus oky -v{k osq lekarj js[kk gs vksj vko`qfr.9, vè;k; esa 'kkz;k ;k gsa blls ;g Hk Li"V gs fd vhk"v lek 3 gs rf;r% ;g ljyrk ls voyksfdr gksrk gs fd fdl oklrfod la[;k a osq fy, f ( ) 3 `"Vkar 5 iqyu f() + ij fopkj dft,a ge f ( ) Kkr djuk pkgrs gsaa ge osq fudv f() osq eku lkj.k 3.7 esa lkj.kc¼ djrs gsa% lkj.k 3.7 vko`qfr 3.4 0.9 0.99 0.999.0.. f().7.970.99700.030.3.64

306 f.kr blls ;g rozqlar fufer gksrk gs fd f f f. + vko`qfr 3-5 esa 'kkz, f() + osq vkys[k ls ;g Li"V gs fd tsls&tsls, d vksj vzlj gksrk gs] vkys[k (] ) d vksj vzlj gksrk tkrk gsa vr% ge iqu% izs{k.k djrs gsa fd f () f () vc] fueufyf[kr ru rf;ksa dks vki Lo;a dks Lodkj djk,, vksj + vko`qfr 3.5 rc + + +. + + +. rfkk. ( ). ( ) `"Vkar 6 iqyu f() si ij fopkj dft,a gekj si π esa #fp gs tgk dks.k jsfm;u esa π ekik ;k gsa ;gk ] geus osq fudv f() osq ekuksa (fudvre) dks lkj.kc¼ fd;k gsa lkj.k 3.8 π π π π 0. 0.0 + 0.0 + 0. f() 0.9950 0.9999 0.9999 0.9950 blls ge fueu dj ldrs gsa fd f f f + π π π blosq vfrfjdr] ;g f() si osq vkys[k ls iq"v gksrk gs tks vko`qfr 3.8 vè;k; 3 esa f;k gsa bl flfkfr esa Hk ge s[krs gsa fd π si.

`"Vkar 7 iqyu f() + cos ij fopkj dft,a ge lek vksj vodyt 307 f () Kkr djuk pkgrs gasa ;gk geus 0 osq fudv f() osq eku (fudvre) lkj.kc¼ fd, gsa% (lkj.k 3.9). lkj.k 3.9, ls ge fueu dj ldrs gsa fd lkj.k 3.9 0. 0.0 0.00 0.00 0.0 0. f() 0.9850 0.98995 0.9989995.0009995.00995.0950 f f f + bl flfkfr esa Hk ge izs{k.k djrs gsa fd f () f (0). 0 vc] D;k vki Lo;a dks Lodkj djk ldrs gsa fd [ + ] + oklro esa lr; gs? cos cos `"Vkar 8 > 0 osq fy,] iqyu f ( ) ij fopkj dft,a ge f () Kkr djuk 0 pkgrs gs aa ;gk ] ge voyksdu djrs gsa fd iqyu dk izkar lhk /ukred oklrfod la[;k, gsaa vr% tc ge f() osq eku lkj.kc¼ djrs gsa] 'kwu; osq ckb± vksj vzlj gksrk gs] dk dksbz vfkz uga gsa ups ge 0 osq fudv osq /ukred ekuksa osq fy, iqyu osq ekuksa dks lkj.kc¼ djrs gsaa (bl lkj.k esa fdl /u iw.kk±d dks fu:fir djrk gsa ups bz lkj.k 3-0 ls] ge s[krs gsa fd tc, 0 d vksj vzlj gksrk gs] f() cm+k vksj cm+k gksrk tkrk gsa ;gk bldk vfkz gs fd] f() dk eku fdl la[;k ls Hk cm+k fd;k tk ldrk gsa lkj.k 3.0 0. 0.0 0 f() 00 0000 0 f.kr; :i ls] ge dg ldrs gsa f 0 +

308 f.kr ge fvii.k Hk djrs gsa fd bl ikb~;øe esa ge bl izdkj d lekvksa d ppkz uga djsasa `"Vkar 9 ge, Kkr djuk pkgrs gsa] tgk f 0, < 0 f ( ) 0, 0 +, > 0 igys d rjg ge 0 osq fudv osq fy, f() d lkj.k cukrs gsaa izs{k.k djrs gsa fd osq ½.kkRed ekuksa osq fy, gesa dk eku fudkyus d vko';drk gs vksj osq /ukred ekuksa osq fy, + dk eku fudkyus d vko';drk gksr gsa lkj.k 3. 0. 0.0 0.00 0.00 0.0 0. f()..0.00.00.0. lkj.k 3- d izfke ru izfof"v;ksa ls] ge fueu djrs gsa fd iqyu dk eku rd?kv jgk gs vksj f ( ) lkj.k d vafre ru izfof"v;ksa ls] ge fueu djrs gsa fd iqyu dk eku rd c<+ jgk gs vksj vr% f ( ) + D;ksafd 0 ij ck, vksj k, i{kksa d lek, laikr uga gsa] ge dgrs gsa fd 0 ij iqyu d lek vflrrogu gsa bl iqyu dk vkys[k vko`qfr 3.6 esa f;k gs ;gk ] ge fvii.k djrs gsa fd 0 ij iqyu dk eku iw.kzr% ifjhkkf"kr gs vksj] oklro esa] 0 osq cjkcj gs] ijarq 0 ij iqyu d lek ifjhkkf"kr Hk uga gsa vko`qfr 3.6 `"Vkar 0,d vafre `"Vkar osq :i esa] ge, Kkr djrs gsa tcfd f ( ) + 0 f

lek vksj vodyt 309 lkj.k 3. 0.9 0.99 0.999.00.0. f().9.99.999 3.00 3.0 3. igys d rjg] osq fudv osq fy, ge f() osq ekuksa dks lkj.kc¼ djrs gsaa ls de osq fy, f() esa ekuksa ls] ;g izrr gksrk gs fd ij iqyu dk eku 3 gksuk pkfg, vfkkzr~ ( ) f 3 bl izdkj] ls cm+s osq fy, f() osq ekuksa ls vksf'kr f() dk eku 3 gksuk pkfg,] vfkkzr~ f ( ) 3 vr% +. ijarq rc ck, vksj k, i{kksa d lek, laikr gsa vksj f f f 3. + vko`qfr 3.7 esa iqyu dk vkys[k lek osq ckjs esa gekjs fueu dks cy srk gsa ;gk ] ge è;ku srs gas fd O;kid :i ls],d f, fcaq ij iqyu dk eku vksj bld lek fhkuu&fhkuu gks ldrs gsa (Hkys g ksuksa ifjhkkf"kr gksaa) 3.3. lekvksa dk ctf.kr (Algebra of its) mi;qzdr `"Vkarksa ls] ge voyksdu dj pqosq gsa fd lek izfø;k ;ks] O;odyu] q.kk vksj Hkk dk ikyu djr gs tc rd fd fopkjk/u iqyu vksj lek, lqifjhkkf"kr gsaa ;g la;ks uga gsa oklro esa] ge budks fcuk miifùk osq izes; osq :i esa vksipkfjd :i srs gsaa izes; eku yft, fd f vksj g ks iqyu,sls gsa fd f () vksj gsa rc (i) ks iqyuksa osq ;ks d lek iqyuksa d lekvksa dk ;ks gksrk gs] vfkkzr~ [f() + g ()] f() + g(). a vko`qfr 3.7 g() ksuksa dk vflrro

30 f.kr (ii) (iii) (iv) ks iqyuksa osq varj d lek iqyuksa d lekvksa dk varj gksrk gs] vfkkzr~ [f() g()] f() g(). a ks iqyuksa osq q.ku d lek iqyuksa d lekvksa dk q.ku gksrk gs] vfkkzr~ [f(). g()] f(). g(). a ks iqyuksa osq HkkiQy d lek iqyuksa d lekvksa dk HkkiQy gksrk gs] (tcfd gj 'kwu;srj gksrk gs)] vfkkzr~ ( ) f g ( ) f g fvii.k fo'ks"k :i ls flfkfr (iii) d,d fof'k"v flfkfr esa tc g(),d,slk vpj iqyu gs fd fdl oklrfod la[;k λ osq fy, g() λ ge ikrs gsa ( λ f )( ) λ f ( )... vys ks vuqpnsksa esa] ge `"Vkar sas fd bl izes; dks fof'k"v izdkj osq iqyuksa d lekvksa osq eku izkir djus esa osqls iz;ks fd;k tkrk gsa 3.3. cgqiksa vksj ifjes; iqyuksa d lek, (Limits ( of polyomials ad ratioal fuctios),d iqyu f() cgqi; iqyu dgykrk gs] ;f f() 'kwu; iqyu gs ;k ;f f() a 0 + a + a +... + a, tgk a i s,sl oklrfod la[;k, gsa fd fdl izko`qr la[;k osq fy, a 0 ge tkurs gsa fd a. vr%.. a. a a ij vkeu dk ljy vh;kl gedks crkrk gs fd a a vc] eku yft, f ( ) a + a + a + + a,d cgqi; iqyu gsa 0... a0, a, a,..., a izr;sd dks,d iqyu tslk fopkjrs gq,] ge ikrs gsa fd ( ) f a a0 + a+ a +... + a

lek vksj vodyt 3 a0 + a+ a +... + a 0 + + +... + a a a a 0... a + a a+ a a + + a a f ( a) (lqfuf'pr djsa fd vkius mi;qzdr esa izr;sd pj.k dk vksfpr; le> fy;k gsa),d iqyu f,d ifjes; iqyu dgykrk gs ;f f() cgqi gsa fd () 0. rks f ( ) a, tgk g() vksj (),sls g g g g a a ; fi] ;f (a) 0, ks flfkfr;k gsa (i) tc g(a) 0 vksj (ii) tc g(a) 0. iwoz d flfkfr esa ge dgrs gsa fd lek dk vflrro uga gsa ck d flfkfr esa ge g() ( a) k g (), tgk k, g() esa ( a) d egùke?kkr gsa bl izdkj () ( a) l () D;ksafd (a) 0. vc] ;f k l, ge ikrs gsa f a k ( ) g a g a l ( ) ;f k < l, rks lek ifjhkkf"kr uga gsa mkgj.k lek, Kkr dft,% (i) ( k l ) a g 0. g a 0 a 3 + (ii) ( + ) 3 (iii) 0 + + +... +.

3 f.kr gy vhk"v lhk lek, oqqn cgqi; iqyuksa d lek, gsaa vr% lek, izùk fcaqvksa ij iqyuksa osq eku gsaa ge ikrs gsa (i) [3 + ] 3 + (ii) ( ) (iii) + 3 3+ 3 4 3 0 + + +... + + ( ) + ( ) +... + ( ) 0 mkgj.k lek, Kkr dft,% + +... +. (i) + + 00 (ii) 3 4 + 4 4 (iii) 4 3 4 + 4 (iv) 3 5+ 6 (v) 3 3 +. gy lhk fopkjk/u iqyu ifjes; iqyu gsaa vr%] ge igys izùk fcaqvksa ij bu iqyuksa osq eku izkir djrs gsaa ;f ;g 0 0, osq :i dk gs] ge q.ku[kamksa] tks lek osq 0 0 gs] dks fujlr djrs gq, iqyuksa dks iqu% fy[krs gsaa dk :i gksus dk dkj.k (i) ge ikrs gsa + + + 00 + 00 0 (ii) ij iqyu dk eku izkir djus ij ge bls 0 0 dk :i esa ikrs gsaa vr% 3 4 + 4 4 ( ) ( + )( ) ( ) ( + ) D;ksafd ( ) 0 0. + 4

lek vksj vodyt 33 (iii) ij iqyu dk eku izkir djus ij] ge bls 0 0 osq :i esa ikrs gsa] vr% 3 4 4 + 4 ( + )( ) ( ) ( + ) + ( ) ( ) 4 0 tksfd ifjhkkf"kr uga gsa (iv) ij iqyu dk eku izkir djus ij] ge bls 0 0 osq :i esa ikrs gsa vr% 3 5+ 6 ( ) ( )( 3) (v) ( ) 4 4. 3 3 igys ge iqyu dks ifjes; iqyu tslk iqu% fy[krs gasa 3 3 + ( ) ( 3+ ) ( ) ( )( ) 4+ 4 ( )( ) 4+ 3 ( )( )

34 f.kr ij iqyu dk eku izkir djus ij ge 0 0 dk :i ikrs gsaa vr% 3 3 + 4+ 3 ( )( ) ( 3)( ) ( )( ) 3 3 ( ) (. ) ge fvii.k djrs gsa fd mi;qzdr eku izkir djus esa geus i ( ) dks fujlr fd;k D;ksafd.,d egroiw.kz lek dk eku izkir djuk] tks fd vks ifj.kkeksa esa iz;qdr gks] ups,d izes; osq :i esa izlrqr gsa izes; fdl /u iw.kk±d osq fy,] a a a fvii.k mi;qzdr izes; esa lek gsrq O;atd lr; gs tcfd dksbz ifjes; la[;k gs vksj a /ukred gsa miifùk ( a ) dks ( a), ls Hkk sus ij] ge s[krs gsa fd a ( a) ( + a + 3 a +... + a + a ) a a a l + a a +... + a (a) +a l bl izdkj ( + a + 3 a +... + a + a ) a + a +...+a + a ( i) a mkgj.k 3 eku Kkr dft,. (i) 5 0 (ii) 0 +

lek vksj vodyt 35 gy (i) gekjs ikl gs 5 0 5 0 5 0 5 () 4 0() 9 (mi;qzdr izes; ls) 3 5 0 (ii) y +, ftlls y tsls 0. rc 0 + y y y y y y () (mi;qzdr fvii.k ls) 3.4. fkdks.kfer; iqyuksa d lek, (Limits of Trigoometric Fuctios) O;kid :i ls] iqyuksa osq ckjs esa fueufyf[kr rf; (izes;ksa osq :i esa dgs,) oqqn fkdks.kfer; iqyuksa d lekvksa dk ifjdyu djus esa lqyhk gks tkrs gsaa izes; 3 eku yft, leku izkar okys ks oklrfod eku; iqyu f vksj g,sls gsa fd ifjhkk"kk osq izkar esa lhk osq fy, f () g( ) fdl a osq fy, ;f a f() vksj a g() ksuksa dk vflrro gs rks f() g() bls vko`qfr 3.8 esa fpk ls a a Li"V fd;k ;k gsa vko`qfr 3.8

36 f.kr izes; 4 lsamfop izes; (Sadwic Teorem) eku yft, f, g vksj oklrfod eku; iqyu,sls gsa fd ifjhkk"kk osq lozfu"b izkarksa osq lhk osq fy, f () g( ) (). fdl oklrfod la[;k a osq fy, ;f f() l a (), rks g() l. bls a vko`qfr 3.9 esa fpk ls Li"V fd;k ;k gsa fkdks.kfer; iqyuks a ls lacaf/r fueufyf[kr egroiw.kz vlfedk d,d lqaj T;kfer; vko`qfr 3.9 miifùk ups izlrqr gs% π 0 < < osq fy, si cos < < (*) miifùk ge tkurs gsa fd si ( ) si vksj cos( ) cos. vr% vlfedk dks fl¼ djus osq fy, ;g i;kzir gsa vko`qfr 3.0, esa,sls bdkbz o`ùk dk osqaz O gsa dks.k AOC, jsfm;u dk gs vksj 0 < < π A js[kk[kam BA vksj CD, OA osq yacor gasa blosq vfrfjdr AC dks feyk;k ;k gsa rc OAC dk {kskiqy < o`ùk[kam OAC {kskiqy < OAB dk {kskiqy vfkkzr~ OA.CD <.π.(oa) < OA.AB. π vfkkzr~ CD <. OA < AB. OCD esa si CD (pw fd OC OA) vksj vr% CD OA si. blds vfrfjdr OA ta AB vksj vr% AB OA ta. bl izdkj OA OA si < OA < OA. ta. D;ksafd yackbz OA /ukred gs] ge ikrs gsa si < < ta. π 0 < < osq fy, vko`qfr 3.0

lek vksj vodyt 37 D;ksafd 0 < < π, si /ukred gs vksj bl izdkj si, ls lhk dks Hkk sus ij] ge ikrs gsa < si < cos lhk dk O;qRØe djus ij] ge ikrs gsa si cos < < miifùk iw.kz gqbza lkè; 5 (Propositio) 5 fueufyf[kr ks egroiw.kz lek, gsa% (i) si (ii) cos 0 miifùk (i) (*) esa vlfedk (Iequality) osq vuqlkj iqyu si, iqyu cos vksj vpj iqyu ftldk eku gks tkrk gs] osq cp esa flfkr gsa blosq vfrfjdr D;ksafd cos, ge s[krs gsa fd izes; osq (i) d miifùk lsamfop 0 izes; ls iw.kz gsa (ii) dks fl¼ djus osq fy,] ge fkdks.kfefr lozlfedk cos si dk iz;ks djrs gsa] rc cos si si.si si.si.0 0 voyksdu dft, fd geus vli"v :i ls bl rf; dk iz;ks fd;k gs fd 0, 0 osq rqy; gsa bldks y j[kdj izekf.kr fd;k tk ldrk gsa

38 f.kr mkgj.k 4 eku Kkr dft,% (i) si 4 si ta (ii) gy (i) si 4 si si 4.. 4 si si4 si. 4 ta gekjs ikl gs (ii) si 4 si. 4 4.. (tc 0, 4 0 rfkk 0) si si.. cos cos,d lkeku; fu;e] ftldks lekvksa dk eku fudkyrs le; è;ku esa j[kus d vko';drk gs] fueufyf[kr gs% f ( ) ekuk fd lek a g ( ) dk vflrro gs vksj ge bldk eku Kkr djuk pkgrs gsaa igys ge f (a) vksj g(a) osq ekuksa dks tk psaa ;f ksuksa 'kwu; gsa] rks ge s[krs gsa fd ;f ge ml q.ku[kam dks izkir dj ldrs gsa tks i lekir gksus dk dkj.k gs] vfkkzr~ s[ksa ;f ge f() f () f () fy[k ldsa ftlls f (a) 0 vksj f (a) 0 A bl izdkj g() g () g (),fy[krs gsa tgk g (a) 0 vksj g (a) 0. f() vksj g() esa ls mhk;fu"b q.ku[kam (;f lahko gs) rks fujlr dj srs gsa vksj f ( ) p( ) g ( ) q(, ) tgk q() 0 fy[krs gsa ] rc f p a g q a

lek vksj vodyt 39 iz'ukoy 3. iz'u ls rd fueufyf[kr lekvksa osq eku izkir dft,%. + 3. 3 π 7 3. πr r 4. 4 + 3 4 5. 0 5 + + 6. ( ) 5 + 7. 3 0 4 8. 4 8 3 5 3 9. a + b c + 0. z z z 3 6. a + b + c, 0 a + b + c c + b + a. + + 3. si a b 4. si a, a, b 0 si b 5. π ( ) ( ) si π π π 6. cos 0 π 7. cos cos 8. a + cos bsi 9. sec 0. si a + b, aba,, + b 0, a + si b. (cosec cot ) π. ta π 3. f ( ) vksj f ( ) 0, Kkr dft,] tgk f ( ) + 3, 0 3( + ), > 0

30 f.kr 4., Kkr dft,] tgk f ( ) f 5. f ( ), dk eku izkir dft,] tgk 0 6. f ( ), Kkr dft,] tgk f ( ) 0,, >, 0 f 0, 0, 0 0, 0 7. f ( ), Kkr dft,] tgk f ( ) 5 5 8. eku yft, vksj ;f a+ b, < f 4, b a, > f () f () rks a vksj b osq lahko eku D;k gsa? 9. eku yft, a, a,..., a vpj oklrfod la[;k, gs vksj,d iqyu ( )( ) ( ) ls ifjhkkf"kr gsa f a a a... a () D;k gs? fdl a a, a,..., a, osq fy, a f () dk ifjdyu dft,a 30. ;f +, < 0 f 0, 0, > 0. rks a osq fdu ekuksa osq fy, f () dk vflrro gs? f 3. ;f iqyu f(), dft,a ( ) π, dks larq"v djrk gs] rks dk eku izkir f

lek vksj vodyt 3 3. fdu iw.kk±dksa m vksj osq fy, f ( ) vksj f ( ) 0 ksuksa dk vflrro gs] ;f m + <, 0 f ( ) + m, 0 3 + m, > 3.5 vodyt (Derivatives) ge vuqpns 3., esa s[k pqosq gsa fd fofo/ le;karjkyksa ij fiam d flfkfr dks tkudj ml j dks Kkr djuk lahko gs ftlls fiam d flfkfr ifjofrzr gks jg gsa le; osq fofo/ {k.kksa ij,d fuf'pr izkpy (parameter) dk tkuuk vksj ml j dks Kkr djus dk iz;kl djuk ftlls blesa ifjorzu gks jgk gs] vr;ar O;kid #fp dk fo"k; gsa oklrfod tou d vusd flfkfr;k gksr gsa ftuesa,sl izfø;k dk;kzfuor djus d vko';drk gksr gsa mkgj.kr%,d Vad osq j[k&j[kko djus okys O;fDr osq fy, le; osq vusd {k.kksa ij iku d gjkbz tkudj ;g tkuuk vko';d gksrk gs fd Vad dc Nydus ys] fofo/ le;ksa ij jkosqv d Å pkbz tkudj jkosqv oskkfudksa dks ml ;FkkFkZ os osq ifjdyu d vko';drk gksr gs ftlls mizg dk jkosqv ls iz{ksi.k vko';d gksa foùk; lalfkkuksa dks fdl fo'ks"k LVkd osq orzeku ewy; tkudj blosq ewy;ksa esa ifjorzu d Hkfo";ok.k dju vko';d gksr gsa buesa vksj,sl vusd vu; flfkfr;ksa esa ;g tkuuk vhk"v gksrk gs fd,d izkpy esa wljs fdl izkpy osq lkis{k ifjorzu fdl izdkj gksrk gs\ ifjhkk"kk osq izkar osq izùk fcaq ij iqyu dk vodyt bl fo"k; dk eq[; mís'; gsa ifjhkk"kk eku yft, f,d oklrfod eku; iqyu gs vksj bld ifjhkk"kk osq izkar esa,d fcaq a gsa a ij f dk vodyt ( + ) 0 f a f a ls ifjhkkf"kr gs c'krsz fd bl lek dk vflrro gksa a ij f() dk vodyt f (a) ls fu:fir gksrk gsa voyksdu dft, fd f (a), a ij osq lkis{k ifjorzu dk ifjek.k crkrk gsa mkgj.k 5 ij iqyu f() 3 dk vodyt Kkr dft,a gy ge ikrs gsa ' f ( + ) ( ) 0 f f ( + ) 3 3 0

3 f.kr 6+ 3 6 3 3 3. 0 0 0 vr% ij iqyu 3 dk vodyt 3 gsa mkgj.k 6 ij iqyu f() + 3 5 dk vodyt Kkr dft,a ;g Hk fl¼ dft, fd f (0) + 3f ( ) 0. gy ge igys 0 vksj ij f() dk vodyt Kkr djrs gsaa ge ikrs gsa fd f '( ) ( + ) ( ) 0 f f ( ) ( ) + + 3 + 5 + 3 5 0 vksj f '0 0 0 0 ( ) ( 0+ ) ( 0) 0 f f ( ) ( ) 0+ + 30+ 5 0 + 30 5 0 Li"Vr% f f '0+ 3 ' 0 + 3 + 3 0 + 3 3 0 0 ( ) fvii.k bl flfkfr esa è;ku ft, fd,d fcaq ij vodyt dk eku izkir djus esa lek Kkr djus osq fofo/ fu;eksa dk izhkkodkj iz;ks lfeefyr gsa fueufyf[kr bldks Li"V djrk gs% mkgj.k 7 0 ij si dk vodyt Kkr dft,a gy eku yft, f() si. rc f (0) ( 0+ ) ( 0) 0 f f si 0+ si 0 0 si 0

mkgj.k 8 0 vksj 3 ij iqyu f() 3 dk vodyt Kkr dft,a lek vksj vodyt 33 gy D;ksafd vodyt iqyu esa ifjorzu dks ekirk gs] lgt:i ls ;g Li"V gs fd vpj iqyu dk izr;sd fcaq ij vodyu 'kwu; gksuk pkfg,a bls] oklro es a] fueufyf[kr ifjdyu ls cy feyrk gsa f '0 bl izdkj f '3 () vc ge,d fcaq ij iqyu osq vodyt d T;kfer; O;k[;k izlrqr djrs gsaa eku yft, y f(),d iqyu gs vksj eku yft, bl iqyu osq vkys[k ij P (a, f(a)) vksj Q (a +, f(a + ) ks ijlij fudv fcaq gsaa vko`qfr 3. vc Lo;a O;k[;kRed gsa ge tkurs gsa fd ( a) f f 0+ f 0 3 3 0 0. 0 0 0 f 3+ f 3 3 3 0. 0 0 ( + ) 0 f a f a fkhkqt PQR, ls ;g Li"V gs fd og vuqikr ftld lek ge ys jgs gsa] ;FkkFkZrk ls ta (QPR) osq cjkcj gs tks fd tok PQ dk <ky gsa lek ysus d izfø;k esa] tc, 0 d vksj vzlj gksrk gs] fcaq Q, P d vksj vzlj gksrk gs vksj ge ikrs gsa vfkkzr~ f ( a+ ) f ( a) QR PR 0 Q P vko`qfr 3. ;g bl rf; osq rqy; gs fd tok PQ, oø y f() osq fcaq P ij Li'kZ d vksj vzlj gksr gsa vr% f ( a) ta ψ.,d f, iqyu f osq fy, ge izr;sd fcaq ij vodyt Kkr dj ldrs gsaa ;f izr;sd fcaq ij vodyt dk vflrro gs rks ;g,d u;s iqyu dks ifjhkkf"kr djrk gs ftls iqyu f dk vodyt dgk tkrk gs vksipkfjd :i ls ge,d iqyu osq vodyt dks fueufyf[kr izdkj ifjhkkf"kr djrs gsaa

34 f.kr ifjhkk"kk eku yft, fd f,d oklrfod eku; iqyu gs] rks ( + ) 0 f f ls ifjhkkf"kr iqyu] tgk dga lek dk vflrro gs] dks ij f dk vodyt ifjhkkf"kr fd;k tkrk gs vksj f () ls fu:fir fd;k tkrk gsa vodyt d bl ifjhkk"kk dks vodyt dk izfke fl¼kar Hk dgk tkrk gsa f + f bl izdkj f () 0 Li"Vr% f () d ifjhkk"kk dk izkar og gs tgk dga mi;qzdr lek dk vflrro gsa,d iqyu osq vodyt osq fofhkuu laosqru gsaa dhk&dhk f () dks f ( ) d d ls fu:fir fd;k tkrk gs ;f y f(), rks ;g dy ls fu:fir fd;k tkrk gsa bls y ;k f() osq lkis{k vodyt d osq :i esa myysf[kr fd;k tkrk gs bls D (f () ) ls Hk fu:fir fd;k tkrk gsa d df blosq vfrfjdr a ij f osq vodyt dks f( ) ;k d a d a ;k fu:fir fd;k tkrk gsa mkgj.k 9 f() 0 dk vodyt Kkr dft,a ( + ) 0( + ) 0 gy ge ikrs gsa f () f f 0 0 0 0 0 0 mkgj.k 0 f() dk vodyt Kkr dft,a 0 df d a ls Hk gy ge ikrs gsa f () 0 ( + ) f f ( + ) 0 + 0

lek vksj vodyt 35 mkgk.k,d vpj oklrfod la[;k a osq fy,] vpj iqyu f() a dk vodyt Kkr dft,a gy ge ikrs gsa f () ( + ) 0 f f a a 0 0 D;ksafd 0 0 0 mkgj.k f() dk vodyt Kkr dft,a gy ge ikrs gsa f () ( + ) 0 f f ( + ) 0 ( + ) + 0 0 ( + ) 0 ( + ) 3.5. iqyuksa osq vodyt dk ctf.kr (Algebra of derivative of fuctios) D;ksafd vodyt d ;FkkFkZ ifjhkk"kk esa lek fu'p; g l/s :i eas lfeefyr gs] ge vodyt osq fu;eksa osq fudvrk ls lek osq fu;eksa osq vuqeu d vk'kk djrs gsaa ge budks fueufyf[kr izes;ksa esa ikrs gsa% izes; 5 eku yft, f vksj g ks,sls iqyu gsa fd muosq mhk;fu"b izkar esa muosq vodyu ifjhkkf"kr gsa] rc (i) ks iqyuksa osq ;ks dk vodyt mu iqyuksa osq vodytksa dk ;ks gsa d f g d f d g d d d + () + ()

36 f.kr (ii) (iii) (iv) ks iqyuksa osq varj dk vodyt mu iqyuksa osq vodytksa dk varj gsa d f ( ) g( ) d f( ) d g( ) d d d ks iqyuksa osq q.ku dk vodyt fueufyf[kr q.ku fu;e (product rule) ls f;k ;k gs% d f ( ). g( ) d f( ). g( ) f( ). d g( ) d d + d ks iqyuksa osq HkkiQy dk vodyt fueufyf[kr HkkiQy fu;e (quotiet rule) ls f;k ;k gs (tgk dga gj 'kwu;srj gs) d d f( ). g( ) f( ) g( ) d f( ) d d d g( ) g bud miifùk lekvksa d rqy; :i izes;ksa ls vko';d; :i ls vuqlj.k djr gsaa ge bugsa ;gk fl¼ uga djsasa lekvksa d flfkfr d rjg ;g izes; crykrk gs fd fo'ks"k izdkj osq iqyuksa osq vodyt dsls ifjdfyr fd, tkrs gsaa izes; osq vafre ks dfkuksa dks fueufyf[kr <a ls iqu% dgk tk ldrk gs ftlls muosq iqulezj.k djus esa vklku ls lgk;rk feyr gsa eku yft, u f ( ) vksj v g () rc uv uv + uv ;g iqyuksa osq q.ku osq vodyu osq fy, Leibitz fu;e ;k q.ku fu;e myysf[kr gksrk gsa bl izdkj] HkkiQy fu;e gs u v uv uv v vc] vkb, ge oqqn ekud iqyuksa osq vodyuksa dks ysaa ;g s[kuk ljy gs fd iqyu f() dk vodyt vpj iqyu gsa ;g gs D;ksafd f () ( + ) 0 f f + 0 0

lek vksj vodyt 37 ge bldk vksj mi;qzdr izes; dk iz;ks f() 0 + +... + (0 i) (mi;qzdr izes; osq (i) ls) osq vodyt osq ifjdyu esa djrs gsa df ( ) d d d ( +... + ) (0 i) d d +... + (0 i) d d +... + (0 i) 0. ge è;ku srs gsa fd bl lek dk eku q.ku lwk osq iz;ks ls Hk izkir fd;k tk ldrk gsa ge fy[krs gsa] f() 0 uv, tgk u fy[krs gsa tgk u izr;sd tg eku 0 ysdj vpj iqyu gs vksj v(). ;gk ge tkurs gsa fd u dk vodyt 0 osq cjkcj gs lkfk g v() dk vodyt osq cjkcj gsa bl izdkj q.ku fu;e ls] ge ikrs gsa f ( ) ( 0) ( uv) uv + uv 0. + 0. 0 bl vk/kj ij f() osq vodyt dk eku izkir fd;k tk ldrk gsa ge ikrs gsa f(). vksj vr% df d d d d d d d (. ) ( ). +. ( ). +. vf/d O;kid :i ls ge fueufyf[kr izes; ikrs gsa% izes; 6 fdl /u iw.kk±d osq fy, f() dk vodyt gsa miifùk vodyt iqyu d ifjhkk"kk ls] ge ikrs gsa f ' ( ) ( + ) f f 0 0 + f}i izes; dgrk gs fd ( + ) ( C ) 0 C... ( C ) ( + ) ( +... + ) bl izdkj df ( ) d 0 + (... ) 0 0 + +, + + + vksj ( +... + ).

38 f.kr fodyir%] ge bldks ij vkeu vksj q.ku lwk ls Hk fueu izdkj fl¼ dj ldrs gsa% osq fy, ;g lr; gs tslk fd igys f[kk;k tk pqdk gs d ( ) d d (. ) d d d ( ).( ). ( ) d d.. (( ) ) + (q.ku lwk ls) + (vkeu ifjdyiuk ls) + ( ) fvii.k mi;qzdr izes;,d lhk?kkrksa osq fy, lr; gs vfkkzr~ dksbz Hk oklrfod la[;k gks ldr gsa (ysfdu ge bldks ;gk fl¼ uga djsas) 3.4. cgqiksa vksj fkdks.kfer; iqyuksa osq vodyt (Derivative of polyomials ad trigoometric fuctios) ge fueufyf[kr izes; ls izkjahk djsas tks gedks cgqi; iqyuksa osq vodyt crykr gsa izes; 7 eku yft, f() a + a +... + a + a,d cgqi; iqyu gs tgk a 0 i s lhk oklrfod la[;k, gsa vksj a 0 rc vodyt iqyu bl izdkj f;k tkrk gs% df ( ) a + ( ) a +... + a+ a d bl izes; d miifùk izes; 5 vksj izes; 6 osq Hkk (i) dks ekk lkfk j[kus ls izkir d tk ldr gsa mkgj.k 3 gy 6 00 55 + osq vodyt dk ifjdyu dft,a mi;qzdr izes; dk l/k vuqiz;ks crykrk gs fd mi;qzdr iqyu dk vodyt + gsa 99 54 600 55 mkgj.k 4 ij f() + + + 3 +... + 50 dk vodyt Kkr dft,a. gy mi;qzdr izes; 7 dk l/k vuqiz;ks crykrk gs fd mi;qzdr iqyu dk vodyt + + 3 +... + 50 49 gsa ij bl iqyu dk eku + () + 3() +... + 50() 49 ( 50 )( 5 ) + + 3 +... + 50 75 gsa

lek vksj vodyt 39 + mkgj.k 5 f() dk vodyt Kkr dft,a gy ;g iqyu 0 osq vfrfjdr izr;sd osq fy, ifjhkkf"kr gsa ge ;gk u + vksj v ysdj HkkiQy fu;e dk iz;ks djrs gsaa vr% u vksj v blfy, df ( ) d + d u uv uv + d d d v v mkgj.k 6 si osq vodyt dk ifjdyu dft,a gy mkgj.k 7 eku yft, f() si, rc df ( ) f ( + ) f ( ) si ( + ) si( ) d 0 0 + cos si ( si A si B osq lwk dk iz;ks djosq) 0 si cos. + cos. cos. 0 0 ta osq vodyt dk ifjdyu dft,a gy eku yft, f() ta, rc df ( ) f ( + ) f ( ) ta( + ) ta( ) d 0 0 ( + ) ( + ) si si 0 cos cos ( + ) ( + ) cos( + ) cos si cos cos si 0 ( + ) ( + ) si (si (A + B) osq lwk dk iz;ks djosq) 0 cos cos

330 f.kr mkgj.k 8 si. cos cos 0 0 ( + ). sec cos f() si osq vodyt dk ifjdyu dft,a gy ge bldk eku izkir djus osq fy, Leibitz q.ku lwk dk iz;ks djrs gasa df ( ) d d (si si ) d (si ) si + si (si ) (cos ) si + si (cos ) si cos si. iz'ukoy 3.. 0 ij dk vodyt Kkr dft,a. l00 ij 99 dk vodyt Kkr dft,a 3. ij dk vodyt Kkr dft,a 4. izfke fl¼kar ls fueufyf[kr iqyuksa osq vodyt Kkr dft,% (i) 3 7 (ii) ( )( ) (iii) 5. iqyu 00 99 (iv) + f + +... + + + 00 99 osq fy, fl¼ dft, fd f () 00 f ( 0). 6. fdl vpj oklrfod la[;k a osq fy,... vodyt Kkr dft, 7. fduga vpjksa a vksj b, osq fy,] (i) ( a)( b) (ii) osq vodyt Kkr dft,a + a + a + + a + a dk a + b (iii) a b

lek vksj vodyt 33 8. fdl vpj a osq fy, a a 9. fueufyf[kr osq vodyt Kkr dft,% (i) 3 4 dk vodyt Kkr dft,a (ii) ( 5 3 + 3 )( ) (iii) 3 ( 5 3) 4 5 (v) ( 3 4 ) 5 9 + (iv) ( 3 6 ) (vi) 0. izfke fl¼kar ls cos dk vodyt Kkr dft,a. fueufyf[kr iqyuksa osq vodyt Kkr dft,a + 3 (i) si cos (ii) sec (iii) 5sec + 4cos (iv) cosec (v) 3cot + 5cosec (vi) 5si 6cos+ 7 (vii) ta 7sec fofo/ mkgj.k mkgj.k 9 izfke fl¼kar ls f dk vodyt Kkr dft, tgk f bl izdkj izùk gs% (i) f () + 3 (ii) f () + gy (i) è;ku ft, fd iqyu ij ifjhkkf"kr uga gsa ysfdu] ge ikrs gsa + + 3 + 3 f ( + ) f ( ) f ( ) + 0 0 0 0 ( + + 3)( ) ( + 3)( + ) ( )( + ) ( + 3)( ) + ( ) ( + 3)( ) ( + 3) ( )( + ) 7 7 + 0

33 f.kr (ii) iqu% è;ku ft, fd ij iqyu f Hk ifjhkkf"kr uga gsa 0 ij iqyu ifjhkkf"kr uga gsa ysfdu] ge ikrs gsa ( ) f + + + f ( + ) f ( ) + 0 0 0 + + + 0 ( + ) 0 ( + ) 0 + iqu% è;ku ft, fd 0 ij iqyu f ifjhkkf"kr uga gsa mkgj.k 0 izfke fl¼kar ls iqyu f() dk vodyt Kkr dft, tgk f() (i) si + cos (ii) si gy (i) ge ikrs gsa] ' f ( + ) f f si + + cos + si cos 0 si cos+ cos si + cos cos si si si cos 0 si cos si + si cos + cos cos 0 si cos si + si 0 0 cos si ( cos ) + cos 0 ( cos )

(ii) f '( ) si f + f + + si 0 0 + si cos+ si cos si 0 lek vksj vodyt 333 ( ) + + ( + ) si cos cos si si cos si cos 0 ( ) + 0 + ( si cos+ si cos ) si cos si cos 0 cos + si mkgj.k (i) f() si osq vodyt dk ifjdyu dft,a 0 (ii) g() cot gy (i) fkdks.kfefr lwk si si cos dk iqulezj.k dft,a bl izdkj df ( ) d d d d d ( si cos ) ( si cos ) ( si ) cos + si ( cos ) cos ( si ) ( cos) cos+ si( si) cos (ii) ifjhkk"kk ls] g() cot ge HkkiQy lwk dk iz;ks bl iqyu ij djsas] tgk dga si ;g ifjhkkf"kr gsa dg d d cos (cot ) d d d si (cos ) (si ) (cos )(si ) (si ) ( si )(si ) (cos )(cos ) (si ) si + cos cosec si

334 f.kr fodyir%] bldks è;ku sdj fd cot ta, ifjdfyr fd;k tk ldrk gsa ;gk ge bl rf; dk iz;ks djrs gsa fd ta dk vodyt sec gs tks geus mkgj.k 7 esa s[kk gs vksj lkfk g vpj iqyu dk vodyt 0 gksrk gsa dg d d d (cot ) d d ta () (ta ) () (ta ) (ta ) (0)(ta ) (sec ) (ta ) sec cosec ta mkgj.k (i) 5 cos si dk vodyt Kkr dft,a (ii) + cos ta gy (i) eku yft, HkkiQy fu;e dk iz;ks djsasa 5 cos si. tgk dga Hk ;g ifjhkkf"kr gs] ge bl iqyu ij ( ) 5 5 ( cos ) si ( cos )(si ) (si ) 4 5 (5 + si )si ( cos )cos si 5 4 cos + 5 si + (si ) (ii) ge iqyu + cos ta ij HkkiQy fu;e dk iz;ks djsas tgk dga Hk ;g ifjhkkf"kr gsa

( + cos ) ta ( + cos )(ta ) ( ) (ta ) lek vksj vodyt 335 ( si )ta ( + cos )sec (ta ) vè;k; 3 ij fofo/ iz'ukoy. izfke fl¼kar ls fueufyf[kr iqyuksa dk vodyt Kkr dft,% π (i) (ii) ( ) (iii) si ( + ) (iv) cos ( ) 8 fueufyf[kr iqyuksa osq vodyt Kkr dft, (;g le>k tk; fd a, b, c, d, p, q, r vksj s fuf'pr 'kwu;srj vpj gsa vksj m rfkk iw.kk±d gsaa):. ( + a) 3. (p + q) r + s 4. ( a + b)( c + d ) 5. a + b c + d 6. + 7. a + b + c a + b 8. p + q+ r 9. p + q+ r a + b a b 0. + cos 4. 4. ( a + b) 3. ( a + b) ( c + d) 4. si ( + a) 5. cosec cot 6. 7. 0. si + cos si cos a+ bsi c+ dcos 3. ( ) 8.. sec sec + si( + a) cos + cos 4. ( a + si )( p + q cos ) cos + si 9. si. 4 (5si 3cos ) m

336 f.kr 5. ( cos )( ta ) + 6. 4 + 5si 3 + 7cos 7. π cos 4 si 8. + ta 9. ( sec )( ta ) + 30. si lkjka'k iqyu dk visf{kr eku tks,d fcaq osq ckb± vksj osq fcaqvksa ij fuhkzj djrk gs] fcaq ij iqyu osq ck, i{k d lek (Left aded it) dks ifjhkkf"kr djrk gsa bl izdkj k, i{k d lek (Rigt aded it)a,d fcaq ij iqyu d lek ck, i{k vksj k, i{k d lekvksa ls izkir mhk;fu"b eku gsa ;f os laikr gksaa ;f fdl fcaq ij ck, i{k vksj k, i{k d lek, laikr u gksa rks ;g dgk tkrk gs fd ml fcaq ij iqyu d lek dk vflrro uga gsa,d oklrfod la[;k a vksj,d iqyu f osq fy, f() vksj f (a) leku uga Hk a gks ldrs (oklro esa],d ifjhkkf"kr gks vksj wljk uga) iqyukas f vksj g osq fy, fueufyf[kr ykw gksrs gsa% [ f ( ) ± g( ) ] f ( ) ± g( ) [ ] f ( ). g( ) f ( ). g( ) f ( ) f ( ) g ( ) g ( ) fueufyf[kr oqqn ekud lek, gsaa a a si a

lek vksj vodyt 337 cos 0 a ij iqyu f dk vodyt f ( a+ ) f ( a) f ( a) ls ifjhkkf"kr gksrk gsa 0 izr;sd fcaq ij vodyt] vodyt iqyu df ( ) f ( + ) f ( ) f ( ) ls ifjhkkf"kr gksrk gsa d 0 iqyuksa u vksj v osq fy, fueufyf[kr ykw gksrk gs% ( u± v) u ± v ( uv) u v+ uv u uv uv v v c'krsz lhk ifjhkkf"kr gsaa fueufyf[kr oqqn ekud vodyt gsa% d ( ) d d (si ) cos d d (cos ) si d,sfrgkfld i`"bhkwfe f.kr osq bfrgkl esa dyu osq vuos"k.k osq Js; d Hkkkj gsrq ks uke izeq[k gas Issac Newto (64 77) vksj G.W. Leibitz (646 77). lkgoa 'krkc esa ksuksa us Lorakrk iwozd dyu dk vuos"k.k fd;ka dyu osq vkeu osq ck blosq vkke fodkl gsrq vusd f.krkksa us ;ksku fd;ka ifj'kq¼ ladyiuk dk eq[; Js; egku f.krkksa A.L.Caucy, J.L.Lagrage vksj Karl Weier strass dks izkir gsa Caucy us dyu dks

338 f.kr vk/kj f;k ftldks vc ge O;kidr% ikb~~; iqlrdksa esa Lodkj dj pqosq gsaa Caucy us D'Almbert d lek ladyiuk osq iz;ks osq }kjk vodyt d ifjhkk"kk A lek d ifjhkk"kk ls izkjahk djrs gq, α 0 osq fy, siα α d lek tsls mkgj.k f,a mugksaus y f( + i) f( ), i fy[kk vksj i 0, osq fy, lek dks 'f "() osq fy, y*] fuctio derive e uke f;ka 900 ls iwoz ;g lkspk tkrk Fkk fd dyu dks i<+kuk cgqr dfbu gs] blfy, dyu ;qokvksa d igq p ls ckgj FkA ysfdu Bd 900 esa baysam esa Jo Perry,oa vu; us bl fopkj dk izpkj djuk izkjahk fd;k fd dyu d eq[; fof/;k vksj /kj.kk, ljy gsa vksj LowQy Lrj ij Hk i<+k;k tk ldrk gsa F.L. Griffi us dyu osq vè;;u dks izfke o"kz osq Nkkksa ls izkjahk djosq usr`ro izku fd;ka mu fuksa ;g cgqr pquksriw.kz dk;z FkkA vkt u osqoy f.kr vfirq vusd vu; fo"k;ksa tsls HkkSfrd] jlk;u fokku] vfkz'kklk] tofokku esa dyu d mi;ksfrk egroiw.kz gsa