A változatlan Invariánsok a matematikában Szakács Nóra Bolyai Intézet Egyetemi Tavasz 2017. 04. 22.
Egy egyszer kérdés Át tud-e haladni egy futó egy sakktábla összes mez jén úgy, hogy szabályosan lép, és minden mez t csak egyszer érint?
Egy egyszer kérdés Át tud-e haladni egy futó egy sakktábla összes mez jén úgy, hogy szabályosan lép, és minden mez t csak egyszer érint? Nem: akárhogyan is lép, a mez színe változatlan.
Egy nehezebb kérdés Át tud-e haladni egy huszár egy sakktábla összes mez jén úgy, hogy szabályosan lép, és minden mez t csak egyszer érint?
Egy nehezebb kérdés Át tud-e haladni egy huszár egy sakktábla összes mez jén úgy, hogy szabályosan lép, és minden mez t csak egyszer érint? Igen.
Egy nehezebb kérdés És van-e olyan útvonal, amely az egyik sarokból indul, és az átellenesbe érkezik?
Egy nehezebb kérdés És van-e olyan útvonal, amely az egyik sarokból indul, és az átellenesbe érkezik? A huszár minden lépéssel színt vált, tehát minden páros sokadik lépése fehér, minden páratlan sokadik lépése fekete mez re érkezik.
Egy nehezebb kérdés És van-e olyan útvonal, amely az egyik sarokból indul, és az átellenesbe érkezik? A huszár minden lépéssel színt vált, tehát minden páros sokadik lépése fehér, minden páratlan sokadik lépése fekete mez re érkezik. Ha minden mez t pontosan egyszer érint, akkor az utolsó lépése a 63. fekete kellene legyen.
Invariánsok A két meggondolásban közös, hogy kerestünk egy olyan tulajdonságot (a mez színe), amely a lépések során változatlan (a futó esetén), vagy kontrollált módon változik (a huszár esetén).
Invariánsok A két meggondolásban közös, hogy kerestünk egy olyan tulajdonságot (a mez színe), amely a lépések során változatlan (a futó esetén), vagy kontrollált módon változik (a huszár esetén). Ezen tulajdonság segítségével bizonyítottuk, hogy bizonyos mez k között nincsen a kért szabályoknak megfelel lépéssor.
A változatlan A Rubik-kocka
A változatlan A Rubik-kocka
A változatlan A Rubik-kocka Tény: a Rubik-kockának nem lehet csak egy élkockáját megfordítani (a kocka szétszedése nélkül)
A változatlan A Rubik-kocka Tény: a Rubik-kockának nem lehet csak egy élkockáját megfordítani (a kocka szétszedése nélkül) A bizonyítás: keressünk olyan tulajdonságot, amelyet a Rubik-kocka forgatásai nem változtatnak, az élfordítás viszont igen.
Permutációk Permutáció:
Permutációk Permutáció: sorbaállított elemek egy átrendezése
Permutációkat végrehajthatunk egymás után:
Permutációkat végrehajthatunk egymás után:
Permutációkat végrehajthatunk egymás után:
Permutációkat végrehajthatunk egymás után:... és így újabb permutációt kapunk.
A forgatás, mint permutáció 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 20 21 28 29 30 13 14 15 22 23 24 31 32 33 16 17 18 25 26 27 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
A forgatás, mint permutáció 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 20 21 28 29 30 13 14 15 22 23 24 31 32 33 16 17 18 25 26 27 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 1 2 21 4 5 24 7 8 27 10 11 12 19 20 39 34 31 28 13 14 15 22 23 42 35 32 29 16 17 18 25 26 45 36 35 30 37 38 48 40 41 51 43 44 54 46 47 3 49 50 6 52 53 9
A forgatás, mint permutáció 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 20 21 28 29 30 13 14 15 22 23 24 31 32 33 16 17 18 25 26 27 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 1 2 21 4 5 24 7 8 27 10 11 12 19 20 39 34 31 28 13 14 15 22 23 42 35 32 29 16 17 18 25 26 45 36 35 30 37 38 48 40 41 51 43 44 54 46 47 3 49 50 6 52 53 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 1 2 21 4 5 24 7 8 27 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 39 22 23 42 25 26 45 34 31 28 35 32 29 36 35 30 37 38 48 40 41 51 43 44 54 46 47 3 49 50 6 52 53 9
Permutációk a Rubik-kockán 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 20 21 28 29 30 13 14 15 22 23 24 31 32 33 16 17 18 25 26 27 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 45 24 12 42 5 49 39 20 9 36 35 34 27 8 21 28 13 19 17 14 38 26 23 11 4 32 53 1 47 37 18 15 3 54 51 43 25 22 30 44 41 33 10 6 16 52 29 46 40 50 2 48 31 7 A Rubik-kocka egy összekeverése: olyan permutáció, amely forgatások egymásutánjaként áll el
A forgatások egy invariánsa Számoljuk meg azokat az elempárokat, amelyek sorrendje egymáshoz képest az új elrendezésben más:
A forgatások egy invariánsa Számoljuk meg azokat az elempárokat, amelyek sorrendje egymáshoz képest az új elrendezésben más: 1.
A forgatások egy invariánsa Számoljuk meg azokat az elempárokat, amelyek sorrendje egymáshoz képest az új elrendezésben más: 1. 2.
A forgatások egy invariánsa Azt mondjuk, hogy egy permutáció páros (páratlan), ha azon elempárok száma, amelyek sorrendjét egymáshoz képest megváltoztatja, páros (páratlan).
A forgatások egy invariánsa Azt mondjuk, hogy egy permutáció páros (páratlan), ha azon elempárok száma, amelyek sorrendjét egymáshoz képest megváltoztatja, páros (páratlan). Az el z példában szerepl permutáció páros.
A forgatások egy invariánsa Azt mondjuk, hogy egy permutáció páros (páratlan), ha azon elempárok száma, amelyek sorrendjét egymáshoz képest megváltoztatja, páros (páratlan). Az el z példában szerepl permutáció páros. A Rubik-kocka forgatásaihoz tartozó permutációk szintén párosak.
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk?
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk?
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk?
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? =
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros.
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet, vagy
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet, vagy elront egy jót.
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k).
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k). A végén a rossz sorrend elempárok száma: n
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k). A végén a rossz sorrend elempárok száma: n k
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k). A végén a rossz sorrend elempárok száma: n k + (m k)
Ha két páros permutációt végrehajtunk egymás után, páros permutációt kapunk? Tegyük fel, hogy az els permutáció n, a második pedig m elem sorrendjét rontja el, ahol n és m páros. Az els permutáció végrehajtása után a második permutációban egy sorrendcsere vagy kijavít egy rossz sorrendet (k) elront egy jót (m k). A végén a rossz sorrend elempárok száma: n k + (m k) = n + m 2k, páros.
Egy élkocka megfordítása A forgatásokkal el állítható összekeverések, mint permutációk, tehát mindig párosak.
Egy élkocka megfordítása A forgatásokkal el állítható összekeverések, mint permutációk, tehát mindig párosak. És az élfordítás? 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 19 20 21 28 29 30 13 14 15 22 23 24 31 32 33 16 17 18 25 26 27 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 1 2 3 4 5 6 7 20 9 10 11 12 19 8 21 28 29 30 13 14 15 22 23 24 31 32 33 16 17 18 25 26 27 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54
Egy élkocka megfordítása 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 53 54 1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 53 54
Egy élkocka megfordítása 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 53 54 1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 53 54 A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél
Egy élkocka megfordítása 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 53 54 1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 53 54 A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél = páros sok csere
Egy élkocka megfordítása 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 53 54 1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 53 54 A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél = páros sok csere Ezen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek
Egy élkocka megfordítása 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 53 54 1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 53 54 A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél = páros sok csere Ezen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek = páros +1 = páratlan sok sorrendcsere
Egy élkocka megfordítása 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 53 54 1 2 3 4 5 20 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 6 21 22 23 24 53 54 A 7, 8,..., 19 négyzetekkel a 6-os és a 20-as is sorrendet cserél = páros sok csere Ezen felül még a 6 és a 20 egymással sorrendet cserélnek = páros +1 = páratlan sok sorrendcsere Forgatások segítségével csak páros permutációkat tudunk el állítani, tehát a megfordított élkockát nem.
A változatlan Csomók
A változatlan Csomók Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogy elszakítanánk ket?
A változatlan Csomók Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogy elszakítanánk ket? (Vagy átbogozhatóak -e egymásba?)
A változatlan Csomók Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogy elszakítanánk ket? (Vagy átbogozhatóak -e egymásba?) Keressünk olyan tulajdonságot (invariánst), amely a bogozás során nem változik!
Csomók a valóságban
Csomók a valóságban Egy korai atommodell (Kelvin, 1860): az atom az éter összecsomósodása
Csomók a valóságban Egy korai atommodell (Kelvin, 1860): az atom az éter összecsomósodása Az elszakadt, majd összekötött DNS-szálban is létrejöhetnek csomók: A csomó invariánsai segítségével biológusok a DNS-javító enzimek m ködését vizsgálják.
A változatlan Csomók Ki lehet-e bogozni a fent látható csomókat anélkül, hogy elszakítanánk ket? (Vagy átbogozhatóak -e egymásba?) Keressünk olyan tulajdonságot (invariánst), amely a bogozás során nem változik!
A bogozás a következ három lépés használhatát jelenti:
A bogozás a következ három lépés használhatát jelenti:
A bogozás a következ három lépés használhatát jelenti:
A bogozás a következ három lépés használhatát jelenti:
Diagramok A csomókat általában két dimenzióban szoktuk ábrázolni: Az ábrázolás szabályai: minden keresztezésen legfeljebb két ág haladjon át (az egyik fent, a másik lent).
Háromszínezhet ség Azt mondjuk, hogy egy csomó háromszínezhet, ha kiszínezhet három színnel úgy, hogy legalább két színt felhasználunk, és minden keresztezésnél a találkozó három szál mind különböz szín, vagy
Háromszínezhet ség Azt mondjuk, hogy egy csomó háromszínezhet, ha kiszínezhet három színnel úgy, hogy legalább két színt felhasználunk, és minden keresztezésnél a találkozó három szál mind különböz szín, vagy mind egyforma szín,
Háromszínezhet ség Azt mondjuk, hogy egy csomó háromszínezhet, ha kiszínezhet három színnel úgy, hogy legalább két színt felhasználunk, és minden keresztezésnél a találkozó három szál mind különböz szín, vagy mind egyforma szín, és a szálak csak keresztezésnél váltanak színt.
A lépések során a háromszínezhet ség nem változik: tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jól színezhet csomót kapunk:
A lépések során a háromszínezhet ség nem változik: tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jól színezhet csomót kapunk:
A lépések során a háromszínezhet ség nem változik: tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jól színezhet csomót kapunk:
A lépések során a háromszínezhet ség nem változik: tegyük fel, hogy kiszíneztük a csomót. A lépések után is jól színezhet csomót kapunk:
Tehát: háromszínezhet csomóból csak háromszínezhet t lehet bogozni.
Tehát: háromszínezhet csomóból csak háromszínezhet t lehet bogozni. (a triviális csomó) nem háromszínezhet
Tehát: háromszínezhet csomóból csak háromszínezhet t lehet bogozni. (a triviális csomó) nem háromszínezhet (a lóhere) háromszínezhet
Tehát: háromszínezhet csomóból csak háromszínezhet t lehet bogozni. (a triviális csomó) nem háromszínezhet (a lóhere) háromszínezhet (a nyolcascsomó) nem háromszínezhet
Azaz a lóhere nem bogozható ki, és nem is bogozható át a nyolcasba.
Azaz a lóhere nem bogozható ki, és nem is bogozható át a nyolcasba. A nyolcascsomót sem lehet kibogozni, de ennek a bizonyításához bonyolultabb invariánsokra van szükség.
Köszönöm a gyelmet!