Megoldások 1. A radioaktív anyagok bomlását az m = m 0 2 t T egyenlet írja le, ahol m a pillanatnyi tömeg, m 0 a kezdeti tömeg, t az eltelt idő, T pedig az anyag felezési ideje. A bizmut- 214 radioaktív izotóp 10% - a 3 perc alatt elbomlik. a) Mekkora a Bi 214 felezési ideje? b) Egy óra alatt hányadrészére csökken a radioaktív bizmutizotóp tömege? c) Mennyi idő múlva marad meg az eredeti mennyiség 0, 01 % - a? a) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 0,9 m 0 = m 0 2 3 T. 0,9 = 2 3 T a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 0,9 = lg 2 3 T lg 0,9 = 3 T lg 2 T 19,74 Válasz: Kb. 19,74 perc a felezési ideje. b) Az előzőek alapján felírhatjuk a következőt: m = m 0 2 60 19,74 0,12 m 0. Válasz: A kezdeti érték kb. 12 % - ára csökken a tömeg. c) Az előzőek alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 0,0001 m 0 = m 0 2 t 19,74. 0,0001 = 2 t 19,74 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt 1
lg 0,0001 = lg 2 t 19,74 lg 0,0001 = lg 2 19,74 t 262,3 t Válasz: Kb. 262,3 percnek kell eltelnie. 2. A Föld népessége évente 1, 48 % - kal növekszik, 2001 ben 6, 2 milliárd ember élt a Földön. Melyik évben érné el az össznépesség száma a 8 milliárdot változatlan szaporodási ütem mellett? A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 6,2 1,0148 x = 8. 1,0148 x = 1,29 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 1,0148 x = lg 1,29 x lg 1,0148 = lg 1,29 x = lg 1,29 lg 1,0148 17,33 Válasz: 2019 ben (18 év elteltével) érné el a népesség a 8 milliárdot. 3. A radioaktív anyagok bomlását a C = C 0 2 t T egyenlet írja le, ahol C a pillanatnyi aktivitás, C 0 a kezdeti aktivitás, t az eltelt idő, T pedig az anyag felezési ideje. a) Mennyi a felezési ideje annak a radioaktív izotópnak, amelynek kezdetben 4 10 15 Bq aktivitású darabja két hét múlva már csak 2, 97 10 15 Bq aktivitású? (Bq: becquerel az aktivitás mértékegysége) b) Mennyi idő múlva lesz a kezdetben 2 10 14 Bq aktivitású, 5 napos felezési idejű radioaktív anyagdarab aktivitása 7, 58 10 15 Bq aktivitású? a) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2,97 10 15 = 4 10 15 2 2 T. 2
0,74,25 = 2 2 T a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 0,7425 = lg 2 2 T lg 0,7425 = 2 T lg 2 T 4,66 Válasz: Kb. 4,66 hét a felezési ideje. b) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 7,58 10 15 = 2 10 14 2 t 5. 0,379 = 2 t 5 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 0,379 = lg 2 t 5 lg 0,379 = t 5 lg 2 t 7 Válasz: Kb. 7 napnak kell eltelnie. 3
4. A 226 os tömegszámú rádium (Ra) radioaktív, felezési ideje 1600 év. Az eredetileg N 0 számú atomot tartalmazó rádium t év elteltével N számú bomlatlan rádiumatomot tartalmaz, ahol N kiszámítható az N = N 0 ( 1 2 ) t 1600 összefüggés segítségével is. Mennyi idő alatt bomlik el a rádiumatomok 1 % - a az eredetileg 2, 6 10 21 atomot tartalmazó (kb. 1 gramm) rádiumban? A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 0,99 N 0 = N 0 ( 1 2 ) t 1600. 0,99 = ( 1 2 ) t 1600 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 0,99 = lg ( 1 2 ) t 1600 lg 0,99 = lg 1 1600 2 t 23,2 t Válasz: Kb. 23,2 évnek kell eltelnie. 5. Mekkora magasságba kell emelkedni a Földtől, hogy a légnyomás a tengerszinten mért légnyomás kétharmadára csökkenjen? A kilométerben megadott h magasságban uralkodó p nyomást a p = p 0 e 0,1275h formulával kapjuk (e 2, 718, ez a természetes alapú logaritmus alapszáma). A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 2 3 p 0 = p 0 e 0,1275h. 2 3 = e 0,1275h a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 2 3 = lg e 0,1275h lg 2 3 = 0,1275 h lg e h 3,18 Válasz: Kb. 3,18 km magasságba kell emelkedni. 4
6. A világméretű szociológiai kutatások eredményeként a fejlett ipari országok egy főre jutó nemzeti összterméke (GDP) és a lakosság várható élettartama között hozzávetőleg az alábbi tapasztalati összefüggés állítható fel: É = 75, 5 5 1, 081 6000 G 206, ahol É az átlagos várható élettartam években, G pedig a GDP, reálértékben átszámítva 1980 as dollárra. a) Mennyi várható élettartam növekedést okoz kétszeres GDP növekedés, ha ez a növekedés 1500 dollárról 3000 dollárra történik? b) Mennyi GDP növekedés szükséges a várható élettartam 10 évvel való meghosszabbodásához, ha ez 50 évről 60 évre történik? a) Először számítsuk ki az 1500 dollárhoz kapcsolódó élettartamot: É = 75,5 5 1,081 6000 1500 206 48 Most számítsuk ki a 3000 dollárhoz kapcsolódó élettartamot: É = 75,5 5 1,081 6000 3000 206 60 Válasz: A várható élettartam növekedés: 12 év. b) Először számítsuk ki az 50 évhez kapcsolódó GDP - t: 50 = 75,5 5 1,081 6000 G 206. 5,1 = 1,081 6000 G 206 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 5,1 = lg 1,081 6000 G 206 lg 5,1 = 6000 G 206 h 1691 lg 1,081 Most számítsuk ki a 60 évhez kapcsolódó GDP t: 60 = 75,5 5 1,081 6000 G 206. 3,1 = 1,081 6000 G 206 a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt 5
lg 3,1 = lg 1,081 6000 G 206 lg 3,1 = 6000 G 206 h 3008 lg 1,081 Válasz: A GDP nek kb. 1317 dollárral kell növekednie. 7. Az alábbi táblázat a Föld népességének alakulását mutatja. Az adatok a népesség gyorsuló ütemű növekedését mutatják. Ha exponenciális növekedést feltételezünk, akkor az adatsorra illeszkedő trendet az n = 897, 9 1, 011 x képlettel írhatjuk le (n a Föld előjelzett népessége millió főben számolva, 1837 + x ben). év 1837 1927 1960 1987 1999 milliárd fő 1 2 3 5 6 a) Hány lakosa lenne a Földnek 2020 ban a megadott képlet szerint? b) Melyik évben kellett volna a Föld össznépességének elérnie a 6 milliárdot a megadott képlet szerint? a) A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: n = 897,9 1,011 2020 1837 6648. Válasz: Kb. 6 648 millió lakosa lenne a Földnek 2020 ban. b) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 6000 = 897,9 1,011 x. 6,682 = 1,011 x a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 6,682 = lg 1,011 x lg 6,682 = x lg 1,011 x = lg 6,682 lg 1,011 173,6 Válasz: 2011 ben (174 év elteltével) kellett volna elérni a 6 milliárdot. 6
8. A gázok adiabatikus (hőcsere nélküli) állapotváltozását a pk 1 Tk állandó egyenlet írja le, ahol p a gáz nyomása, T a hőmérséklete, k pedig egy, a gázfajtára jellemző arányszám. Mekkora ez az arányszám héliumra, ha annak egy adiabatikus folyamatban 69 % - kal nő a nyomása, miközben 23 % - kal nő a hőmérséklete? A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: pk 1 T k = (1,69p)k 1 (1,23T) k. 1,69 k 1 = 1,23 k a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 1,69 k 1 = lg 1,23 k (k 1) lg 1,69 = k lg 1,23 k 1,65 Válasz: A hélium arányszáma 1,65. 9. Kisebb mennyiségű cukor oldódása nagy mennyiségű vízben közelítőleg az M (t) = M 0 a t formula szerint, tehát időben exponenciálisan zajlik (0 < a < 1; a cukor vízbe kerülésétől percben mért időt jelöli a t; M (t) a t időpontig még fel nem oldódott cukor mennyisége; M 0 pedig a teljes cukor mennyisége, amit a vízbe tettünk). Legyen a = 0, 95. a) Mennyi idő múlva oldódik fel a cukormennyiség fele? b) Ha a 99, 9 % - os oldódást már,,lényegében teljesnek nevezzük, akkor mikorra oldódik fel lényegében teljesen a cukor? a) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 0,5 M 0 = M 0 0,95 t. 0,5 = 0,95 t a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 0,5 = lg 0,95 t lg 0,5 = t lg 0,95 t 13,5 Válasz: Kb. 13,5 perc alatt oldódik fel a cukormennyiség fele. 7
b) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 0,001M 0 = M 0 0,95 t. 0,001 = 0,95 t a logaritmus függvény szigorú monotonitása miatt lg 0,001 = lg 0,95 t lg 0,001 = t lg 0,95 t 134,7 Válasz: Kb. 134,7 perc alatt oldódik fel,,teljesen a cukor. 10. A matematikai információelméletben az n betűs ábécéből alkotott, m számú karakterből álló hír információmennyiségét a H m log 2 n képlettel definiálták (Hartley képlet). A legegyszerűbb ábécé kétjelű (n 2, mert egy jellel nem lehet hírt közölni). Ha ebből egy jelet kiválasztunk (m 1), akkor megkapjuk a lehető legkisebb információs értékkel rendelkező hírt. Ez az információs érték: log 2 2, azaz éppen 1 lesz. Ezt az információmennyiséget John W. Tukey nevezte el 1 bit nek (a,,binary digit rövidítése). a) Mekkora a 90 számos lottó első, illetve második kihúzott számának információs értéke? b) Hány betűs ábécé esetén lenne egy 5 karakterből álló hír információs értéke 15 bit? c) Mekkora egy hétjegyű telefonszám információs értéke? a) Az első kihúzott szám információs értéke: H = 1 log 2 90 = A második kihúzott szám információs értéke: H = 1 log 2 89 = lg 90 lg 2 6,492. lg 89 lg 2 6,476. b) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 15 = 5 log 2 n. Válasz: n = 2 3 = 8 betűből kell állnia az ábécének. c) A szöveg alapján felírhatjuk a következőt: H = 7 log 2 10 = 7 Válasz: Kb. 23,25 bit a telefonszám információs értéke. 8 lg 10 lg 2 23,25.
11. Gazdaságkutatók szerint Közép és Kelet Európa,,átmeneti országainak átlagos egy főre jutó GDP je n = lg F lg f lg r lg R év alatt éri utol a fejlett országokét, ahol F és f a fejlett, illetve átmeneti országok jelenlegi egy főre jutó GDP jét jelöli. 1992 ben a fejlett országokban ez a mutató (átlagosan) 17 444 dollár, az átmeneti országokban pedig 4 627 dollár volt. R és r azt mutatja meg, hányszorosára növekszik egy év alatt a fejlett, illetve fejlődő országok egy főre jutó GDP je. A fejlett országokban az egy főre jutó GDP éves növekedési üteme 2 % (vagyis R = 1, 02). Hány százalékos éves növekedést kellett volna elérni az átmeneti országokban, hogy az utolérés 20 év alatt bekövetkezzen? A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 20 = 20 (lg r lg 1,02) = lg 17444 lg 4627 lg r = lg 17444 lg 4627 + 20 lg 1,02 20 r = 10 0,0374 1,09 0,0374 lg 17444 lg 4627 lg r lg 1,02 Válasz: Kb. 9 % - os éves növekedést kellett volna elérni az átmeneti országokban.. 12. Egy tóba honosítás céljából 500 darab csíkos sügért telepítettek 2005 márciusában. A halbiológusok figyelemmel kísérték az állomány gyarapodását és azt találták, hogy a halak száma a h (t) = 500 log 3 (2t + 3) függvénnyel írható le, ahol t a telepítéstől eltelt évek számát jelenti. a) Hány százalékkal nőtt a halak száma 2007 és 2009 márciusa között? b) Várhatóan mikor éri el a hal populáció az 1500 darabot? a) A 2007 márciusában levő halak száma: h (2) = 500 log 3 (2 2 + 3) 885,6. A 2009 márciusában levő halak száma: h (4) = 500 log 3 (2 4 + 3) 1091,3 Válasz: Kb. 23 % - kal ( 1091 885 1,23) nőtt a halak száma. b) A szöveg alapján felírhatjuk a következő egyenletet: 1500 = 500 log 3 (2t + 3). t = 12. Válasz: 2017 márciusában éri el a halak száma az 1500 darabot. 9