Fizika AE, 8. feladatsor ida György József vidagyorgy@gmail.com. feladat: Az ábrán látható áramkörben határozzuk meg az áramer sséget! 4 5 Utolsó módosítás: 05. április 4., 0:9 El ször ki kell számolnunk az öt ellenállásból álló hálózat ered ellenállását. együk észre, hogy a 3-as és az 5-ös ellenállás végei rövidre vannak zárva, így azokon sosem folyik áram, vagyis azok nem járulnak hozzá az ered ellenálláshoz. Így összesem három ellenállás marad, az -es, a -es és a 4-es, melyek közül a -es és a 4-es párhuzamosan vannak kapcsolva:,4 + 4, - illetve ezekkel sorosan van kapcsolva az -es: nnen a telepen átfolyó áram: e + 3, - 3 e 3. -3. feladat: Az ábrán látható áramkörben számítsuk ki az egyes ágakban folyó áramer sségeket! A megoldáshoz a Kirchho-törvényeket fogjuk használni. Az áramkör két csomópontot tartalmaz, írjuk fel ezekre a csomóponti törvényt: A : 0 3 - B : 0 + + 3. - 3 -A. ábra Ω A 4 Ω 3 8 Ω 3 0 3 B -A. ábra Ezután írjuk fel az áramkörben Kirchho. törvényét. Összesen három hurokra lehet ezt megtenni: 3 : 0 + + 3 3-3 3 : 0 3 3 + + -4 : 0 + + + -5 A Kirchho-törvények öt egyenletet adnak, melyek három ismeretlent tartalmaznak, és 3. Ezeknek csak akkor lehet megoldása, ha az egyenletek összefügg ek. Azt azonnal láthatjuk, hogy a két csomóponti egyenlet
összefügg, az egyik a másik -szerese, illetve az is észrevehet, hogy az els két hurokegyenlet összege a harmadikat adja. Tehát ha a -, a -3 és a - egyenletek nem ellentmondóak, akkor egyértelm megoldást adnak a három ismeretlenre. Az egyenletrendszer: 0 3-6 0 3 + Ω + 3 8 Ω -7 0 3 8 Ω + 4 Ω + 0-8 Az els egyenletb l + 3, amit a másodikba behelyettesítve: 0 3 + Ω + 3 0 Ω. -9 A -9-es egyenlet kett vel megszorozva, majd abból a -8-et kivonva: 0 64 + 3 0 Ω 3 8 Ω + 0-0 0 84 + 3 8 Ω - 3 3 A. - Ez visszahelyettesítve a -9-be: A - alapján: 0 3 + Ω + 3 A 0 Ω -3 A. -4 4 A. -5 Tehát az ellenállásokon az ábrán szerepl nyilak irányában folyik át rendre 4 A, A és 3 A. 3. feladat: Egy 0 elektromotoros erej, b bels ellenállású telepre egy nagyságú ellenállást kötünk. a Mekkora terhel ellenállás esetén lesz maximális a telepb l kivett teljesítmény? b Mikor maximális a hatásfok? a A hasznos teljesítmény az, ami a telepre kapcsolt ellenálláson esik: P hasznos. Ehhez el ször ki kell számolni az ellenálláson es feszültséget, és az áramkörben folyó áramot. A telepet terhel ered ellenállás: e + b, vagyis az áram: e + b. 3- Mivel ez egy soros feszültségosztó, így az ellenálláson es feszültség: Ezek alapján a hasznos teljesítmény: P hasznos + b. 3- + b. 3-3
Ennek a maximumát keressük az változtatása mellet. Ehhez deriváljuk a kifejezést szerint: dp hasznos d d d + b. + b + b 3 3-4. A széls érték meglétének feltétele, hogy az els derivált nulla legyen: 0 + b + b 3 3-5 0 + b 3-6 b. 3-7 Ahhoz, hogy ez egy maximum legyen, elégséges azt megvizsgálni, hogy a második derivált negatív-e ezen a helyen: d P hasznos d d d + b + b 3 3-8 + b 3 + b 3 + 6 + b 4 d P hasznos d b 4 8 3 + 6 b b 6 4 b 8 3 b < 0. 3-9 3-0, alóban negatív, vagyis a teljesítmény tényleg maximális. b A hatásfok a hasznos teljesítmény és a teljes befektetett teljesítmény aránya. A telep által leadott teljesítmény itt P telep, vagyis η P hasznos P telep + b + b + b, 3- melynek maximumát hasonlóan kereshetjük meg: dη d + b + b 0 3- + b 3-3 b 0. 3-4 Láthatjuk, hogy nincs olyan érték, amelyre az egyenletet teljesíteni tudjuk kiesik, vagyis az η függvénynek nincs széls értéke. Ha ábrázoljuk a görbét, könnyen láthatjuk, hogy az zikai > 0 tartományban a hatásfok növelésével egyre n, és minél nagyobb a terhel ellenállás, annál nagyobb lesz a hatásfok is, de az η -et csak aszimptotikusan tudjuk elérni. b η b 3-A. ábra 3
A 3 4 3 00 Ω 6 4-A. ábra 3 0 Ω 5 Ω B 4. feladat: Mekkorák az ábrán jelölt áramkör egyes ágaiban folyó áramer sségek? A megoldás menete megegyezik a. feladatban szerepl vel. El ször felírjuk a csomóponti törvényeket az A és a B csomópontra: A : 0 3 4- B : 0 + + 3, 4- majd pedig felírjuk az áramkörben fellelhet összes hurokra a huroktörvényt: 3 : 0 + + 3 4-3 3 3 : 0 3 + 3 3 4-4 3 : 0 + 3 3 4-5 Az öt egyenletben három ismeretlen van. Az egyenletrendszer itt is összefügg : a 4- egyenlet a 4- -szerese, illetve a 4-3 és a 4-4 egyenletek összege a 4-5-at adja. A független egyenletrendszer: 0 + + 3 4-6 0 6 + 5 Ω 0 Ω + 4 4-7 0 4 + 0 Ω 3 00 Ω. 4-8 Az els b l kifejezve, majd a másodikba helyettesítve: 0 8 5 Ω 3 5 Ω, 4-9 majd a harmadikat,5-tel megszorozva és ehhez hozzáadva: 0 8 5 Ω 3 5 Ω +,5 4 + 0 Ω 3 00 Ω 4-0 0 3 55 Ω 4-3 0. 4- Ez visszahelyettesítve: 0 + 0 Ω 4-3, A, 4-4 illetve, A. 4-5 Tehát az -es ellenálláson A nyílnak megfelel irányba folyik, A, a -es ellenálláson szintén, A folyik, de a kezdetben felvettel ellentétes irányban. A 3-as ellenálláson nem folyik áram. 4
5. feladat: Két ellenállás közül az egyik 40 kω nagyságú és P 4 W teljesítmény, a másik 0 kω nagyságú és szintén P 4 W teljesítmény. Mekkora feszültséget kapcsolhatunk maximálisan az ellenállásokra, ha sorba kötjük ket? Ha sorba kapcsoljuk ket, akkor ugyanakkora áram folyik át rajtuk. Számoljuk ki az egyik és a másik esetben is ezt a kritikus értéket, és a kett közül a kisebbik lehet a maximális rákapcsolt áram. A teljesítmény: P felhasználva az / Ohm-törvényt. A megadott teljesítmények névleges teljesítmények: ezek azt jelentik, hogy legfeljebb mekkora teljesítményt vesznek fel a hálózatból a fogyasztók. nnen a legnagyobb átfolyatható áramok: P 4 W,max 0,0 A, 5-40 kω,max P 4 W 0,0 A, 5-0 kω tehát a teljes áramkörön max 0,0 A folyhat át. Ekkor a teljes áramkörre kapcsolt feszültség: max + max 0,0 A 50 kω 500. 5-3 6. feladat: Az mh 5 méréshatárú, b 800 Ω bels ellenállású feszültségmér vel sorba kapcsolunk egy e,5 kω nagyságú ellenállást. Mekkorára növekszik így a m szer méréshatára? A m szer az két sarka közötti feszültséget méri. Ha a m szerrel sorba kapcsolunk egy másik ellenállást, akkor nem a teljes feszültség fog a m szeren esni. Soros feszültségosztás esetében: mért b e + b ráadott. 6- Ha a m szer méréshatára 5, akkor a mért értéke eshet 05 közé. Ekkor a ráadott maximális értéke: max,ráadott e + b mh b,5 kω + 800 Ω 5 83,5. 6-800 Ω 5
akku b,akku 7. feladat: Egy autóakkumulátort töltés céljából 3 elektromotoros erej, 0,09 Ω bels ellenállású tölt re kapcsolunk. Az akkumulátor bels ellenállása 0,0 Ω, elektromotoros ereje. a Mekkora a tölt áram? b Mekkora a tölt által leadott teljesítmény? c Mennyi az akkumulátor és a tölt melegedésére fordítódó teljesítmény? d Mennyi az akkumulátor töltésére fordítódó teljesítmény? tölt 7-A. ábra b,tölt a Az akkumulátort úgy dugjuk a tölt re, hogy annak negatív pólusát a tölt negatív pólusához, a pozitívat pedig a pozitívhoz kapcsoljuk. Az áramkör egy hurokból áll. A huroktörvény: 0 tölt + b,tölt + b,akku + akku 7- tölt akku b,tölt + b,akku b A tölt által leadott teljesítmény: 3 0 A. 7-0,09 Ω + 0,0 Ω P tölt tölt 3 0 A 30 W. 7-3 c Az akkumulátor és a tölt melegedését a bels ellenállásokon termel d Joule-h okozza. Ez veszteségként jelenik meg: P veszteség b,akku + b,tölt 7-4 d Az akkumulátor töltésére teljesítmény fordítódik. 0 A 0,0 Ω + 0 A 0,09 Ω 0 W. 7-5 P töltés akku 0 A 0 W 7-6 együk észre, hogy tölt által leadott teljesítmény megegyezik a hasznos teljesítmény és a veszteség összegével: ez egy példa energiamegmaradás törvényére. C C B 9. feladat: Mekkora az ábrán feltüntetett A és B pontok között mérhet feszültség, ha a telep bels ellenállása elhanyagolható? C A 9-A. ábra Ahhoz, hogy meghatározzuk az A és a B pontok közötti feszültséget, az áramkör mentén be kell járnunk egy utat a kép pont között, és meg kell néznünk, hogy mekkora feszültség esik az egyes áramköri elemeken, amelyeken áthaladunk. álasszuk az A C B útvonalat. Az állandósult állapotban a C és C kondenzátorok fel vannak tölt dve, azokon áram nem folyik. Így áram csak az ellenállásokat tartalmazó ágban van: +. 9-6
Az ellenálláson es feszültség: +, 9- melyet pozitív el jellel kell gyelembe venni, hiszen az áram arra folyik, amerre haladunk A C. Mivel a kondenzátorok sorba vannak kapcsolva, így a töltésük megegyezik: Q Q Q. Ered kapacitásuk mellyel a töltés vagyis az -es kondenzátoron es feszültség C, Q C C C +, 9-3 C Q C C +, 9-4 C C + C C C C + C. 9-5 Ezt viszont negatív el jellel kell gyelembe venni, hiszen a feszültség növekszik, ahogy a kondenzátoron átlépünk. Tehát a B pont A ponthoz viszonyított feszültsége : AB C. 9-6 + C + C 0. feladat: Az ábrán látható kapcsolásban mekkorának válasszuk az x ellenállást, hogy a K kapcsoló zárása ne befolyásolja az áram értékét? A kapcsoló bekapcsolása akkor nem módosítja a folyó áramot, ha a kapcsoló két vége között bekapcsolt állapotban sem folyik áram, ami akkor lehetséges, ha a két végpont ugyanakkora potenciálú. Azt kiszámoltuk korábban, hogy a soros ágakban az ellenállások arányában esik a feszültség, vagyis + x x x + 3. 0- Akkor lesz ekvipotenciális a kapcsoló két végpontja, ha az és az x ellenállásokon ugyanakkora feszültség esik, vagyis ha x 0- x + x + 3 0-3 x + 3 x + 0-4 3 x 0-5 x. 3 0-6 Tehát akkor nem folyik áram a kapcsolón, ha a soros ágakban az ellenállások aránya megegyezik. x K 3 0-A. ábra 7