00-0XX Középszint Eponenciális és logaritmusos feladatok Megoldások ) Oldja meg az alábbi egyenleteket! a) ( ) log + + =, ahol valós szám és b) cos = 4 sin, ahol tetszőleges forgásszöget jelöl ( pont) a) A logaritmus definíciója szerint b) + + = ( pont) + = 8 + = 64 = 6 Ellenőrzés. cos = sin helyettesítéssel, sin + sin 4 = 0 sin = y új változóval y y+ = 0. y = ; y = ( pont) y nem megoldás, mert sin = + k vagy = + k (fokban is megadható) ( pont) 6 6 k Ellenőrzés, vagy le kell írni, hogy a gyökök igazzá teszik az eredeti egyenletet, mivel ekvivalens átalakításokat végeztünk. Összesen: 7 pont ) Mekkora értéke, ha lg = lg + lg? ( pont) lg = lg ( ) Mivel a 0-es alapú logaritmusfüggvény szig. monoton nő, = 7 Összesen: pont ) Oldja meg a következő egyenleteket: a) 9 = 0 b) sin = sin + a) Legyen = a Az a a = 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a = és a = a = = esetén = a = = egyenlet nem ad megoldást, mert minden valós kitevőjű hatványa pozitív szám. Az = kielégíti az eredeti egyenletet. - 8 -
Eponenciális és logaritmusos feladatok - megoldások b) Legyen sin = a Az a a = 0 másodfokú egyenletet kell megoldani. Ennek az egyenletnek a gyökei: a = és a =. a = sin = nem ad megoldást, mert sin a = sin = A sin = egyenlet gyökei: = + k, ahol k tetszőleges egész szám. Ezek az értékek kielégítik az egyenletet. Összesen: pont 4) Adott a következő egyenletrendszer: () lg ( y + ) = lg ( + ) () y = a) Ábrázolja derékszögű koordináta-rendszerben azokat a P ( ; y ) pontokat, amelyeknek koordinátái kielégítik a () egyenletet! ( pont) b) Milyen, illetve y valós számokra értelmezhető mindkét egyenlet? ( pont) c) Oldja meg az egyenletrendszert a valós számpárok halmazán! ( pont) d) Jelölje meg az egyenletrendszer megoldáshalmazát az a) kérdéshez használt derékszögű koordináta-rendszerben! ( pont) a) Ábra ( pont) b) Az () egyenlet miatt y és c) lg ( y ) lg ( ) + = + ( ) ( ) lg + = lg + A logaritmusfüggvény szigorú monotonitása miatt ( ) ( ) + = + 4 + 0 = 0 ( pont) = és = 4 y = és y = 4 A másodfokú egyenletrendszer megoldásai: ; 4 illetve ( ; 4) amiből a második számpár nem tartozik az eredeti egyenlet értelmezési tartományába, az első számpár kielégíti az eredeti egyenletrendszert. d) A ; 4 pont bejelölése. ( pont) Összesen: 7 pont - 9 -
00-0XX Középszint ) Oldja meg a pozitív valós számok halmazán a log6 = egyenletet! Jelölje a megadott számegyenesen az egyenlet megoldását! ( pont) = 4 ( pont) Összesen: pont sin 7 6) Melyik a nagyobb: A = vagy B = log? (Írja a megfelelő relációs 4 jelet a válaszmezőbe! Válaszát indokolja!) ( pont) A = 0, B = A B 7) Adja meg a 8) lg A pozitív valós számok halmaza. Összesen: pont = lg egyenlet megoldáshalmazát! ( pont) ( pont) a) Mely pozitív egész számokra igaz a következő egyenlőtlenség? (4 pont) b) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenlőtlenséget! 9 (8 pont) a) Az ( alapú eponenciális) függvény szigorúan monoton növekedése miatt Az egyenlőtlenség megoldása: ; ; ; 4 b) 0 A ( alapú eponenciális) függvény szigorú monotonitása miatt 4 6 + 9 0 + 9 0 9 0; 9; Az egyenlőtlenség megoldása, a valós számok halmazán: ( pont) Összesen: pont - 60 -
Eponenciális és logaritmusos feladatok - megoldások 9) Oldja meg a valós számok halmazán a következő egyenleteket! a) ( ) ( ) b) lg + lg + = lg 0 a) Értelmezési tartomány: A logaritmus azonosságának helyes alkalmazása. (A lg függvény kölcsönösen egyértelmű.) ( ) 0( ) + = + 0 + = 0 = és = Mindkét megoldás megfelel. b) 0 + = ( pont) = A négyzetgyök értéke nemnegatív szám, ezért nincs valós megoldás. Összesen: pont 0) Határozza meg az alábbi egyenletek valós megoldásait! log log + 6 = 0 (7 pont) a) ( ) ( ) b) sin = 6 4-6 - (0 pont) a) Az egyenlet bal oldalán szereplő szorzat értéke pontosan akkor 0, ha valamelyik tényezője 0. Ha az első tényező 0, akkor log = Innen = = 8 b) Ha a második tényező 0, akkor 6 log = 6 Innen = = 64 ahonnan a pozitív tartományba csak az = 8 Mind a két gyök kielégíti az eredeti egyenletet. sin = vagy sin = 6 6 ( pont) = + n vagy = + n 6 6 6 6 ( pont) 7 = + n vagy = + n 6 6 6 6 ( pont) 4 = + k ; = l ; = + m ; 4 = + n, k, l,m, n (4 pont) Összesen: 7 pont
00-0XX Középszint ) Adja meg a log 8kifejezés pontos értékét! ( pont) A kifejezés értéke 4. ) Mennyi az A kifejezés értéke:. kifejezés értéke, ha =? ( pont) ( pont) ( pont) ) Az a, b és c tetszőleges pozitív valós számokat jelölnek. Tudjuk, hogy lg = lg a lg b + lg c Válassza ki, hogy melyik kifejezés adja meg helyesen értékét! ( pont) a A: = + c E: = a b c b a c B: = a b + c F: = b a C: = a b c G: = c a c b D: = b A helyes kifejezés: F. ( pont) lg c lg d 4) A b, c és d pozitív számokat jelölnek. Tudjuk, hogy lg b =. Fejezze ki az egyenlőségből b-t úgy, hogy abban c és d logaritmusa ne szerepeljen! ( pont) c b = vagy b d c = d ( pont) ) Melyik szám nagyobb? A = lg vagy B = cos8 ( pont) 0 A nagyobb szám betűjele: B ( = cos 8 ) ( pont) - 6 -
6) István az log ( 0) Eponenciális és logaritmusos feladatok - megoldások függvény grafikonját akarta felvázolni, de ez nem sikerült neki, több hibát is elkövetett (a hibás vázlat látható a mellékelt ábrán). Döntse el, hogy melyik igaz az alábbi állítások közül! a) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény szigorúan monoton csökkenő. b) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény - höz -t rendel. c) István rajzában hiba az, hogy a vázolt függvény zérushelye. ( pont) b). ( pont) 7) Adja meg azokat az valós számokat, melyekre teljesül: log = 4. Válaszát indokolja! ( pont) A logaritmus definíciója alapján: = 6 tehát, = 4 ( pont) Összesen: pont 8) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! + + a) + = 0 ( pont) b) +, ahol 0 és (7 pont) a) + = 0 0 = 0 = (Az alapú eponenciális függvény szigorú monotonitása miatt: = 0 Ellenőrzés ( + ) b) Az egyenlet bal oldalát közös nevezőre hozva: = + ( ) Az egyenlet mindkét oldalát ( + ) -vel szorozva ( + ) = ( + ) A zárójelek felbontása és összevonás után: + 6= + Nullára rendezve: + 6= 0 A másodfokú egyenlet gyökei: = ; = ( pont) Ellenőrzés Összesen: pont - 6 -
00-0XX Középszint 9) a) Oldja meg a valós számok halmazán az + 0 egyenlőtlenséget! (7 pont) b) Adja meg az négy tizedesjegyre kerekített értékét, ha 4 + = 0. (4 pont) c) Oldja meg a cos + cos = 0 egyenletet a ; alaphalmazon. a) Ha, akkor ( 0, ezért) + 0, vagyis. ( pont) A -nál kisebb számok halmazán tehát a ; intervallum minden eleme megoldása az egyenlőtlenségnek. Ha, akkor ( 0, ezért) + 0, vagyis. ( pont) A -nál nagyobb számok halmazában nincs ilyen elem, tehát a -nál nagyobb számok között nincs megoldása az egyenlőtlenségnek. A megoldáshalmaz: ;. b) = 0 = 4 = log 4, 69 c) A megadott egyenlet cos -ben másodfokú, így a megoldóképlet felhasználásával cos = 0, vagy cos =. ( pont) Ez utóbbi nem lehetséges (mert a koszinuszfüggvény értékkészlete a ; intervallum). A megadott halmazban a megoldások:, illetve. ( pont) Összesen: 7 pont 0) Melyik az az természetes szám, amelyre log 8 =? ( pont) = 4 ( pont) ) Oldja meg az alábbi egyenleteket a valós számok halmazán! a) + = 4 ( pont) lg + lg4 = (7 pont) b) ( ) a) ( ) ( ) + = 4 ( pont) Tehát =. ( pont) Visszahelyettesítéssel az eredeti egyenletbe megbizonyosodtunk róla, hogy az = megoldás helyes. - 64 -
Eponenciális és logaritmusos feladatok - megoldások b) Értelmezési tartomány: lg4 = ( pont) Logaritmus-azonosság alkalmazásával: ( ) A logaritmus definíció alapján: 4( ) = ( pont) = 6 Ellenőrzés, visszahelyettesítés ) Az ábrán az : ; ; ( ) f f a = függvény grafikonja látható. a) Adja meg az f függvény értékkészletét! b) Határozza meg az a szám értékét! ( pont) Összesen: pont a) Az f értékkészlete 0,;4. b) a = 0,. ( pont) Összesen: pont ) Adja meg az értékét, ha ( ) log + =! ( pont) = + = ( pont) 4) Újsághír: Szeizmológusok számításai alapján a 004. december 6-án Szumátra szigetének közelében kipattant földrengés a Richter-skála szerint 9,-es erősségű volt; a rengést követő cunami (szökőár) halálos áldozatainak száma megközelítette a 00 ezret. A földrengés Richter-skála szerinti erőssége és a rengés középpontjában felszabaduló energia között fennálló összefüggés: M = 4, 4 + lg E. Ebben a képletben E a földrengés középpontjában felszabaduló energia mérőszáma (joule-ban mérve), M pedig a földrengés erősségét megadó nem negatív szám a Richter-skálán. a) A Nagasakira 94-ben ledobott atombomba felrobbanásakor 4 felszabaduló energia, 44 0 joule volt. A Richter-skála szerint mekkora erősségű az a földrengés, amelynek középpontjában ekkora energia szabadul fel? ( pont) b) A 004. december 6-i szumátrai földrengésben mekkora volt a felszabadult energia? ( pont) c) A 007-es chilei nagy földrengés erőssége a Richter-skála szerint - vel nagyobb volt, mint annak a kanadai földrengésnek az erőssége, amely ugyanebben az évben következett be. Hányszor akkora energia szabadult fel a chilei földrengésben, mint a kanadaiban? ( pont) - 6 -
00-0XX Középszint d) Az óceánban fekvő egyik szigeten a földrengést követően kialakuló szökőár egy körszelet alakú részt tarolt le. A körszeletet határoló körív középpontja a rengés középpontja, sugara pedig 8 km. A rengés középpontja a sziget partjától 7 km távolságban volt (lásd a felülnézeti ábrán). Mekkora a szárazföldön elpusztult rész területe egész négyzetkilométerre kerekítve? 4 a) = 4,4 + lg (,44 0 ) M M ( pont) b) 9, = 4,4 + lg E lg E = 0,8 Tehát a felszabadult energia körülbelül 0 E, 8 0 J ( ) c) A chilei rengés erőssége -vel nagyobb volt, mint a kanadai: 4,4 + lg Ec = 4,4 + lg E k + Rendezve: lg E lg E = c k Ec (A logaritmus azonosságát alkalmazva) lg = Ek Ec Ebből = 000 Ek 000-szer akkora volt a felszabadult energia. d) Az ábra jelöléseit használjuk. Az AKF derékszögű háromszögből: 7 cos = 8 ) 9,.( 8,4 ) ( 00,6 km ) - 66-8 sin8,4 T AKB 8,4 Tkörcikk 8 ( 08,6 km ) 60 ( ) T 08,6 00,6 = 8 km körszelet Az elpusztult rész területe körülbelül 8 km. Összesen: 7 pont a) Mely valós számokra értelmezhető a log ( ) kifejezés? b) Oldja meg a valós számok halmazán az alábbi egyenletet! log ( ) = 0 ( pont) a) b) = ( pont) Összesen: pont
Eponenciális és logaritmusos feladatok - megoldások 6) Egy idén megjelent iparági előrejelzés szerint egy bizonyos alkatrész iránti kereslet az elkövetkező években emelkedni fog, minden évben az előző évi kereslet 6%-ával. (A kereslet az adott termékből várhatóan eladható mennyiséget jelenti.) a) Várhatóan hány százalékkal lesz magasabb a kereslet év múlva, mint idén? ( pont) Az előrejelzés szerint ugyanezen alkatrész ára az elkövetkező években csökkenni fog, minden évben az előző évi ár 6%-ával. b) Várhatóan hány év múlva lesz az alkatrész ára az idei ár 6%-a? ( pont) Egy cég az előrejelzésben szereplő alkatrész eladásából szerzi meg bevételeit. A cég vezetői az elkövetkező évek bevételeinek tervezésénél abból indulnak ki, hogy a fentiek szerint a kereslet évente 6%-kal növekszik, az ár pedig évente 6%-kal csökken. c) Várhatóan hány százalékkal lesz alacsonyabb az éves bevétel 8 év múlva, mint idén? ( pont) A kérdéses alkatrész egy forgáskúp alakú tömör test. A test alapkörének sugara cm, alkotója 6 cm hosszú. d) Számítsa ki a test térfogatát! (4 pont) a) A kereslet minden évben várhatóan az előző évi kereslet,6 -szorosára változik, így év múlva az idei,06,4 -szorosára nő. Ez kb. 4%-kal magasabb, mint az idei kereslet. b) Az ár minden évben várhatóan az előző év ár 0,9 -szorosára változik, így megoldandó a 0,94 = 0,6 egyenlet, (ahol n az eltelt évek számát jelenti.) lg 0,6 Ebből n = ( 6,96). lg 0,94 ( pont) Azaz várhatóan 7 év múlva lesz az ár a jelenlegi ár 6%-a. c) A bevételt a kereslet és az ár szorzatából kapjuk, így 8 év múlva a jelenlegi bevétel (,06 0,94) 8 0,97 -szerese várható. ( pont) Azaz 8 év múlva a bevétel az ideinél kb.,8 %-kal lesz alacsonyabb. d) Ábra az adatok feltüntetésével. A kúp magasságát m -mel jelölve a Pitagorasz-tétel alapján: 6 7 (,cm) m = =., A kúp térfogata V 49cm. Összesen: 7 pont - 67 -
00-0XX Középszint 7) Adja meg az alábbi állítások logikai értékét (igaz vagy hamis)! ( pont) A) ( ) = B) Minden esetén C) = =. A) ( ) = ( ) =, tehát az állítás igaz. B) =, amely állítás negatív -re nem igaz, tehát az állítás hamis. C) = =, az állítás így igaz. ( pont) Összesen: pont 8) Egy 04 végén készült előrejelzés szerint az Indiában élő tigrisek t száma az elkövetkezendő években (az egyes évek végén) megközelítőleg a következő összefüggés szerint alakul: t ( ) = 600 0,84, ahol a 04 óta eltelt évek számát jelöli. a) Számítsa ki, hogy az előrejelzés alapján 06 végére hány százalékkal csökken a tigrisek száma a 04-es év végi adathoz képest! (4 pont) b) Melyik évben várható, hogy a tigrisek száma 900 alá csökken? (4 pont) Egy állatkert a tigrisek fennmaradása érdekében tenyésztő programba kezd. Beszereznek 4 hím és nőstény kölyöktigrist, melyeket egy kisebb és egy nagyobb kifutóban kívánnak elhelyezni a következő szabályok mindegyikének betartásával: I) háromnál kevesebb tigris egyik kifutóban sem lehet; II) a nagyobb kifutóba több tigris kerül, mint a kisebbikbe; III) mindkét kifutóban hím és nőstény tigrist is el kell helyezni; IV) egyik kifutóban sem lehet több hím, mint nőstény tigris. c) Hányféleképpen helyezhetik el a 9 tigrist a két kifutóban? (8 pont) (A tigriseket megkülönböztetjük egymástól, és két elhelyezést eltérőnek tekintünk, ha van olyan tigris, amelyik az egyik elhelyezésben más kifutóban van, mint a másik helyezésben.) a) A tigrisek száma minden évben az előző évinek 0,84 -szeresére csökken. Így 04 és 06 között a tigrisek száma 0,84 0,7 -szorosára változik. ( pont) Ez azt jelenti, hogy a számuk 7% -kal csökken. b) A feladat szövege alapján az alábbi egyenletet írhatjuk fel: 600 0,84 = 900. Az egyenlet megoldása 8,78. ( pont) Így 9 év múlva, azaz 0-ban várható, hogy a tigrisek száma 900 alá csökkenni. - 68 -
Eponenciális és logaritmusos feladatok - megoldások c) A (I) és (II) miatt a kisebb kifutóba vagy 4 tigris kerülhet. Ha tigris kerül a kisebb kifutóba, a (III) miatt (IV) miatt ez csak két nőstény és egy hím lehet. Két nőstényt és egy hímet 4 = 40 -féleképpen lehet összesen kiválasztani. ( pont) Ha 4 tigris kerül a kisebb kifutóba, akkor (III) és (IV) miatt ez csak két nőstény és két hím lehet, őket 4 = 60 -féleképpen lehet kiválasztani. ( pont) Így összesen 40 + 60 =00 eset lehetséges. Összesen: 7 pont 9) Oldja meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! Válaszát három tizedesjegyre kerekítve adja meg! ( pont) = 0 A kifejezést logaritmus alá visszük és alkalmazzuk a logaritmus azonosságát. lg = lg0 lg = lg0 lg =, ( pont) lg0 Összesen: pont 0) A mobiltelefonok 990 végén jelentek meg Magyarországon. Az előfizetések száma gyorsan nőtt: 00 végén már kb. 7 millió, 008 végén pedig kb. millió előfizetés volt az országban. a) Hány százalékkal nőtt a mobiltelefon előfizetések száma 00 végétől 008 végéig? ( pont) 99 és 00 között az egyes évek végén nyilvántartott mobiltelefonelőfizetések számát ezer darabban jó közelítéssel a következő függvény adja meg: ( ),667 f =, ahol az 99 vége óta eltelt évek számát jelöli. b) A függvény alapján hány mobiltelefon-előfizető lehetett 000 végén? ( pont) A kezdeti időszakban a mobilhálózatból indított hívások száma is gyors növekedést mutatott. 99 januárjában Magyarországon körülbelül 0 000 mobilhívást indítottak, majd ettől a hónaptól kezdve minden hónapban megközelítőleg 6,%-kal nőtt a hívások száma az előző havi hívások számához viszonyítva (egészen 00-ig). c) Melyik évben volt az a hónap, amelyben az egy havi mobilhívások száma először elérte a 00 milliót? - 69 -
00-0XX Középszint A mobiltelefonok elterjedése egy idő után a vezetékestelefonelőfizetések és hívások számának csökkenését eredményezte. A vezetékestelefon-hálózatból indított hívások száma Magyarországon 000-ben kb. 400 millió volt, majd ez a szám évről évre kb 8%-kal csökkent. d) Hány hívást indítottak vezetékes hálózaból 009-ben, és összesen hány vezetékes hívás volt a 000 elejétől 009 végéig terjedő tízéves időszakban? 000000 a),74 7000000 Kb. 7%-kal nőtt az előfizetések száma. b) Az eltelt évek száma: = 8. 8,667 04 millió 4 ezer mobiltelefon-előfizető lehetett 000 végén. c) A hívások száma egyik hónapról a másikra,06-szeresére nőtt. 99 januárja óta eltelt hónapok számát jelölje n. n 0000,06 = 00 000 000 00000000 n = log,06, 0000 amiből n 90. Az eltelt évek száma: 90 = 7,. Tehát 998-ban lehetett az a hónap, amikor a mobilhívások száma először elérte a 00 milliót. d) A megadott időszakban a vezetékes hívások száma mértani sorozatot alkot, melynek első tagja 400 (millió darab) és hányadosa q = 0,9. ( pont) 9 400 0,9 98,08 98 millió vezetékes hívást indítottak 009-ben. 000 eleje és 009 vége között összesen 0 0,9 400 9694,6 0,9 969 millió vezetékes hívást indítottak. Összesen: 7 pont ) Adja meg azt az valós számot, amelyre log =. ( pont) log = log = ( pont) 8 8 Összesen: pont 4 ) Adja meg értékét, ha ( ) ( ) 4 7 = ( pont) = = = ( pont) Összesen: pont - 70 -