1 Függvényekről a középiskolában Szerzői megfontolások, ajánlások Természetesen, lehetett volna (a középiskolai matematika tananyag leginkább hangsúlyozott és sok kapcsolódási ponttal bíró részét), a függvények c. témakört más súlypontok és elrendezés, didaktikai és tanuláselméleti megfontolás mentén is feldolgozni! Ami a választott feldolgozás melletti döntésemben vezérelt alapvetően a következők köré csoportosítható: a) Tanuláselméleti és tanulástechnológiai kutatások, valamint saját pedagógiai gyakorlatom tapasztalatainak egy új szemléletű alkalmazása. Kiemelt helyet kívántam adni a megértés fejlesztésén belül a fogalomalkotásnak és a logikai felismerésnek (ennek eredménye az ismeretek maradandósága, és felhasználhatósága). A fogalom létrejöttének alapvető feltétele a tapasztalás, a folytonos tevékenység, amely csak akkor igazi alapja a fogalom kialakulásának, ha nem nélkülözi az egyes gondolkodási műveleteket (elemzés, összehasonlítás, általánosítás, rendezés, analógia, összefüggések feltárása stb.). A logikai felismerés ezeknek a kialakult fogalmaknak a logikai osztályba, fogalomrendszerbe való elhelyezését jelenti. Ez természetesen nem egyszerű besorolás, hanem aktív gondolkodási tevékenységre épülő folyamat. Fontos tapasztalatom: megfelelő tényagyag ismerete nélkül a legszükségesebb kompetenciák (az ismeret a kognitív kompetencia egyik komponense) sem alakulhatnak ki, mivel a legfontosabb eszközei, összetevői hiányoznak.
2 b) A témakör kapcsolódási pontjai közül minél több bemutatása! Ezekről a pontokról kevés szó esik a hagyományos tankönyvekben, segédanyagokban. Gondolok itt pl. a ponthalmazok ábrázolására (halmazműveletekre), vagy a különböző geometriai transzformációk bemutatására, mint függvényekre. Nem nehéz megítélni, hogy mindezek milyen fontosak az előző pontban említett logikai felismerés szempontjából is. c) A felhasználó (a tanuló) tevékeny résztvevője legyen a tudatosan irányított tanulás folyamatának! Míg a néma olvasás sokszor alibi tanulás, addig a folyamatosan probléma helyzet elé állító feladatok és kérdések (kérdezni is tanítanak; a kérdezni tudás a megértés biztos jele) új helyzetet és megoldási késztetést eredményeznek. Az interaktív feldolgozás természetesen nem hasonlítható össze a hagyományos tankönyvekkel. Az előbbinél a feldolgozás a felhasználó által befolyásolható, az utóbbinál nem. Azt azonban ismerni kell, hogy minél több érzékszervünk vesz részt a tanulásban, ez a munka annál hatékonyabb (időtakarékosabb, maradandóbb, alkalmazhatóbb a gyakorlatban). d) Az előzőekben említett tartalmi kapcsolódási pontokon kívül az egymásra épülő kapcsolódási pontoknak is nagy jelentőséget tulajdonítok! Ennek megléte jelenti a tanuló számára az új ismeret hírértékét, aminek alapja az előfeltétel tudás megléte.(pl.: a pont koordinátáinak különböző transzformációi megalapozzák a függvény-transzformációkat)
3 e) Használható legyen tanórán éppúgy, mint otthoni önálló tanulásra! (Úgy tartom, hogy a távoktatás egyik fontos eszköze is lehet!) Az interaktív táblák korában, egy olyan eszköznek szántam, amely számos lehetőségével megkönnyíti, ugyanakkor hatékonyabbá is teszi a pedagógus kollégák munkáját. Természetesen más módszertani eljárásokat igényel az eszköz alkalmazása, mint egy frontális foglalkozás megtartása. Ideális alapfeltétel, ha a tanulók és a pedagógus is hozzáfér az általam készített digitális eszközhöz. Ilyenkor a tanulók a pedagógus iránymutatásai alapján mindig előre is tudnak készülni (biztosított lesz az előfeltétel tudás) a következő tanórára. Ezáltal több idő marad az osztály egyéni teherbírásának és a kolléga elvárásainak megfelelő további problémák vizsgálatára, az oly sokszor csak emlegetett hozzáadott érték tudatosabb és alaposabb formálására. Az éppen aktuális témához (évfolyamhoz) kapcsolódó részek közül könnyen kijelölhetők az otthoni feldolgozásra szántak és a tanórai munkára tartogatottak. Mindez hozzásegíti a tanulót az egyéni haladási ütem megtalálásához, a lassúbb észjárású tanulók időbeli felzárkóztatásához. Lehetőség adódik a tanulói kérdések előre történő megfogalmazására, adatok gyűjtésére, a kérdések, a miértek közös tanórai megvitatására csoportmunkában, vagy osztályszinten egyaránt. Így kapcsolódik össze a tanulás az alkotással, a sikerélménnyel, az önálló véleményformálással és háttérbe szorítja a passzív befogadást! Fontos, hogy a tartalmaknak más tartalmakhoz illetve az egyes évfolyamokhoz (vagy tantervekhez) való kapcsolódási pontjai jól kitapinthatók legyenek, és egymásra épüljenek! f) A projekt mellékletei célirányosan és eredményesen használhatók a gyakorlatban. Újszerű az a munka-asztal, amely csökkenti a tanulók és a kollégák munkájának mechanikus elemeit. Nem helyettesíti az elméleti ismereteket, ugyanakkor alkalmas a függvényekkel kapcsolatos számítások elvégzésére és/vagy ellenőrzésére. Ez által időt lehet megtakarítani, amely az igazi fejlesztő munkára fordítható. A függvénytranszformációk új szemléletű és időtakarékos tanulását-tanítását segíti a grafikonok gyűjteménye, ahol a grafikonhoz kell a hozzárendelés szabályát megkeresni. Személyes tapasztalatom: a tanulók érdeklődve és mindig kíváncsian használták az általam kifejlesztett eszközt. Az pedig közismert, hogy a kíváncsiság az érdeklődés, az érdeklődés pedig a figyelem fontos motívuma. A figyelem, az összpontosítani tudás viszont alapja a tanulásnak. A fenti megfontolások, és egyéni tapasztalatok figyelembevételével ajánlom munkámat a pedagógus kollégáknak és a tanulóknak. Munkámmal, a felhasználhatósággal kapcsolatos minden jobbító szándékú észrevételt köszönettel fogadok! Huszka Jenő címzetes igazgató, nyugdíjas középiskolai tanár
4 Az egyes témakörök évfolyamonkénti (hagyományos tantervi) elhelyezése A témakör Évfolyamok A témakör címe 0. 9 12. Szerzői előszó, történeti áttekintés I.-II. 9. A Descartes-féle síkbeli és a térbeli derékszögű koordináta-rendszer Síkbeli mozgások a derékszögű koordinátarendszerben III. 9. Ponthalmazok ábrázolása a derékszögű koordináta-rendszerben IV. 9.- 12. A polárkoordináta- rendszer V. 9. Relációk, speciális relációk, a függvény fogalma VI. 9. 11. Az invertálható és az összetett függvények VII. 9. 10. A sík és a tér egyszerűbb leképezései VIII. 12. Speciális halmazok, illetve azok részhalmazainak egymásra való leképezései IX.-X. 9. 11. Az egyváltozós függvények lehetséges csoportosításairól Az egyváltozós valós függvények tulajdonságai XI. 9. 11. Függvénytranszformációk XII.-XIII. 9. 12. Függvények kislexikona 1. rész. Függvények kislexikon 2. rész XIV. 11. (emelt szint) Az analízis elemei 1. rész. [Határértékszámítás] XV. 11. (emelt szint) Az analízis elemei 2. rész. [ Differenciálszámítás] XVI. 12. (emelt szint) Az analízis elemei 3. rész. [Integrálszámítás]
5 A projekt részletes tartalma Témakör A témakör címe és tartalmi felépítése 0. Szerzői előszó Bevezető gondolatok: függvények és a napi gyakorlat Történelmi visszatekintések Mérete: 711 KB I. A Descartes-féle síkbeli és a térbeli derékszögű koordináta-rendszer 18: 49 14: 53 II. III. A derékszögű koordináta-rendszer Pontok ábrázolása Egy síkbeli pont és tükörképének koordinátái (tengelyekre, origóra) Adott síkbeli pont koordinátáinak meghatározása (rendezett számpárok) Mérete: 581 KB Síkbeli mozgások a derékszögű koordináta- rendszerben Eltolás az x tengellyel párhuzamosan Eltolás az y tengellyel párhuzamosan Elforgatás az origó körül 90 fokkal Eltolás egy adott vektorral Tükrözés az I. és a III. negyed szögfelezőjére Adott szabály szerinti síkbeli mozgások Adott mozgáshoz a szabály megalkotása (tárgypontok és képpontok) Áttérés új koordináta rendszerre Mérete: 775 KB Ponthalmazok ábrázolása a derékszögű koordinátarendszerben Egyenesre illeszkedő ponthalmazok Félsíkokra illeszkedő ponthalmazok Zárt és nyitott síkrészre illeszkedő ponthalmazok Ponthalmazok (síktartományok) uniója, metszete; jellemzése algebrai összefüggésekkel Ponthalmazok (síktartományok) jellemzése számpárokkal, egyenlőséggel, egyenlőtlenséggel Mérete: 765 KB 28: 29 29: 11
6 Témakör IV. A témakör címe és tartalmi felépítése A polárkoordináta- rendszer 9: 44 A polárkoordinátákat meghatározó adatok A polárkoordináták jellemzői Kapcsolat a derékszögű koordináta-rendszerrel; trigonometriai összefüggések bemutatása Egy érdekes alkalmazás a fizikában Mérete: 508 KB V. Relációk, speciális relációk, a függvény fogalma 59: 43 VI. A reláció fogalma Halmazok szorzata (szorzathalmaz), a rendezett pár fogalma Egy szorzathalmaz részhalmazai A reláció és a gráf kapcsolata A reláció meghatározásának egyszerűbb esetei Relációk ábrázolásának lehetőségei A leképezés fogalma Egy leképezés tárgyhalmaza és képhalmaza A leképezések osztályozásának szempontjai A függvény fogalma, elnevezések A függvények leggyakoribb megadási módjai A függvények osztályozásának lehetőségei A függvény és grafikonja Mérete: 1, 37 MB Az invertálható és az összetett függvények Az inverz leképezés bemutatása Az invertálható függvény fogalma Az inverz függvények közötti kapcsolatok Egy függvény és inverzének grafikonja Leképezések összekapcsolása (szorzása): az összetett (közvetett) függvény Mérete: 665 KB 20: 05
7 Témakör VII. VIII. IX. A témakör címe és tartalmi felépítése A sík és a tér egyszerűbb leképezései Eltolás, mint függvény. Egyenesre vonatkozó tükrözés, mint függvény. Két egyenesre vonatkozó tükrözés egymás utáni alkalmazása, mint függvény. Pont körüli forgatás, mint függvény. Középpontos hasonlóság, mint függvény. Adott középpontú és párhuzamos vetítés, mint függvény. Síkidom vetülete egy egyenesen, szakasz vetülete szakaszon. Nyújtás és zsugorítás, a merőleges affinitás, mint függvény. A síkra vonatkozó tükrözés, mint térbeli leképezés. Mérete: 890 KB Speciális halmazok, illetve azok részhalmazainak egymásra való leképezései Számsorozatok, mint függvények Kijelentések és logikai értékek Funktorok (befejezetlen, vagy nyitott kijelentések) Mérete: 553 KB Az egyváltozós függvények lehetséges csoportosításairól Algebrai függvények (racionális, irracionális) Nem algebrai függvények Elemi alapfüggvények és az ezekből képezhető elemi függvények 32: 47 15: 22 12: 03 Mérete: 582 KB X. Az egyváltozós valós függvények tulajdonságai 50: 33 Szélső érték Zérushely Páros, páratlan Korlátos Szigorúan monoton, monoton, nem monoton Konvex, konkáv, inflexiós pont Periodikus Szakadás Folytonosság Mérete: 1, 24 MB
8 Témakör XI. XII. XIII. A témakör címe és tartalmi felépítése Függvénytranszformációk Eltolás az y tengellyel párhuzamosan Eltolás az x tengellyel párhuzamosan Nyújtás, zsugorítás (x tengelyű, y tengelyű merőleges affinitás) Tükrözés az x tengelyre Tükrözés az y tengelyre Egy függvény abszolút értékének grafikonja Függvényábrázolás a koordináta-rendszer transzformációjával: Tengelyek eltolása és az y tengelyen az egységek nyújtása Az x, y tengelyeken az egységek nyújtása és az x tengely eltolása Az x tengelyen az egységek zsugorítása, y tengely tükrözése az x tengelyre és az egységek zsugorítása, az y tengely eltolása Mérete: 1, 4 MB Függvények kislexikona 1. rész. Lineáris függvények Másodfokú függvények A pozitív egész kitevőjű hatványfüggvények Gyökfüggvények Abszolút érték függvény Lineáris törtfüggvény Exponenciális függvények Logaritmus függvények Trigonometrikus függvények Mérete: 1, 02 MB Függvények kislexikon 2. rész Egészrész függvény Törtrész függvény Előjel függvény A trigonometrikus függvények inverzei, az árkusz függvények A hiperbolikus függvények A hiperbolikus függvények inverzeinek képzése: area függvények Mérete: 857 KB 55: 06 28: 16 19: 55
9 Témakör XIV. XV. A témakör címe és tartalmi felépítése Az analízis elemei 1. rész. [Határértékszámítás] Függvény határértéke a végtelenben sin x A x függvény vizsgálata Függvény határértéke egy adott helyen A függvény jobb és bal oldali határértéke A határérték fogalmának általános definíciója A függvény folytonossága A sin x x függvény határértéke az x = 0 helyen A függvény határértékére és folytonosságára vonatkozó tételek Gyakorló feladatok Mérete: 1, 26 MB Az analízis elemei 2. rész. [ Differenciálszámítás] Egy görbe vonal érintőjének általános értelmezése A differenciahányados, a differenciálhányados és a derivált fogalma Összeg-, és különbségfüggvény deriváltja A hatványfüggvény deriváltja Az f (x)= sin x és a g (x) = cos x függvény deriváltja A szorzatfüggvény deriváltja A törtfüggvény deriváltja A közvetett (összetett) függvény deriváltja A differenciálható függvény menetének vizsgálata Szélsőértékre vonatkozó egyszerűbb feladatok Mérete: 1, 28 MB 61: 00 65: 04
1 Témakör XVI. A témakör címe és tartalmi felépítése Az analízis elemei 3. rész. [Integrálszámítás] Területmérés a kétoldali megközelítés módszerével A parabolikus háromszög területe A határozott integrál fogalma A határozott integrál tulajdonságai Az integrálfüggvény fogalma A primitív függvény, a határozatlan integrál fogalma A legegyszerűbb alapintegrálok Newton-Leibniz tétele A határozott integrál alkalmazásai: területszámítás, térfogatszámítás Mintapéldák, gyakorló feladatok Mérete: 1, 49 MB 83: 32