Perspektíva. A perspektív kép tulajdonságai

Átírás

1 Persektíva A térbeli alakzatoknak, tárgyaknak a függőleges (vertikális) helyzetű késíkon való ábrázolása akkor végezhető el gyorsan, kényelmesen, ha bevezetünk ábrázolási segédeszközként egy vízszintes helyzetű ún. alasíkot, s e síkon lévő alarajz segítségével állítjuk elő a centrális kéet. Különösen abban az esetben előnyös ez, ha az ábrázolt tárgyakkal kacsolatosan metrikus megkötéseink vannak. Az így szerkesztett kéet nevezzük ersektívának. Ezt használják az éítészek és - főleg a reneszánsz korabeli - festők, bár az utóbbiak általában nem alkalmaztak szerkesztést. A ersektív ké tulajdonságai A vízszintes tere jó megközelítéssel síknak tekinthető. Az ábrán bemutatott kéet látja a közéen álló, az F ont felé néző szemlé1ő, ha üvegből késíkot helyezne maga elé; arra - a teretárgyakkal fedésben - rárajzolhatná kéeiket. A bemutatott ersektív kéről a. következőket állaíthatjuk meg: 1. A vízszintes tere síkja nem látszik élben. Kée széles sávot foglal el a késíkból, és azt felülről a horizontvonal zárja le. (Ezt fogjuk alasíknak nevezni.) 2. A vízszintes síkokban fekvő árhuzamos egyenesek metszőknek látszanak; kéeik metszésontja a horizontvonalon van. A két vasúti sínszál kéének metszésontja az I ont. Ugyanide futnak a távíróvezetékek kéei is.

2 A távvezetékek megfelelő ontjai, l. az összes jobb oldali talontok, a késíkra merőleges egyeneseket határoznak meg. A késíkra merőleges egyenesek látszólagos metszésontja a szemlélővel szemközti F ont. A talfák kéei szintén összetartók; és metszésontjuk a horizontvonalon van. Ugyanebbe a ontba irányulnak a távíróoszlook vízszintes gerendáinak kéei is. A távíróvezetékek függőleges oszloai a rajzon is árhuzamosak. A ersektív kéek legjellemzőbb tulajdonsága, hogy a árhuzamos egyenesek kéei egy ontban metszik egymást, kivéve, ha a késíkkal is árhuzamosak. Ifikkor kéeik söntén árhuzamosak. A árhuzamos egyenesek kéeinek metszésontját az egyenesek közös irányontjának nevezzük. Az irányont elnevezés megtévesztő. Az irányont nem a térbeli egyenesnek, hanem a kéének a ontja. Ám ezúttal térbeli ontról nem beszélhetünk, mert az irányontnak nincs térbeli megfelelője, csak a végtelen távoli ontot tudjuk hozzákézelni. A vízszintes egyenesek irányontjai a horizontvonalon vannak. A késíkra merőleges egyenesek irányontja az F főont. A ersektíva késíkrendszere Az A alasíkot vízszintesen vesszük fel, tehát merőlegesen a függőleges helyzetű késíkra. A ersektíva K késíkjának az A alasíkkal alkotott metszésvonalát alavonalnak nevezzük és a-val jelöljük. A centrumra illeszkedő, A alasíkkal árhuzamos, ezért horizontális H síknak a K ersektíva síkjával alkotott metszésvonalát horizontvonalnak nevezzük és h -vel jelöljük. Az alavonal tehát az alasík nyomvonala, a horizontvonal edig az alasík irányvonala. Mivel. az alasík merőleges a késíkra, ezért irányvonala illeszkedik a főontra, tehát a h horizontvonal a C 1 főontra illeszkedő, az alavonallal árhuzamos egyenes. Az ábrán láthatjuk az A alasík, H horizontsík, illetve a alavonal és h' horizontvonalnak a K késíkkal és a C centrummal való kölcsönös helyzetét, ill. az A alasíkon álló négyzetes oszlo ersektívájának vetítéssel nyert kéét. A C centrumnak az A alasíkra eső merőleges

3 vetületét C*-gal jelöljük. Ez természetesen illeszkedik az A alasík r eltűnési egyenesére, ugyanis az eltűnési sík nem más mint a centrumra illeszkedő, késíkkal árhuzamos sík, amely merőleges az alasíkra. Ugyancsak a 61. ábra alaján is megállaíthatjuk, hogy a szemlélőhöz legközelebb lévő 2B é1 lesz a leghosszabb, a szemlélőtől legtávolabb lévő 4D él lesz a legrövidebb a ersektív kéen.

4 Feladat: Szerkesztendő egy 5 cm-es alaélű, 13 cm magas, alasíkon álló négyzetes oszlo ersektív kée. A 62. ábra szerkesztésének léései (az ábra kicsinyítve van!): 1. Az alanégyzet ersektív kéének megszerkesztése visszaforgatással: a) A C centrum leforgatása a h horizontvonal körül. Ebben az esetben a leforgatás sugara a d distancia, ezért a kollineáció C 0 centruma a distanciakörre esik. b) A forgatottban felvesszük az 5 cm-es oldalélű négyzetet. c) Az alanégyzet kéének megszerkesztése a forgatottból centrális kollineácóval. 2. A 13 cm-es oldalélek ersektív kéének szerkesztése.

5 a) Az oldalélek árhuzamosak a K késíkkal, ezért az élek egyenesei az oldallaok síkjának fővonalai. Hogy e fővonalakra (az 51. ábra szerkesztését alkalmazva) fölmérhessük a 13 cm-t, előbb meg kell határoznunk az [AB12] = S oldalla síkjának nyom- és irányvonalát. Mivel ez a sík merőleges az alasíkra, ezért az n S nyomvonal merőleges az a alavonalra, tehát felvételéhez egyetlen ont, az AB=e egyenes N e nyomontja, elegendő. Az n S nyomvonalra felmért 13 cm-t a Q e irányontból a fővonalra vetítve nyerjük az 1 és 2 csúcsok kéeit. b) A árhuzamos élek közös irányontját felhasználva nyerjük a hiányzó csúcsok kéeit. A késíkrendezők törvényei Ha egy P ontnak a ersektíva K síkjától mért távolságát x-szel jelöljük és a P ont késíkrendezőjének nevezzük, akkor bebizonyítjuk az alábbi összefüggéseket: x P'N x P'P1 = és =. d P'Q' d P'C 1 Ahol d a distancia, N a P ontra és V vetítősíkra illeszkedő, egyébként tetszőleges helyzetű egyenes nyomontja, Q' ugyanennek az egyenesnek az irányontja, P 1 a ont merőleges vetülete a késíkon, e 1 az egyenes merőleges vetülete a késíkon, C 1 a centrum merőleges vetülete a késíkon. Az összefüggések igazolását a 63. ábra alaján, a közéontos hasonlóság felhasználásával adjuk meg: Mivel x és d árhuzamos (mindkettő merőleges a késíkra) és PN és CQ' ia árhuzamosak, ezért a P'Q'CC 1 gúla és a P'NPP 1 gúla közéontosan hasonló, a hasonlóság centruma P'. Ezért megfelelő oldalaik aránya egyenlő, azaz x P'N x P'P1 = és =. d P'Q' d P'C 1

6 Ha a P ont a K késík előtt - tehát a centrummal megegyező oldalon van, akkor az x késíkrendezőt ozitívnak, ha edig mögötte van, akkor negatívnak tekintjük. Természetesen a késíkrendezők törvényei ekkor is fennállnak. Ebben az esetben ugyanis a P ont kée az egyenes kéének NQ' szakaszára esne, ezért ebben az esetben a P'N ill. P'P 1 szakaszok ellentétes irányításúak a nevezőkben szerelő P'Q' ill. P'C l szakaszokkal, tehát az összefüggések jobb oldalai is negatívak lesznek. Ezzel bebizonyítottuk, hogy egy egyenes tetszőleges ontjának késíkrendezője úgy aránylik, a distanciához, mint 1. a ont kéének az egyenes nyom- és irányontjától való távolságai 2. a ont kéének az ortogonális vetületétől és a főonttól való távolságai. A törvények alkalmazását az alábbi feladatokban mutatjuk be: 1. feladat: Szerkesztendő adott e egyenesre illeszkedő adott x késíkrendezőjű P ont kée. A 64/a. és 64/b. ábrák szerkesztésének menete: 1. Az x késíkrendezőt az e' egyeneshez a distanciával azonos - de egyébként tetszőleges - hajlásszögben felmérjük. Pozitív késíkrendező esetén a d-vel azonos oldalra, negatív késíkrendező esetén a d-vel ellenkező oldalra mérjük a késíkrendezőt. 2. A d és x szakaszok végontjait összekötő egyenes az egyenes kééből kimetszi az adott késíkrendezőjű ont kéét. A megoldások helyességének igazolásai Mivel x és d árhuzamos, ezért a árhuzamos szelők tételének következménye miatt x P'N =. Ez az összefüggés viszont - a késíkrendezők 1. törvénye miatt - csak az d P'Q' egyenesre illeszkedő x késíkrendezőjű ont esetén áll fenn.

7 2. feladat: Ábrázoljuk egy adott S síknak azon fővonalát, amelyiknek távolsága a késíktól +1 cm! A 65. ábra szerkesztésének menete: 1. Felveszünk a síkban egy tetszőleges s egyenest. 2. Megszerkesztjük az s egyenes +1 késíkrendezőjű, P ontjának kéét 64/a. ábra szerint. 3. A P ontra illeszkedő f fővonal kéének felvétele a nyomvonallal árhuzamosan. 3. feladat: Szerkesszük meg két kitérő egyenes távolságát abban az esetben, amikor mindkét egyenes árhuzamos a késíkkal! A szerkesztés menete (nincs hozzá ábra): 1. Felveszünk két, késíkkal árhuzamos egyenest. 2. Meghatározzuk ezen egyenesek késíkrendezőinek valódi nagyságát a 65. ábrán látható módon. 3. Vesszük a késíkrendezők előjeles különbségének abszolút értékét, ez lesz a kitérő egyenesek távolsága.

8 4. feladat: Adott a P ont P l ortogonális vetülete és x késíkrendezője. Szerkesztendő centrális vetület. A 66. ábra szerkesztésének menete: 1. Az x késíkrendezőt a P 1 C 1 egyeneshez, a distanciával azonos, de egyébként tetszőleges hajlásszögben felmérjük. Pozitív késíkrendező esetén a d-vel azonos, negatív késíkrendező esetén a d-vel ellenkező oldalra mérjük a késíkrendezőt. 2. A d és x szakaszok végontjait összekötő egyenes a P 1 C 1 egyenesből kimetszi az adott késíkrendezőjű P ont kéét. 3. Tartóegyenest a kaott onthoz a legegyszerűbben úgy nyerünk, ha a késíkra merőleges egyenest választunk. Ekkor az egyenes irányontja a C 1 főont, nyomontja edig a P ont P 1 ortogonális vetülete. A megoldás helyességének igazolásai Mivel x és d árhuzamosak, ezért a árhuzamos szelők tételének következménye x P'P1 miatt =, ez az összefüggés viszont a késíkrendezők 2. törvénye miatt csak d P'C1 azon P ontra érvényes, amelyiknek ortogonális vetülete P 1, késíkrendezője x.

9 5. feladat: Szerkesztendő azon 8 cm 4 cm 2 cm méretű téglatest ersektív kée, amelynek egyik laja a késíkra, alalaja az alasíkra illeszkedik. A 67. ábra szerkesztésének léései: 1. A téglatest késíkra illeszkedő 1234 lajának felvétele eredeti nagyságban. 2. Az A csúcs A' kéének megszerkesztése a késíkrendezők 2. törvénye alaján (66/a. ábra szerkesztése). Ha a 66/b. ábra alaszerkesztése szerint jártunk volna el, akkor a feladat másik (késík mögötti) megoldását nyernénk. 3. A további csúcsok kéeinek szerkesztésénél felhasználtuk, hogy a késíkkal és egymással árhuzamos egyenesek kéei is árhuzamosak, továbbá, hogy a késíkra merőleges egyenesek közös irányontja C l főont.

10 6. feladat: Adott egy P ont. Határozzuk meg a vetítés C centrumtól való távolságát! A 68. ábra szerkesztésének menete: 1. Megszerkesztjük a P ont P 1 ortogonális vetületét (amely azonos a P-re illeszkedő, késíkra merőleges k egyenes N k nyomontjával) 2. A CC 1 P' háromszöget a C 1 P' befogója mentén a késíkba forgatva, a CP távolság valódi nagyságát nyerjük. 7. feladat: Adott egy e egyenes. Határozzuk meg az egyenesnek a vetítés C centrumától való távolságát! A szerkesztés menete: 1. Meghatározzuk C centrum és az e egyenes V síkjának nevezetes vonalait. Mivel V csak centrális vetítősík lehet, ezért nyom- és irányvonala egybe fog esni, sőt az e egyenes e kéével. 2. A V síkot leforgatva a távolság valódi nagyságát nyerjük. 8. feladat: Adott egy S sík. Határozzuk meg az S síknak a vetítés C centrumától való távolságát! 1. A 32. ábra alaján megállaíthatjuk, hogy egy S sík és a C centrum távolságát visszavezetjük a C centrumnak az S sík azon e esésvonalától mért távolságára, amelyet az S síkra állítható V centrális vezérsík metsz ki. 2. A V síkot késíkba forgatva a távolság valódi nagyságát nyerjük.

11 9. feladat: Adott egy késíkkal árhuzamos S sík és egy általános helyzetű e egyenes. Szerkesszük meg a döfésontot! Ebben az esetben mellőzhetjük a 29. ábrán bemutatott segédsíkos eljárást, ugyanis biztos, hogy a D döfésont az e egyenesnek egy olyan ontja lesz, amelynek késíkrendezője azonos a késíkkal árhuzamos S síkot tartó S ont késíkrendezőjével. A szerkesztés menete: 1. Meghatározzuk az S síkot tartó S ont x S késíkrendezőjét. 2. Megszerkesztjük az e egyenes x S késíkrendezőjű D ontját, amely a döfésont lesz. Persektív ké előállítása Monge-féle vetületekből A legegyszerűbben ersektív kéet, a Monge-féle vetületek felhasználásával, kéeivel adott centrum esetén, a 66/a, és 66/b, alaszerkesztések alaján nyerhetünk. A ersektíva K késíkjaként a Monge-féle késíkrendszer bármelyik késíkja felhasználható. a/ Ha K=K 2, akkor 1. A C 1 főont a C centrum Monge-féle második kéével azonos, tehát C 1 =C. 2. Bármely P ontnak, a centrális rojekcióban lévő ortogonális vetülete megegyezik Monge-féle második kéével, tehát P 1 =P. 3. A distanc értéke a C centrum első rendezője. 4. A P ont x késíkrendezője a Monge-féle első rendezőjével egyezik meg (72. ábra). b/ Ha K=K 1, akkor 1. C l = C 2. P 1 =P (a két jelölést összevonva P ) 1 3. d = a C centrum második rendezője' 4. x = a ont második rendesője (73. ábra).

12 1. feladat: Monge-féle vetületeivel. adott, két különböző méretű kockának készítsük el a ersektív kéét K=K 2 esetén. (72. ábra). A 72. ábra szerkesztésének menete: 1. Megszerkesztjük az A, D és G ontok ersektív kéét ( A, D, G ), ortogonális vetületük ( A, D, G ) és az első kéről leolvasható késíkrendezőjük segítségével a 66/a. ábrán látható alaszerkesztés szerint. 2. A további csúcsok kéeinek szerkesztésénél felhasználtuk, hogy a késíkkal és egymással árhuzamos egyenesek kéei is árhuzamosak, továbbá hogy a késíkra merőleges egyenesek közös irányontja a C 1 főont. Megjegyezzük, hogy ha az egyenesek nem merőegesek a késíkra, akkor az irányontjuk azon centrumra illeszkedő egyenesnek a második nyomontjával azonos, amelyik árhuzamos az egyenesekkel. Ugyanis ez az egyenes lesz az eredeti egyenes végtelen távoli ontját vetítő sugár.

13 2. feladat: Monge-féle vetületeivel adott, két különböző méretű kockának készítsük el a ersektív kéét K= K l esetén (73. ábra). A 73. ábra szerkesztésének léései: 1. Mivel a kockák első késíkra illeszkedő lajai most egyben a ersektíva késíkjára is illeszkednek, ezért ezen csúcsok első kée azonos a ersektív kéel. 2. Megszerkesztjük a D és G csúcsok ersektív kéét ( D, G ), ortogonális vetületük ( D 1, G ) 1 és a második kéről leolvasható késíkrendezőjük segítségével (66/a. ábra alaszerkesztése szerint). 3. A további csúcsok kéeinek szerkesztésénél felhasználtuk, hogy a késíkkal és egymással árhuzamfia egyenesek kéei, árhuzamosak, továbbá, hogy a késíkra merőleges egyenesek közös irányontja a C 1 főont. Végül megjegyezzük, hogy Monge-féle vetületekből ersektív kéet előállítani még többfélekéen lehet, sőt e célt szolgálják az un. ersektográf nevű készülékek is.

14 Sztereoszkóikus kéárok Ha egy tárgyat egy szemmel nézünk, akkor szemünkben, illetve agyközontunkban keletkező ké nem térhatású (azaz nem sztereoszkóikus). Ugye szintén nem térhatású a fényké vagy mozifilm sem. Ez azt jelenti, hogy l. a fénykéen ábrázolt tárgyak nem emelkednek ki a fényké síkjából. Ha viszont két szemmel nézzük a tárgyat, akkor - mivel jobb szemünkkel többet látunk annak jobb oldali részéből, bal szemünkkel edig annak bal oldali részéből - szemeinkben két egymástól eltérő ké keletkezik, amelyek egy helyen - az agyközontban egyesülnek. Az egyesített ké már térhatású. A fotogrammetriai eljárások nagy része sztereoszkóikus, térhatású fénykéárok által rekonstruálható térmodell előállításán alaszik. A konstrukció fotogrammetriai kiértékelő műszerekkel történik. A két különböző felvételi centrumból ugyanazon tererészről vagy éületről készített fénykéárt (tehát centrális vetületű kéárt) helyezünk a kiértékelő műszerünk kétartóiba és a két centrális vetületű kéet egymáshoz viszonyítva olyan helyzetbe hozzuk, hogy a műszer szemlélő berendezésén keresztül nézve a fénykéek által ábrázolt terület sztereoszkóikus hatást adjon. Sztereoszkóikus kéárokat előállíthatunk ugyanazon késíkon azáltal, hogy a térbeli alakzat ontjait két különböző centrumból vetítjük. Ebben az esetben - azonos színű kéek esetén - a két ké területe nem választódik szét és vizuálisan nem hajtható végre a térmodell rekonstrukciója. Ha azonban a kéek kidolgozásánál a színké kiegészítő színeit használjuk l. iros és zöld, úgy a kettős vetületet szétválasztva tudjuk szemlélni, ha egy un. anaglif szemüveget használunk, amelynek bal ablaka iros, jobbablaka zöld, s így a bal szemüvegen keresztül csak a zöld, a jobb szemüvegen keresztül edig csak a iros színű ábrát látjuk. Tehát az anaglif szemüvegen át jobb, illetve bal szemünk két különböző ábrát észlel, amelyek az agyközontban egyesülve térhatású kéet adnak. Mivel az átlagember szemtávolsága kb. 65 mm, ezért az anaglif kéárok - amelyek tehát egy-egy centrális vetületnek felelnek meg - centrumait egymástól 65 mm-re, azonos d késíktávolságra veszik fel. A d distanc megállaításánál figyelembe kell venni, hogy a rajzot milyen messziről nézzük. Mivel ez a távolság a gyakorlatban cm, ezért anaglif ábrák csak nagyobb méretű rajzlaokon szerkeszthetik.