Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. (: 27-317 - 077 (/fa: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Mértékegységek 2016/2017.1. feladatsor 5.-6. évfolyam Az embert, a hétköznapjaihoz legközelebb álló mennyiségek (tömeg, idő, hosszúság) mérése ősidők óta foglalkoztatták. Mint minden mennyiség méréséhez mértékegységekre van szükség. A ma használatos mértékegységek meghatározásához évszázadok emberi munkája kellett. Természetesen a mérésekhez mérőeszközökre van szükség. Ezek mai formáihoz is évezredek törekvése útján jutottunk el. És ez a fejlődési folyamat sosem ér véget. A mérésekkel kapott eredmények más mennyiségek kiszámítására adnak lehetőséget. Gondoljunk csak a területszámításra. Mi most feladatok megoldásával kalandozunk a mértékegységek birodalmában. Jó szórakozást és sok sikert hozzá! Mintapéldák 1. Igaz lehet-e, ha a kerekítés szabályait vesszük figyelembe, hogy: a) 7562m 8km; b) 3621perc 60óra? a) Igen, ha ezresekre kerekítünk, 7562m 8000m = 8km. b) Igen, ha százasokra kerekítünk, 3621perc 3600perc = 60óra. 2. Hány kilogramm az 1 tonna századrészének a tízszerese? Mivel 1tonna = 1000kg, a századrésze 10kg, ennek pedig a tízszerese 100kg, ami 1q. (1 mázsa) 3. Egy négyzet területe 49cm². Mekkora a négyzet kerülete? A négyzet oldalhossza 7cm, mivel 7 7 = 49, így a kerülete 4 7 = 28cm. 4. Három hordóban összesen 610 liter víz van. Az elsőből elhasználtak 110 litert, a másodikból 80 litert, így most minden hordóban ugyanannyi víz van. Hány liter víz volt eredetileg az egyes hordókban? Az elhasznált víz mennyisége 110 + 80 = 190 liter, így a három hordóban összesen 610 190 = 420 liter víz maradt. Mivel mindhárom hordóban ugyanannyi víz van most, ezért ez hordónként 420:3 = 140 litert jelent. Ez azt jelenti, hogy eredetileg az első hordóban 140 + 110 = 250, a másodikban 140 + 80 =220, a harmadikban pedig 140 liter víz volt. Összeállította: Merényi Imre
Gyakorló feladatok 1. Az alábbi állítások közül melyek lehetnek igazak, ha ennek eldöntéséhez a kerekítés szabályait vesszük figyelembe? (1.) 9801mm 10m (2.) 1264cm 13km (3.) 2655dkg 266kg (4.) 3620perc 60óra. 2. Hány kilométer a 20160000mm tizedrészének az ezerszerese? 3. Egy téglalap egyik oldala háromszor akkora, mint a másik, és kerülete 80cm. Mekkora a területe? 4. Anna és Bea együtt 98kg-osak, Bea és Cili együtt 101 kg-osak, míg Anna és Cili együtt 99 kgosak. Hány kg-os a három lány külön-külön? Kitűzött feladatok 1. Tíz darab, egyenként 10cm hosszúságú, azonos minőségű gyertyát helyeztem az asztalra, és egyperces időkülönbséggel meggyújtottam. Az első gyertya meggyújtásától számítva hány perc telik el az ötödiknek meggyújtott gyertya teljes elégéséig, ha minden gyertya 1mm-t fogy 1 perc alatt? 2. Hány dekagramm húsvéti sonkát vehetünk 3600 Ft-ért, ha ebből a fajta sonkából 3 kg 1800 Ft- 4 ba kerül? 3. Egy téglalap egyik oldala négyszer akkora, mint a másik, és területe 324cm². Mekkora a kerülete? 4. Egy alkalommal Peti, Dani és Balázs abban versenyeztek, hogy ki tud hosszabb időn át függeszkedni a bordásfalon. Az időt egymás után mérték. Hárman összesen 3 perc híján negyed órát függeszkedtek. Peti 16 másodperccel bírta tovább, mint Dani. Balázs kétszer annyi ideig bírta, mint Dani. Hány másodpercen át függeszkedtek külön-külön? Beküldési határidő: 2016. 11. 15. Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6. Összeállította: Merényi Imre
Boronkay György Műszaki Középiskola és Gimnázium 2600 Vác, Németh László u. 4-6. : 27-317 - 077 /fa: 27-315 - 093 WEB: http://boronkay.vac.hu e-mail: boronkay@vac.hu Levelező Matematika Szakkör Szöveges feladatok megoldása 2016/2017. 1. feladatsor 7.-8. évfolyam A matematikában nagyon gyakran találkozunk szöveges feladatokkal. Ezekben a feladatokban egy vagy több ismeretlen mennyiség szerepel, ezeknek a mennyiségeknek a meghatározása képezi a feladat megoldását. A szöveges feladatok megoldására többféle módszer létezik, ezek közül fogunk néhányat megemlíteni. A legtöbb szöveges feladat több módszerrel is megoldható, ezek közül mindig azt válasszuk, amelyikkel az illető feladat a legkönnyebben kezelhető. Ilyen módszerek az ábrázolás módszere, a mérleg használata, a fordított út módszere, a hamis feltételezések módszere, az egyenletek felírása. Mintapéldák 1. Egy udvaron tyúkok, libák, kacsák és pulykák vannak. A tyúkok száma fele, a libák száma 3 1 része, a kacsák száma pedig 4 1 része a többi fajta baromfi számának. Határozzuk meg az udvaron lévő baromfik számát, ha tudjuk, hogy 390 pulyka van! Próbáljuk meghatározni, hogy a különböző szárnyasok az összes baromfi hányad részét képezik! Mivel a tyúkok száma fele a többi baromfi számának, ezért a tyúkok és a többi baromfi aránya 1:2. Tehát a teljes baromfiállomány 3 1 részét a tyúkok alkotják. Hasonlóan okoskodva a teljes baromfiállomány 4 1 részét a libák, 5 1 részét pedig a kacsák alkotják. Tehát a tyúkok, 1 1 1 47 libák és kacsák összesen a teljes baromfiállomány részét képezik. Ebből 3 4 5 60 60 47 13 következik, hogy a 390 pulyka az összes baromfi számának a része. Következik, 60 60 60 13 hogy az udvaron összesen 390 : 1800 baromfi van. 60 2. Egy könyvszekrény két polcán összesen 72 könyv van. Az első polcról a másodikra ötször annyi könyvet tesznek át, mint amennyi a másodikon eredetileg volt. Utána a második polcról raknak át az elsőre kétszer annyi könyvet, mint amennyi az elsőn maradt. A két átrakás után a polcokon egyenlő számú könyv lesz. Hány könyv volt eredetileg az egyes polcokon különkülön? Gondolkodjunk visszafelé, vagyis induljunk ki a végső helyzetből, amikor mindkét polcon 36 könyv van (összesen 72), ugyanis a rakosgatás közben a két polcon található könyvek számának
összege nem változott. Ezt a helyzetet úgy érhettük el, hogy a második átrendezés előtt az első polcon 12 könyv volt, ugyanis ehhez hozzáadva a kétszeresét, vagyis 24-et kapjuk meg a 36-ot. Tehát, a második átrendezés során a második polcról az elsőre átrakunk 24 könyvet. Tehát a második átrendezés előtt az első polcon 36 24 12, míg a másodikon 36 24 60 könyv volt. Hasonlóan okoskodunk az első átrendezés során is. A második polcon az első átrendezés után úgy van 60 könyv, hogy a polcon található kezdetben található 10 könyvhöz raktuk át ezek számának az ötszörösét, vagyis 50 könyvet. A könnyebb érthetőség kedvéért a gondolatmenetet táblázatba foglaljuk: 1. polc 2. polc Végső helyzet 36 36 A második átrendezés előtt 36-24=12 36+24=60 Az első átrendezés előtt (kezdetben) 12+50=62 60-50=10 A feladatot egyenlettel is megoldhatjuk. Jelöljük szel az első polc tartalmát kezdetben, ekkor a második polc tartalma 72. Az első átrendezés során az első polcról a másodikra 5 (72 ) 360 5 könyvet rakunk át, ezáltal az első polc tartalma 5 (72 ) 6 360 -ra változik. A második átrendezés során a második polcról 6 360 18 1080 2 6 360 könyvet rakunk át az első polcra, tehát ennek tartalma 6 360 2 lesz. Ezután felírhatjuk a következő egyenletet: 18 1080 36, amelynek a megoldása 62. Tehát kezdetben az első polcon 62 könyv, míg a másodikon 10 könyv található. 3. Három munkás egy munkáért kapott pénzösszeget így osztotta el egymás között: az első az összeg felét és még 80 eurót, a második az első pénzösszegének felét és még 80 eurót, a harmadik pedig a második pénzösszegének felét és még 80 eurót kapott. Hány eurót kapott mindegyik munkás külön-külön? Kissé átgondolva a feladat szövegét rájöhetünk, hogy a munkások a következő fizetségeket kapták: 1. munkás: a teljes összeg felét és még 80 eurót 2. munkás: a teljes összeg negyedét és még 40 80 120 eurót 3. munkás: a teljes összeg nyolcadát ás még 60 80 140 eurót 1 1 1 7 A fentiekből kitűnik, hogy a három munkás összesen a teljes összeg részét és 2 4 8 8 még 340 eurót kapott. Ez viszont pontosan a teljes összeget jelenti, másképpen fogalmazva a teljes összeg 8 8 részét. Tehát a 340 euró a teljes összeg 8 1 részét jelenti, ezért a munkások összesen 8 340 2720 eurón osztoztak. Innen következik a munkások fizetsége külön-külön: 1. munkás: 2720 : 2 80 1440 euró 2. munkás: 1440 : 2 80 800euró 3. munkás: 800 : 2 80 480euró A feladatot algebrai úton, egyenlet felírásával a következőképpen oldhatjuk meg. A teljes összeget jelöljük -szel. Akkor a munkások külön-külön a következő összegeket kapták:
1. munkás: 80 2 2. munkás: 40 80 120 4 4 3. munkás: 60 80 140 8 8 Mivel a három munkás együtt a teljes összeget kapta meg, a következő egyenletet írhatjuk fel: 80 120 140 2 4 8 Az egyenletet megoldva 2720 adódik. Ezt az értéket az eredeti összefüggésekbe helyettesítve megkaphatjuk a munkások bérét külön-külön. 4. Egy versenyen 30 kérdést tesznek fel. Minden helyes válaszért 5 pont jár, a helytelen válaszért 2 pontot vonnak le. Hány helyes választ adott Móric a versenyen, ha a 30 kérdésre 59 pontot kapott? Kezdetben feltételezzük, hogy Móric minden válasza helyes volt, vagyis 30 helyes és 0 helytelen válasszal számolunk. Így viszont 5 30 150 pontot szerzett volna, vagyis 150 59 91ponttal többet, mint amennyi a feladatban szerepel (vagyis a feltételezésünk hibája 91). Ha egy helyes választ egy helytelenre cserélünk (29 helyes és 1 helytelen válasz), akkor a pontok száma 5 29 2 1 143 lesz, vagyis a pontok száma 7-tel csökken (ugyanakkor észrevehető, hogy a feltételezésünk hibája 143 59 84 lesz, tehát a hiba is 7-tel csökken). Tehát összesen 91: 7 13 helyes választ kell helytelenre cserélnünk ahhoz, hogy a feltételezésünk hibája 0 legyen. Így a helyes válaszok száma 30 13 17, míg a helytelen válaszok száma 13. Ha pedig algebrai úton akarjuk megoldani, akkor jelöljük a helyes válaszok számát szel. Ekkor a helytelen válaszok száma 30. Az helyes válasz 5 pontot ér, míg a 30 helytelen válaszért 2 30 pontot vonnak le. Mivel Móric összesen 59 pontot szerzett, felírhatjuk a következő egyenletet: 5 2 30. 59 Az egyenletet megoldása 17, tehát a helyes válaszok száma 17, míg a helytelen válaszok száma 30 17 13. Gyakorló feladatok 1. Andrásnak, Bélának, Csabának, Dénesnek és Elemérnek összesen 100 lova van. Andrásnak feleannyi, mint Bélának. Csabának feleannyi, mint Andrásnak. Dénesnek kétszer annyi, mint Csabának. Elemérnek pedig negyedannyi, mint Bélának. Kinek hány lova van? 2. Három fiúnak volt valamennyi bélyege. Az első fiú a sajátjából a másik kettőnek bélyegeket adott át. Mindegyiknek annyit, mint amennyi annak volt. Ezután a második fiú is adott a másik kettőnek, mindegyiknek annyit, amennyi annak volt. Végül a harmadik is annyit adott mindkét másiknak, amennyi akkor éppen volt annak. Ezek után mindegyik fiúnak éppen 64 bélyege lett. Hány bélyegük volt eredetileg külön-külön?
3. Egy baromfiudvaron kacsák, libák és tyúkok vannak. A tyúkok száma az összes szárnyas számának a felénél 48-cal több. A kacsák száma a tyúkok számának harmadánál 12-vel kevesebb. A libák száma 8-cal több, mint a tyúkok számának a fele. Hány tyúk, kacsa, illetve liba van külön-külön a baromfiudvarban? 4. Bea 5680 forintot 20 forintos és 50 forintos érmékkel fizetett ki. Hány érmét használt fel mindegyikből külön-külön, ha összesen 146 érmével fizetett? Kitűzött feladatok 1. Három szám összege 297. Az első és a második szám aránya 3:2, a második és harmadik szám aránya pedig 4:1. Melyek ezek a számok? 2. Anna, Béla és Csaba egy olyan játékot játszanak, melynek során a vesztes minden körben a jelenlegi pénzének felét átadja a másik két játékosnak, akik ezt egyenlően szétosztják maguk között. Az első kört Béla, a másodikat Csaba, a harmadikat pedig Anna veszíti el. A játék végén Annának 1200 forintja, Bélának 2400 forintja, Csabának pedig 2600 forintja maradt. Mennyi pénzük volt kezdetben külön-külön? 3. Bea az összes zsebpénzét három nap alatt költötte el. Az első napon elköltötte az összes zsebpénzének a felét és még 360 forintot. A második napon az első napi költekezés harmadánál 100 forinttal többet költött. A harmadik napon 150 forinttal kevesebbet költött, mint a második napon. Hány forintot költött Bea a három napon külön-külön? 4. Egy teherautóra 1555 kg téglát tettek. Az egyik fajta tégla tömege 5 kg, a másiké 3 kg. Hány téglát tettek fel a teherautóra mindkét fajtából külön-külön, ha a 3 kg-os téglák száma 3-mal kevesebb, mint az 5 kg-os téglák számának a 4-szerese? Beküldési határidő: 2016. 11. 15 Postai cím: Észak-Pest Megyei Matematikai Tehetségfejlesztő Központ 2600 Vác, Németh L. u. 4-6.