Oktatási Hivatal A 0/0 tanévi FIZIKA Országos Középiskolai Tanulmányi Verseny első fordulójának feladatai és megoldásai fizikából II kategória A dolgozatok elkészítéséhez minden segédeszköz használható Megoldandó az első három feladat és a 4/A és 4/B sorszámú feladatok közül egy szabadon választott Ha valaki a 4/A és 4/B feladatra is ad megoldást, csak az egyiket, a több pontot elérő megoldást vesszük figyelembe Minden feladat teljes megoldása 0 pontot ér Egy test úgy mozog körpályán, hogy sebességének nagysága egy félkör megtétele közben egyenletesen felére csökken Mekkora szöggel fordult el ezalatt a test gyorsulásvektora? Megoldás Az r sugarú körön a test által megtett út rπ A kezdősebesség v A félkör befutása után v/, ezzel az átlagsebesség 075v A közben eltelt t idővel rπ = 075vt Az állandó érintőirányú gyorsulás a e = v/t A centripetális gyorsulás a két esetben (az ábra nem méretarányos) a cp = v /r, és a cp = v /4r Ezekkel a gyorsulás vektorok sugárral bezárt szöge az egyes helyzetekben: ae r 3 tg α = = =, a vt 8π ebből α = 6,8 o így β = 5,5 o cp a r 3 e tg β = = =, acp vt π Ezekből a gyorsulás elfordulásának szöge 80 o + β α=98,7 o 00 o
Egy α = 30 o -os hajlásszögű lejtőre két testet helyezünk, melyek egymástól L = 40 cm távolságra vannak A felső test tömege m = 0,9 kg, az alsóé, amelyet egy könnyű rugó tart, négyszer akkora A testek a lejtőn súrlódásmentesen mozoghatnak A felső test elengedés után ütközik az alsóval Az ütközés tökéletesen rugalmasnak és pillanatszerűnek tekinthető Számoljunk g = 0 m/s -tel! a) Mekkora a rugó direkciós ereje (rugóállandója), ha a testek ütközés utáni első megállása ugyanakkor következik be? b) Mekkora távolságra vannak ekkor egymástól? I Megoldás a) A test az L = 0,5 m utat a = gsinα = 5 m/s gyorsulással teszi meg Az ütközésig eltelt idő a négyzetes út-törvényből L 0,4 m t = = = 0, 4 s, a m 5 s az elért sebesség m v = at = s Mivel az ütközés pillanatszerű, ezért a külső erők lendületváltoztató hatása nullának, a két test rendszere ezért zártnak tekinthető, tehát a lendület megmarad A tökéletes rugalmasság miatt a rendszer mechanikai energiája sem változik, s mivel a testek helyzete sem változik, ezért mozgási energiája is megmarad A pozitív irány legyen lefele mutató irány, az m tömegű test sebességét jelölje u, a 4m tömegűét c Ezzel az egyenletek: mv = mu+ 4mc és 4 mv = mu + mc Az egyenletrendszer (u, c 0) megoldása u =, m s (tehát a test visszapattan), c = 0,8 m/s A test felfelé t = u = 0,4 s a ideig halad Ez alatt megtett útja ut s = = 0,44 m A rugón lévő test harmonikus rezgést végez, melynek középhelyzete a kiindulási helyzet Megállásig szélső helyzetbe jut, megtesz amplitúdónyi utat, s közben eltelik a rezgésidő negyede, ami t kell legyen: T π 4m m 0,9 kg t ' = = = π = π 4 4 D D D 0/0 OKTV forduló
Tehát ebből 0,9 kg 0, 4 s = π, D N D = 54 m Aπ b) Az amplitúdó v max = Aω alapján, vagyis c =, numerikusan T Aπ 0,8 =, 40,4 ebből A = 0,m, ekkor a testek d = A + s távolságra lesznek egymástól, ami d = 0,66 m II Megoldás Sebességek az ütközés előtti pillanatban: v m m m = glsinα = 0 0,4 m 0,5 = 4 = s s s m v 4m = 0 Az ütközés pillanatszerű és abszolút rugalmas: a külső erők elhanyagolhatók a belső erők mellett az ütközés időtartamára, tehát a rendszer az ütközés alatt zártnak tekinthető Az ütközés utáni (kezdő-)sebességek: mvm + 0 5 3 3 m m um = ( k+ ) c kvm = vm = vm vm = vm = =,, 5m 5 5 5 5 s s mvm + 0 m m u4m = ( k+ ) c 0= = vm = = 0,8 5m 5 5 s s Itt 0 k k értéke, ha az ütközés abszolút rugalmas, 0, ha abszolút rugalmatlan c a tömegközéppont sebessége A visszalökött test útja és menetideje a megállásig: 9 gl sin α um um 5 9 sm = = = = L= 0,44 m, a gsinα gsinα 5 9 L sm 5 6 L 6 0,4 m t = = = = = 0,4 s u 3 m m glsinα 5 gsinα 5 0 sin30 5 s A 4m tömegű test a megállásig s = A utat tesz meg A feltétel szerint a létrejövő rezgés negyed periódusideje megegyezik a felfelé csúszó test mozgásidejével, amit már ismerünk Felhasználva a rezgés maximális sebesség és amplitúdó összefüggését erre érvényes: 0/0 3 OKTV forduló
v max π = u = A ω = A, T 4m ahonnan az amplitúdó: T m 4 0,4 s A= u4m = 0,8 = 0, m π s π Innen (mivel a konstans nehézségi erő csak eltolja a rezgés egyensúlyi helyzetét): DA = 4 mu4m ami a rezgés maximális mozgási és maximális potenciális energiája egyenlőségét fejezi ki A keresett direkciós erő: m 40,9 kg 0,8 4mu 4m s N D = = = 54,8 A 0, m m Ezzel a két test közötti távolság megálláskor: d = sm + s4m = sm + A= 0,44 m + 0, m =0,66 m 3 Deszkához rögzített, hőszigetelő, A = dm keresztmetszetű hengerben V 0 = 5 dm 3 térfogatú, normál állapotú levegőt könnyen mozgó, szintén hőszigetelő dugattyú tart bezárva A dugattyú egy D = 70 N/m direkciós erejű, másik végén rögzített, kezdetben nyújtatlan rugónak támaszkodik az ábra szerint A henger, dugattyú és deszka össztömege m = kg A deszka és a talaj közötti tapadási súrlódás együtthatója µ = 0,6 Számoljunk g = 0 m/s -tel! a) Maximálisan mennyivel mozdulhat el a dugattyú addig, amíg a deszka meg nem csúszik, ha a hengerben lévő fűtőszál segítségével a bezárt levegőt lassan melegíteni kezdjük? b) Meddig emelhetjük a hengerben a levegő hőmérsékletét, hogy a deszka ne csússzon meg? c) Mennyivel mozdul el a henger, ha ezután a gáz abszolút hőmérsékletét lassan kétszer ekkorára emeljük? (A tapadási és a csúszási súrlódási együtthatót azonosnak vehetjük) d) Mennyi hőt vett fel összesen a levegő? Megoldás A gáz hőmérsékletének emelésével megnövekvő nyomás addig tolja ki a dugattyút, amíg a henger-deszka rendszerére ható külső erők (rugó és az egyre növekvő tapadási súrlódási erő) összege 0 marad A folyamat első szakaszában a henger nyugalomban van A tapadó súrlódási erő együtt növekszik a rugó által kifejtett erővel mindaddig, amíg a súrlódási együttható által megszabott maximális értéket el nem éri Ezután a deszka a hengerrel együtt elmozdul, a lassú melegítés miatt egyensúlyi helyzeteken keresztül jut egyre távolabb az ezután már végig nyugalomban maradó dugattyútól a) A dugattyú eltolódását meghatározó erőegyensúlyra: Dx µ mg = 0, ahol a második tag a súrlódási erő maximuma 0/0 4 OKTV forduló
Innen a dugattyú elmozdulása: m µ mg x = = =0, m D N 70 m b) A gáztörvény szerint: pv T 0,6 kg 0 s ( + Ax) p V 0 0 0 = () T 0 A dugattyú egyensúlyára felírható egyenlet a dugattyú maximális eltolódásakor: pa = Dx+ pa 0 () vagyis a gáz által kifejtett erő egyensúlyt tart a rugó és a külső légköri nyomás által kifejtett erővel Innen a kérdezett pillanatban ható nyomás N 5 70 0, m + 0 Pa 0 m Dx + p0 A p m = == = 0700 Pa A 0 m A keresett maximális hőmérséklet a csúszásmentes állapothoz: p( V0 + Ax) T = T0 pv 0 0 Numerikusan: 3 3 0700 Pa ( 5 0 + 0 0,) m T = 73 K = 35,9 K 5 3 3 0 Pa 5 0 m c) A gáz ettől kezdve egyenletesen tágul, a nyomás állandó marad, tehát a gázon izobár állapotváltozás megy végbe A külső erők végig egyensúlyban vannak (a légköri nyomás mindkét oldalról azonos nagyságban, ellentétesen hat), vagyis a rugó tovább nem nyomódik össze A henger addig mozdul el, amíg a kétszeresre emelt hőmérséklet be nem áll A gáztörvény erre az esetre: V0 + Ax V0 + Ax + As =, T T ahol s a deszka (és a henger) megtett útja Innen a henger elmozdulása eredeti helyéről: 3 3 ( V0 + Ax) V0 50 m s = = + x= + 0, m =0,6 m A A 0 m 0/0 5 OKTV forduló
d) A hengerben levő levegő hőfelvételéhez a gáz által végzett munkát is meg kell határozni A munkavégzés két szakaszból számítható Az első szakasz a megcsúszásig 5 N W = p0ax+ Dx = 0 Pa 0 m 0, m + 70 0, m = 03,6 J, m a másik a súrlódásos szakaszon végzett munka A munkatétel alapján az összes belső és külső erők munkája egyenlő a kinetikai energia megváltozásával Mivel a kinetikai energia nem változott, a dugattyú pedig nem mozdult el (nem végzett munkát), csak a gáz pozitív munkája (a légkör emelésén), a légkör (negatív) munkája és a súrlódási erő (szintén negatív) munkája s úton, adja az összes munkát: pas pas 0 µ mgs= 0 (A második tag a légkör negatív munkája a hengeren a henger megemelte a légkört, a harmadik a súrlódási erőé) Ebből a mozgásszakaszban a gáz munkája az első taggal egyenlő: W = pas = 0700 Pa 0 m 0,6 m = 643, J A gáz teljes munkája tehát W = W + W = 03,6 J + 643, J = 746,8 J f A gáz belső energiájának megváltozása akár E = cm v T, akár E = ( pv pv 0 0) összefüggésből számítható, ahol V = V 0 + Ax + As, és f = 5 Az első formulában szereplő tömeg az állapotegyenletből: 5 3 3 3 kg 0 Pa 5 0 m 9 0 m pvm 0 0 p mol 0V0 = RT0 m = = = 0,0064 kg M RT kg 0 8,3 73 K mol K Ezzel a belső energia megváltozása (a táblázatból vett fajhővel számolva): J E = 7 0,0064 kg ( 35,9 73) K = 956,6 J kg K Így a gáz által felvett hő a teljes folyamat során: Q = E+ W+ W = 956,7 J + 03,6 J + 643, J = 703,5 J,7 kj Aki a második egyenlet alapján számolt, a belső energia növekedésére következőt kaphatta: Számértékekkel: f 5 Dx E = ( pv pv 0 0) = p0 V pv 0, + A f E= V pv = p 0 0 3 3 5 3 3 5 = 0700 5 0 m + 0 m 0, m+ 0 m 0,6 m 0 Pa 5 0 m = 966 J Ez az érték jó közelítéssel megegyezik a másik módon számolttal, a táblázatbeli adatok közelítő értékei (fajhő, móltömeg) miatt lehet a kis különbség Ezzel a felvett hőre 7,8 J adódik, a relatív hiba pedig mindössze 3,43 0 3 =0,343 % 0/0 6 OKTV forduló
4/A Három azonos felületű, párhuzamos fémlemezből készítsük el a következő furcsa áramvezető síkkondenzátor szendvicset : az első és a második lemez közötti teret töltsük ki olyan anyaggal, melynek relatív dielektromos állandója ε és fajlagos ellenállása ρ A második és a harmadik lemez közötti teret kitöltő anyag relatív dielektromos állandója ε, fajlagos ellenállása ρ A lemezek egymással szembe néző felülete A nagyságú, az első és a második lemez távolsága d, a második és a harmadik lemez távolsága d a) Mekkora lesz a középső lemez eredő töltése hosszú idővel azután, hogy a kondenzátor szendvicsre U feszültséget kapcsolunk? b) Milyen feltétel teljesülése esetén lesz a középső lemez eredő töltése nulla? I Megoldás a) A lemezek közötti teret kitöltő anyagokon azonos nagyságú áram folyik át Ezt az áramerősséget meghatározhatjuk az egyes kondenzátorokra eső U és U feszültségek segítségével, ahol U + U = U : Az egyes kondenzátorokra eső feszültségeket kiszámíthatjuk a kondenzátorok töltése és kapacitásuk szorzataként is: Ha ezeket a feszültségeket a fenti összefüggésbe helyettesítjük, akkor megkaphatjuk az egyes kondenzátorok töltését: A középső lemez eredő töltése ezeknek a töltéseknek a különbsége lesz: b) A töltés akkor lesz nulla, ha a számlálóban lévő különbég nulla, vagyis ennek feltétele: 0/0 7 OKTV forduló
II Megoldás A szendvicset helyettesíthetjük két olyan sorosan kapcsolt kondenzátorral, amelyeknek ohmos vesztességük van Ekkor az ábrán lévő helyettesítő kapcsolást kapjuk A kapcsolási elemeinek értékei: A A d d C = ε ε 0 ; C = ε ε 0 ; R = ρ ; R = ρ d d A A A két kondenzátoron keletkező feszültséget az ellenállások határozzák meg R R U = U; U = U R + R R + R A feszültségekből adódnak a töltéseket értékei: R R Q = C U; Q = C U R + R R + R Felhasználva a kondenzátorok kapacitásainak, és az ellenállások fenti értékeit, megkapjuk a Q εε 0ρAU = ; ρ d + ρ d Q ε ε 0ρ AU = ρ d + ρ d töltéseket Ettől kezdve a számolás menete azonos az első megoldással 4/B Az ábra szerinti elrendezésben minden ellenállás értéke R = 00 Ω A kondenzátor kapacitása C = 0,7 µf A telep ideális és feszültsége U 0 = 30 V a) Mekkora a kondenzátor q töltése, ha a K kapcsoló régóta nyitott? b) Mekkora a kondenzátor feszültsége és a kapcsolón átfolyó áram erőssége hosszú idővel a K kapcsoló bekapcsolása után? Megoldás a) Ha a kapcsoló már régóta nyitott, akkor a kondenzátor töltése nem változik, ágában nem folyik áram, tehát ez az ág el is hagyható, mint ahogy a kapcsoló ága is Az ábra ezt a helyzetet mutatja, s egyben az egyes ellenállásokon folyó áram irányokat is A kondenzátor feszültsége így az R 3 -ra és az R 5 -re jutó feszültségek összege Az R, R és R 3 egymással sorosan van kapcsolva, eredőjük 3R, ez pedig R 4 -gyel párhuzamosan, eredőjük 3 4 R, ez sorosan R 5-tel Az R 5 -re jut 4 7 U o, 3 4 R -re jut 3 7 U o Ezzel R 3 -ra jut 7 U o A kondenzátorra pedig 5 7 U o, vagyis q = 5 7 CU o = 5µC 0/0 8 OKTV forduló
b) Ha a kapcsoló rég be van kapcsolva, akkor a kondenzátor töltése már nem változik, ágában nem folyik áram, tehát ez az ág el is hagyható R 3 és R sorosan vannak kapcsolva, eredőjük R, mely párhozamosan van kapcsolva R 5 -tel, eredőjük 3 R Ez sorosan kapcsolódik R 4-hez (másik ábra), eredőjük 5 3Uo R A rajtuk folyó áram Ez az áram az A elágazásnál : arányban 3 5R Uo oszlik meg, R-en, és így R -őn is harmada folyik, vagyis 5R Így R -nek, és a kondenzátornak U o a feszültsége is = 6V A kapcsolón át a jelzett irányba az R -őn és az R -en átfolyó áramok 5 Uo Uo 6Uo összege folyik, azaz + = =0, 36 Α 5R R 5R A 0/0 9 OKTV forduló
Oktatási Hivatal Pontozási útmutató a 0/0 tanévi fizika OKTV első fordulójának feladatmegoldásaihoz II kategória Minden feladat teljes megoldása 0 pontot ér Részletes, egységes pontozás nem adható meg a feladatok természetéből következően, ugyanis egyegy helyes megoldáshoz több különböző, egyenértékű helyes út vezethet A feladat numerikus végeredményével megközelítően azonos eredményt kihozó megoldó erre a részfeladatra 0 pontot kap, amennyiben elvileg helytelen úton jut el Fizikailag értelmes gondolatmenet estén a kis numerikus hiba elkövetése ellenére (a részfeladat terjedelmétől függően) 3 pont vonható le Ha a megoldó csak paraméteresen adja meg a helyes gondolatmenettel kapott eredményt, ot veszít feladat A gyorsulások ábrája (vagy annak megfelelő szöveg) az első eseté a második eseté (helyes elrendezés az elsőhöz képest) átlagsebesség (0,75v) rπ=0,75vt érintő irányú gyorsulás a e = v/t centripetális gyorsulás az elején a cp = v /r centripetális gyorsulás a végén a cp =v /4r α = 6,8 o β =5,5 o a gyorsulás elfordulásának szöge 80 o + β α = 98,7 o 00 o 3 pont feladat a) a felső test gyorsulása 5 m/s az ütközésig eltelt idő 0,4 s az elért sebesség m/s a lendület megmaradás indoklása a lendület megmaradást kifejező egyenlet felírása a mozgási energia megmaradás indoklása a mozgási energia megmaradást kifejező egyenlet felírása az egyenletrendszer megoldása 3 pont a visszapattanó test útja megállásig (s = 0,44 m) a rugón lévő test a megállásáig a periódusidő negyede telik el az egyenletből D = 54 N/m b) c = Aπ/T A = 0, m A keresett távolság A + s = 0,66 m
3 feladat A dugattyú elmozdulásának meghatározása A meg nem csúszás feltételének felismerése A gáztörvény helyes felírása az rendszer egyensúlyára a maximális dugattyú eltolódás esetében Az erők egyensúlyának helyes felírása erre a pillanatra A keresett hőmérséklet meghatározása A deszka eltolódásának mértékére helyesen felírt gáztörvény Az eltolódás numerikus meghatározása A gáz által felvett hő bármely módszerrel való meghatározása 3 pont 5 pont 4/A feladat A két kondenzátor kapacitásának és a két közeg ellenállásának helyes felírása Az áramerősség helyes meghatározása A kondenzátorok töltésének felírása A középső lemez eredő töltésének meghatározása A kérdéses feltétel helyes felírása 4 pont 4 pont 4 pont 4 pont 4 pont 4/B feladat a) Ennek az esetnek megfelelő ábra, vagy szöveges leírás R, R és R 3 egymással sorosan van kapcsolva, eredőjük 3R ez (3R) R 4 gyel párhuzamosan, eredőjük 3R/4 R 5 re jut 4 U o /7 feszültség R 3 ra jut U o /7 feszültség a kondenzátorra 5 U o /7, feszültség jut a kondenzátor töltése q = 5 CU o /7 = 5μC b) Ennek az esetnek megfelelő ábra, vagy szöveges leírás R 3 és R sorosan vannak kapcsolva, eredőjük R ez (R) párhozamosan van kapcsolva R 5 tel, eredőjük R/3 ez (R/3) sorosan van kapcsolva R 4 gyel, eredőjük 5R/3 R n átfolyó áram U o /5R a kondenzátor feszültsége U o /5 = 6 V az R en átfolyó áram erősségének helyes meghatározása a kapcsolón átfolyó áram erősségének helyes meghatározása 0/0 OKTV forduló