MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A

Átírás

1 MATEMATIKAI KOMPETENCIATERÜLET A Matematika 10. szakiskolai évfolyam tanulók könyve 1. FÉLÉV

2 A kiadvány KHF/ /008. engedélyszámon időponttól tankönyvi engedélyt kapott Educatio Kht. Kompetenciafejlesztő oktatási program kerettanterv A kiadvány a Nemzeti Fejlesztési terv Humánerőforrás-fejlesztési Operatív Program központi program (Pedagógusok és oktatási szakértők felkészítése a kompetencia alapú képzés és oktatás feladataira) keretében készült, a sulinova oktatási programcsomag részeként létrejött tanulói információhordozó. A kiadvány sikeres használatához szükséges a teljes oktatási programcsomag ismerete és használata. A teljes programcsomag elérhető: címen. Szakmai vezető: Oláh Vera Alkotószerkesztők: Ratkó Istvánné, Ruzsinszkyné Lukácsy Margit Lektor: Koller Lászlóné dr. Felelős szerkesztő: Teszár Edit H-AMAT1003 Szerzők: Csákvári Ágnes, Koller Lászlóné dr., Vidra Gábor Educatio Kht Tömeg: 530 gramm Terjedelem: 13,94 (A/5 ív) A tankönyvvé nyilvánítási eljárásban közreműködő szakértők: Tantárgy-pedagógiai szakértő: Kónya István Tudományos szakmai szakértő: dr.marosváry Erika Technológiai szakértő: Ábrahám Júlianna

3 tartalom 1. modul: Elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása (Csákvári Ágnes) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) modul: Pitagorasz-tétele, négyzetgyök, valós számok (Vidra Gábor) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) modul: Másodfokú függvények és egyenletek (Csákvári Ágnes) Ajánlott szakmai jellegű feladatok (Koller Lászlóné dr.) A könyvben kidolgozott MINTAPÉLDÁK segítenek a tananyag megértésében. A FELADATOK szintjét a sorszám előtti házikó mutatja: alapszintű feladatok: középszintű feladatok: emelt szintű feladatok: Ahol nincs ilyen jelzés, azt a példát mindenkinek ajánljuk.

4 Mire jó a matematika? Te mit gondolsz? Minek tanuljon Pitagoraszról meg egyenletekről olyasvalaki, akinek az iskolán kívül nem lesz dolga velük? Az interneten minden adatot megtalálhatunk, amit csak akarunk! Mi, akik ezt a tananyagot írtuk, szeretünk beszélgetni, utazni, jó zenét, szép verseket hallgatni, virágot adni és kapni, szépen öltözni, finom ebédet enni és szeretjük a matematikát. Ezekben a munkatankönyvekben arra a kérdésre próbálunk felelni: Mi szeretni való van a matematikában? Kétezer-háromszáz évvel ezelőtt Arkhimédész köröket meg négyzeteket rajzolt a homokba, és megpróbálta megszámolni a homokszemeket egy akkora gömbben, mint az egész Világmindenség. Sokan mondhatták akkor: Hát ennek mi haszna? Homokszemek számolása és négyzetek rajzolása közben az Ember megtanulta a matematikai gondolkodást, a matematika nyelvét. Ez a gondolkodásmód, ez a nyelv segítette abban, hogy utakat, gépeket, városokat építsen, néhány óra alatt átrepülje az óceánt, fényképezzen, mobilon beszélgessen, vagy a másodperc tört része alatt könyvtárra való tudnivalót gyűjtsön össze a számítógépen. Az igazi matematika csoda. Olyan, mint a költészet. Csokonai írta a költőről: teremt új dolgokat, S a semmiből világokat. Majdnem szóról szóra ugyanígy fejezte ki magát Bolyai János, a matematikus, amikor felfedezéséről írt édesapjának: Semmiből egy új, más világot teremtettem. * Gondold el: soha, senki nem látott még igazi pontot, egyenest, kört vagy párhuzamost. Mindezek csak a mi képzeletünkben léteznek. S ezekből a képzelet szülte fogalmakból teremtett a matematika meg a fantázia, bátorság, tapasztalat és józan ész valóságos, kézzelfogható csodákat, amelyek hozzátartoznak mindennapi életünkhöz. Ezt a szépséget, ezt a kalandot szeretnénk megmutatni a matematikában. Vannak olyan részek is, amiket gyakorolni kell, éppen azért, hogy a lényeget érteni, élvezni tudd. Ha focizni, táncolni, gördeszkázni, úszni, sakkozni vagy főzni tanulsz, akkor is időt kell szánnod a gyakorlásra. Mit szeretnénk még mondani Neked a könyveinkkel? Szeretnénk, ha bíznál magadban! Ha azt mondanád: Okos, ügyes vagyok. Tudok gondolkozni, dönteni, ha barátot, társat, életpályát kell választanom. Cselekedeteimért, döntéseimért én vagyok felelős, senki más. Örülnénk, ha hinnél abban, hogy meg tudod változtatni a dolgokat magad körül, meg tudod javítani a világot! Szeretnénk, ha tudnád: minden ember számára a legfontosabb a többi ember. Magadat gazdagítod, ha gondolataiddal, alkotóképességeddel másokat gazdagítasz. Használd arra a matematikát, meg minden más tudásodat, tehetségedet, hogy szeretetben, szerelemben, örömben élj az emberek között! Ehhez kívánnak Neked sok szerencsét: a 10. osztályos matematika munkatankönyvek szerzői * A Csokonai- és Bolyai-idézetek közti kapcsolatra egy egyetemi hallgató, azóta már tanár, Szmerka Gergely hívta fel a figyelmünket.

5 1. MODUL elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása Készítette: Csákvári Ágnes

6 6 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. Lineáris függvények A lineáris függvény fogalma, tulajdonságai (ismétlés) x a ax + b Azokat a függvényeket, amelyeknek grafikonja egyenes, lineáris függvényeknek nevezzük, és az x a ax + b képlettel adjuk meg, ahol a a függvény grafikonjának meredeksége, b pedig az y tengellyel való metszéspont. koordinátája. Ha a = 0, akkor az x a b x a b hozzárendelést kapjuk, melyet konstans függvénynek nevezünk. Ekkor a függvény képe az x tengellyel párhuzamos egyenes. Ha a 0, akkor ez a lineáris függvény elsőfokú. x a ax, ha a > 0 x a ax, ha a < 0 Ha a > 0, akkor a függvény növekvő, vagyis növekvő x értékekhez növekvő függvényértékek tartoznak.

7 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 7 Ha a < 0, akkor a függvény csökkenő, vagyis növekvő x értékekhez csökkenő függvényértékek tartoznak. Általában: Minden x a ax függvény egyenes arányosságot fejez ki, amelyben az arányosság tényezője a. A függvényábrázoláskor a azt mutatja meg, hogy egy egységnyi jobbra haladás esetén hány egységet megyünk az y tengely mentén pozitív a esetén felfelé, negatív a esetén lefelé. Feladatok 1. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! 1 a) x a x ; x < 3; b) x a x ; x egész szám; 3 c) x a 3x ; x természetes szám; d) x a 3; 4 < x < 5.. Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! a) x a x + ; x egész szám; b) x a x + 4; x természetes szám; c) x a x 3 ; 4 < x < 1; d) x a x 1; 0 x Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! a) 1 5 x a x + ; b) x a 3x 5 ; c) x a 5 x + 1; d) x a x 1, Ábrázold koordináta-rendszerben az alábbi hozzárendelési utasításokkal megadott függvényeket! 4x 1 3 a) x a ; b) x x a ; c) x a ( 3 x + 4) ; d) x a x 1. 3

8 8 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE II. Elsőfokú, egyismeretlenes egyenletek (ismétlés) Mintapélda 1 m Egy kerékpáros kezdősebessége 4,7, és sebessége egyenletesen csökken másodpercenként s m m 0,4 -mal. Hány másodperc múlva lesz 3,1 a sebessége? s s Grafikus megoldás: A kerékpáros sebességét t idő elteltével a következő képlettel határozhatjuk meg: v ( t) = 0,4t + 4,7. Ábrázoljuk koordináta-rendszerben a t a 0,4t + 4, 7 függvényt. A v tengely 3,1 értékénél húzzunk párhuzamost a t tengellyel. Ez a párhuzamos valahol metszi a függvény grafikonját. Ezt a metszéspontot a t tengelyre vetítve látható, hogy 4 másodperc múlva éri el a kerékpáros a 3,1 s m sebességet. Algebrai megoldás: A kerékpáros pillanatnyi sebességét a 4,7 0,4t képlettel határozhatjuk meg. Azt a t értéket keressük, amikor a fenti kifejezés 3,1 -del egyenlő. Az egyenlet megoldásának lépései: 1. lépés: A célunk az, hogy az egyenlet egyik oldalára a számok kerüljenek, a másik oldalára pedig az ismeretlent tartalmazó kifejezések. Megjegyzés: A lépések közben összevonásokat is végezhetünk. 4,7 0,4t = 3,1 / 4,7 0,4t = 1,6

9 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 9. lépés: Meghatározzuk t értékét úgy, hogy t együtthatójával elosztjuk az egyenlet mindkét oldalát. 0,4t = 1,6 / : 0,4 t = 4 A megoldás során a mérlegelvet alkalmaztuk, melynek lényege, hogy amilyen műveletet végzünk az egyenlet egyik oldalán, azt a műveletet az egyenlet másik oldalán is végrehajtjuk. Mérlegelv: Szabad az egyenlet mindkét oldalából ugyanazt a kifejezést kivonni vagy mindkét oldalhoz hozzáadni. Szabad az egyenlet mindkét oldalát ugyanazzal a 0-tól különböző értékű kifejezéssel szorozni vagy osztani. Az egyenlet megoldásakor figyeljünk arra is, hogy az ismeretlen milyen értékekre értelmezett. Esetünkben a szövegkörnyezetből derül ki, hogy a t változó értéke a pozitív valós számok halmazán (R + ) értelmes. A kapott érték (t = 4) megfelel ennek a feltételnek. Ellenőrizzük, hogy tényleg jó-e az eredmény! Helyettesítsük be az eredeti egyenletbe! Ellenőrzés: Bal oldal: 4,7 0,4 4 = 4,7 1,6 = 3,1. Jobb oldal: 3,1. A jobb és a bal oldal megegyezik, azaz a megoldás helyes. Mintapélda Oldjuk meg a következő egyenletet a valós számok halmazán! 8 x + 4 x + 15 = Megoldás: 8 x + 4 x + 15 = 3 Közös nevezőre hozunk (a közös nevező 6). 3 6 ( 8x + 4) x + 15 = / 6 Ügyeljünk arra, hogy az egész tagokat is megszorozzuk! A törtvonal zárójelet helyettesít!

10 10 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE ( 8 + 4) = 3 6 ( x 15) x + Bontsuk fel a zárójelet mindkét oldalon, és végezzük el a kijelölt műveleteket! 16x + 48 = 18 x 15 Vonjuk össze a jobb oldalon a számokat. 16x + 48 = 3 x / + x 16x + x + 48 = 3 18x + 48 = 3 / 48 18x = 45 / :18 x =,5 Ellenőrzés: (,5) Bal oldal: = = (,5) Jobb oldal: 3 = 3 = 3 = 3 = = A két oldal értéke megegyezik, tehát a megoldás jó. Feladatok 5. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! a) 4x + 3 = 5; b) k + 1 = 7 k 3 ; c) ( z + 1) = 9 z 3 ; d) x x = 1; e) 7k + 3 = 7 3k ; f) 1,3y + y = 0,3y + 9 ; g) = 6k + 10 ( 6 3) k ; h) 18c c 3c 5 = ; i) 7 b 3 7 = b + 15 ; j) 4,7 0,4v = 0,3v +1,9v. 6. Oldd meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán! 1 3 a) 5x + = 4 x ; b) 9 3m + 5 4m = m 3 + 4m ; 8 c) 0,9 + ( 0,5 1,4 ) + 0,8z + 0,5z = 0,9z + 1 z ; d) 1 5 e) 3,75 3 0,7t + = 0,6t t 4 7a 5 3a 1 3 = ; ; f) 3( + 1) + ( x ) = 10 4( x 3) g) 7,k 1,k + 5, = 7,3,4 + 0,1( 5k + 1) +, 5k ; x ; h) 5 ( c + ) = 4( 18 c) + 3; i) 3 + ( x + 1 3) = x + 3x 5 19x + 13x j) x = x ;

11 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 11 III. Kétismeretlenes egyenlet Kétismeretlenes egyenlet megoldása Mintapélda 3 Egy téglalap alakú víztároló köré 30 m hosszú korlátot tettek, hogy elkerüljék a balesetet. Mekkorák lehetnek a víztároló oldalai? Megoldás: Jelöljük a víztároló oldalait a-val és b-vel! A feladat szövege alapján a következő egyenletet írhatjuk fel: a + b = 30 Ez egy kétismeretlenes egyenlet, melynek megoldása közben olyan a és b számpárokat keresünk, amelyek a feladat szövege alapján értelmesek, és visszahelyettesítve az egyenlőségbe a megfelelő helyekre, teljesül az egyenlőség. Például: ha a = 1, akkor b = 8. A keresgélést segíti, ha az egyenletből kifejezzük az egyik változót a másik felhasználásával: a + b = 30 / a b = 30 a / : 30 a b = b = 15 a A feladat szövege szerint oldalhosszt keresünk, ezért a is és b is csak pozitív valós szám lehet. Készítsünk táblázatot! a 0, ,8 7 b 14, , 8 Végtelen sok ilyen megoldáspárt tudunk felírni , ,01

12 1 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Mintapélda 4 A piacon tyúktojást és fürjtojást árulnak. A tyúktojás darabja 0 Ft, a fürjtojásé 40 Ft. Menynyit vehetünk az egyik és mennyit a másik fajtából, ha összesen 300 Ft-unk van tojásra? Megoldás: A tyúktojások darabszámát jelölje x, a fürjtojásokét y. A feladat szövegének értelmében mindkét érték csak nem negatív egész szám lehet. (Előfordulhat, hogy egyikből nem veszünk egy darabot sem.) Az x darab tyúktojásért 0x forintot fizetünk, az y darab fürjtojásért 40y forintot, de öszszesen 300 Ft-ot költünk. A következő egyenletet írhatjuk fel: 0x + 40y = 300 Fejezzük ki y-t az x változó segítségével: 0x + 40y = 300 / 0x 40y = 300 0x / : 40 y = y = x Készítsünk értéktáblázatot! x x y Mintapélda 5 Oldjuk meg az előző feladatot úgy, hogy a tyúktojás 3 Ft-ba kerül! Megoldás: Az egyenletet az előző feladathoz hasonlóan írjuk fel. 3x + 40y = y = x Készítsünk értéktáblázatot! x y x y

13 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 13 Ha x 15-nél nagyobb, akkor y már negatív szám lesz, ezért ennek a feladatnak nincs megoldása. Az y = ax + b kétismeretlenes egyenlet (a, b valós számok) megoldásán azt értjük, hogy keressük azt az (x; y) számpárt, amelynek tagjait a megfelelő ismeretlenek helyébe írva teljesül az egyenlőség. Az egyenlet értelmezési tartománya olyan számpárokból áll, amelyek szóba jöhetnek az egyenlet megoldásaként. A megoldások száma lehet véges sok vagy végtelen sok, illetve az is lehet, hogy nincs megoldás. Kétismeretlenes egyenlet grafikus megoldása Mintapélda 6 Ábrázoljuk grafikonon a 3. és a 4. mintapéldában kapott táblázatok alapján a megoldásokat! Megoldás: 3. mintapélda esetén: 4. mintapélda esetén: A megoldást jelentő pontpárok egy egyenesen helyezkednek el. Az egyenes minden pontjának koordinátái kielégítik az egyenletet. Ha egy pont nincs az egyenesen, akkor koordinátái nem megoldásai az egyenletnek sem.

14 14 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ugyanazt a grafikont kapjuk, mintha a megfelelő értelmezési tartományon ábrázoltuk volna 15 1 az x a 15 x, illetve az x a x függvényeket. Az y = 15 x illetve az y = 15 1 x egyenleteket az egyenes egyenletének nevezzük. Az y = ax + b egyenlet az egyenes egyenlete. Az egyenletben a az egyenes meredeksége, b az y tengellyel való metszéspont. Ha y = b, akkor az egyenes párhuzamos az x tengellyel, ha y = ax, akkor az origón halad át. Feladatok 7. Vásároltam 645 forintért 3 kg paprikát és 5 kg paradicsomot. Mennyibe kerülhetett 1 kg paradicsom és 1 kg paprika? 8. Egy egyenlő szárú háromszög kerülete 3 egység. Mekkorák lehetnek az oldalai? 9. Egy kétjegyű szám számjegyeinek összege 13. Melyik lehet ez a szám?

15 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 15 IV. Kétismeretlenes egyenletrendszer grafikus megoldása Eddig olyan feladatokkal találkoztunk, amelyekben egyetlen ismeretlen mennyiség értékét kellett meghatározni egy darab egyenlet segítségével. Most olyan példákat látunk, ahol két ismeretlen mennyiség értékét keressük, két egyenlet segítségével. Mintapélda 7 Egy varrónő ruhára és szoknyára kapott megrendelést, összesen 0 darabra (legalább egyetegyet mindkettőből el kell készítenie). A szoknyát 000 Ft-ért, a ruhát 3000 Ft-ért készíti el. Hány ruhát és hány szoknyát varrt meg, ha a megrendelő Ft-ot fizetett? Megoldás: Jelöljük x-szel a ruhák, y-nal a szoknyák számát. x és y csak pozitív egész szám lehet, hiszen a megrendelő a félig megvarrt ruhát/szoknyát nem fogadja el, és mindkettőből legalább egyet kér. Összesen 0 darabot varrt. Nézzük meg, hogyan lehet felbontani a 0-at két egész szám összegére: x y x y A fenti összefüggést az x + y = 0 egyenlettel írhatjuk föl. A táblázatban fölsorolt számpárok pedig az egyenletet kielégítő számpárok. A kifizetett összeggel kapcsolatban is felírhatunk hasonló egyenletet: 000y x = Ezt az egyenletet a ugyanazok a számpárok elégítik ki, mint a y + 3x = 5 egyenletet. Megjegyzés: Haladjunk végig a pozitív egész számokon. Ezek legyenek x lehetséges értékei. x = 1,, 3,... számokat behelyettesítve a fenti egyenletbe, megkapjuk y értékeit. Csak azokat az (x;y) párokat írtuk be az alábbi táblázatba, amelyekben y is pozitív egész. x y A két táblázatban van egy azonos számpár, mégpedig az x = 1 és y = 8. Ez azt jelenti, hogy ez a számpár a két egyenlet közös megoldása.

16 16 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Megjegyzés: választhattuk volna azt az utat is, hogy behelyettesítjük az első egyenlet lehetséges megoldásait a másodikba. Összefoglalva: A megoldást két egyenlet segítségével kaptuk meg: x + y = 0 000y x = 5000 A kapcsos zárójellel összekapcsolt egyenletek összetartoznak, egyenletrendszert alkotnak, amelyben két ismeretlen szerepel. Az elsőfokú kétismeretlenes egyenletrendszer megoldásakor olyan számpárt keresünk, amely mindkét egyenletnek megoldása. A továbbiakban megismerkedünk néhány módszerrel, amelyek általánosabb feladatok megoldásában segíthetnek. Először a grafikus, majd a behelyettesítő módszert tanuljuk meg alkalmazni. Korábban láttuk, hogy a kétismeretlenes egyenlet megoldásait jelentő értékpárokat koordináta-rendszerben ábrázolva, azok egy egyenesen helyezkednek el. Ez a grafikus megoldási módszer alapja. Grafikus módszer: Ábrázoljuk azt a két egyenest, amelynek egyenleteiből áll a megoldandó egyenletrendszer. A két egyenes metszéspontjának koordinátái adják az egyenletrendszer megoldáspárját. Mintapélda 8 Oldjuk meg grafikusan a következő egyenletrendszereket, ahol x és y tetszőleges valós számok! a) x = y + 1 y 5x = b) y = x + 1 y x + = 3 c) ( x + 1) x + y = y 1 = x + 1 Megoldás: a) Alakítsuk át az egyenleteket úgy, hogy egyik oldalon csak az y álljon! y = x 1 y = 5x +

17 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 17 A két egyenlet egy-egy egyenes egyenlete. Ábrázoljuk ezt a két egyenest koordináta-rendszerben. Közös pontjuk koordinátái mindkét egyenes egyenletét kielégítik. Az egyenletrendszer megoldását tehát a közös pont koordinátái adják. A két egyenlet közös megoldása, vagyis az egyenletrendszer megoldása az x = 1 és y = 3 számpár. Ellenőrizzük a megoldást, helyettesítsünk vissza az eredeti egyenletekbe! Első egyenlet: Második egyenlet: ( 1) = ( 1) = = = b) Alakítsuk át az egyenleteket úgy, hogy egyik oldalon csak az y álljon! y = x + 1 y = x + 6 E két egyenlettel meghatározott egyenesek meredeksége azonos, csak az y tengellyel vett metszéspontjuk különbözik. Az egyenesek párhuzamosak, nincs közös pontjuk. Tehát az eredeti egyenletrendszernek sincs megoldása. c) Az előzőekhez hasonlóan most alakítsuk át mindkét egyenletet úgy, hogy csak az y maradjon az egyik oldalon! y = x + y = x + Mindkét esetben ugyanazt az egyenletet kaptuk. Ez azt jelenti, hogy a két egyenesnek végtelen sok közös pontja van, így az eredeti egyenletrendszernek is végtelen sok megoldása van. A lineáris egyenletrendszernek vagy egy, vagy végtelen sok megoldása lehet. Az is előfordulhat, hogy nincs megoldás.

18 18 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 10. Oldd meg grafikusan a következő egyenletrendszereket! Helyettesítsd be az egyenletrendszerbe a kapott értékpárokat! a) = = + x y y x 3 b) = = 1 x y x y c) = + + = x y x x y d) = = 3 x y x y x x y 11. A piacon előszezonban a paprikát is és a paradicsomot is darabra árulják. Összesen 7 darab zöldséget vásároltunk, 460 Ft értékben. Hány paprikát és paradicsomot vettünk, ha a paprikának 60 Ft, a paradicsomnak 80 Ft darabja? 1. Két munkás egy óra alatt 18 munkadarabot állít elő. Mennyit készítenek el különkülön óránként, ha az egyikük kétszer annyit állít elő, mint a másikuk?

19 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 19 V. Kétismeretlenes egyenletrendszerek megoldása behelyettesítő módszerrel Először próbálgatással oldottunk meg egyenletrendszert. Ez akkor működik jól, ha a keresett értékpárra konkrét megszorításokat teszünk, például egy ilyen lehetséges megszorítás az, hogy csak pozitív egész számok esetén van értelme a feladatnak, és az ismeretlenek nem lehetnek nagyobbak egy konkrét számnál. A grafikus megoldás is csak akkor használható jól, ha a megoldás olyan szám, amely pontosan leolvasható a koordinátatengelyekről. Ezek a módszerek nem alkalmazhatóak minden esetben. Viszont a grafikus megoldás alapelve, hogy fejezzük ki az y-t az egyenletekből, egy olyan módszer alapötletét adja, amelynek segítségével általánosan is meg tudunk oldani problémákat. Ez lesz a behelyettesítő módszer. Mintapélda 9 A ló és az öszvér egymás mellett bandukoltak nehéz teherrel a hátukon. A ló panaszkodni kezdett elviselhetetlenül nehéz terhére. Miért panaszkodsz? mondta neki az öszvér. Hiszen ha egy zsákot átveszek a hátadról, akkor az én málhám kétszer olyan nehéz lesz, mint a tied. Ha azonban te vennél át egy zsákot az én hátamról, akkor a te málhád még mindig csak olyan nehéz lenne, mint az enyém. Vajon hány zsákot vihetett a ló és hányat az öszvér? Megoldás: Fordítsuk le a szöveget a matematika nyelvére! A ló hátán lévő zsákok száma: x Az öszvér hátán lévő zsákok száma: y ha egy zsákot átveszek a hátadról (ekkor a ló x 1 hátán eggyel kevesebb málha lesz), akkor az én málhám y + 1 kétszer olyan nehéz lesz, mint a tied. y + 1 = (x 1) Ha azonban te vennél át egy zsákot az én y 1 hátamról, akkor a te málhád x + 1 még mindig csak olyan nehéz lenne, mint az x + 1 = y 1 enyém (ugyanolyan nehéz lenne, mint az enyém).

20 0 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Két egyenletet kaptunk, két ismeretlennel: ( x 1) y + 1 = x + 1 = y 1 (Figyeljünk arra, hogy ha két ismeretlenünk van, akkor a megoldáshoz két egyenletre van szükség.) Az egy ismeretlent tartalmazó egyenletet már meg tudjuk oldani. Szükségünk lenne olyan módszerre, amelynek segítségével a két egyenletből egyet, és a két ismeretlenből is egy olyat kapunk, amelyben már csak egy ismeretlen van. Ismerkedjünk meg a behelyettesítő módszerrel! 1. lépés: Valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent. Ez azt jelenti, hogy úgy rendezzük át az egyenletet, hogy az egyik oldalon csak az ismeretlen betűjele maradjon. Minden szám és a másik ismeretlen kerüljön át a másik oldalra. Megjegyzés: Átrendezéskor számíthatunk zárójelfelbontásra, együtthatóval történő osztásra, törtes egyenlet esetén közös nevezőre hozásra, majd a közös nevezővel történő beszorzásra. Célszerű úgy választani a kifejezendő ismeretlent és az egyenletet, hogy a kifejezés minél egyszerűbb legyen.. lépés: Behelyettesítünk a másik egyenletbe. Jelen esetben y helyébe beírjuk az előző lépésben kapott kifejezést. 3. lépés: Egyismeretlenes egyenletet kaptunk. Ezt most már meg tudjuk oldani. 4. lépés: Visszahelyettesítjük x értékét az 1. lépésben kapott egyenletbe. Ezáltal megtudjuk y értékét. x + = y { x = ( x 1) y x + 3 = x 3 = x 5 = x 5 + = y 7 = y

21 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 1 5. lépés: Válasz. A ló 5, az öszvér 7 zsákot cipelt. 6. lépés: Ellenőrzés, Ha az öszvér egy zsákot átvesz a ló szövegbe történő helyettesítéssel. hátáról, akkor a ló hátán 4, az öszvér hátán pedig 8 zsák lesz. Ekkor az öszvér málhája valóban kétszer olyan nehéz lesz, mint a lóé. Ha a ló venne át egy zsákot az öszvér hátáról, akkor a ló hátán 6, és az öszvér hátán is 6 zsák lenne. Vagyis a málhájuk ugyanolyan nehéz. Most következzen egy összetettebb kétismeretlenes egyenletrendszer! Mintapélda 10 Oldjuk meg a Megoldás: x 3y = 6 15x 7y 1 = 0 kétismeretlenes egyenletrendszert! 1. lépés: Valamelyik egyenletből kifejezzük az egyik ismeretlent. Igazából mindegy, hogy melyik egyenletet és melyik ismeretlent választjuk. Viszont a számolásra fokozottan figyeljünk. Tipp: jelen esetben az együtthatókat figyelembe véve célszerű az első egyenletet választani. Azon belül pedig fejezzük ki x-et (- vel könnyű osztani)... lépés: Behelyettesítünk a másik egyenletbe. Az alsó egyenletben x helyére írjuk az első lépésben kapott kifejezést. FONTOS! Ügyeljünk arra, hogy x helyébe egy összeg fog kerülni, amit megszorzunk 15-tel. Ezért az első lépésben kapott kifejezést behelyettesítéskor tegyük zárójelbe! x = 6 + 3y x = 3 + 1,5 y / : 15 (3 + 1,5y) 7y 1 = 0

22 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 3. lépés: Megoldjuk az egyismeretlenes egyenletet. ( 3 + 1,5 ) 7 y y = /zárójel- felbontás 45 +,5 y 7y 1 = 0 /összevonás ,5 y = 0 / 44 15,5 y = 44 / :15,5 y =,84 4. lépés: Visszahelyettesítjük y értékét az 1. lépésben kapott egyenletbe. Ezáltal megtudjuk x értékét. 5. lépés: Ellenőrzés. A kapott x és y értékeket visszahelyettesítjük az egyenletekbe. FONTOS! Mivel századokra kerekített értékekkel számoltunk, ezért századnyi eltérés még elfogadható. Ha pontos eredményeket kívánunk meg, akkor törtekkel, és ne tizedestörtekkel számoljunk. (,84) = 1, 6 x = 3 + 1,5 1. egyenlet: bal oldal: x 3y = ( 1,6) 3 (,84) = 6, ez megegyezik a jobb oldalon szereplő értékkel.. egyenlet: bal oldal: 15 ( 1,6) 7 (,84) 1 = = 18,9 + 19,88 1 = 0,0, a jobb oldal értéke 0. Feladatok 13. Oldd meg a következő egyenletrendszereket, majd ellenőrizz! x + y = 1 x + y = 7 3x y = 5 a) b) c) d) x = 3y y = 3 y = x x 1 = y y = x Oldd meg a következő egyenletrendszereket, majd ellenőrizz! a = 4 + b 4m + 3n = 6 3e = 5 + f a) b) c) d) 5a 4b = 3 m = 4 n 5e + f = 3 k + l = 8 k 3l = 11

23 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA Oldd meg a következő egyenletrendszereket, majd ellenőrizz! a) = + = y x y x b) = + = y x y x c) = = y x y x d) = = x y x y 16. Oldd meg a következő egyenletrendszereket, majd ellenőrizz! a) + = + = y x y y x x b) ( ) + = = + y x y x y x y x 4,5 8 1,5 c) ( ) ( ) ( ) = + = + + x y y x y x y x 10 3 : 5 5 1,5 4

24 4 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE VI. Kétismeretlenes egyenletrendszerrel megoldható szöveges feladatok Mintapélda 11 Jancsi bankszámlát szeretne nyitni. Az első bank éves számlafenntartási díja 3000 Ft, de havonta tranzakció (pénz felvétele, egyenleg lekérdezése, utalás stb.) ingyenes, minden további tranzakció 70 Ft. A második banknál az éves számlafenntartási díj 1300 Ft, de minden tranzakció 170 Ft. Melyik bankot érdemes választania, ha az első hónapban 5 tranzakció történik? Az első hónapban hány tranzakció esetén érdemes az első bankot választani és mikor a másodikat? Az első hónapban hány tranzakció esetén fizetne ugyanannyit mindkét banknak? Válaszaidat indokold! Megoldás: Értéktáblázat készítése: Első bank Tranzakciók száma Díj (Ft) Második bank Tranzakciók száma Díj (Ft) Egyenletek: Első bank: y = (x ) 70, ha x 3 Második bank: y = x Grafikon készítése:

25 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 5 Szöveges válasz: Az első hónapban 5 tranzakció esetén a második bankot célszerű választani, mert itt csak 150 Ft-ot kell fizetnie, míg az első banknál 310 Ft-ot. Az első hónapban kb. 15,6 tranzakció esetén kellene ugyanakkora díjat fizetnünk mindkét banknál. A tranzakciók száma csak természetes szám lehet, ezért 15, ill. annál kevesebb tranzakció esetén a második bankot érdemes választani, 16 vagy annál több tranzakció esetén pedig az elsőt. Útmutató a feladatok megoldásához: Oldd meg a szöveges feladatokat! Töltsd ki az értéktáblázatokat, írd fel az egyenletrendszert, készíts grafikont a feladatokhoz! Feladatok 17. Reggel a munkahelyemre villamossal és busszal egyaránt mehetek. A villamos azonnal indul, a buszra még várni kell 8 percet. Ha villamossal megyek, akkor a 4 km-es út 5 percbe telik, a busszal csak 17 perc. Melyikkel menjek, hogy minél hamarabb beérjek? Mennyi idő alatt tesz meg a busz, ill. a villamos 1 km utat? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Villamos x (km) 0 0, t (perc) Busz x (km) 0 0, t (perc) 18. A soltvadkerti nyári táborba a csoport néhány tagja biciklivel megy, a többiek autóbusszal. A táv 100 km, a biciklisták 5 km/h sebességgel képesek haladni, és reggel 7 órakor indulnak az iskola elől. A busz 9-kor indul ugyanerről a helyről, de 80 km-t tesz meg óránként. Melyik csapat ér le hamarabb? Hány órával később ér le a másik? Hány km megtétele után és hány órakor éri utol az egyik a másikat? Válaszaidat indokold!

26 6 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Kitöltendő értéktáblázatok: Bicikli s (km) t (ó, perc) Autóbusz s (km) t (ó, perc) 19. Kati könyvtárba szeretne beiratkozni. A helyi könyvtárban 500 Ft az éves tagsági díj, és minden kölcsönzés 150 Ft. A központi könyvtárban 100 Ft a tagsági díj, de a kölcsönzési díj 50 Ft. Ha egy éven keresztül havonta 8 könyvet szeretne kikölcsönözni, akkor melyik könyvtárba érdemes beiratkoznia? Egy évben hány könyvet kölcsönözzön ki, hogy ugyanannyit fizessen? Hány könyv kölcsönzése esetén érdemes a helyi, illetve a központi könyvtárat választania? Válaszaidat indokold! Kitöltendő értéktáblázatok: Könyv (db) Összeg (Ft) Helyi könyvtár Könyv (db) Összeg (Ft) Központi könyvtár Mekkorák a 15 m kerületű téglalap oldalai, ha a két oldal különbsége 3 m? 1. Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyikről tudjuk, hogy az egyik szöge 8 -os, a másik két szöge közül pedig az egyik 4 -kal kisebb a másiknál?

27 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 7. Két munkás 500 alkatrészt állít elő naponta. Mennyit készítenek külön-külön, ha az egyik 0%-kal többet készít, mint a másik? 3. Ha egy kétjegyű szám számjegyeit felcseréljük, akkor eggyel kisebb számot kapunk, mint az eredeti szám fele. Ha az eredeti számot és a számjegyek felcserélésével kapottat összeadjuk, akkor 77-et kapunk. Számítsuk ki az eredeti számot!

28 8 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Ajánlott szakmai jellegű feladatok 1. Egy kávézóban kétféle kávéból 10 kg kávékeveréket készítenek. Az egyik kávéból 1 kg 360 Ft-ba, a másikból 480 Ft-ba kerül. Hány kg kávét tesznek az egyes kávéfajtákból a keverékbe, ha 1 kg keverék ára 414 Ft?. Egy lángossütő raktárában Ft összértékben 40 kg liszt és kg reszelni való sajt van. Két nap alatt elfogyott a liszt fele és a sajt negyedrésze. A megmaradt liszt és sajt együttes értéke 600 Ft. Mennyibe kerül 1 kg sajt és 1 kg liszt? 3. Egy szállodában étterem és bár is van. Az étterem és a bár forgalmának aránya 5 :. Ha a bár átlagos napi forgalma 100 ezer Ft-tal nőne, és az étteremé pedig 50 ezer Ft-tal csökkenne, akkor a két vendéglátó egység átlagos forgalma megegyezne. Mekkora volt az étterem és a bár átlagos forgalma? 4. 3 kg paradicsomért és kg zöldpaprikáért 1940 Ft-ot fizettünk. A paprika kilójának ára 0 Ft-tal kevesebb a paradicsom árának kétszeresénél. Mennyibe kerül 1kg paprika és 1 kg paradicsom? 5. Egy vállalkozótól bizonyos mennyiségű csőidomot rendeltek. Ha napi 5 darabot gyárt, akkor a megbeszélt határidőig 100-zal kevesebb készül el a megrendelt mennyiségnél. Ha 40 darabot készít naponta, akkor a kitűzött határidőre 00-zal többet gyárt, mint amennyit megrendeltek. Hány nap alatt kellett elkészítenie a megrendelt mennyiséget, és hány darab csőidomot rendeltek? 6. Betakarításakor a cukorrépát 4 tonnás és 3 tonnás teherautókkal szállítják a feldolgozó üzembe. Ha 3 tonnás teherautóval szállítják el az egész termést, akkor 4 fordulóval többet kell tenni a teherautónak, mint ha 4 tonnással szállítanák el. Hányszor fordul a 4 tonnás és hányszor a 3 tonnás teherautó? Hány tonna cukorrépa volt a termés? 7. Egy burkoló szakmunkás a mozaikpadló lerakásán 15 napig dolgozott, majd megbetegedett, és egy másik mester további 9 nap alatt fejezte be a munkát. A munka akkor is elkészült volna, ha az első mester 10 napig, a második 16 napig dolgozott volna rajta. Hány nap alatt készültek volna el, ha együtt, egyszerre, egymást nem zavarva dolgoztak volna?

29 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 9 3 8*. Egy helységet hidroglóbusz segítségével látnak el vízzel. A víztárolót két szivattyú tölti fel. Ha mind a két szivattyú egyszerre működik, a hidroglóbusz 40 perc alatt megtelik. Ha az egyik szivattyú 0 percig, a másik 10 percig működik, a víztároló teljes térfogatának 1 részében lesz csak víz. Mennyi idő alatt töltenék fel vízzel a teljes hidroglóbuszt különkülön az egyes szivattyúk? 9. Egy új kórházi osztályon a súlyos betegek számára kevesebb ágyszámú szobákat terveztek. Ha minden szobába beteget tesznek, akkor 6-tal kevesebb beteget tudnak elhelyezni a tervezettnél. Ha minden szobába 3 beteget tesznek, akkor ágy üresen marad. Hány férőhelyet terveztek az új osztályra? Hány szoba van az új osztályon? 10. Egy hagyományos fahordókat készítő kádárműhelyben 6 és 8 abroncsos hordókat készítenek. 6 abroncsos hordóból -vel kevesebbet készítenek, mint 8 abroncsos hordóból. Hány 6 abroncsos és hány 8 abroncsos hordót készítenek, ha összesen 18 abroncsot használnak fel? 11. Egy fatelepen 6 nap alatt forgalmaznak annyi tölgyfa-pallót, mint a másikon 5 nap alatt. Ha a kisebb forgalmú fatelepen naponta 30 ezer Ft-tal többet forgalmaznának, akkor a két telep tölgyfa-palló forgalma megegyezne. Hány Ft értékben forgalmaznak tölgyfa-pallót az egyes telepeken? 1. Egy műbútorasztalos 10 nap alatt intarziás asztalt készített. Az egyik asztalra fordított munkaidő aránya a másik asztaléhoz képest 3 :. Hány asztalt készít el a nagyobb munkaigényű asztalból 4 nap alatt, ha közben más termékkel nem foglalkozik? 13*. Két aszfaltozó gép egy útszakaszt 50 perc alatt borít be aszfalttal. Ha az egyik gép 6 percig, a másik 15 percig működik, akkor az útszakasz 0%-ával készülnek el. Hány perc alatt készülnének el egyedül az egyes aszfaltozó gépek? 14. Régi motorkerékpárok kerekeit cserélik ki. Vannak köztük 3 kerekű oldalkocsis motorkerékpárok is. A kerekek mérete mindkét típus esetében azonos. Hány kétkerekű és hány háromkerekű motorkerékpár kerekeit tudják kicserélni, ha 165 kerekük van és negyedannyi oldalkocsis motorkerékpárt hoztak javítani, mint másikat? A kerekeket maradék nélkül mind felhasználják.

30 30 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 15. Egy sportruházati üzletben ruhaneműt és cipőket is árultak. A ruha- és cipőrészleg átlagos napi forgalma összesen 150 ezer Ft volt. Az egyik napon a ruharészleg 0%-kal nagyobb, a cipőrészleg 10%-kal kevesebb forgalmat bonyolított le az átlagosnál. Így az üzlet forgalma 17,5 ezer Ft volt. Mennyi volt az egyes részlegek aznapi tényleges forgalma? Mennyivel tért ez el az átlagos napi forgalomtól? 16. Két kistermelő zöldségtermeléshez közös locsolórendszert használ. Egy havi összes vízfogyasztásuk díja 158 ezer Ft volt. A következő hónapban az egyik gazdaság vízhasználatát 8%-kal, a másik 5%-kal csökkentette. Így a közös vízdíj 147 ezer Ft lett. Mennyi költség hárult így az egyik, és mennyi a másik gazdára? 17. Egy építőanyag-telepen kétféle burkoló lapot tároltak, kültéri alkalmazásra és beltéri alkalmazásra valókat, összesen 560 lapot. Egy iskola felújításához elszállították a kültéri lapok 50%-át és a beltéri lapok részét. Ekkor kétszer annyi kültéri lap maradt a telepen, 3 mint beltéri. Mennyi kültéri és mennyi beltéri lapot használtak fel az iskola felújításához? 18. A bronzötvözetek rézből és cinkből készülnek. Van egy 8,4 g 3 cm sűrűségű bronz ötvözetünk. Ehhez 40 g cinket olvasztottunk. A kapott ötvözet sűrűsége ezáltal 8, g 3 cm -re csökkent. Hány g cink volt az eredeti ötvözetben? (A réz sűrűsége: 8,8 g 3 cm, a cinké: 7, g 3 cm.) kg műtrágyát készítünk szuperfoszfátból és csontlisztből. Mennyi csontlisztet és mennyi szupefoszfátot keverjünk össze, hogy a műtrágya foszforsav-tartalma 0%-os legyen? A szuperfoszfát foszforsav tartalma 16%, a csontliszté 8%. 0. Egy műhelyben az egyik ládában 15 dkg-os csavarok, a másik ládában 18 dkg-os szegecsek vannak. A két láda együttes tömege 31,9 kg, amiből a két azonos méretű láda együttes tömege 4 kg. Ha az első ládában lévő csavarokhoz még 6 darab csavart tennénk, akkor a két láda tömege megegyezne. Hány csavar illetve hány szegecs van az egyes ládákban?

31 1. modul: ELSŐFOKÚ KÉTISMERETLENES EGYENLETRENDSZEREK MEGOLDÁSA 31 1 D 4 1*. Egy kúpos gépelem kúpossága. A két átmérő aránya: =, a kúpos rész hossza 8 d 3 L = 160 mm. Mekkora a kúpos rész legnagyobb és legkisebb átmérője? (A kúposság a legkisebb és legnagyobb átmérő különbségének és a kúpos rész hosszának D d aránya:.) L *. Két kapcsolódó fogaskerék fogszámának különbsége: 40, a közös modulszám: 1,8 mm és a tengelytávolság: 00 mm. Mennyi a hajtókerék fogszáma és a hajtott kerék fogszáma? (Ha a hajtókerék fogszáma z 1 és a hajtott keréké z, akkor a tengelytávolságot a-val, a modult m-mel jelölve: a = ( z1 + z ). ) m

32

33 . MODUL pitagorasz-tétel, négyzetgyök, valós számok Készítette: Vidra Gábor

34 34 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE I. A Pitagorasz-tétel A Pitagorasz-tételt már ismerjük: derékszögű háromszögben a befogók négyzetösszege egyenlő az átfogó négyzetével. a + b = c a és b a derékszögű háromszög befogói, c az átfogója. Ebben a modulban megvizsgáljuk, hogyan lehet használni ezt a rendkívül fontos, egyszerű ugyanakkor gyakran használható matematikai eszközt. Feladatok 1. Válaszolj a következő kérdésekre! a) Az ábrán látható háromszögek közül melyikre érvényes a Pitagorasz-tétel? Használj szögmérőt!. Fogalmazd meg a geometria nyelvén, négyzetek segítségével is a Pitagorasz-tételt! A Pitagorasz-tétel bizonyítása (olvasmány) A Pitagorasz-tételt leggyakrabban a Babilonból származó, Kr. e és Kr. e között keletkezett és agyagtáblára rögzített bizonyítással igazoljuk, amelyet egy a + b oldalú négyzet (a és b a derékszögű háromszög befogói) átdarabolásával végzünk. Mindkét négyzet területe ugyanannyi, ( a + b). Az 1. négyzet területe a b T = a + b + 4 = a + b + a b 1.

35 . modul: PITAGORASZ-TÉTEL, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 35 A. négyzet belsejében egy négyszöget fog közre a négy egybevágó derékszögű háromszög. Minden oldala egyenlő, és minden szöge 90 (mert α + β = 90, és ( α + β) = γ = ), ezért a középen levő négyszög négyzet, területe c. Így a. négyzet területe T a b = c + 4 = c + a b. A két négyzet területének egyenlőségéből adódik az + b c összefüggés. a = 3. A mellékelt öt síkidomot illeszd össze kétféleképpen úgy, hogy bizonyítsd a Pitagorasz-tételt! Egy c oldalú négyzetet kell kiraknod, majd ugyanezeket a darabokat úgy kell összeállítanod, hogy az megfeleljen az a + b kifejezésnek! Mintapélda 1 A számológép használata A derékszögű háromszög átfogójának hossza 1 cm, befogója 8 cm. Mekkora a másik befogó? Megoldás: A Pitagorasz-tételt felírjuk, majd kifejezzük a hiányzó oldalt: a 8 = 1 = 1 + a 8, ahonnan a = 1 8. a kiszámítása számológéppel történik. Először kiszámítjuk a alatti kifejezés értékét, majd ebből négyzetgyököt vonunk: Megjegyzés: Az ANS funkció szolgál az előző művelet eredményének előhívására. Egyes gépeken erre külön billentyűt találunk, más gépek esetén pl. az = billentyű második funkciója (a billentyű fölött szerepel az ANS jelzés, SHIFT vagy ndf billentyű megnyomása után kell az = jelet megnyomni). A régebbi gépek esetén elegendő csak a négyzetgyök billentyűt megnyomni:

36 36 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Feladatok 4. Számítsd ki zsebszámológéppel a derékszögű háromszög meg nem adott oldalának hosszát! a) Az átfogó 14 cm, az egyik befogó 8 cm; b) x = 18 cm, y = 4cm. Mekkora az átfogó (z)? c) s = 5 cm, k = 4, dm. Mekkora a hiányzó befogó? d) A derékszögű háromszög leghosszabb oldala 54 cm, egy másik 0,3 m. e) A két befogó hossza 18 mm és 3, cm. f) p < q < r a derékszögű háromszög oldalai, r = 8 cm, p = 15 cm. 5. A következő számhármasok közül melyik lehet egy derékszögű háromszög oldalainak hossza? x (cm) ,9 3,4 y (cm) ,,1 z (cm) ,5,9

37 . modul: PITAGORASZ-TÉTEL, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 37 II. A valós számok halmaza A négyzetgyök fogalma Feladatok 6. Határozd meg a következő kifejezések értékét! Ahol közönséges törtet találsz, ott próbálj közönséges törttel dolgozni! a) 5; 169; 000; 16 ; 5 1,6; 3, 4 ; b) 361; 16; 30500; 5 ; ,8; 31, 36 ; c) 11; 81; 10000; 64 ; 9 050,87; 17, 64 ; d) 144; 5; 0000; 11 ; 100 0,3; 6, Az alábbi egyenlőségek közül melyik igaz, és melyik hamis? 16 = 4 ; 16 = 4 ; 16 = 4 ; 16 = 4 ; 16 = 4, 16 = 4 ; 4 = 16 ; ( 4) = 16 ; 4 = 16 ( 4) = 4. ; ( 4) = 4 ; 4 = 4 ; 4 = 4; A négyzetre emelésnek a négyzetgyökvonás az ellentett művelete. Legyen a nemnegatív szám. a -nak ( a 0) nevezzük azt a nemnegatív számot, aminek a négyzete: a. Jelölésekkel: a, a 0, ( a ) = a szám. 0. Az is teljesül, hogy a = a, és ekkor a tetszőleges Megjegyzés: a meghatározásában két kikötés is szerepel. Az a 0, ez azt jelenti, hogy negatív számból nem lehet négyzetgyököt vonni. Ennek egyszerű oka van: a négyzetgyökvonás fordított művelete a négyzetre emelés, és nincs olyan szám, aminek a négyzete negatív lenne (hisz a negatív számokat négyzetre emelve is pozitívot kapunk). Másrészt a gyökvonás eredménye sem lehet negatív: a 0 (például 4 =, és nem ).

38 38 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Az irracionális számok halmaza Emlékeztető: Az egész számok halmaza (Z) a természetes számok halmazából (N halmaz elmei: 0; 1; ; ) és ellentettjeikből áll ( 1; ; 3; ), de két egész szám hányadosa nem mindig egész szám. A két egész szám hányadosaként felírható számokat racionális számoknak nevezzük. A racionális számok halmaza (Q) tartalmazza az összes olyan számot, amelyik felírható közönséges tört alakban (beleértve természetesen az egészeket is). A racionális számok tizedestört-alakja véges vagy végtelen szakaszos tizedestört (egy vagy több számjegy a végtelenségig ismétlődik): 3; 4,01; 0,13; 3,3333 ; 5, A legtöbb pozitív szám négyzetgyöke olyan szám, amelyet nem tudunk felírni közönséges törtszámként. Az ilyen számokat irracionális számoknak nevezzük. Irracionális például, 3, 1, 1 stb. 4 nem irracionális szám, mert az értéke pontosan, ami természetes szám. Irracionális számoknak nevezzük azokat a számokat, amelyeket nem tudunk felírni két egész szám hányadosaként. Az irracionális számok halmazának jele:q*. A racionális számok halmazát (Q) és az irracionális számok halmazát (Q*) együtt a valós számok halmazának nevezzük. Jele: R. Az irracionális számok tizedestört-alakja végtelen, nem szakaszos tizedestört. Érdekes, hogy bár a racionális számok halmaza végtelen halmaz, minden racionális számot ábrázolva mégsem töltik ki hézagmentesen a számegyenest. Bizonyítható azonban, hogy az irracionális számok halmazával együtt a valós számok halmaza már a számegyenest teljesen kitölti. Az irracionális számokról (Olvasmány; az itt szereplő témáknak utánanézhetsz az interneten!) A négyzetgyökvonás eredményeként kapott irracionális számok legpontosabb értéke a jellel felírt szám, például. kerekített értéke lehet 1,4 is, de lehet 1, is. Hogy mikor milyen pontosságú kerekítést használunk, azt az adott feladat határozza meg. Egy kőműves fölöslegesen használná az 1, kerekített alakot, míg egy nagyon pici számokkal dolgozó atomfizikus számára biztos nem az 1,4 a megfelelő pontosság.

39 . modul: PITAGORASZ-TÉTEL, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 39 Az irracionális számok halmazában nemcsak a négyzetgyökvonás műveleteként kapott számok találhatók. Irracionális szám például a π, amelynek kerekített értékét 3,14-nek ismerjük. Pontosabb értékére sok esetben szükség lehet, és a számjegyeket nehéz megjegyezni. Ezért találták ki a pi-verseket, amelyekben a szavak betűinek száma adja a π következő számjegyét (a 0 számjegyet vagy egy gondolatjel, vagy egy 10 betűs szó szimbolizálja). Szász Pál matematikus alkotta 195-ben a következő pi-verset: Nem a régi s durva közelítés, 3,14159 Mi szótól szóig így kijön Betűiket számlálva. Ludolph eredménye már, Ha itt végezzük húsz jegyen. De rendre kijő még tíz pontosan, Azt is bízvást ígérhetem. Ellenőrizd a számológépeddel, ameddig az kiírja az eredményt. A matematikusokat régóta foglalkoztatja az, hogy a π értékét minél pontosabban meghatározzák. Egy japán professzor, Yasumasa Kanada több mint egymilliárd számjegyet határozott már meg számítógépekkel. Természetesen a π nem 3,14, hanem a kör kerületének és átmérőjének hányadosa. Különböző korokban különböző számokkal közelítették π értékét, például 377 Ptolemaiosz Kr. e. 150-ben a törttel számolt. 10 Feladatok 8. a) Írd a halmazábra megfelelő helyeire a számhalmazok betűjelét: N, Z, Q, R! b) Írd a halmazábra megfelelő helyeire a számhalmazok betűjelét (N, Z, Q, Q*, R) és a következő számokat: 3; 10; 4,5; 3,511 ; 4 ; 0,111 ; 100; 0 ; 100; 0; 4 ; ;,15; 45.

40 40 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE 9. Folytasd a pozitív egészek négyzetének sorát egészen 0 négyzetéig a következő felírással: 0 = 0, mert 0 = 0 ; 1 = 1, mert 1 = 1; 4 =, mert = 4 stb. 10. Döntsd el, majd számológéppel is vizsgáld meg pár példán, hogy igazak-e a következő állítások! a) Nagyobb számnak a négyzetgyöke is nagyobb. b) Az 1-nél nagyobb számokra igaz az, hogy a négyzetgyöke kisebb a számnál. c) A 0 és 1 közé eső számokra igaz az, hogy a négyzetgyöke kisebb a számnál. d) Egy törtszám négyzetgyöke mindig kisebb a számnál. 11. Számítsd ki a következő műveletek eredményét, és válaszd ki a kakukktojást! ; ; 16 5 ; A négyzetgyök közelítéséről (olvasmány) A számok négyzetgyökének értékét többféleképpen is közelíthetjük (azért csak közelíthetjük, mert az irracionális számok pontos értékét nem tudjuk meghatározni). Közelítsük 10 négyzetgyökét! (A számológép szerint 10 3, ). Kétoldali közelítés módszere: alapját az adja, hogy a nagyobb számoknak a négyzetgyöke is nagyobb. Először zárjuk be 10 -et egész számok közé: 3 = 9, és 4 = 16, ezért 3 < 10 < 4. Ezután növeljük a pontosságot: 3,1 = 9, 61és 3, = 10, 4, ezért 3,1 < 10 < 3,. Segít a közelítésben az, ha megbecsüljük, hogy a négyzetgyök értéke melyik számhoz esik közelebb (most inkább 3,-höz, mint 3,1-hez). A következő közelítés: 3,16 = 9,9856< 10 < 3,17 = 10, 0489, majd 3,16 < 10 < 3,163 stb. A közelítést tetszőleges pontosságig végezhetjük, nyilván egy számítógép nagy segítséget jelenthet. A tizedesjegyek számát növelve kapjuk az egyre pontosabb értéket. 1. Két egybevágó kör területe együtt T. Mekkora a körök sugara külön-külön? a) T = 100 cm ; b) T = 4 m ; c) T = 14,1 cm.

41 . modul: PITAGORASZ-TÉTEL, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK A fizikában szabadesés közben megtett út (s) képlete a testek anyagától függetlenül s = g t m, ahol g = 9,81 s állandó, t pedig az esés ideje (légellenállással most nem számolunk; a képletben s értékét méterben, az időt másodpercben használjuk). a) Mennyi idő alatt zuhan le egy test 30 méter magasból (kb. ennyi egy 10 emeletes ház magassága)? b) Fejezd ki az időt a megtett út függvényében! 14. Mekkora a térfogata annak a kockának, aminek a felszíne 140 m? 15. Fejezd ki a henger sugarát, ha m a magassága, r a sugara, és a térfogata V = r π m! 16. Egy henger térfogata 3619,1 dm 3, magassága 80 cm. Mekkora az alapkör sugara? V henger r = π m 17. Egy henger térfogata 150 cm 3, magassága 3 cm. Mekkora a felszíne? V = r π m, A = r π ( r m) henger henger +. A négyzetgyök-függvény A fent ábrázolt függvényt négyzetgyök-függvénynek nevezzük. Minden nemnegatív számhoz hozzárendeli a négyzetgyökét: x a x, vagy f ( x) = x. Jegyezd meg a függvénynek azokat a pontjait, amelyeket könnyen tudsz ábrázolni! Az x = 0 helyen a függvény értéke y = 0, mert a függvény képletébe x helyére behelyettesítve kapjuk: y = 0 = 0, vagyis egyik pontja a (0; 0) pont. Hasonlóan kaphatók még pontok, amelyek megfelelnek az ( x; x ) alaknak: (1; 1), (4; ), (9; 3) stb.

42 4 MATEMATIKA A 10. SZAKISKOLAI ÉVFOLYAM TANULÓK KÖNYVE Érdekesség a függvénnyel kapcsolatban: Ha milliméterpapíron ábrázolod a függvényt 0 és között, jól látszik a következő: 0 és 1 közötti számok négyzetgyöke a számnál nagyobb, míg 1-nél nagyobb számok esetében kisebb. Feladatok 18. Válaszolj a következő kérdésekre: a) Mi az x a x függvény értelmezési tartománya (milyen számokat írhatunk x helyére, ill. a függvény az x tengelyre levetítve a tengely mely részét foglalja el)? b) Mi az x a x függvény értékkészlete (milyen számokat kapunk eredménynek, ill. a függvény az y tengelyre levetítve a tengely mely részét foglalja el)? c) Mi a függvény minimumhelye (az alsó csúcspont x koordinátája)? d) Mi a függvény legkisebb értéke (az alsó csúcspont y koordinátája)? e) Mit mondhatunk a függvény monotonitásáról (emelkedés csökkenés)? Állítások megfordítása Érvényes a Pitagorasz-tétel megfordítása is. A tétel szövegéből meghatározható, hogy mi a következmény és mi a feltétel! Ha megfordítjuk a következményt és a feltételt, új állítást kapunk, amit a Pitagorasz-tétel megfordításának nevezünk:

43 . modul: PITAGORASZ-TÉTEL, NÉGYZETGYÖK, VALÓS SZÁMOK 43 Megfogalmazásai: Ha egy háromszög a, b és c oldalaira igaz, hogy +, akkor a háromszög derékszögű. a b = c Egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha két oldalának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal négyzetével. Annak, hogy egy háromszög derékszögű legyen szükséges és elégséges feltétele, hogy két oldalának négyzetösszege egyenlő legyen a harmadik oldal négyzetével. Az ilyen állításokat megfordítható tételeknek nevezzük. Tanulmányaink során már találkoztunk ilyen jellegű tételekkel, ilyen például a Thalész-tétel. Megjegyzés: Az állítások halmazokra is átfogalmazhatók. Például a derékszögű háromszögek halmaza és az a + b = c tulajdonsággal rendelkező háromszögek hal- maza azonos. Egy állítás akkor megfordítható, ha a két halmaz elemei ugyanazok (vagyis a két halmaz egyenlő, mint a Pitagorasz-tétel esetében). A megfordítható állításokban akkor és csak akkor kapcsolatot is használunk: egy háromszög akkor és csak akkor derékszögű, ha a két rövidebb oldal hosszának négyzetösszege egyenlő a harmadik oldal hosszának négyzetével. A két tagmondat állításai ekvivalensek (egyenértékűek). Feladatok 19. Fogalmazd meg a következő (nem biztos, hogy igaz) állítások megfordítását, és döntsd el, hogy az állítás megfordítása igaz-e vagy sem? a) Ha esik az eső, akkor nedves az úttest. b) Ha egy szám osztható 6-tal, akkor -vel is osztható. c) Ha egy négyszög deltoid, akkor az átlói merőlegesek egymásra. d) Ha egy háromszögben két szög összege egyenlő a harmadik szöggel, akkor az a háromszög derékszögű. e) Ha süt a nap, akkor világos van. f) Ha egy négyszög trapéz, akkor paralelogramma is. g) Ha egy szám nullára végződik, akkor osztható 5-tel. h) Ha egy háromszögben a köré írható kör középpontja az egyik oldal felezőpontja, akkor az a háromszög derékszögű. 0. Keress megfordítható állításokat a hétköznapi életből!