ELLIPSZISLEMEZ MÁSODRENDŰ RÖGZÍTÉSE Íta: Hajdu Ende Egy pénzémének vagy egyéb lemezidomnak saját síkjában töténő elmozgathatósága meggátolható oly módon, hogy a lemez peeme mentén, alkalmasan megválasztott helyeken szögeket veünk be. Ha a lemezidomnak konvex síkidomot, a szögeknek egy-egy fix pontot ögzítő pontokat feleltetünk meg, akko a síkidom ögzítésével kapcsolatban különféle poblémák vethetők fel, melyek vizsgálata céljából néhány fogalom bevezetése szükséges. A ögzíteni kívánt konvex síkidomot a továbbiakban lemeznek mondjuk, hatávonala a peem, a peem mentén elhelyezett ögzítő pontok összessége a ögzítő endsze. Nem kellő számú vagy nem megfelelő módon elhelyezett ögzítő pontok a lemez mozgását csupán kolátozzák, gátolják, vagyis a ögzítő endsze ilyen esetben nem hatásos. Testek ögzítése is töténhet alkalmasan elhelyezett pontendszeel, de a továbbiakban csak síkbeli alakzatok ögzítéséől lesz szó. Ismeetes, hogy a síkbeli elmozgatások eltolások vagy elfogatások. A két lehetséges elmozgatásnak megfelelően a síkbeli ögzítéseket két csopota oszthatjuk: elsőendű ögzítésől beszélünk, ha a ögzítő endsze csupán az eltolásait akadályozza meg a lemeznek. Másodendű a ögzítés, ha az elfogatásait zája ki a lemeznek. Teljes ögzítésől beszélünk, ha a lemez eltolása és elfogatása egyaánt gátolva van. A ögzítésekkel kapcsolatban alapvető a pimitív ögzítő endsze fogalma; mely hatásos a szóban fogó ögzítés típus tekintetében, de nincs egyetlen fölösleges pontja sem, vagyis bámelyik pontját elhagyva, a lemez valamilyen módon elmozgathatóvá válik. Adott lemeznek több, különböző elemszámú, de azonos endű ögzítést biztosító ögzítésmódja is lehet. Egy kölemez elsőendű pimitív ögzítő endszeének elemszáma például 3 vagy 4 (. ába).. ába Egy sáv másodendű pimitív ögzítő endszeének elemszáma vagy 3 (. ába).. ába Megmutatható, hogy konvex síkidomok elsőendű pimitív ögzítő endszee legfeljebb 4 elemű, ha a peem bámely pontjához csak egy éintő tatozik. Általában a pimitív ögzítő endsze maximális elemszámának meghatáozása a nehezebb feladat egy alakzat ögzítése
esetén. Az első két ába azt is szemlélteti, hogy a két síkbeli ögzítés típus egyike sem biztosítéka a lemez teljes ögzítettségének; azaz egy elsőendűen ögzített lemez esetleg még elfogatható (. ába) és egy másodendűen ögzített lemez esetleg eltolható még (. ába). A továbbiakban kizáólag a másodendű ögzítés köébe tatozó feladatokól lesz szó. A másodendű ögzítés alapfogalmai. Egy síkbeli alakzat minden pillanatnyi fogó mozgása valamilyen fogásközéppont (momentáncentum, a továbbiakban: centum) köül megy végbe. Egy-egy centum köül pozitív vagy negatív fogásiánynak megfelelően fodulhat el a ögzítendő lemez. A sík azon pontjai, melyek köül elfogatható a lemez vagyis a szabad centumok alkotják a szabad centumtatományt. Azok a pontok, melyek köül elfogatás nem lehetséges vagyis a kizát centumok alkotják a kizát centumtatományt. A másodendű ögzítés célja olyan ögzítő endsze konstuálása, mely biztosítja, hogy a sík minden pontja kizát centum legyen. E feladat megoldása végett tisztázni kell egyetlen ögzítő pont esetén a szabad és kizát centumtatományok helyzetét, milyenségét, a peem jellegének függvényében. Ha a ögzítő pont könyezetében a). a peem egyenes (szakasz), a peemnek az R ögzítő pontot tatalmazó nomálisa, vagyis az n támasznomális a síkot két észe osztja (3. ába). Az ába a. észletén saffozással jelölt félsík pontjai köül pozitív fogásiányban nem fogatható el a lemez, vagyis az n hatáegyenesű félsík pontjai alkotják a pozitív fogásiányú elfogatásból kizát centumtatományt. 3. ába Nem tatozik a kizát centumtatományba a támasznomálisnak azon R kezdőpontú félegyenese, mely a peem h egyenese által elválasztott félsíkok közül a lemezt nem tatalmazóba esik. Ezt a tényt, vagyis, hogy az említett félegyenes pontjai nem kizát centumok, szaggatott vonal jelzi. Célszeű a támasznomálist iányított egyenesnek tekinteni, oly módon, hogy iánya a ögzítő ponttól a lemez felé mutasson. Ekko a pozitív kizát centumtatomány a támasznomális iányába nézve jobba esik. A b. ábaészlet a negatív fogásiányú elfogatás lehetőségéből kizát pontok tatományát szemlélteti saffozással. Ez a tatomány a támasznomálistól bala esik. A támasznomálisnak mindkét fogásiány tekintetében hatásos észét folytonos vonal, hatástalan észét szaggatott vonal jelzi. b). A peem köív. Ha a ögzítő pont könyezetében a peem O középpontú, sugaú köív (4. ába), akko a támasznomális által elválasztott félsíkok alkotják ismét a kizát, ill. a szabad centumtatományokat. Azonban most a támasznomálisnak csupán az RO szakasza tatozik a mindkét fogásiány tekintetében kizát centumtatományhoz, az O pont kivételével.
3 4. ába Ugyanis ha P az RO szakasz belső pontja, Q a peem tetszőleges, R től különböző pontja, akko β < α, ezét a PQR háomszögben az R csúccsal szemben lévő oldal nagyobb, mint a Q-val szemben lévő, következőleg a lemez P köül nem fogatható el pozitív iányban úgy, hogy a PQ félegyenes a PR félegyenessel fedésbe keüljön. Hasonló meggondolással látható be, hogy az ábán saffozással jelölt félsík belső pontjai is kizát centumok. A negatív kizát centumtatomány ismét a pozitív kizát centumtatománynak a támasznomálisa vonatkozó tüköképe. c). A peem a ögzítő pont könyezetében olyan h göbe, melynek R pontjához létezik k simulókö, mely R - nél átmetszi a peemet (ha nem metszi át, akko az eset azonos a köív peem esetével). Ekko a kizát és szabad centumtatományok azonosak a b) - beliekkel, az eltéés csupán annyi, hogy a simulókö O középpontja nem tatozik a kizát pozitív centumtatományhoz (5/a ába), míg a negatívhoz igen (5/b ába). 5. ába A másodendű ögzítés feltételei A sík összes pontjának, mint lehetséges fogáscentumnak kizáása általában több módon is megvalósítható, amint má a. ába is példázta. A kizát centumtatományok fogalmának ismeetében a /a ába magyaázata a következő: mivel most a támasznomálisok egybeesnek (a 6. ábán a könnyebb éthetőség végett a támasznomálisok egymástól kissé eltolva láthatók), a koábban elmondottak ételmében a kizát centumtatományok lefedik a teljes síkot, tehát a lemez, vagyis a sáv másodendű ögzítése megvalósul.
4 6. ába Az alakzatok szűk osztályának másodendű ögzítése oldható meg csupán két ögzítő ponttal; lényegesen hatékonyabb a háom pontos ögzítés. A háompontos ögzítés soán háom félsíkkal kell lefedni a teljes síkot, azaz kizáni minden lehetséges centumot, ami csak akko lehetséges, ha a félsíkok hatáegyenesei egy ( a végesben vagy a végtelenben lévő) pontban metszik egymást. Ebből következik a háompontos ögzítés első feltétele: I. Feltétel: másodendű ögzítés esetén a támasznomálisoknak egy esetleg ideális pontban kell metszeniük egymást. A 7. ába példát mutat aa, hogy az első feltétel nem elégséges feltétele a másodendű ögzítésnek. Az egy pontban metsződő támasznomálisokkal hatáolt félsíkok (pozitív kizát centumtatományok) nem fedik le a síkot, a sík fedetlen észében lévő P pont köül a lemez elfogatható. 7. ába Ahhoz, hogy háom félsík lefedje a teljes síkot, az is szükséges, hogy a háom támasznomális közül bámelyik két félsík által fedetlenül hagyott síkészt a hamadik támasznomális félsíkja lefedje. E kívánalmat fogalmazza meg a II. Feltétel: másodendű, háompontos ögzítés esetén az egy pontban metsződő támasznomálisok bámelyikének a másik két támasznomális metszésponton túli, ellentétes iányú észe által hatáolt szögtatományba kell iányulnia. Ha a metszéspont ideális (végtelen távoli) pont, akko két azonos iányú támasznomálisnak kell köze fognia egy ellentétes iányú támasznomálist. A végesben és a végtelenben lévő C metszéspont esetét szemlélteti a 8. ába.
5 8. ába A 9. ába aa mutat példát, hogy a fenti két feltétel teljesülése sem biztosítéka minden esetben a lemez másodendű ögzítettségének; a 9.a ábán látható esetben a sík egyetlen pontja, az O pont nem tatozik egyetlen kizát centumtatományhoz sem, ezét nem hatásos a ögzítő endsze, a támasznomálisok közös pontja nem ögzítési centum. A másodendű, háompontos, a továbbiakban centális ögzítés III. Feltétele: háompontos ögzítés esetén a ögzítési centumnak legalább egy támasznomális hatásos észée kell esnie. A 9.b ába lemezének C pontja esetében ez a feltétel má teljesül. A továbbiakban is a ögzítési feltételeknek megfelelő ögzítési centumot C jelöli. 9. ába Háomszöglemez ögzítése A ögzítési feltételek ismeetében egy háomszöglemez ögzítése a 0. ábán látható módon töténhet. A csúcspontokban a megfelelő oldalaka állított meőleges egyenesek általában hatszöget (deékszögű háomszög esetében téglalapot) hatáolnak; a hatszögön belül tetszőlegesen felvehető a ögzítés C centuma, melynek a háomszög oldalaia vonatkozó talppontjai a ögzítési pontok. 0. ába
6 Az így megválasztott ögzítő endsze mindháom ögzítési feltételnek eleget tesz. A háomszöglemez négypontos ögzítő endszeéhez jutunk, ha a 0. ába egyik, például az R ögzítő pontját olyan két ögzítő ponttal helyettesítjük, melyek az eltávolított R helyét köze fogják (. ába). Az a. ábaészlet szeint '. ába R az R, R 3 ögzítő pontok kizát pozitív centumtatományai által le nem fedett szögtatomány lefedését biztosítja, míg " R a negatív kizát centumtatományokét. Ellipszislemez ögzítése Az ellipszislemez háompontos ögzítésének csak azon eseteivel foglalkozunk, amiko a ögzítési centum az ellipszis valamelyik tengelyén van (. ába). Az ába szeinti ögzítő endsze eleget tesz mindháom ögzítési feltételnek: ha C az OG B szakasz belső pontja, akko n és n 3 hatásos szakaszáa esik a ögzítési centum, G B a B ponthoz tatozó göbületi középpont. Az ába feltűnteti az ellipszispontokhoz tatozó göbületi középpontok által alkotott göbe, vagyis az evoluta egy negyedét is.. ába Ha az ellipszis valamelyik tengelyén adva van a ögzítési centum, szükség van az ellipszis olyan nomálisainak megszekesztésée, melyek az adott ögzítési centumot tatalmazzák. Ha a ögzítési centum az ellipszis nagytengelyének pontja, s C - höz tatozó (egyik) nomális n, akko az F fókusznak az R - beli éintőe vonatkozó Q talppontja, mint ismeetes, ajta van az ellipszis a sugaú főköén. Az R C OQF háomszögek F és
7 hasonlóságából, a szokásos jelölésekkel d L e a, melyből az L távolság a 3. ábán látható módon megszekeszthető. Figyelembe véve, hogy az R F távolság szintén megszekeszthető, mint a és L különbsége, az R pont egy L és egy a L sugaú köív metszéspontjaként adódik. 3. ába Megjegyzendő, hogy az első ögzítő pont nem helyezhető el az ellipszis B tengelypontjához, met nem teljesülne a II. ögzítési feltétel. Megemlítjük még, hogy a ögzítési centum most az n,n3 támasznomálisok hatásos szakaszán van, mindaddig, míg C az OG B szakasz belső pontja ( G B a 3. ábán nincs feltüntetve). Ha C O, akko R D, ha pedig C G B, akko R B. Mind a háom ögzítési feltétel teljesül a tágyalt esetben, az ellipszis adataitól függetlenül. A háom ögzítési pontot ezúttal kivételesen világos nullköök jelölik. Ha a ögzítési centum az ellipszis kistengelyének pontja (4. ába), akko mivel R -ből az F C, ill. C F szakaszok egyenlő szögben látszanak, az R pont ajta van az FC F pontokat tatalmazó k köön. A k kö C - el átellenes T pontja egyenlő távolsága van x és annak az R - beli éintőe vonatkozó, F tüköképétől. Ez utóbbi pont a T középpontú, TF sugaú kö és az ellipszis F középpontú v vezéköének metszéspontja. F - től
8 4. ába Az ába feltünteti az n támasznomális hatásos szakaszának, pontosabban az R - höz tatozó G göbületi középpontnak a szekesztését is. A ögzítési centum a két támasz - nomális hatásos szakaszán kívül esik, de ajta van n hatásos szakaszán, ezét teljesül a III. ögzítési feltétel is. Ha C O, akko R B, ha pedig C C, akko R a 5. ábán látható szekesztéssel nyehető hatáhelyzethez tat. Megemlítendő, hogy a ögzítési centum nem keülhet a kistengely egyenesének a lemezen kívüli észée, met mindháom támasz - nomális hatástalan szakaszáa esne. Lapos, vagyis nagy a/b aányú ellipszis és C C estén az R, R 3 ögzítő pontok elhelyezé- sée alkalmas ellipszisívek övidek (5.a ába). Ha a / b, akko az alkalmas ögzítési ívek negyedellipszisek (5.b ába). Ha a / b <, akko a ögzítési centum O és a D tengelyponthoz tatozó göbületi középpont közé esik. Ekko az R, R 3 ögzítő pontok elhelyezésée alkalmas ellipszisív középpontja a D pont, mely má övidebb, mint az optimális a / b esetben. Vagyis a ögzítési lehetőség szempontjából most szeepe van a lemez alakjának. 5. ába
9 Iodalom: [ ] Tomo Benedek: Konvex alakzatok egy ögzítési poblémája. Matematikai lapok 963. 0-3. [ ] L. Fejes Tóth: On pimitive polyheda. Acta Math. 96. 379-38. Sopon, 05. 07. 0.